摘" 要：文章研究具有多個(gè)生產(chǎn)基地的生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)（可以是制造系統(tǒng)、物流與供應(yīng)鏈系統(tǒng)和服務(wù)系統(tǒng)）產(chǎn)能配置問題。首先，通過分析M/M/c排隊(duì)系統(tǒng)，估計(jì)出所需產(chǎn)能總量。其次，基于M/G/∞排隊(duì)系統(tǒng)模型，近似求解配給各生產(chǎn)基地的產(chǎn)能。算例驗(yàn)證了該產(chǎn)能配置策略的有效性。最后，給出該策略的一個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景及結(jié)論。

關(guān)鍵詞：生產(chǎn)運(yùn)作；產(chǎn)能配置；排隊(duì)系統(tǒng)

" 中圖分類號(hào)：F253.9" " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2025.07.022

Abstract： The paper studies capacity allocation in multi-location production operations systems which may be manufacturing systems， logistics and supply chain， and service systems. First， by analyzing M/M/c queueing systems， we can estimate the total production capacity. Second， based on the M/G/∞ model， we derive the approximate capacity allocation to each location. Then， the effectiveness of the allocation policy is verified by a numerical example. Finally， we give a practical scenario for implementing this policy and draw a conclusion.

Key words： production operations; capacity allocation; queueing system

0" 引" 言

新質(zhì)生產(chǎn)力包涵生產(chǎn)要素的創(chuàng)新性配置，目標(biāo)是推動(dòng)生產(chǎn)率大幅提升。生產(chǎn)運(yùn)作管理作為一門應(yīng)用學(xué)科，目標(biāo)是提高生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)的運(yùn)營(yíng)績(jī)效，關(guān)注提高生產(chǎn)率的具體實(shí)施方法。運(yùn)作管理方法往往基于一些基本原理，如雷托爾定律（Little's Law）、產(chǎn)能利用率定律（Capacity Utilization Law）、風(fēng)險(xiǎn)共擔(dān)原理（Principle of Risk Pooling）、產(chǎn)能原理（Capacity Principle）、可變性定律（Variability Law）、可變性緩沖原理（Principle of Variability Buffering）等等。這些原理是生產(chǎn)運(yùn)作管理的基礎(chǔ)，也是提高制造、服務(wù)、物流與供應(yīng)鏈等生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)績(jī)效的基本法則。

美國(guó)制造業(yè)2017年9月份的產(chǎn)能利用率是76.2%[1]。據(jù)2022年相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，我國(guó)工業(yè)各行業(yè)產(chǎn)能利用率大都位于70%

～80%區(qū)間，而制造業(yè)總產(chǎn)能利用率是75.8%。可見中美兩個(gè)制造大國(guó)都存在相當(dāng)大的冗余產(chǎn)能。又例如，Zara原全球物流配送中心位于總部拉科魯尼亞附近，在該中心僅使用了50%配送產(chǎn)能的情況下，Zara花費(fèi)了1億歐元在西班牙的Zaragoza又建了另一物流中心[2]。以上保有大量冗余產(chǎn)能的現(xiàn)象很大程度上可用上述的產(chǎn)能利用率定律進(jìn)行解釋。

產(chǎn)能利用率定律不僅可以幫助分析問題，還可幫助更有效地利用產(chǎn)能。以下，將研究生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)（包括制造系統(tǒng)、物流與供應(yīng)鏈系統(tǒng)和服務(wù)系統(tǒng)）產(chǎn)能配置策略。對(duì)一個(gè)擁有多個(gè)生產(chǎn)基地的生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)，首先，通過M/M/c排隊(duì)系統(tǒng)估計(jì)出總產(chǎn)能需要量，即滿足總需求的平行生產(chǎn)設(shè)施（例如，標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)線）數(shù)量；其次，基于M/G/∞排隊(duì)系統(tǒng)的近似算法估算出每個(gè)生產(chǎn)基地的產(chǎn)能大小，即每個(gè)生產(chǎn)基地所需生產(chǎn)線數(shù)量。最后，將給出相關(guān)應(yīng)用場(chǎng)景及結(jié)論。

