摘 要：【目的】探索光子晶體的內(nèi)趨膚效應(yīng)，給出用于討論該問(wèn)題的數(shù)值方法?！痉椒ā渴紫?，基于準(zhǔn)正則模式理論，通過(guò)理論推導(dǎo)將準(zhǔn)正則模式應(yīng)用于光子晶體中，給出了提高求解精度的方法。其次，使用謝爾賓斯基分形的建構(gòu)規(guī)律構(gòu)建了拓?fù)渲x爾賓斯基地毯（TSC），并通過(guò)在TSC分形晶格上實(shí)現(xiàn)的模型來(lái)展示ISE這一觀察結(jié)果。最后，針對(duì)NH本征模式問(wèn)題，使用準(zhǔn)正則模式進(jìn)行描述，并針對(duì)一種典型的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。【結(jié)果】在周期性邊界條件（PBC）下，非厄米（NH）趨膚效應(yīng)出現(xiàn)在分形晶格的內(nèi)邊界，即內(nèi)趨膚效應(yīng)（ISE）。趨膚效應(yīng)并不簡(jiǎn)單等同于單一本征模式的疊加，內(nèi)趨膚效應(yīng)是分形結(jié)構(gòu)導(dǎo)致本征模式對(duì)稱性破缺的疊加結(jié)果。【結(jié)論】從準(zhǔn)正則模式分析的角度描繪了理解光子晶體中內(nèi)趨膚效應(yīng)的方法，對(duì)進(jìn)一步探索內(nèi)趨膚效應(yīng)具有重要指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞：內(nèi)趨膚效應(yīng)；非厄米；光子晶體；準(zhǔn)正則模式

中圖分類號(hào)：O439" " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " 文章編號(hào)：1003-5168（2025）04-0079-07

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2025.04.016

Quasi-Normal Modes Analysis of Inner Skin Effects in Two-Dimensional Fractal Photonic Crystals

CHEN Junkun" " ZHAI Yujia" " WANG Yezhuang" " LONG Qing

（School of Physics， Ningxia University， Yinchuan 750000，China）

Abstract： [Purposes] This study aims to investigate the skin effect of photonic crystals， which holds broad application prospects and research value， while the skin effect presents a completely different inner skin effect （ISE） in the fractal structure， which has attracted extensive research and discussion in the academic community. Therefore， we explore the intrinsic skin effect of photonic crystals and give a numerical method to discuss this problem. [Methods] Based on the theory of quasi-normal mode， the application of quasi-canonical mode in photonic crystal is given through theoretical derivation， and the method to improve the solution accuracy is given. The analysis process is summarized as follows： A topological Sierpiński carpet （TSC） is constructed following the Sierpiński fractal principle， and ISE is observed in the TSC fractal lattice model. To address the challenges of NH eigenmodes， a quasi-normal mode framework is employed， with analysis conducted on a representative structure. [Findings] The analysis reveals that under the periodic boundary condition （PBC）， the non-Hermitian （NH） skin effect emerges at the inner boundary of the fractal lattice，referred to as the internal skin effect （ISE）. [Conclusions] The results demonstrate that the inner skin effect is generally not simply equivalent to the superposition of a single eigenmode， and the inner skin effect is the result of the superposition of eigenmode symmetry breaking due to fractal structure. Finally， based on the results discussed above， this paper discusses the nature of quasi-normal modes. It is taken as identifying a set of discrete frequency-dependent complex values.

