摘" 要： 目前對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析主要使用小信號(hào)分析方法，但當(dāng)大信號(hào)擾動(dòng)發(fā)生時(shí)，電力系統(tǒng)內(nèi)在的非線性無(wú)法忽略，小信號(hào)分析方法的有效性值得商榷。在大信號(hào)擾動(dòng)時(shí)，構(gòu)造合理的暫態(tài)能量函數(shù)并確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（臨界能量），從而確定穩(wěn)定域并非易事。為此，提出一種基于多項(xiàng)式表達(dá)的平方和方法來(lái)估計(jì)電力系統(tǒng)的穩(wěn)定域。該方法將電力系統(tǒng)通過(guò)多項(xiàng)式近似的方式表達(dá)，利用平方和方法將李雅譜諾夫函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的可行解問(wèn)題，通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到構(gòu)造的李雅譜諾夫函數(shù)，再通過(guò)優(yōu)化計(jì)算得到穩(wěn)定域的邊界。最后采用數(shù)值算例驗(yàn)證了所提估計(jì)方法的可行性和有效性。

關(guān)鍵詞： 電力系統(tǒng)； 穩(wěn)定域； 平方和方法； 多項(xiàng)式近似； 李雅譜諾夫函數(shù)； 線性矩陣不等式； 算例驗(yàn)證

中圖分類號(hào)： TN911.1?34； TM712" " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A" " " " " " " " " " 文章編號(hào)： 1004?373X（2025）04?0097?05

Power system ROA estimation based on SOS

ZHANG Weiwei， LI Zhaoming， SHI Hongtao， GAO Feng， ZHANG Bai

（School of Electrical and Information Engineering， North Minzu University， Yinchuan 750021， China）

Abstract： The existing research on stability analysis of power system mostly focuses on small?signal analysis methods. However， when large?signal disturbances occur， the intrinsic nonlinearity of the power system becomes inevitable， so that the small?signal analysis method may be no longer valid. How to construct a reasonable transient energy function and determine the function value （critical energy） corresponding to the critical stability of the system to determine the region?of?attraction （ROA） is not easy when large?signal disturbances occur. The sum of squares （SOS） method based on polynomial expression is proposed to estimate ROA of power system. In this method， the power system can be expressed by means of polynomial approximation. The construction problem of Lyapunov function is transformed into the feasible solution problem of linear matrix inequalities by means of SOS method. The constructed Lyapunov function is obtained by means of numerical calculation， and the boundary of ROA is obtained by means of the optimization calculation. The numerical examples verify the feasibility and effectiveness of the proposed method.

Keywords： power system; region?of?attraction; sum of squares method; polynomial approximation; Lyapunov function; linear matrix inequality; example verification

0" 引" 言

伴隨新能源的迅猛發(fā)展，高比例可再生能源經(jīng)電力電子接口匯集并網(wǎng)，新能源的波動(dòng)性與電力電子的混雜控制改變了電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，經(jīng)典穩(wěn)定性定義和分析方法亟需擴(kuò)展[1?2]。

目前針對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定的研究主要借鑒經(jīng)典的暫態(tài)穩(wěn)定性分析方法，即等面積法和能量函數(shù)法[3?4]。但是，上述兩種方法均忽略了電力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中存在的非線性項(xiàng)，導(dǎo)致穩(wěn)定性判定結(jié)果既可能保守又可能冒進(jìn)。同時(shí)，時(shí)域仿真法存在計(jì)算速度慢、不能給出穩(wěn)定裕度的缺點(diǎn)。

