摘 要：【目的】研究雙憶阻器在分數(shù)階混沌系統(tǒng)的動力學特性及電路實現(xiàn)?！痉椒ā渴紫龋哉麛?shù)階混沌系統(tǒng)為基礎(chǔ)，引入雙憶阻器，構(gòu)造新的雙憶阻器混沌系統(tǒng)，增加混沌系統(tǒng)復雜性。其次，以雙憶阻器混沌系統(tǒng)為研究對象，利用Adomian分解法對該系統(tǒng)進行分數(shù)階分解處理，擴展整數(shù)階次，并使用LE指數(shù)圖、分岔圖、相圖和[C0]復雜度不僅對雙憶阻器混沌系統(tǒng)動力學行為進行分析。最后，利用鏈型阻容分抗電路及0.95階次傳遞函數(shù)近似出分數(shù)階電路，并進行Multisim仿真分析?！窘Y(jié)果】結(jié)果表明，雙憶阻器混沌系統(tǒng)對初值及憶阻器參數(shù)具有高度敏感性，且具有吸引子共存對稱性、吸引子相似對稱性和多態(tài)轉(zhuǎn)移特性?！窘Y(jié)論】對雙憶阻器混沌系統(tǒng)進行分析，發(fā)現(xiàn)初值及參數(shù)對敏感性影響較大，可增強系統(tǒng)復雜性，實現(xiàn)系統(tǒng)從數(shù)學模型到分數(shù)階混沌電路模型的轉(zhuǎn)換。

關(guān)鍵詞：雙憶阻器；分數(shù)階分解；混沌電路

中圖分類號：TN60；O415.5；TP273" 文獻標志碼：A" 文章編號：1003-5168（2025）04-0009-05

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2025.04.002

Fractional Order Analysis and Circuit Design of Double Memristor

Chaotic System

HE Na DAI Wenpeng

（School of Ocean Engineering， Yantai Institute of Science and Technology， Yantai 265600， China）

Abstract：[Purposes] This paper aims to study the dynamic characteristics and circuit implementation of dual memristor in fractional-order chaotic system. [Methods] Based on the integer order chaotic system， a new chaotic system with double memristors is constructed， which increases the complexity of the chaotic system， the integral order is extended by using the Adomian decomposition method， and the system dynamics behavior is analyzed by using LE exponent diagram， bifurcation diagram， phase diagram and complexity. The fractional order circuit is approximated by the chain resistive-capacitive reactance circuit and the 0.95 order transfer function， and Multisim simulation is carried out. [Findings] The results show that the system is highly sensitive to the initial value and the parameters of the memristor， and has the symmetries of attractors， the symmetries of attractors and the properties of polymorphic transfer.[Conclusions] By analyzing the chaotic system with dual memristor， it is found that the initial values and parameters have great influence， which can enhance the complexity of the system and realize the transformation from the mathematical model to the fractional order chaotic circuit model.

Keywords： dual memristor; fractional order decomposition; chaotic circuit

0 引言

混沌系統(tǒng)模型是一種描述復雜動態(tài)系統(tǒng)行為的數(shù)學模型，其復雜性主要體現(xiàn)在系統(tǒng)中非線性項作用上。非線性項意味著系統(tǒng)輸出與輸入不是簡單線性函數(shù)，而是有著更復雜關(guān)系。為了研究和理解這種復雜性，學者們通常會改變這些非線性項或?qū)⒒煦缦到y(tǒng)與其他函數(shù)結(jié)合起來，從而探索系統(tǒng)的行為變化和內(nèi)在規(guī)律。通常會根據(jù)量子糾纏思想［1］對糾纏混沌系統(tǒng)［2］進行構(gòu)建，增加方程維數(shù)變?yōu)槌煦缦祷蚺c形似特性器件進行融合創(chuàng)新，如憶阻混沌系統(tǒng)等［3］。

1971年，蔡紹棠根據(jù)磁通與電荷關(guān)系，首次提出非線性無源憶阻器。2008年，惠普實驗室制作出納米憶阻器［4］。此后，利用憶阻器非線性特點構(gòu)建混沌系統(tǒng)成為研究熱點，不同結(jié)構(gòu)與類型的憶阻混沌系統(tǒng)被相繼提出。全旭等［5］將二次型磁控憶阻器引入到三維混沌系統(tǒng)，構(gòu)建多翼憶阻超混沌系統(tǒng)；曹可等［6］構(gòu)造具有無限平衡點的磁控憶阻混沌系統(tǒng)；王徐盱等［7］構(gòu)造多共存吸引子憶阻混沌系統(tǒng)；唐利紅等［8］設(shè)計憶阻Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡等效電路；李曉霞等［9］在Yang系統(tǒng)中構(gòu)建憶阻多渦卷混沌系統(tǒng)；吳朝俊等［10］利用憶阻器與蔡氏電路設(shè)計出分數(shù)階憶阻混沌電路。然而，工程中的實際模型具有更高的復雜性，因此研究多憶阻器分數(shù)階混沌特性變得更為重要。

