摘"要：“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”作為一種新型的教學(xué)模式，其教學(xué)實(shí)施策略的探索顯得尤為重要。針對如何有效開展“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程教學(xué)的問題，我們結(jié)合學(xué)校情況和學(xué)情分析，對“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程的內(nèi)容體系和教學(xué)模式進(jìn)行了大膽且富有成效的探索，開展了豐富多樣的教學(xué)實(shí)踐。通過構(gòu)建“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程體系和創(chuàng)新教學(xué)模式，為學(xué)生提供了更多元、更深入的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，使“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維與實(shí)踐能力的有效途徑，對于推動數(shù)學(xué)教學(xué)改革具有重要意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)教育

中圖分類號：O21""文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

隨著智能信息時(shí)代的來臨和計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛進(jìn)步，數(shù)學(xué)的重要性日益被廣泛認(rèn)知。它不僅在傳統(tǒng)自然科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域扮演著基石的角色，還深入拓展至生命科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)及社會科學(xué)等多個(gè)新興領(lǐng)域，逐漸成為這些領(lǐng)域不可或缺的支撐力量。數(shù)學(xué)與各學(xué)科的相互滲透及其在技術(shù)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，不僅促進(jìn)了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，也推動了各個(gè)學(xué)科理論的前進(jìn)［1］。數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性主要源自其獨(dú)特的思維方式。因此，在實(shí)施素質(zhì)教育和高等教育改革的過程中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素質(zhì)，訓(xùn)練他們的數(shù)學(xué)思維方式和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力，具有至關(guān)重要的作用［2］。

1"“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程開設(shè)的必要性

數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)學(xué)生方面，不僅著重于提升抽象思維、邏輯推理、空間想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算等基礎(chǔ)能力，而且更加關(guān)注增強(qiáng)學(xué)生的新知學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新思維及創(chuàng)新能力，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。在這一過程中，數(shù)學(xué)軟件成為學(xué)生探索與研究問題的得力助手，通過實(shí)驗(yàn)與操作探索數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)與操作的過程中理解數(shù)學(xué)，進(jìn)行問題的探索、猜想的提出、求解的實(shí)踐及結(jié)果的驗(yàn)證［3］。計(jì)算機(jī)為學(xué)生提供了前所未有的學(xué)習(xí)環(huán)境，學(xué)生可借助高效的數(shù)學(xué)軟件和高速的計(jì)算機(jī)對實(shí)際問題進(jìn)行反復(fù)模擬，從觀察中發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律，從規(guī)律中猜測某種性質(zhì)，對猜測的性質(zhì)進(jìn)行證明，也可對實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行大規(guī)模的反復(fù)計(jì)算，從計(jì)算結(jié)果中驗(yàn)證了模型對問題解釋的正確性，從而解決了實(shí)際問題。因此，計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件使得“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程的開設(shè)非常必要［45］，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）理論與實(shí)踐相結(jié)合。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往側(cè)重于理論知識的傳授，而“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程則強(qiáng)調(diào)通過動手實(shí)踐來深化對數(shù)學(xué)概念、定理和公式的理解。這種教學(xué)方式能夠幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識與具體的應(yīng)用場景相結(jié)合，從而提高學(xué)習(xí)的有效性和趣味性。

（2）培養(yǎng)創(chuàng)新思維和解決實(shí)際問題的能力?！皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程致力于激勵學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識來解決實(shí)際問題，通過一系列實(shí)踐環(huán)節(jié)，包括設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案、數(shù)據(jù)的收集與整理以及結(jié)果的分析等，來培育學(xué)生的創(chuàng)新思維、批判性思維和高效的問題解決能力［6］。

（3）促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合。隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)軟件、計(jì)算機(jī)模擬等工具在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中的應(yīng)用越來越廣泛?！皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程能夠引導(dǎo)學(xué)生掌握這些工具的使用方法，提高他們利用信息技術(shù)解決數(shù)學(xué)問題的能力，從而適應(yīng)信息化時(shí)代的需求。

（4）激發(fā)學(xué)生的好奇心，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)興趣和動力?！皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程通常包含豐富的實(shí)踐活動和案例分析，這些活動能夠有效激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和好奇心，促使他們更加積極主動地參與到學(xué)習(xí)過程中。同時(shí)，通過實(shí)踐中的成功體驗(yàn)，學(xué)生也能夠獲得成就感和自信心，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)習(xí)動力。

（5）推動數(shù)學(xué)教育改革?！皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程的引入是數(shù)學(xué)教育改革的重要方向之一，它打破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的束縛，倡導(dǎo)“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，注重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。這種改革有助于推動數(shù)學(xué)教育向更加科學(xué)、合理、有效的方向發(fā)展。

綜上，開設(shè)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有顯著作用，同時(shí)也有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和強(qiáng)化他們的問題解決能力，對于促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合、增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力及推動數(shù)學(xué)教育改革等方面都具有重要的必要性。