1" 排隊(duì)系統(tǒng)與產(chǎn)能利用率

運(yùn)作管理中的流程（Process）觀點(diǎn)很重要，可方便地統(tǒng)一處理制造系統(tǒng)和服務(wù)系統(tǒng)。從流程觀點(diǎn)看，生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)都是由眾多流程組成，流程中的實(shí)體可以是制造系統(tǒng)中的零部件，供應(yīng)鏈中的加工產(chǎn)品，物流系統(tǒng)中的貨物，服務(wù)大廳里的客戶，醫(yī)院里看病的病人，等等。對(duì)每個(gè)流程可方便地使用排隊(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行分析與優(yōu)化。以M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)描述的流程為例，生產(chǎn)

/服務(wù)需求的到達(dá)服從泊松過程，平均到達(dá)速率記為λ，而生產(chǎn)/服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，平均生產(chǎn)/服務(wù)時(shí)間為1/μ（或生產(chǎn)/服務(wù)速率為μ）看作是有限產(chǎn)能。該排隊(duì)系統(tǒng)利用率ρ=λ/μ是生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)的產(chǎn)能利用率?？紤]排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，要求λ要嚴(yán)格小于μ，即ρlt;1。

很自然地，排隊(duì)論基本定律可應(yīng)用于生產(chǎn)運(yùn)作管理，成為生產(chǎn)運(yùn)作管理的基本原理。例如，基于M/M/1系統(tǒng)的雷托爾定律：L系統(tǒng)平均隊(duì)伍長(zhǎng)=λ平均到達(dá)速率×W系統(tǒng)平均逗留時(shí)間。據(jù)Hopp et al.[3]，運(yùn)作管理中相應(yīng)的表達(dá)是：WIP在制品庫(kù)存=Throughput產(chǎn)出率×Cycle Time流程時(shí)間，且生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)可以是確定型的，也就是說，產(chǎn)出率和流程時(shí)間可以都是確定的，不需要是平均意義上的。又例如，排隊(duì)系統(tǒng)利用率ρ小于1，相應(yīng)地，生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)的生產(chǎn)/服務(wù)需求也要嚴(yán)格小于有限的產(chǎn)能，這就是前面提到的產(chǎn)能原理。

產(chǎn)能利用率定律也可用M/M/1排隊(duì)模型來描述[4]。排隊(duì)模型能在分析與優(yōu)化生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)得到廣泛應(yīng)用，得益于它們本質(zhì)上是隨機(jī)模型?，F(xiàn)實(shí)中，生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)存在許多變化的、不確定的因素，如不確定的需求和不可控的供應(yīng)中斷，等等。生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)的績(jī)效取決于變化與不確定的可變性（Variability），即系統(tǒng)的可變性越大，系統(tǒng)績(jī)效會(huì)越低，這就是前述的可變性定律。因而，生產(chǎn)運(yùn)作管理的一個(gè)主要任務(wù)是應(yīng)對(duì)這些可變性，而排隊(duì)系統(tǒng)成為生產(chǎn)運(yùn)作流程模型的合適選擇。

圖1展示了產(chǎn)能利用率定律：流程時(shí)間（即任務(wù)系統(tǒng)逗留時(shí)間）會(huì)隨產(chǎn)能利用率非線性增長(zhǎng)，當(dāng)產(chǎn)能利用率超過90%后，流程時(shí)間會(huì)極速增長(zhǎng)。在制品庫(kù)存也會(huì)隨產(chǎn)能利用率非線性增長(zhǎng)（可由前述雷托爾定律知），當(dāng)產(chǎn)能利用率超過90%后，在制品庫(kù)存會(huì)極速增長(zhǎng)。因此，合適的產(chǎn)能利用率可大致保持在75～85%區(qū)間。這樣就從生產(chǎn)運(yùn)作角度給出了前述中美兩國(guó)制造業(yè)產(chǎn)能保持在75%左右的原因。

