摘"要：“初等數(shù)學研究”課程是數(shù)學本科師范專業(yè)重要的專業(yè)課程，理論性強，承擔著大學數(shù)學的學習和中小學數(shù)學的教授之間橋梁的重要功能，對數(shù)學師范生職業(yè)能力的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用。從學生視角分析“初等數(shù)學研究”課程原有學習成效中的不足，并據(jù)此提出若干學習策略，以助力提高數(shù)學師范生的中小學數(shù)學教師職業(yè)能力。學習實踐表明，數(shù)學師范生以提出的學習策略為指導，學習“初等數(shù)學研究”課程取得的成績更好，提高其職業(yè)能力的成效顯著，提出的學習策略對數(shù)學師范的其他專業(yè)課程的學習也形成重要參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學師范生；中小學數(shù)學；教師職業(yè)能力；“初等數(shù)學研究”課程；學習策略

數(shù)學本科師范專業(yè)基本上都會開設(shè)“初等數(shù)學研究”或相近的課程?！俺醯葦?shù)學研究”課程的理論性偏強，其主要學習內(nèi)容是中小學部分數(shù)學知識內(nèi)容的延伸、拓展和升華，它是數(shù)學本科師范專業(yè)重要的專業(yè)課程［14］?！俺醯葦?shù)學研究”課程具備橋接大學數(shù)學的學習和中小學數(shù)學的教授的重要功能，承擔著傳授數(shù)學知識、培養(yǎng)中小學數(shù)學教師的教育教學專業(yè)技能等多重任務(wù)，對數(shù)學師范生職業(yè)能力的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用。

教師職業(yè)能力指的是中小學數(shù)學教師職業(yè)相關(guān)的能力。隨著時代對中小學教師的要求不斷提高，數(shù)學本科師范專業(yè)在學生培養(yǎng)方面越來越重視他們在職業(yè)能力提升上的顯著程度。課程教學是幫助數(shù)學師范生提高其職業(yè)能力的關(guān)鍵抓手。數(shù)學師范生應(yīng)該采取積極有為的學習策略，既要保質(zhì)保量地完成學習任務(wù)，也要盡力在職業(yè)能力發(fā)展方面取得顯著的成效。本文首先將中小學數(shù)學教師職業(yè)能力剖分成選擇恰當例題的能力、解題能力、解題反思習慣、數(shù)學表達能力、選擇恰當課后作業(yè)的能力等；然后在此剖分下，以“初等數(shù)學研究”課程為例，分析原有學習成效表現(xiàn)出的不足；最后結(jié)合教、學實踐經(jīng)驗，提出若干改善提升數(shù)學師范生職業(yè)能力成效的學習策略。

1"教師職業(yè)能力提升視角下“初等數(shù)學研究”課程學習中的不足

選擇恰當例題的能力的培養(yǎng)未得到重視。選擇恰當例題的能力是中小學數(shù)學教師職業(yè)能力的重要組成部分。在原有的初等數(shù)學研究課程學習中，數(shù)學師范生不常有自主預習要學習的例題，被動接受教師傳遞的數(shù)學知識，觀看教師的例題展示和解題示范，課后反復回顧例題的解答過程及其背后蘊藏著的深刻思想。理解了例題的推導過程，數(shù)學師范生就完成了學習任務(wù)。數(shù)學師范生并未下意識地理解出現(xiàn)的例題在章節(jié)、課程中所處的位置的重要性，并未理解例題從“從哪里來”、到“哪里去”，并未從所學例題找到自己在將來的教學中該如何選擇恰當例題的靈感。換言之，數(shù)學師范生的選擇恰當例題的能力的培養(yǎng)在原有的初等數(shù)學研究課程的學習中并未得到重視。

解題能力訓練力度不足。解題能力是中小學數(shù)學教師職業(yè)能力的關(guān)鍵組成部分，數(shù)學師范生只有訓練出強大的解題能力，將來在教學中才能培養(yǎng)出具有強大解題能力的中小學生。在原有的“初等數(shù)學研究”課程學習中，數(shù)學師范生大多是被動地接受知識，不會深入思考例題的解答思路，只會套用例題思路解答（課堂或課后）習題，并沒有很好地利用例題、習題，充分鍛煉其解題能力。