李雅普諾夫直接法在定量分析非線性系統(tǒng)的大范圍穩(wěn)定性方面具有優(yōu)勢(shì)，通過(guò)構(gòu)造暫態(tài)能量函數(shù)，從系統(tǒng)能量的角度出發(fā)，可以在不計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的前提下進(jìn)行穩(wěn)定分析和判斷，得到了長(zhǎng)足的發(fā)展[5?9]。首次積分法[2，7]、Zubov方法[8]、模態(tài)解耦方法[9]等常用來(lái)構(gòu)造能量函數(shù)。但是對(duì)于電力系統(tǒng)而言，構(gòu)造合理的暫態(tài)能量函數(shù)并確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（臨界能量），從而確定穩(wěn)定域并非易事。一方面，由于電力系統(tǒng)的復(fù)雜性，建立的數(shù)學(xué)模型通常都簡(jiǎn)化為二階經(jīng)典模型，采用候選的二次李雅普諾夫函數(shù)，對(duì)穩(wěn)定域的估計(jì)通常偏于保守；當(dāng)電力系統(tǒng)模型階次較高或者非線性較復(fù)雜時(shí)，很難找到合適的候選李雅普諾夫函數(shù)；另一方面，電力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)隨著潮流遷移，通過(guò)坐標(biāo)平移將平衡點(diǎn)平移到零平衡點(diǎn)很難進(jìn)行分析，通常假設(shè)其平衡點(diǎn)變化很小，只在特定的平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)分析臨界能量，這會(huì)導(dǎo)致臨界能量偏小時(shí)得到的結(jié)果偏于保守，臨界能量偏大時(shí)得到的結(jié)果偏于樂(lè)觀。

為更準(zhǔn)確地估計(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定域，本文在對(duì)電力系統(tǒng)非線性模型進(jìn)行多項(xiàng)式表達(dá)的基礎(chǔ)上，基于平方和方法構(gòu)造高次的候選李雅普諾夫函數(shù)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法嘗試構(gòu)造暫態(tài)能量函數(shù)，將尋找臨界能量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能量函數(shù)的最值問(wèn)題，進(jìn)而求得系統(tǒng)的穩(wěn)定域，并對(duì)單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，同時(shí)與首次積分法和Zubov方法進(jìn)行比較。仿真結(jié)果表明，通過(guò)所提方法求得的穩(wěn)定域可逼近真實(shí)的穩(wěn)定域，實(shí)現(xiàn)了對(duì)穩(wěn)定域的近似估計(jì)，表明了該方法的可行性。

1" 理論基礎(chǔ)

對(duì)于自治非線性系統(tǒng)：

[xt=fxt] （1）

式中：[xt∈Rn]是狀態(tài)向量；[f：Rn→Rn]是局部Lipschitz映射，且[f0=0]。

設(shè)[?ζ，t]是系統(tǒng)在初始條件[x0=ζ]下[t]時(shí)刻的解，則對(duì)應(yīng)系統(tǒng)平衡點(diǎn)[x=0]的吸引域?yàn)閇ROA0：=ζ∈Rn：limt→∞?ζ，t=0]，如果系統(tǒng)的解[?ζ，t∈M，?t≥0]，且[ζ∈M]，則稱集合[M]為系統(tǒng)的不變集[10]。

引理[11]設(shè)[γgt;0]并存在連續(xù)可微函數(shù)[V：Rn→R]滿足：

[Λ：=x∈Rn：V（x）lt;γ有界] （2）

[V（x）gt;0，V（0）=0，" for x≠0] （3）

[Λ＼{0}?x∈Rn：?V（x）f（x）lt;0] （4）

則對(duì)于所有的[ζ∈Λ]，系統(tǒng)的解存在且滿足[?ζ，t∈Λ]，[?t≥0]，且[limt→∞?ζ，t=0]，即[Λ]是系統(tǒng)ROA的一個(gè)不變子集。

對(duì)一般系統(tǒng)而言，精確計(jì)算ROA甚至對(duì)ROA進(jìn)行估計(jì)是不容易做到的。因此，本文基于引理，求解系統(tǒng)ROA內(nèi)的最大不變集來(lái)作為對(duì)ROA的最優(yōu)估計(jì)，也即穩(wěn)定域的最大估計(jì)。