Keywords： inner skin effects; non-hermitian; photonic crystal; quasi-normal modes

0 引言

在固體結(jié)構(gòu)分類中，對(duì)稱性占據(jù)著非常重要的地位。晶體中存在著3種相對(duì)獨(dú)立的對(duì)稱性，即平移、旋轉(zhuǎn)和反演。而在晶體制約定理的限制下，晶體中能夠存在的與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的對(duì)稱元素有限，即在描述晶體對(duì)稱性的空間群中，晶體點(diǎn)群中轉(zhuǎn)動(dòng)元素只能是[C1]（也就是E）[、C2、C3、C4、C6]，所有轉(zhuǎn)動(dòng)反演元素，只能是[I、IC2、IC3、IC4、IC6]［1］，但這些對(duì)稱性在非晶體和準(zhǔn)晶體中并不存在。分形的自相似性是另一套獨(dú)特的對(duì)稱系統(tǒng)，這會(huì)導(dǎo)致在很多尺度上出現(xiàn)模式重復(fù)［2］。分形的自相似性直接導(dǎo)致了具有分形特征的內(nèi)部邊界出現(xiàn)在了系統(tǒng)的內(nèi)部。由于在分子材料中實(shí)現(xiàn)了量子分形［3］，具有分形特征的內(nèi)部邊界特性也亟待研究。

在包含增益或損失的非厄米系統(tǒng)中，異常點(diǎn)（EP）作為一種特殊的簡(jiǎn)并點(diǎn)，與厄米系統(tǒng)中的惡魔點(diǎn)（DP）顯著不同［4-8］。在n階的EP上，n個(gè)本征能量（特征頻率）和相應(yīng)的能量特征態(tài)（模式）合并［8-11］，這與惡魔點(diǎn)（DP）［12］上只有本征能量合并不同。這意味著EP的形成條件與DP有所不同。EP不僅對(duì)應(yīng)的哈密頓量[H]是非厄米的（[H≠H?]），特征向量也不能保證是正交的。這意味著特征向量不僅僅是特征值簡(jiǎn)并的［13］。目前，有很多學(xué)者對(duì)非厄米系統(tǒng)中的惡魔點(diǎn)DP展開研究。大量研究發(fā)現(xiàn)，惡魔點(diǎn)在非厄米微擾下會(huì)分裂成EP［14-16］。非厄米晶格中的狄拉克點(diǎn)dirac point會(huì)變成一個(gè)EP環(huán)［14］或兩個(gè)EP［15］，而三維（3D）晶格中的外爾點(diǎn)Weyl point能變成一個(gè)EP環(huán)［16］。

在特定頻率范圍內(nèi)，非厄米（NH）晶體、準(zhǔn)晶體和非晶網(wǎng)絡(luò)在其與真空接觸的特定界面附近會(huì)表現(xiàn)出大量態(tài)的積累，所有本征模態(tài)都趨向于成為邊緣狀態(tài)，這種現(xiàn)象被稱為趨膚效應(yīng)（SE）［17-20］。這一現(xiàn)象的發(fā)生與非厄米系統(tǒng)中唯一的復(fù)特征值的拓?fù)湫再|(zhì)密切相關(guān)。需要注意的是，NH趨膚效應(yīng)一般只在開放邊界條件下才能觀察到［21-28］，這一特性進(jìn)一步表明邊界條件對(duì)非厄米系統(tǒng)中的物理行為起著關(guān)鍵作用。而在周期性邊界條件下，系統(tǒng)沿布里淵區(qū)（BZ）特定線的波數(shù)k的PBC特征值在復(fù)平面中形成光譜區(qū)域，NHSE就能存在于二維（2D）非厄米系統(tǒng)中［29］。這種趨膚效應(yīng)就是幾何依賴的趨膚效應(yīng)。從對(duì)稱性的角度來(lái)看，幾何依賴的趨膚效應(yīng)顯然要求幾何對(duì)稱性和晶格對(duì)稱性不匹配［29-30］。關(guān)于非厄米晶體，鮮有文章研究具有分形特征的內(nèi)部邊界特性。因此，本研究基于謝爾賓斯基地毯的分形構(gòu)建規(guī)律［31］，構(gòu)建了一個(gè)拓?fù)渲x爾賓斯基地毯（TSC），并分析了該種結(jié)構(gòu)的光子晶體的內(nèi)趨膚效應(yīng)（ISEs）。使用法國(guó)波爾多大學(xué)研發(fā)的MAN（Modal Analysis of Nanoresonators） ［32］進(jìn)行模式分析。分析結(jié)果表明，ISEs由模型哈密頓量捕獲。對(duì)于上述色散問(wèn)題的求解，即準(zhǔn)正則模式（QNM，Quasi-Normal Model）問(wèn)題，采用WKB方法，基于主方程和薛定諤方程之間的類比求解。以Schulz和Will的工作為基礎(chǔ)，通過(guò)研究函數(shù)Q（x）在3個(gè)區(qū)域中的行為，找到他們之間的匹配條件。而根據(jù)Born-Sommerfield 量子化條件，方程 [Q]取決于頻率[ω]，它標(biāo)識(shí)一組離散的復(fù)數(shù)值，即準(zhǔn)正態(tài)模頻率。