解題反思習慣和數(shù)學表達能力的培養(yǎng)被忽視。在原有的“初等數(shù)學研究”課程學習中，解題反思習慣或數(shù)學表達能力的培養(yǎng)基本上被數(shù)學師范生忽視，與其他三項能力相比，解題反思習慣和數(shù)學表達能力更加隱性，從而在諸如初等數(shù)學研究等課程的學習中一直未被重視甚至完全被忽視。

選擇恰當課后作業(yè)的能力的培養(yǎng)未得到充分重視。選擇恰當課后作業(yè)的能力是中小學數(shù)學教師職業(yè)能力的重要組成部分，在原有的“初等數(shù)學研究”課程的學習中，因課后作業(yè)非常初等且簡單熟悉，故很少有數(shù)學師范生對該門課程的課后作業(yè)給予足夠重視。這樣導致數(shù)學師范生選擇恰當?shù)恼n后作業(yè)能力的培養(yǎng)沒有得到重視。

2"教師職業(yè)能力提升導向下“初等數(shù)學研究”課程的學習策略探析

2.1"加大課程相關(guān)的課外閱讀訓練力度，提高數(shù)學師范生選擇恰當例題的品位和能力

課外閱讀，指的是“初等數(shù)學研究”課程相關(guān)的課外資料的研讀，這里更側(cè)重有研究目標指向的閱讀，而不是采用“題海戰(zhàn)術(shù)”，高強度地重復開展解題訓練。在“初等數(shù)學”課程的學習中，數(shù)學師范生應(yīng)該多涉及最近所學相關(guān)主題的典型問題和對該領(lǐng)域有重要貢獻的數(shù)學家、教育教學研究與實踐等。結(jié)合本研究團隊的學習和教授“初等數(shù)學研究”課程的經(jīng)驗得出，課外閱讀能助力提高選擇恰當例題的品位和能力。

2.2"加大典型問題的創(chuàng)新解答訓練力度，提高數(shù)學師范生自身的解題能力

數(shù)學問題的創(chuàng)新解答，是相對于常規(guī)解法而言的，它能幫助數(shù)學師范生產(chǎn)生并積攢新思路、新體驗、新感悟等，進而幫助其加深對數(shù)學問題，甚至所修數(shù)學課程的認識。在初等數(shù)學研究課程中，常見的創(chuàng)新解答問題的訓練策略有一題多解、多題一解、由特殊到一般（包括舉特例）、由一般到特殊、舉反例等。

一題多解，即對“一例數(shù)學問題的多種解答方法”的簡稱［56］。在借助一題多解學習策略的過程中，數(shù)學師范生應(yīng)從多視角、多觀點、多路徑研究同一道問題，豐富的學習經(jīng)驗表明，這不僅能助其加深對問題本身的認識，而且能助其養(yǎng)成發(fā)散性思維，將所學知識融會貫通及養(yǎng)成靈活運用數(shù)學知識的能力。例如，我團隊曾經(jīng)采用一題多解策略學習Nesbitt不等式，大致過程描述如下：

例題：證明Nesbitt不等式ab+c+bc+a+ca+b≥32，其中，a，b及c均是給定的正數(shù)。

通過教師引導，學生經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)了六種證法。

證法1（作差比大小驗證法）：經(jīng)驗證，有：

ab+c+bc+a+ca+b－32=（b+a）（b－a）2+（c+b）（c－b）2+（a+c）（a－c）22（a+b）（b+c）（c+a）≥0

此即意味著完成了Nesbitt不等式的證明。

證法2（排序不等式）：由對稱性可設(shè)a≤b≤c。于是，有1b+c≤1c+a≤1a+b。

由排序不等式便知，Nesbitt不等式得證。

證法3（Jensen不等式）：引入輔助函數(shù)F（x）=xW－x，x∈（0，W），其中，W=a+b+c。經(jīng)計算，有F″（x）=2W（W－x）3。因F″（x）＞0，x∈（0，W），故函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，W）上是凸函數(shù)。由Jensen不等式，得：

13F（a）+13F（b）+13F（c）≥F（a+b+c3）=F（W3）

化簡整理即可發(fā)現(xiàn)，Nesbitt不等式得證。

據(jù)統(tǒng)計，筆者所在的班級還有同學針對Nesbitt不等式給出了基于Cauchy不等式、AMHM不等式及“選主元+函數(shù)思想”思路等的證明方法，為避免冗長，這里省略基于這些想法的證明詳細步驟。