針對(duì)任意自治非線性（非多項(xiàng)式）系統(tǒng)（見(jiàn)公式（1）），在滿足一定精度條件下，可重塑為多項(xiàng)式系統(tǒng)[12]。

對(duì)于[n]元多項(xiàng)式[p（x）]，如果能分解為多項(xiàng)式[f1x，f2x，…，fmx]的平方和，即：

[p（x）=i=1mf2ix] （5）

則稱[p（x）]為平方和多項(xiàng)式，用[Σn]表示所有平方和多項(xiàng)式的集合。顯然，如果多項(xiàng)式能夠?qū)懗善椒胶偷男问?，則該多項(xiàng)式全局半正定。因此可以通過(guò)驗(yàn)證多項(xiàng)式是否存在平方和分解代替半正定條件[13]，而驗(yàn)證多項(xiàng)式是否存在平方和分解在計(jì)算上更容易處理。

將常用的二次型多項(xiàng)式[xTQx]推廣到高階多項(xiàng)式的形式，表示為：

[p（x）=zT（x）Qz（x）] （6）

式中：[Q]是對(duì)稱半正定矩陣（Gram矩陣）；[z（x）]表示由次數(shù)不大于[deg（p（x））2]的單項(xiàng)式構(gòu)成的向量。平方和分解等價(jià)于存在[z（x）]和使得[Q]對(duì)于式（6）成立[14]。

因此，可以先利用高階多項(xiàng)式構(gòu)造候選的李雅普諾夫函數(shù)，即可以通過(guò)平方和分解加入引理中的條件（見(jiàn)式（4）），構(gòu)造滿足引理中條件[V（x）gt;0]的李雅普諾夫函數(shù)。在得到李雅普諾夫函數(shù)的基礎(chǔ)上可以通過(guò)計(jì)算其最大值確定穩(wěn)定邊界[γ]，從而得到穩(wěn)定域的最大估計(jì)。

[n]元多項(xiàng)式的非負(fù)性可以通過(guò)判斷是否存在平方和分解來(lái)得出，只是充分條件，不是必要條件。因此，通過(guò)平方和方法判定多項(xiàng)式正定具有一定保守性。

2" 算法分析

2.1" 電力系統(tǒng)的多項(xiàng)式近似

一般非線性系統(tǒng)的多項(xiàng)式近似表達(dá)，在足夠高的近似階數(shù)下，多項(xiàng)式近似系統(tǒng)與原系統(tǒng)平衡點(diǎn)可任意接近，且其不穩(wěn)定平衡點(diǎn)類型可保持不變[15]。因此，可以用多項(xiàng)式近似系統(tǒng)來(lái)逼近原系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界。

本文采用泰勒級(jí)數(shù)展開的方法將電力系統(tǒng)中的非線性部分在工作點(diǎn)附近展開，并取一定階次的近似，忽略較高階次的等價(jià)無(wú)窮小。具體階次的取舍與候選李雅普諾夫函數(shù)的階次相關(guān)，這在后面的算例分析中將進(jìn)一步討論。

2.2" 李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造

平方和分解可以代替半正定條件，為滿足引理中[?V（x）f（x）lt;0]的條件，由Positivstellensatz定理[12，16]和S?procedure方法[17]引入給定的正定多項(xiàng)式[li（x）gt;0]（可以取[li（x）=10-6xTx]），[i=1，2]，使得候選的李雅普諾夫函數(shù)滿足：

[V（x）-l1（x）∈Σn] （7）

[-?V（x）f（x）+l2（x）∈Σn] （8）

從上面的分析中可以知道SOS 問(wèn)題的求解是先要將多項(xiàng)式[p（x）]轉(zhuǎn)換成式[p（x）]中單項(xiàng)式和Gram矩陣相乘的形式，即向量[z（x）]和正定矩陣[Q]的求解問(wèn)題，這一步稱為 SOS 分解（SOS decomposition， SOSP）[18]。SOS分解可轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問(wèn)題（SDP），在確定[z（x）]組成單項(xiàng)式的基礎(chǔ)上，即SOS分解的LMI可行性問(wèn)題。為求得[V（x）]的可行解，做如下處理。