2"“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程的內(nèi)涵

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”作為一種創(chuàng)新的教學(xué)模式，強(qiáng)調(diào)在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和計(jì)算機(jī)技術(shù)，開展具有實(shí)踐意義的教學(xué)活動，旨在分析并解決實(shí)際問題［4］。

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室為課堂，這種環(huán)境設(shè)置本身就為學(xué)生提供了一個(gè)與傳統(tǒng)教室不同的學(xué)習(xí)空間。在這個(gè)空間里，學(xué)生不再是單純地接受知識灌輸，而是可以動手操作，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際問題之間的聯(lián)系。這種實(shí)踐性強(qiáng)的教學(xué)活動，有助于增強(qiáng)學(xué)生的參與感和主動性，使他們在解決問題的過程中深化對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用。

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”以學(xué)生為中心，以問題為主線，這種教學(xué)理念強(qiáng)調(diào)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位。通過引導(dǎo)學(xué)生自主分析問題、設(shè)計(jì)解決方案、實(shí)施實(shí)驗(yàn)并驗(yàn)證結(jié)果，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”不僅促進(jìn)了學(xué)生分析問題和解決問題能力的提升，而且極大地激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣和探索未知世界的精神。同時(shí)，這種教學(xué)模式也促進(jìn)了學(xué)生之間的交流和合作，培養(yǎng)了他們的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和溝通能力。

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的一個(gè)顯著特點(diǎn)在于，它能夠?qū)?shù)學(xué)思維特別是邏輯思維的過程變得視覺化、形象化。通過將抽象的數(shù)學(xué)概念和邏輯過程轉(zhuǎn)化為具體的圖像和動態(tài)演示，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”能夠幫助學(xué)生更直觀地理解數(shù)學(xué)原理，降低學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)習(xí)效率。這種視覺化的學(xué)習(xí)方式也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們在輕松愉快的氛圍中掌握數(shù)學(xué)知識。

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”強(qiáng)調(diào)計(jì)算機(jī)技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用。通過利用數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)模擬工具，學(xué)生可以更加方便地進(jìn)行數(shù)據(jù)處理、模型建立和結(jié)果驗(yàn)證等操作。這種技術(shù)手段不僅提高了學(xué)生的計(jì)算機(jī)運(yùn)用水平，還為他們提供了更多的創(chuàng)新空間和可能性。在“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”中，學(xué)生可以自由發(fā)揮想象力，嘗試不同的解決方案，從而培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。

3"“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程的內(nèi)容設(shè)置

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”作為一門獨(dú)立的課程，其內(nèi)容可劃分為兩大類別。第一類是配合常規(guī)課程的實(shí)驗(yàn)，旨在為學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)并激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。這類實(shí)驗(yàn)又可細(xì)分為兩種：一是重要定理的導(dǎo)引實(shí)驗(yàn)，它在常規(guī)課程的重難點(diǎn)內(nèi)容之前進(jìn)行，旨在讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)對即將學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問題有一個(gè)直觀的認(rèn)識，理解研究的背景、規(guī)律及可能的結(jié)論，為后續(xù)的常規(guī)課程學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。若能夠激發(fā)學(xué)生對這些問題的興趣，則效果更佳。二是實(shí)踐應(yīng)用實(shí)驗(yàn)，如在學(xué)完Newton切線法后，讓學(xué)生自行編程計(jì)算，觀察不同初值點(diǎn)對收斂速度的影響，以此鞏固常規(guī)課程知識，并學(xué)會實(shí)際應(yīng)用計(jì)算，實(shí)現(xiàn)知識與技能的雙重提升。第二類實(shí)驗(yàn)則致力于拓寬學(xué)生的知識面，它們不拘泥于特定的數(shù)學(xué)學(xué)科，甚至涉及一些邊緣學(xué)科。這類實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生在豐富多樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中自由探索、發(fā)現(xiàn)，其核心目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們在實(shí)踐中增長見識，拓寬視野［78］。

教學(xué)實(shí)踐中，教師主要通過生動、賦予啟迪的典型案例分析，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型的建立過程，介紹數(shù)學(xué)建模的思想和方法，培養(yǎng)和增強(qiáng)學(xué)生的想象力、洞察力和創(chuàng)造力，所以在案例的選擇上應(yīng)遵循一些原則。

（1）鮮明的目的性。緊密結(jié)合教學(xué)實(shí)際，旨在幫助學(xué)生深入理解教學(xué)內(nèi)容。通過不斷對比、歸納、思考和領(lǐng)悟?qū)嶋H問題，運(yùn)用所學(xué)知識尋求解決方案，從而有效提升學(xué)生的問題解決能力。