本研究以Liu-Chen混沌系統(tǒng)模型為基礎(chǔ)，構(gòu)造新分數(shù)階雙憶阻混沌系統(tǒng)，利用Adomian算法進行計算，運用混沌分析方法對系統(tǒng)行為進行分析，并設(shè)計分數(shù)階電路。系統(tǒng)的多態(tài)特性驗證了初值及憶阻器參數(shù)的高度敏感性，混沌電路仿真結(jié)果則表明了混沌電路的可實現(xiàn)性。

1 系統(tǒng)分析

王將等［11］提出二次光滑磁控憶阻模型，該模型的表示見式（1）。

[q（φ）=αφ+βφ2]" " " " " " "（1）

式中：[q（φ）]為磁控憶阻；[φ]為磁通量；[α]、[β]均為憶阻內(nèi)部參數(shù)。

憶導描述的是憶阻器內(nèi)部磁通量與電荷間的關(guān)系，是理解憶阻器動態(tài)行為的關(guān)鍵，其模型的表示見式（2）。

[W（φ）=dq（φ）dφ=α+2βφ]" " "（2）

將憶阻器引入到Liu-Chen［12］混沌系統(tǒng)的第一個方程和第二個方程中，增補憶阻器內(nèi)部方程，進行分數(shù)階處理，得到憶阻器Liu-Chen分數(shù)階混沌系統(tǒng)方程見式（3）。

[dq1xdtq1=ax-yz+（k1+2k2w）ydq2ydtq2=-by+xz+（k1+2k2w）xdq3zdtq3=-cz+xydq4wdtq4=d1x+d2y] （3）

2 參數(shù)影響

2.1 系統(tǒng)初值敏感性

系統(tǒng)初值敏感性受憶阻器影響，表現(xiàn)出現(xiàn)共存對稱吸引子現(xiàn)象。當[a=3.25]、[b=13]、[c=1]、[k1=0.4]、[k2=0.4]、[d1=0.1]、[d2=0.1]、[q=0.98]，初值[w0∈[-20， 20]]，則系統(tǒng)的LE指數(shù)圖、分岔圖及[C0]復雜度圖分別如圖1（a）（b）（c）所示。由圖1（a）（b）（c）可知，系統(tǒng)是以0為對稱點，由對稱點向正負半軸呈現(xiàn)出由混沌演化為周期，繼而進入混沌的對稱狀態(tài)分布，且復雜度在對稱點0附近較復雜，下降到最低點后由對稱點向正負半軸逐漸上升。為了驗證上述分析，分別做初值[（1， 0.3， 0.3， ±0.4）]共存混沌吸引子如圖1（d）所示、初值[（1， 0.3， 0.3， ±5.5）]共存周期吸引子如圖1（e）所示、初值[（1，0.3，0.3，±20）]共存混沌吸引子如圖1（f）所示，由圖1（d）（e）（f）可知，吸引子呈現(xiàn)中心對稱性，分析與結(jié)果一致。

2.2 雙憶阻器參數(shù)敏感性

雙憶阻器參數(shù)敏感性分析表明，憶阻器電阻狀態(tài)轉(zhuǎn)換對溫度、電壓和電流等參數(shù)存在依賴性，包括溫度敏感性（溫度變化會影響憶阻器導電性能，導致電阻狀態(tài)變化）、電壓敏感性（電壓幅值和波形對憶阻器狀態(tài)轉(zhuǎn)換有顯著影響）、電流敏感性（電流密度和脈沖寬度對憶阻器電阻狀態(tài)有重要作用）、材料敏感性（不同材料的憶阻器對參數(shù)的敏感程度不同）、結(jié)構(gòu)敏感性（憶阻器的微觀結(jié)構(gòu)也會影響參數(shù)敏感性）。

除電阻相關(guān)參數(shù)對雙憶阻器敏感性影響外，其自身的參數(shù)變化也會對敏感性產(chǎn)生較大影響。為充分研究系統(tǒng)雙憶阻器參數(shù)敏感特性，通過LE指數(shù)圖、分岔圖及雙參復雜度圖對[d1]、[d2]、[k1]、[k2]進行分析。研究[d1∈0，5]對系統(tǒng)影響時，取[a=3.25]、[b]=13、[c=1]、[d2=0.1]、[k1=0.4]、[k2=0.4]、[q=0.98]，對系統(tǒng)LE指數(shù)圖（見圖2（a））與分岔圖（見圖2（b））分析后發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)由擬混沌進入混沌。研究[d2∈-2，2]對系統(tǒng)影響時，取[a=3.25]、[b=13]、[c=1]、[d1=0.1]、[k1=0.4]、[k2=0.4]、[q=0.98]，觀察系統(tǒng)LE指數(shù)圖（見圖2（c））與分岔圖（見圖2（d）），得出系統(tǒng)整體屬于混沌態(tài)，但該混沌態(tài)在[d2∈-1.5，1.5]上具有一定的相似對稱特性，并且[d2]對于系統(tǒng)敏感性表現(xiàn)為動力學多態(tài)特性豐富。