直接指定[V（x）]的階次為偶數(shù)次，組成[z（x）]的單項(xiàng)式最高階次數(shù)[deg（V（x））2]，例如，當(dāng)系統(tǒng)變量為2維時(shí)，指定[deg（V（x1，x2））=4]時(shí)，[z（x）= x1 x2 x21 x22x1x2]。

確定[z（x）]后，求解矩陣[Q]的過(guò)程等價(jià)于下面LMI問(wèn)題：

[Q（μ）=Q0+iμiQi≥0] " " （9）

式中[μi]表示[Q]的自由變量，不管它們?nèi)『沃?，都得到相同形式的多?xiàng)式[p（x）]。

該LMI的求解過(guò)程可通過(guò)SEDUMI、SDPT3等工具實(shí)現(xiàn)。LMI 有可行解時(shí)，將[Q]的可行解代入式（6），即可得到李雅普諾夫函數(shù)。

1） [z（x）=x]時(shí)，[V（x）]退化為二次型的李雅普諾夫函數(shù)，二次型李雅普諾夫函數(shù)是多項(xiàng)式李雅普諾夫函數(shù)階次為2的情形，多項(xiàng)式李雅普諾夫函數(shù)可以看作二次型李雅普諾夫函數(shù)的推廣。

2） [z（x）]的選取不是唯一的，[Q]也不是唯一的。這為李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造提供了更多的自由度。系統(tǒng)無(wú)法構(gòu)造二次型李雅普諾夫函數(shù)時(shí)，可以嘗試構(gòu)造多項(xiàng)式李雅普諾夫函數(shù)。

3） 多項(xiàng)式李雅普諾夫函數(shù)的階次可以指定為任意的偶數(shù)，這為SOSP的求解提供了新的自由度，當(dāng)李雅普諾夫函數(shù)的階次較低，LMI無(wú)法求得可行解時(shí)，可以嘗試高階李雅普諾夫函數(shù)。

2.3" ROA的估計(jì)

在得到李雅普諾夫函數(shù)的基礎(chǔ)上，可以通過(guò)求解如下優(yōu)化問(wèn)題計(jì)算其最大值確定穩(wěn)定邊界[γ]，從而得到ROA的最大估計(jì)。

[max γs.t." s（x）∈Σns（x）（V（x）-γ）∈Σn] （10）

式中[s（x）]為引入的決策變量。

若考慮[V（x）]是待定的多項(xiàng)式，將待求的不變子集[ΛV，γ]也加入到優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中，可在[ΛV，γ]內(nèi)定義一個(gè)區(qū)域[Λh，β]。

[Λh，β?ΛV，γΛh，β：=x∈Rn|h（x）≤β] （11）

式中[h（x）]為已知的二次型多項(xiàng)式，[h（x）=xTRx]。

式（11）的作用是用已知的二次型來(lái)定義一個(gè)內(nèi)接于[ΛV，γ]的區(qū)域[Λh，β]，求解[β]的最大值以得到盡可能大的ROA的不變子集。由S?procedure方法轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題：

[max βs.t." s1（x）∈Σns2（x）∈ΣnV（x）-l1（x）∈Σn-（β-h（x））s1（x）+（V（x）-γ）∈Σn-?V（x）f（x）+l2（x）+s2（x）（V（x）-γ）∈Σn] （12）

式中：[s1（x）]、[s2（x）]為引入的決策變量。

至此，利用多項(xiàng)式近似系統(tǒng)逼近原系統(tǒng)的穩(wěn)定域，基于平方和方法構(gòu)造多項(xiàng)式李雅普諾夫函數(shù)，并通過(guò)優(yōu)化問(wèn)題計(jì)算其最大值確定穩(wěn)定邊界，可實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)ROA的最大估計(jì)。