1 拓?fù)渲x爾賓斯基地毯

拓?fù)浞中胃褡幽Ｐ鸵娛剑?）。

[S=i=13ψi（S）] （1）

式中：[S??2]是最小的非空集合；[ψ1，ψ2，ψ3]均為[?2→?2]是仿射映射（affine maps），3者的表示見式（2）。

[ψ1（x，y）=（x/2，y/2）ψ2（x，y）=（x/2+1/2，y/2）ψ3（x，y）=（x/2+1/4，y/2+√3/4）] （2）

上述集合在很多文獻(xiàn)中也被稱為Sierpinski gasket，簡(jiǎn)寫為[SG2]。

基于帕斯卡三角的拓?fù)渥儞Q，即二進(jìn)制帕斯卡三角可用于構(gòu)建謝爾賓斯基三角［34］。具體而言，可在帕斯卡三角中，根據(jù)每個(gè)元素的奇偶性，為每個(gè)元素分配一個(gè)0或1的二進(jìn)制數(shù)，使其構(gòu)成一個(gè)二進(jìn)制帕斯卡三角。隨著帕斯卡三角逐行遞推，其二元結(jié)構(gòu)收斂于Sierpinski分形。

基于上述謝爾賓斯基地毯的分形構(gòu)建規(guī)律，對(duì)謝爾賓斯基三角進(jìn)行拓?fù)?，?gòu)建拓?fù)浞中胃褡幽Ｐ瓦^(guò)程如圖1所示。構(gòu)建出謝爾賓斯基等腰直角三角形（Sierpinski isosceles right triangle，SIRT）晶格結(jié)構(gòu)，并對(duì)SIRT以斜邊（hypotenuse）為鏡面進(jìn)行鏡像反演后，再平移構(gòu)建出一個(gè)新的SIRT，這兩個(gè)SIRT共同構(gòu)成了一個(gè)拓?fù)渲x爾賓斯基地毯（TSC）。

2 內(nèi)趨膚效應(yīng)

ISEs模型哈密頓量描述為[HFO=H0+HNH]，其中H0表示見式（3）。

[H0=j≠kFrjk2c?j?itcos?jkΓ1+sin?jkΓ2+t0Γ3ck?jc?jm0Γ3cjHNH=ic?j（h?Γ）cj≡ic?j?xΓ1+?yΓ2+?zΓ3cj，（3）]

式中：[i=?1，cj=cjα，cjβ?，cjα] 是位點(diǎn) [j] 和軌道[α]上的費(fèi)米子湮滅算子，且[Γμ=τμ]，其中[μ=1，2，3]；向量泡利矩陣 [τ] 作用于軌道的指數(shù)； [j] 和 [k]為位點(diǎn)之間的跳躍強(qiáng)度，分別在[rj]和[rk]處的增強(qiáng)見式（4）。

[Frjk=Θrjk?Rexp1?rjkr0] （4）

為確保位點(diǎn)之間連接良好，尤其是在缺乏平移對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的情況下， [rjk=∣rj?] [rk∣] 是距離；[?jk] 是二者間的方位角； [R] 控制跳頻范圍；[r0] 是衰減長(zhǎng)度。[HNH]很好地描述了通常與動(dòng)量無(wú)關(guān)的NH耦合。光子晶體示意圖如圖2所示，方形晶格上的非厄米（NH）趨膚效應(yīng)如圖3所示。