同理，為探究[k1∈0，15]對系統(tǒng)影響，取a=3.25、[b=13]、[c=1]、[d1=0.1]、[d2=0.1]、[k2=0.4]、q=0.98，對系統(tǒng)LE指數(shù)圖（見圖3（a））與分岔圖（見圖3（b））分析后發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)由弱混沌進入周期再進入混沌狀態(tài)。研究[k2∈0，6]對系統(tǒng)影響時，取[a=3.25]、[b=13]、[c=1]、[d1=0.1]、[d2=0.1]、[k1=0.4]、[q=0.98]，對系統(tǒng)LE指數(shù)圖（見圖3（c））與分岔圖（見圖3（d））分析后發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)由混沌進入周期再進入混沌狀態(tài)。

當[k1∈0，15]、[k2∈0，6]雙參數(shù)變化時，對系統(tǒng)[C0]復雜度（見圖3（e））分析后發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)高復雜度主要集中在[k2∈3.5，6]區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)受[k2]影響敏感，隨著[k2]變化也表現(xiàn)出多態(tài)變化，分析[k2]隨時間變化的時域圖與相圖（見圖3（f）），發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)隨著時間變化由雙渦卷混沌態(tài)演變?yōu)槎鄿u卷混沌態(tài)。

3 系統(tǒng)電路設(shè)計

根據(jù)孫克輝等［13］提出的頻率近似法，2 dB的0.95階傳遞函數(shù)近似式見式（4）。

[H（S）=1.283 1S2+18.600 4S+2.083 3S3+18.473 8S2+2.654 7S+0.003]" （4）

鏈型阻容分抗電路的復頻率表達見式（5）。

[H（S）=R1SC1R1+1+R2SC2R2+1+R3SC3R3+1]（5）

得出誤差2 dB的[1S0.95]的電路如圖4所示。

混沌電路是一種能產(chǎn)生復雜、非周期性，且不可預測行為的電子電路，這種電路在數(shù)學上屬混沌理論的研究范疇。

系統(tǒng)電路主要包含三個部分：前級加法器、中間間級0.95階微分電路和后級反相跟隨器橋接。通過模擬設(shè)計生成一種系統(tǒng)電路，能模擬混沌行為。由于電路中使用乘法器和集成運算放大器（集成運放），于是將這些器件的電源電壓設(shè)定為±15 V。為確保電路正常工作，既要將輸入信號的幅值縮小至原來的1/10，又要考慮實際的器件參數(shù)，以保證電路的性能和穩(wěn)定性。

其中，利用加法器將兩個或多個信號相加，輸出其總和。微分電路能對輸入信號進行微分運算，響應信號變化率，即變化速度。反相跟隨器橋接是一種電子電路，能提供與輸入信號相同幅度但相位相反的輸出信號。而橋接通常指的是電路中的一種連接方式，用于連接不同的電路部分。集成運算放大器（集成運放）是一種廣泛應用的電子組件，具有高增益、高輸入阻抗和低輸出阻抗的特點，能進行多種信號處理任務。

對設(shè)計的電路進行Multisim仿真，利用示波器捕獲電壓相圖，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)數(shù)值仿真與實際相圖結(jié)果高度吻合，從而證實混沌電路的可實現(xiàn)性。

為進一步優(yōu)化電路設(shè)計，考慮引入反饋機制，通過調(diào)整反饋系數(shù)來控制電路混沌行為。反饋機制的引入不僅能增強電路的混沌特性，還能提高電路對初始條件的敏感性，從而使電路在更寬的參數(shù)范圍內(nèi)表現(xiàn)出混沌行為。此外，反饋還可用于穩(wěn)定電路的某些特定狀態(tài)，為混沌電路的應用提供更多的可能性。

在實際應用中，混沌電路可用于信號加密、隨機數(shù)生成、生物醫(yī)學信號處理等領(lǐng)域。例如，在信號加密中，混沌電路產(chǎn)生的復雜信號可作為密鑰，與需要加密的信號混合，提高信號的安全性。在隨機數(shù)生成方面，混沌電路的非周期性和不可預測性使其成為生成高質(zhì)量隨機數(shù)的理想選擇。而在生物醫(yī)學信號處理中，混沌電路可用于模擬生物體內(nèi)的復雜動態(tài)過程，為研究和診斷提供幫助。

綜上所述，通過精心設(shè)計和調(diào)整，混沌電路不僅能模擬復雜的動態(tài)行為，還能在多個領(lǐng)域中發(fā)揮重要作用。隨著混沌理論和電路設(shè)計技術(shù)的不斷發(fā)展，混沌電路的應用前景將更加廣闊。

4 結(jié)語

雙憶阻器混沌系統(tǒng)的高敏感性受初值及憶阻器參數(shù)的影響較大，系統(tǒng)豐富特性表現(xiàn)為吸引子共存對稱性、吸引子相似對稱性及多態(tài)轉(zhuǎn)移特性，增強了系統(tǒng)的復雜性，便于雙憶阻器混沌系統(tǒng)在實際中的應用，實現(xiàn)系統(tǒng)從數(shù)學模型到分數(shù)階混沌電路模型的轉(zhuǎn)換。

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