3" 算例分析

考慮單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)描述如下：

[δ=ωω=Pmaxωs2H（sinδs-sin（δ+δs））-D2Hω] （13）

式中：[δ]和[ω]分別表示發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子功角和轉(zhuǎn)速；[D]和[H]分別為阻尼系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常數(shù)；[ωs]和[δs]為同步轉(zhuǎn)速和穩(wěn)定功角；[Pmax]為最大傳輸功率。相關(guān)參數(shù)取值[19]如下：[δs=15°]，[ωs=2π×60 rad/s]，[D=1]，[H=3 s]，[Pmax=1.7 p.u.]。

分別取系統(tǒng)在平衡點(diǎn)（SEP）處3～9階的多項(xiàng)式近似，通過(guò)第2節(jié)的方法可求得不同階次多項(xiàng)式近似下的李雅普諾夫函數(shù)。為了和文中的結(jié)果比較，這里給出系統(tǒng)三階多項(xiàng)式近似下求得的李雅普諾夫函數(shù)（指定李雅普諾夫函數(shù)的階次為6），其余多項(xiàng)式近似系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)類似，限于篇幅，這里不一一列舉。

[V（6）（δ，ω）=4.4δ6-0.380 6δ5ω+4.655δ5+" " " " " " " " " " " "0.087 92δ4ω2-0.534 7δ4ω-108.0δ4-" " " " " " " " " " " "0.008 743δ3ω3+0.154 5δ3ω2+2.238δ3ω-" " " " " " " " " " " "76.13δ3+0.000 501δ2ω4-0.015 2δ2ω3-" " " " " " " " " " " "1.065δ2ω2+1.029δ2ω+849.3δ2-" " " " " " " " " " " "5.519×10-5δω5+0.000 810 9δω4+" " " " " " " " " " " "0.022 36δω3-0.197 6δω2+0.986 1δω-" " " " " " " " " " " "0.154 5δ+1.877×10-6ω6-8.567×10-5ω5-" " " " " " " " " " " "0.004 863ω4+0.015 32ω3+8.144ω2-" " " " " " " " " " " "6.523×10-5ω] （14）

為比較多項(xiàng)式近似系統(tǒng)的穩(wěn)定域和原系統(tǒng)穩(wěn)定域的關(guān)系，通過(guò)逐點(diǎn)掃描得到原系統(tǒng)的穩(wěn)定域，圖1和圖2分別給出了3階和9階多項(xiàng)式近似系統(tǒng)和原系統(tǒng)的穩(wěn)定域的比較圖。從圖可以看出，高階多項(xiàng)式近似系統(tǒng)可以更好地逼近原系統(tǒng)的穩(wěn)定域，求得的穩(wěn)定域可以作為原系統(tǒng)穩(wěn)定域的近似估計(jì)。圖3為3～9階多項(xiàng)式近似系統(tǒng)的穩(wěn)定域。從圖中可以看出，隨著多項(xiàng)式近似系統(tǒng)階次的增加，多項(xiàng)式近似系統(tǒng)的穩(wěn)定域有增大的趨勢(shì)。

與文中采用首次積分法和Zubov方法給出的李雅普諾夫函數(shù)求得的穩(wěn)定域比較，首次積分法構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)為：