由圖3（a）可知，在具有OBC的方形晶格上，上述模型顯示了h=（hx，0，0）時(shí)左外邊緣的NH趨膚效應(yīng)。由圖3（b）可知，當(dāng)PBC在x方向或x和y兩個(gè)方向時(shí)，系統(tǒng)中的任何地方都沒有趨膚效應(yīng)；當(dāng)h=（0，hy，0）時(shí)，x和y方向的作用顛倒了。相比之下，對(duì)于h=（0，0，hz），無(wú)論邊界條件如何，都沒有趨膚效應(yīng)。因此，將hz=0設(shè)置為后面的討論。拓?fù)渲x爾賓斯基地毯（TSC）分形上的非厄米（NH）趨膚效應(yīng)如圖4所示。

由圖4（a）可知，在具有OBC的SC上，情況與正方形晶格上的情況類似，也是在外邊緣顯示NH趨膚效應(yīng)。但是，在x方向h =（hx，0，0）施加PBC時(shí)，情況則大為不同。本征模式的權(quán)重在分形晶格的內(nèi)部堆積，表現(xiàn)為ISE。圖4（a）的復(fù)平面展開如圖5所示。

3 準(zhǔn)正則模式理論及其在光子晶體中的應(yīng)用

由色散或非色散介質(zhì)或兩者組成的局域諧振器的QNM被定義為無(wú)源麥克斯韋方程組的時(shí)間諧波解［32］，見式（5）。

[0?iμ?10?×iεωm?1?×0][HmEm=ωmHmEm] （5）

式中：[εωm]為復(fù)頻率[ωm]處的介電常數(shù)；[μ0]為真空磁導(dǎo)率，假設(shè)時(shí)間諧波場(chǎng)依賴于[exp?iωmt]。由電場(chǎng)[Em]和磁場(chǎng)向量[Hm]定義的準(zhǔn)正常模（QNMs），滿足出射波條件，具有復(fù)頻率[ωm]和品質(zhì)因子[Qm=?12Reωm/Imωm]，并在結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)離處呈指數(shù)增長(zhǎng)。

對(duì)于色散材料，存在一個(gè)困難，由于式（5）的特征問(wèn)題不再定義一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的線性特征問(wèn)題。這種非線性主要源于在構(gòu)成關(guān)系中消除的隱藏變量，具有特殊的性質(zhì)。在光學(xué)頻率下，大多數(shù)材料性質(zhì)可以用標(biāo)準(zhǔn)的N極洛倫茲-杜德關(guān)系進(jìn)行建模，即[ε（ω）=ε∞?] [ε∞iω2p，iω2?ω20，i+iωγi?1]，其中，[ωp，i]為等離子體頻率，[γi]為阻尼系數(shù)，[ω0，i]為共振頻率。例如，在金屬中，帶內(nèi)轉(zhuǎn)變產(chǎn)生由杜德極點(diǎn)[ω0，i=0]表征的自由電子行為，而帶間轉(zhuǎn)變則由洛倫茲極點(diǎn) [ω0，i≠0] 嚴(yán)格表示。對(duì)于洛倫茲-杜德材料的非線性特征問(wèn)題，可以通過(guò)重新引入隱藏的輔助場(chǎng)，例如，極化[Pi=?ε∞ω2p，iω2?ω20，i+iωγi?1E]和電流[Ji=?iωPi]，將其轉(zhuǎn)換為線性形式。為簡(jiǎn)化符號(hào)，考慮一個(gè)單一的洛倫茲極點(diǎn)介電常數(shù)，并將增廣特征向量表示為[Ψm=] [Hm，Em，Pm，JmT]，式（5）被重述為線性形式，見式（6）。