2" M/M/c系統(tǒng)與多并行運(yùn)營(yíng)策略

相比M/M/1系統(tǒng)，M/M/c系統(tǒng)服務(wù)效率提升非常明顯，尤其是當(dāng)服務(wù)器數(shù)量由1臺(tái)增為2臺(tái)時(shí)，提升效果最為明顯，見圖2（這里討論了μgt;λ的情形，而μlt;λ時(shí)的M/M/1系統(tǒng)逗留時(shí)間會(huì)是無(wú)窮大，如增加為兩臺(tái)且2μgt;λ，M/M/2系統(tǒng)逗留時(shí)間相比于無(wú)窮大逗留時(shí)間算是巨大的下降）。更進(jìn)一步，當(dāng)M/M/1的系統(tǒng)利用率較大時(shí)，如圖2中的左邊系統(tǒng)λ=1，μ=1.25，ρ=80%相比于右邊系統(tǒng)λ=1，μ=2，ρ=50%有更高的系統(tǒng)利用率，增加一臺(tái)服務(wù)器會(huì)使任務(wù)系統(tǒng)逗留時(shí)間更加大幅度降低。同時(shí)，從圖2也可看到，當(dāng)繼續(xù)增加第3臺(tái)，第4臺(tái)，…，時(shí)，任務(wù)系統(tǒng)平均逗留時(shí)間降幅會(huì)逐漸減小，也就是說效率提升不再明顯了。提醒一下，圖2顯示的是系統(tǒng)平均逗留時(shí)間W與服務(wù)器數(shù)量c的關(guān)系，由式（2）和λ=1知，圖2同時(shí)也是系統(tǒng)平均隊(duì)伍長(zhǎng)L與服務(wù)器數(shù)量c的關(guān)系（這里只需把縱坐標(biāo)的時(shí)間單位改為長(zhǎng)度單位即可）。

總結(jié)以上觀察得到如下結(jié)論：對(duì)于一個(gè)并行服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)，在每個(gè)服務(wù)器服務(wù)率都大于需求到達(dá)率條件下，當(dāng)服務(wù)器數(shù)量從1增加為2時(shí)，任務(wù)系統(tǒng)平均逗留時(shí)間和系統(tǒng)平均隊(duì)伍長(zhǎng)都會(huì)大幅降低；尤其當(dāng)單臺(tái)服務(wù)器系統(tǒng)利用率較高時(shí)，該降幅非常明顯；然而當(dāng)服務(wù)器數(shù)量繼續(xù)增加時(shí)，該降幅不再明顯并逐漸變小。

" 將以上排隊(duì)系統(tǒng)的結(jié)果推廣到生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)，得到如下結(jié)論：在一個(gè)生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)施產(chǎn)能能夠滿足需求條件下，如再增加一個(gè)生產(chǎn)設(shè)施，采用兩個(gè)并行且產(chǎn)能大致相當(dāng)?shù)纳a(chǎn)設(shè)施來滿足持續(xù)到達(dá)的需求訂單，會(huì)比只采用一個(gè)生產(chǎn)設(shè)施的系統(tǒng)大幅降低訂單系統(tǒng)平均逗留時(shí)間和系統(tǒng)平均訂單數(shù)量；特別是當(dāng)一個(gè)生產(chǎn)設(shè)施的產(chǎn)能利用率較高時(shí)，該降幅效果更加明顯，當(dāng)并行生產(chǎn)設(shè)施數(shù)量繼續(xù)增加，降幅將不再顯著。

以上運(yùn)作系統(tǒng)績(jī)效大幅提升的原因在于采用兩臺(tái)并行服務(wù)器，使系統(tǒng)利用率ρ大幅下降。例如，圖2中的單臺(tái)服務(wù)器系統(tǒng)利用率ρ分別是80%（左邊系統(tǒng)）和50%（右邊系統(tǒng)），采用兩臺(tái)服務(wù)器后，系統(tǒng)利用率分別降為40%和25%。由圖1可知，兩個(gè)生產(chǎn)設(shè)施并行運(yùn)營(yíng)可使生產(chǎn)系統(tǒng)的流程時(shí)間和在制品庫(kù)存大幅下降。這也解釋了前述Zara在原物流中心僅使用50%配送產(chǎn)能的情況下，又花費(fèi)巨資修建另一物流中心的原因。Zara在上世紀(jì)90年代已開始采用豐田的準(zhǔn)時(shí)化生產(chǎn)。而Zara所有自產(chǎn)和外包產(chǎn)品最后都經(jīng)由西班牙的物流中心向全球各個(gè)門店配送，保持較低產(chǎn)能利用率可同時(shí)滿足快速響應(yīng)和低庫(kù)存目標(biāo)。