[Vint（δ，ω）=0.5ω2+51.59δ2-4.608δ3-4.299δ4] （15）

Zubov方法構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)為：

[VZubov（δ，ω）=6.291×10-4ω2+9.692×10-6ωδ+" " " " " " " " " " " " " 0.064 91δ2+8.386×10-9ω3+" " " " " " " " " " " " " 4.193×10-9ω2δ+1.299×10-6ωδ2-" " " " " " " " " " " " " 5.797×10-3δ3-1.771×10-7ω4+" " " " " " " " " " " " " 7.75×10-9ω3δ-3.654×10-5ω2δ2+" " " " " " " " " " " " " 1.16×10-6ωδ3-7.294×10-3δ4+" " " " " " " " " " " " " 3.172×10-11ω5+2.811×10-11ω4δ+" " " " " " " " " " " " " 8.192×10-9ω3δ2+3.269×10-6ω2δ3+" " " " " " " " " " " " " 4.281×10-7ωδ4+3.369×10-4δ5] （16）

利用不穩(wěn)定平衡點(diǎn)計(jì)算穩(wěn)定域邊界的方法[19]，分別求得[Vint（δ，ω）=101.3]，[VZubov（δ，ω）=0.105 2]。采用這兩種方法分別得到的穩(wěn)定域和3階、9階多項(xiàng)式近似系統(tǒng)得到的穩(wěn)定域邊界比較，結(jié)果如圖4所示。

從圖4中可以看出，Zubov方法得到的穩(wěn)定域最保守，首次積分法得到的穩(wěn)定域和3階多項(xiàng)式近似得到的穩(wěn)定域大小基本一致，但都比9階多項(xiàng)式近似系統(tǒng)的穩(wěn)定域小。因此，本文采用高階多項(xiàng)式近似系統(tǒng)得到的穩(wěn)定域更寬松，但與原系統(tǒng)的穩(wěn)定域相比也偏于保守，這是由于李雅普諾夫直接法分析系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是充分條件，通過(guò)平方和方法判定多項(xiàng)式正定也是充分條件，得到的結(jié)果通常偏于保守。此外，在[Λδ，ω=δ∈[2，4]，ω∈[-14.8，0]]的區(qū)域內(nèi)，也存在較大的偏差。這是由于原系統(tǒng)真實(shí)的穩(wěn)定域是一個(gè)非凸集合，采用SOS方法求解得到的穩(wěn)定域估計(jì)是凸集所致。

4" 結(jié)" 論

本文針對(duì)電力系統(tǒng)的穩(wěn)定域估計(jì)，通過(guò)對(duì)原系統(tǒng)的多項(xiàng)式近似，提出了一種基于平方和優(yōu)化的穩(wěn)定域估計(jì)方法。該方法將李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI的可行解問(wèn)題，通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)，通過(guò)優(yōu)化計(jì)算得到穩(wěn)定域的邊界值，相比首次積分法和Zubov方法，得到的穩(wěn)定域估計(jì)能更好的逼近原系統(tǒng)的穩(wěn)定域。但是，相比原系統(tǒng)真實(shí)的穩(wěn)定域，該方法同樣存在一定的保守性，如何加入寬松變量改變方法的保守性，還需要進(jìn)一步的研究。此外，針對(duì)建立的高階電力系統(tǒng)模型，在不簡(jiǎn)化到低階模型的前提下實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定域的估計(jì)，也是下一步需要研究的內(nèi)容。

注：本文通訊作者為李兆明。

參考文獻(xiàn)

[1] 姜齊榮，趙崇濱.并網(wǎng)逆變器的電磁暫態(tài)同步穩(wěn)定問(wèn)題[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，61（5）：415?428.

[2] GRIGSBY Leonard. Power system stability and control [M]. Boston： CRC Press， 2012.

[3] 張宇，張琛，蔡旭，等.并網(wǎng)變換器的暫態(tài)同步穩(wěn)定性分析：穩(wěn)定域估計(jì)與鎮(zhèn)定控制[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2022，42（21）：7871?7884.

[4] KABALAN M， SINGH P， NIEBUR D. Large signal Lyapunov?based stability studies in microgrids： a review [J]. IEEE transactions on smart grid， 2017， 8（5）： 2287?2295.