[HΨm=0?iμ?10?×00iε?1∞?×00?iε?1∞000i0iω2pε∞?iω20?iγΨm=ωmΨm，] （6）

在洛倫茲材料子空間中，可得到?jīng)]有輔助場(chǎng)的常規(guī)形式。

先定義一個(gè)[4×4]的矩陣，見式（7）。

[Σn=0σnσn0， n=0，1，2，3.] （7）

式中：[σn]為泡利（Pauli）矩陣，n=1，2，3；[σ0]是[2×2]的單位矩陣。

再定義一個(gè)[4×4]的非厄米矩陣為H，矩陣滿足贗厄米性條件（pseudo-Hermiticity condition）［33］，見式（8）。

[Σ0HΣ0=H?] （8）

反PT（anti-PT）對(duì)稱條件見式（9）。

[{H，Σ3Σ1T}=0] （9）

式中：T為復(fù)共軛算符。

第一個(gè)條件，Eq（2），意味著H的特征值是實(shí)數(shù)或出現(xiàn)在復(fù)共軛對(duì)中［33］。

第二個(gè)條件，Eq（3）表明，特征向量構(gòu)成正交對(duì)；這意味著，如果[|ψ+〉]是[H]的特征值為[E+]的特征向量，則[|ψ?〉=Σ1Σ3T|ψ〉]是特征值為[?E?]的特征向量。| ψ +〉和| ψ -〉可以被證明是正交的，見式（10）。

[〈ψ+|ψ?〉][=n=14（ψn+）?ψn?=0] （10）

[證明：H|ψ=E|ψΣ1Σ3TH|ψ=E?Σ1Σ3T|ψ=?Σ3Σ1TH|ψ=HΣ3Σ1T|ψ?HΣ1Σ3T|ψ=?E?Σ1Σ3T|ψ]

因此，對(duì)任意兩階分量[|φ〉]，[〈][φ|σ2T|φ〉]=0

通過(guò)對(duì)主方程和薛定諤方程之間的類比，可考慮使用WKB方法求解。WKB方法是一種半解析方法，以Schulz和Will的工作［35］為基礎(chǔ)，考慮下列微分方程問(wèn)題，見式（11）。

[d2ψ（x）dx2+Q（x）ψ（x）=0] （11）

式中：[Q（x）=k20n2（x）?β2]，[k0=ωε0μ0]。[β]為該模式沿z方向的傳播常數(shù)，函數(shù)[ψ（x）]取決于時(shí)間[（～e?iωt）]，函數(shù)Q（x）如圖6所示。

函數(shù)[?Q（x）]取決于坐標(biāo)，極值出現(xiàn)在[x=0]處，

在域的兩端趨近于常數(shù)[Q（x）→α，Re（α）gt;0]。因此，解見式（12）。

[d2ψ（x）dx2+αψ（x）=0， ? ψ（x）～e±iαx， |x|→∞] （12）

式中：[e±iαx]對(duì)應(yīng)[±∞]。WKB方法的主要思路是研究函數(shù)Q（x）在三個(gè)區(qū)域中的行為，找到其的匹配條件。區(qū)域 1、2、3和轉(zhuǎn)折點(diǎn)[x1、x2]的圖形表示如圖6所示，其中[，Q（x1）=Q（x2）=0]。在第一和第三區(qū)域，可以通過(guò)解析找到主方程的解［36］，見式（13）。

[Qx=Q?1/4xexp±ix1xdxQ（x），區(qū)域1Q?1/4xexp±ixx2dxQ（x），區(qū)域3]（13）

通過(guò)將這些解決方案與區(qū)域2相匹配，該區(qū)域以 [Qx=0→β2=ε0μ0ω2n2（x）=V]的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界。WKB 方法在[x1，x2]接近時(shí)效果更好，[x1，x2]接近使得當(dāng) [|Q（±∞）|??Qx0] 時(shí)[V0～ω2]。根據(jù)漸進(jìn)方法和擾動(dòng)理論［36］，用拋物線近似這個(gè)中心區(qū)域的 [Q（x）]，見式（14）。

[Qx=Q0+12Q''0x?x02+Ox?x03] （14）

式中：[Q0lt;0] ， [Q''0gt;0]?，F(xiàn)在引入新的變量 [t=（4κ）1/4eiπ/4x?x0]， 其中 [κ=Q''0/2]， 在此情況下， [dt=（4κ）1/4eiπ/4dx] ，且[Q（t）=Q0+122κt2（4κ）1/2eiπ/2]，對(duì)方程（11）進(jìn)行改寫，見式（15）。

[d2ψ（t）dt2（4κ）1/2eiπ/2+Q0+122κt2（4κ）1/2eiπ/2ψ（t）=0，?d2ψ（t）dt2+?iQ02Q''01/2?t24ψ（t）=0.]