從上述學習案例能發(fā)現(xiàn)，一題多解學習策略能幫助學生更深刻認識問題本身，例如，能幫助學生更深刻理解Nesbitt不等式中的等號是可以取得的，且其取得等號的充分必要條件是a=b=c，此外，一題多解學習策略還有許多其他優(yōu)點，例如，它能為學生提供發(fā)現(xiàn)簡明解答方法的機會，能增強學生的解題能力與數(shù)學素養(yǎng)，能幫助學生認清數(shù)學實質(zhì)，能提高學生的創(chuàng)新意識與探索未知的積極性等。在大力提倡提高中小學生創(chuàng)新能力的當下，數(shù)學師范生應(yīng)該格外重視一題多解學習策略的應(yīng)用。

多題一解，大體可視為與一題多解相對，其大意是針對若干問題給出統(tǒng)一處理。在初等數(shù)學研究課程的學習中，多題一解能幫助數(shù)學師范生更深刻認識所解決的這類問題或所采用的那一種解題方法的本質(zhì)。例如，相當部分涉及橢圓、雙曲線、橢圓等二次曲線的問題都可由“先設(shè)直線，再聯(lián)立直線與二次曲線并整理得某一元二次方程，最后借助等價轉(zhuǎn)化思想、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等來完成問題的解答”得以解決，對于二次曲線的眾多問題而言，這套方法能幫助數(shù)學師范生從多視角、多方面理解這種方法，同時，也能幫助數(shù)學師范生更深刻地認識到橢圓、雙曲線、橢圓皆是二次曲線的這一本質(zhì)。

由特殊到一般，是一種不完全歸納法，指的是由部分特殊問題的結(jié)論推測一般問題的結(jié)論的解題策略，憑借特例解題是該策略的一種。在“初等數(shù)學研究”課程的學習中，由特殊到一般的解題策略，能幫助數(shù)學師范生更好地培養(yǎng)數(shù)學直覺和幫助數(shù)學師范生抓住事物的主要矛盾，而暫時撇開其他次要矛盾，這能幫助數(shù)學師范生更高效地理解數(shù)學問題并進而完成課程的學習任務(wù)。

由一般到特殊與由特殊到一般相對，指的是將所考慮的問題“嵌入”某一類理論中，再由一般理論的推導來解答原問題的解題策略?！安恢\全局者，不足謀一域”，對數(shù)學師范生而言，有針對性地開展基于由一般到特殊策略的解題訓練是非常重要的。以“初等數(shù)學研究”課程的學習為例：常見的由一般到特殊解題策略有將數(shù)列問題歸結(jié)為函數(shù)問題，將方程問題歸結(jié)為不等式問題，以及借助射影幾何將Melelaus定理、Ceva定理、Simson定理等結(jié)論的證明歸結(jié)在某一類問題中等。由一般到特殊的解題策略能幫助數(shù)學師范生開闊數(shù)學視野，幫助其提高抽象思維、邏輯推理能力等。

舉反例即通過舉反例證偽命題的策略，其在驗證充要條件時非常重要。在“初等數(shù)學研究”課程的學習中，舉反例能使部分深刻的結(jié)論顯得淺顯易懂，揭示問題實質(zhì)。對數(shù)學師范生而言，舉反例相關(guān)的解題訓練是十分必要的，此對其在今后的教學中有深遠影響。

隨著社會對提高中小學生創(chuàng)新能力的要求越來越迫切，在學習初等數(shù)學研究課程的過程中，數(shù)學師范生應(yīng)積極避免高強度機械式練題，而是從繁多相關(guān)問題中遴選出其中的典型問題，并加大這些典型問題的創(chuàng)新解答訓練力度，切實提高師范生的解題能力，為有效提高中小學學生創(chuàng)新能力提供有力保障。