[5] ZHANG W， DU Z， HAN D. Transient stability domain estimation of AC/DC systems considering HVDC switching characteristics based on the polynomial Lyapunov function method [J]. International journal of electrical power amp; energy systems， 2021， 129（4）： 106875.

[6] AWREJCEWICZ J， BILICHENKO D， CHEIB A K， et al. Estimating the region of attraction based on a polynomial Lyapunov function [J]. Applied mathematical modelling， 2021， 90： 1143?1152.

[7] PAI M A. Energy function analysis for power system stability [D]. Boston， MA， USA： Kluwer Academic Publishers， 1989.

[8] CHIANG H D， WU F F. Foundations of the potential energy boundary surface method for power system transient stability analysis [J]. Circuits amp; systems IEEE transactions on， 1988， 35（6）： 712?728.

[9] WANG B， SUN K， XU X. Nonlinear modal decoupling based power system transient stability analysis [J]. IEEE transactions on power systems， 2019， 34（6）： 4889?4899.

[10] KHALIL H K. Nonlinear systems. 3rd [M]. New Jersey， USA： Prentice?Hall， 1996.

[11] TAN W， PACKARD A. Stability region analysis using polynomial and composite polynomial Lyapunov functions and sum?of?squares programming [J]. IEEE transactions on automatic control， 2008， 53（2）： 565?571.

[12] PAPACHRISTODOULOU A， PRAJNA S. On the construction of Lyapunov functions using the sum of squares decomposition [C]// Proceedings of the 41st IEEE Conference on， Decision and Control. Las Vegas， NV， USA： IEEE， 2002： 3482?3487.

[13] SHOR N Z. Class of global minimum bounds of polynomial functions [J]. Cybernetics， 1987， 26（3）： 731?734.

[14] PRAJNAL S， PAPACHRISTODOULOUL A， WU F. Nonlinear control synthesis by sum of squares optimization： a Lyapunov?based approach [C]// Proceeding of the Asian Control Conference. Melbourne， VIC， Australia： IEEE， 2004： 157?165.

[15] 孫玉嬌，劉鋒，梅生偉.非線性系統(tǒng)的多項(xiàng)式近似表示及電力系統(tǒng)應(yīng)用（Ⅰ）：理論篇[J].電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2010，14（8）：19?23.

[16] PARRILO P A. Structured semidefinite programs and semialgebraic geometry methods in robustness and optimization [D]. Pasadena： California Institute of Technology， 2000.

[17] BOYD S， EL GHAOUI L， FERON E， et al. Linear matrix inequalities in system and control theory [M]. Philadelphia， PA： SIAM， 1994.

[18] PRAJNA S， SEILER P， PARRILO P A. SOSTOOLS： sum of squares optimization toolbox for MATLAB [EB/OL]. [2023?04?17]. https：//optimization?online.org/2002/05/483/.

[19] WANG B， KAI S. Formulation and characterization of power system electromechanical oscillations [J]. IEEE transactions on power systems， 2016， 31（6）： 5082?5093.

作者簡(jiǎn)介：張巍?。?983—），男，寧夏固原人，博士研究生，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)穩(wěn)定性分析和仿真。

李兆明（2000—），男，回族，寧夏固原人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樾滦碗娏ο到y(tǒng)的穩(wěn)定與控制。

師洪濤（1984—），男，河北保定人，博士研究生，副教授，主要研究方向?yàn)榉植际桨l(fā)電系統(tǒng)控制與并網(wǎng)、風(fēng)電功率預(yù)測(cè)等新能源并網(wǎng)。

高" 峰（1983—），男，陜西府谷人，博士研究生，高級(jí)工程師，主要研究領(lǐng)域?yàn)殡娏ο到y(tǒng)仿真與分析。

張" 白（1981—），男，回族，內(nèi)蒙古烏拉特前旗人，博士研究生，副教授，主要研究方向?yàn)榫軠y(cè)量技術(shù)與儀器、人工智能算法與裝備等。