進(jìn)一步引入?yún)?shù) [ν=?12?iQ02Q''01/2]，使得式（16）成立。

[d2ψdt2+ν+12?t24ψ（t）=0] （16）

其解是拋物線函數(shù)和圓柱函數(shù)的組合[Dν（t）]，見式（17）。

[ψ（t）=ADν（t）+BD?1?ν（it）] （17）

利用這些函數(shù)的漸近特性，見式（18）。

[ψ～c1（1?i）νeiπν/2κν/4x?x0νe?iκ1/2x?x02/2]

[+e?34iπν2?ν/2κ?（1+ν）/4x??x0?1?νc2?c1ie?iπν/22πΓ（?ν）eiκ1/2x?x02/2]

式中：[c1，2] 為積分常數(shù)； [Γ（ν）] 為歐拉伽馬函數(shù)。邊界條件要求在無(wú)窮遠(yuǎn)處模態(tài)為零，這意味著 [c2=0] ，并且 [Γ（?ν）=∞]。 如果[ν] 是整數(shù)，則后者成立。此要求會(huì)自動(dòng)轉(zhuǎn)換為 Born-Sommerfield 量子化條件，見式（19）。

[Q02Q''0=in+12， n=0，1，2，…] （19）

方程 [Q]取決于頻率[ω]，因此方程（19）變成一個(gè)代數(shù)關(guān)系，其標(biāo)識(shí)一組離散的復(fù)數(shù)值，即準(zhǔn)正態(tài)模頻率。考慮函數(shù)[?Q（x）]在區(qū)域2中的不同近似，并考慮超越二次展開的高階近似，可以提高WKB方法的精度［37］。

4 結(jié)語(yǔ)

本研究基于準(zhǔn)正則模式理論完善了描述光子晶體結(jié)構(gòu)內(nèi)趨膚效應(yīng)的理論方法，并指出趨膚效應(yīng)一般并不簡(jiǎn)單等同于單一本征模式的疊加，內(nèi)趨膚效應(yīng)是結(jié)構(gòu)本征模式對(duì)稱性破缺的疊加結(jié)果。對(duì)于對(duì)稱性破缺的本征模式，定義了正交的復(fù)共軛對(duì)，使其任意兩階分量[|φ〉滿足〈φ|σ2T|φ〉=0]。針對(duì)拓?fù)渲x爾賓斯基地毯（TSC），展示了具有PBC的TSC分形晶格內(nèi)部的集膚效應(yīng)（ISE）。使用MAN（Modal Analysis of Nanoresonators）進(jìn)行分析，表明ISE由模型哈密頓量捕獲。對(duì)于上述色散問(wèn)題的求解，通過(guò)WKB方法，基于主方程和薛定諤方程之間的類比求解。以Schulz和Will的工作為基礎(chǔ)，通過(guò)研究函數(shù)Q（x）在三個(gè)區(qū)域中的行為，找到其匹配條件。而根據(jù)Born-Sommerfield 量子化條件，方程 [Q]取決于頻率[ω]，它標(biāo)識(shí)一組離散的復(fù)數(shù)值，即準(zhǔn)正態(tài)模頻率。本研究從準(zhǔn)正則模式分析的角度描繪了理解光子晶體中內(nèi)趨膚效應(yīng)的方法，對(duì)進(jìn)一步探索內(nèi)趨膚效應(yīng)具有重要指導(dǎo)作用。

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