" 需提醒一下，上述結(jié)論是將M/M/1與M/M/ccgt;1排隊(duì)系統(tǒng)比較后得到的結(jié)論。同理，繼續(xù)分析可以發(fā)現(xiàn)：如果現(xiàn)有任意多個(gè)（例如m個(gè)，m=1，2，…）并行生產(chǎn)設(shè)施，在總產(chǎn)能滿足總需求的情況下（即mμgt;λ），最多只需再增加一個(gè)并行生產(chǎn)設(shè)施（即達(dá)到m+1個(gè)），就可大幅度降低流程時(shí)間和庫(kù)存；當(dāng)并行生產(chǎn)設(shè)施數(shù)量繼續(xù)增加（即達(dá)到m+2，m+3，…），流程時(shí)間和庫(kù)存降幅將不再顯著且逐漸縮小。因此，可大致確定產(chǎn)能的總需要量（即平行生產(chǎn)設(shè)施數(shù)量）為m+1個(gè)。圖3顯示，4個(gè)并行生產(chǎn)設(shè)施剛好滿足ρ=λ/cμlt;1，再增加一個(gè)生產(chǎn)設(shè)施可使訂單系統(tǒng)逗留時(shí)間大幅降低，但繼續(xù)增加生產(chǎn)設(shè)施，效果將不再明顯。

3" M/G/∞系統(tǒng)與產(chǎn)能分配算法

5" 應(yīng)用與結(jié)論

" 該策略的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景是全球供應(yīng)鏈產(chǎn)能優(yōu)化配置。雖然我國(guó)目前在電動(dòng)汽車、光伏板、鋰電池出口方面有了重大突破，但未來外貿(mào)出口仍面臨嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，既要降低制造成本，又要提升訂單響應(yīng)速度，還需考慮西方國(guó)家“脫鉤斷鏈”和“去風(fēng)險(xiǎn)化”給出口帶來的負(fù)面影響。我國(guó)制造企業(yè)應(yīng)未雨綢繆，積極主動(dòng)調(diào)整優(yōu)化現(xiàn)有供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)，而供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)優(yōu)化勢(shì)必涉及產(chǎn)能配置。例如，迫于當(dāng)前外貿(mào)形勢(shì)，一些企業(yè)開始向海外拓展，可能會(huì)在越南、墨西哥、匈牙利和摩洛哥等國(guó)家建立新生產(chǎn)基地，形成國(guó)內(nèi)國(guó)外并行生產(chǎn)的供應(yīng)鏈，協(xié)同滿足全球訂單。由于不同國(guó)家和地區(qū)的需求和生產(chǎn)情況大不相同，本文提出的策略可為總產(chǎn)能及各生產(chǎn)基地產(chǎn)能分配做出估算，為公司供應(yīng)鏈戰(zhàn)略決策提供依據(jù)。

" 綜上所述，發(fā)展新質(zhì)生產(chǎn)力需要對(duì)生產(chǎn)要素進(jìn)行優(yōu)化配置，大幅度提高生產(chǎn)效率。本文專注于產(chǎn)能這種生產(chǎn)要素的優(yōu)化配置策略?；谂抨?duì)模型，提出了生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)產(chǎn)能配置的一條可行策略，該策略分兩步走，第一步是基于M/M/c系統(tǒng)估計(jì)出所需總產(chǎn)能；第二步是采用M/G/∞系統(tǒng)模型得到近似分配計(jì)算公式，把確定后的總產(chǎn)能分配到不同的生產(chǎn)基地。算例也顯示相應(yīng)的計(jì)算簡(jiǎn)單易于實(shí)施，得到的結(jié)果也能幫助做出合理決策。最后提醒一下，雖然本文研究的是多生產(chǎn)基地產(chǎn)能配置問題，但分析思路與得到的策略也同樣適用于服務(wù)、物流與供應(yīng)鏈等生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)。

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收稿日期：2024-03-31

基金項(xiàng)目：國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目“我國(guó)跨國(guó)制造企業(yè)全球供應(yīng)鏈運(yùn)營(yíng)模式及策略研究”（19BGL100）

作者簡(jiǎn)介：林" 兵（1969—），男，江蘇沭陽(yáng)人，江蘇師范大學(xué)商學(xué)院，副教授，博士，研究方向：生產(chǎn)運(yùn)作管理；許建軍（1969—），本文通信作者，男，山東菏澤人，東北財(cái)經(jīng)大學(xué)現(xiàn)代供應(yīng)鏈管理研究院，教授，博士，研究方向：生產(chǎn)運(yùn)作管理。

引文格式：林兵，許建軍. 生產(chǎn)運(yùn)作系統(tǒng)產(chǎn)能配置策略研究[J]. 物流科技，2025，48（7）：93-95，100.