導(dǎo)數(shù)零點是解開函數(shù)奧秘的關(guān)鍵。在高考中，涉及導(dǎo)數(shù)零點的函數(shù)題往往難度較大，想要拿滿分并非易事。只有深入理解導(dǎo)數(shù)零點與函數(shù)極值、單調(diào)性的內(nèi)在聯(lián)系，才能逐步破解難題，穩(wěn)步提高成績。

一、導(dǎo)數(shù)零點——打開函數(shù)極值之門

（一）導(dǎo)數(shù)零點與極值的關(guān)系

導(dǎo)數(shù)零點在函數(shù)極值的探索中扮演著關(guān)鍵角色。人教版教材指出，函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)為零，即意味著該點可能是函數(shù)的極值點。具體而言，若函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)，則該點為極大值點；反之，若函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)由負(fù)變正，則該點為極小值點。

（二）利用導(dǎo)數(shù)零點尋找函數(shù)極值的方法

利用導(dǎo)數(shù)零點尋找函數(shù)極值的方法主要包括以下幾個步驟：首先，通過求導(dǎo)找到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)零點；其次，分析導(dǎo)數(shù)在這些零點附近的符號變化，確定極值點的性質(zhì)；最后，結(jié)合函數(shù)值的計算，確定極值的具體數(shù)值。

二、導(dǎo)數(shù)零點——攻克高考函數(shù)難題的法寶

高考真題中關(guān)于導(dǎo)數(shù)零點的題目往往難度較大，2021年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)第22題“壓軸題”就是一道基于導(dǎo)數(shù)零點與函數(shù)的典型例題。該題要求我們對一個復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性及其零點進行討論。正常來說，通過導(dǎo)數(shù)的運用，即可以有效分析該函數(shù)在不同區(qū)間的單調(diào)性，并由此判斷零點的存在。下面我們整體分析一下該題全貌。

已知函數(shù)。

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）從下面兩個條件中選一個，證明：f（x）有一個零點。

①；②。

詳細(xì)解析：

（1）由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，

若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，

若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，

若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；

（2）若選擇條件①：

由于，故，則，而，

而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.

，

由于，，故。

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上沒有零點。綜上可得，題中的結(jié)論成立。

若選擇條件②：

由于，故，則，

當(dāng)時，，，

而函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上有一個零點。

當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則，

當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，

注意到，故恒成立，從而有，此時：

，

當(dāng)時，，取，

則，即，

而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點。

，

由于，，故，

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點。綜上可得，題中的結(jié)論成立。

縱觀本題，針對函數(shù)的單調(diào)性問題，我們通過計算導(dǎo)函數(shù)得到解析式，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號確定函數(shù)在不同區(qū)間的單調(diào)性。當(dāng)導(dǎo)數(shù)為正時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)導(dǎo)數(shù)為負(fù)時，函數(shù)單調(diào)遞減。細(xì)分多個區(qū)間后，可以準(zhǔn)確繪制函數(shù)圖像的變化趨勢。關(guān)于零點存在性問題，可結(jié)合單調(diào)性和零點定理加以證明。

掌握導(dǎo)數(shù)零點的特征，是深入理解函數(shù)行為的關(guān)鍵。通過剖析導(dǎo)數(shù)零點與函數(shù)極值、單調(diào)性的關(guān)系，我們能將復(fù)雜的題目化繁為簡，在解答此類函數(shù)題型中取得高分。