2.3"反復回顧典型問題的解答，形成數(shù)學師范生自身的解題反思習慣與自覺意識

反復回顧典型問題的解答和一題多解有異曲同工之妙，也是要求數(shù)學師范生在學習“初等數(shù)學研究”課程中要避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，而是要求他們反復回顧，如前文提到的Nesbitt不等式等典型結(jié)論和例題及解答。按照匈牙利著名的數(shù)學家、教育家G.Pólya的觀點，解題反思在數(shù)學解題中屬重要環(huán)節(jié)?！白x書百遍，其義自見”，通過反復、細致、深入地回顧典型問題的解題過程，能幫助數(shù)學師范生更深刻理解問題產(chǎn)生的背景、問題的學科價值，幫助他們體會到問題中的價值并進而提高其解題能力，反復回顧典型問題的解答能幫助數(shù)學師范生提高其數(shù)學審美品位。

2.4"加大課程內(nèi)容研究小論文寫作訓練力度，提高數(shù)學師范生的數(shù)學表達能力

數(shù)學師范專業(yè)的大多專業(yè)課程中含有大量的知識內(nèi)容模塊，非常適合作為數(shù)學師范生開展科研訓練的素材。在“初等數(shù)學研究”課程的學習中，數(shù)學師范生可選定某一特定主題，在任課教師提供的必要輔助下，結(jié)合中小學數(shù)學教育教學真實情景，開展針對性的研究訓練，并在研究成果的基礎(chǔ)之上，整理出小論文。這能幫助數(shù)學師范生全過程親身體驗科學研究歷程，提高創(chuàng)新能力和數(shù)學（尤其是書面）表達能力，這都能助力提升數(shù)學師范生的數(shù)學表達能力。

2.5"在學習中銜接中小學數(shù)學，提高數(shù)學師范生選擇恰當課后作業(yè)的能力

銜接中小學數(shù)學，就是要求數(shù)學師范生在學習本科數(shù)學專業(yè)課程的過程中，自主“橋接”所學的大學階段的知識和中小學階段的數(shù)學知識，以所掌握的中小學數(shù)學知識“同化”大學階段的數(shù)學知識，同時，從大學數(shù)學的高（等）觀點下，重新認識中小學階段所學的數(shù)學知識。數(shù)學師范生在學習過程中積極主動銜接中小學數(shù)學能幫助其更順利地從大學生狀態(tài)過渡到中小學數(shù)學教師狀態(tài)；以中小學數(shù)學知識同化大學數(shù)學知識，能使得數(shù)學師范生的學習效率更高，所學知識更成體系；從大學數(shù)學高觀點重新認識中小學數(shù)學知識，能幫助數(shù)學師范生更深刻理解數(shù)學知識。這三方面綜合起來，能幫助數(shù)學師范生提高選擇恰當課后作業(yè)的能力。

結(jié)語

本文從學生視角分析“初等數(shù)學研究”課程原有學習成效中的不足，并據(jù)此提出加大課程相關(guān)的課外閱讀訓練力度、加大典型問題的創(chuàng)新解答訓練力度、反復回顧典型問題的解答、加大課程內(nèi)容研究小論文寫作訓練力度、在學習中銜接中小學數(shù)學等五項學習策略，借此提高數(shù)學師范生的選擇恰當例題、習題的品位和能力、解題能力、數(shù)學表達能力，幫助數(shù)學師范生養(yǎng)成解題反思習慣與自覺意識，進而幫助數(shù)學師范生提升其職業(yè)能力。

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基金項目：宿遷學院優(yōu)秀畢業(yè)設(shè)計（論文）培育項目（2023YXBYSJ05）；宿遷學院“專業(yè)認證”專項教學改革研究課題（2023ZYRZ04）；宿遷學院創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育課題（2023CXCY08）；宿遷市指導性科技計劃（Z2023131）；宿遷學院人才引進項目、宿遷學院“西楚學者”培養(yǎng)計劃項目（2022XRC033）；江蘇高?！扒嗨{工程”；江蘇省高等教育教改研究課題資助項目（2023JSJG718）；中國高等教育學會高等教育科學研究規(guī)劃課題（23SX0203）；江蘇省高?！案哔|(zhì)量公共課教學改革研究”專項課題（2022JDKT106）

作者簡介：林文浩（2001—"），男，漢族，江蘇連云港人，本科在讀，研究方向：從事數(shù)學教育的研究。

*通信作者：王成強（1985—"），男，漢族，四川武勝人，博士，副教授，研究方向：從事數(shù)學控制論與數(shù)學教育的研究。