（2）濃厚的趣味性。選擇學(xué)生感興趣的例題，營造趣味盎然的學(xué)習(xí)氛圍。學(xué)生在享受學(xué)習(xí)過程的同時(shí)，深刻體會數(shù)學(xué)建模的思想方法和實(shí)際應(yīng)用過程。

（3）高度的科學(xué)性。所選案例需符合生活實(shí)際，確保數(shù)學(xué)理論與現(xiàn)實(shí)生活緊密相連。通過實(shí)踐的檢驗(yàn)，學(xué)生真切感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性和科學(xué)性。

4"“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程遵循的原則

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”作為一種數(shù)學(xué)教學(xué)方法，它必然要遵循一些一般的原則，如辯證唯物主義的認(rèn)識論、實(shí)踐論以及一般科學(xué)規(guī)律等。當(dāng)然，作為一種特殊的教學(xué)方法，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”有著自己的特點(diǎn)，應(yīng)遵循下面的一些教學(xué)原則。

4.1"軟件平臺的選擇

優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件是數(shù)學(xué)方法與計(jì)算機(jī)科學(xué)有機(jī)結(jié)合的產(chǎn)物，從某種意義上講是一種數(shù)學(xué)技術(shù)［9］?！皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”解決實(shí)際問題，需要處理大量數(shù)據(jù)，進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬與數(shù)值計(jì)算就離不開數(shù)學(xué)軟件。因此，在選擇“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”所需的軟件平臺時(shí)，一個(gè)合適且功能全面的工具至關(guān)重要。MATLAB和Mathematica便是兩個(gè)備受推崇的選項(xiàng)，它們均屬于功能強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)系統(tǒng)。這些軟件不僅具備卓越的符號演算能力，能夠輕松處理多項(xiàng)式的四則運(yùn)算、展開、因式分解，以及有理式的各種計(jì)算，還能求解復(fù)雜函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分，進(jìn)行冪級數(shù)展開，處理矩陣運(yùn)算和行列式展開等任務(wù)。此外，它們在數(shù)值計(jì)算方面也表現(xiàn)出色，支持任意精度的數(shù)值計(jì)算（包括實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)），能夠求解多項(xiàng)式方程、有理方程和超越方程的精確解及近似解；還能求解微分方程，計(jì)算定積分的近似值，且精度可控。更重要的是，這些軟件能夠方便地繪制一元和二元函數(shù)的靜態(tài)圖形。如圖1和圖2所示，為“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”提供了極大的便利。

圖1"定積分概念演示

圖2"雙葉雙曲面圖形演示

4.2"以學(xué)生為主體

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課要求學(xué)生利用計(jì)算機(jī)獨(dú)立完成實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，寫好實(shí)驗(yàn)報(bào)告，在解決實(shí)際問題的過程中不斷探索，在實(shí)踐中發(fā)揮聰明才智。在整個(gè)過程中教師以指導(dǎo)者的身份出現(xiàn)，學(xué)生為主體，鼓勵學(xué)生個(gè)性發(fā)展。

（1）制訂實(shí)驗(yàn)計(jì)劃時(shí)，不要把實(shí)驗(yàn)步驟訂得太細(xì)，如果訂得太細(xì)，就會妨礙學(xué)生探索的自由度。比如，讓學(xué)生觀察函數(shù)的圖形，目的是學(xué)習(xí)連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，極值、最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等，教師可以先指定一個(gè)具體的函數(shù)供學(xué)生觀察學(xué)習(xí)，隨后鼓勵學(xué)生自主尋找其他函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探索。在這一過程中，學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)諸如對稱性、奇偶性和周期性等額外的函數(shù)性質(zhì)，這些發(fā)現(xiàn)都是值得贊賞和肯定的。

（2）學(xué)生應(yīng)當(dāng)親自檢驗(yàn)自己得出的結(jié)論。由于歸納和猜想的結(jié)果通常不夠可靠，驗(yàn)證其正確性就需要學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行自我檢驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)自己的猜想被駁倒，也可能會因此增強(qiáng)對猜想的信心，這一過程極具意義。猜想往往源自實(shí)驗(yàn)，而驗(yàn)證猜想同樣依賴于實(shí)驗(yàn)。如果實(shí)驗(yàn)不能支持某個(gè)猜想，那么這個(gè)猜想很可能是錯誤的；即使實(shí)驗(yàn)支持了猜想，它仍有可能存在錯誤，但至少我們獲得了更多的正面證據(jù)。數(shù)學(xué)家在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)，尤其是在面對復(fù)雜問題時(shí)，常常采用這種通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行猜想與驗(yàn)證的方法。

（3）實(shí)驗(yàn)是允許有誤差的，我們可以說一個(gè)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是好的、不太好的或者是粗糙的，但不要簡單地說學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是正確的或錯誤的。例如，F(xiàn)ermat在觀察Fermat數(shù)時(shí)，認(rèn)為全體Fermat數(shù)都是素的，這就是個(gè)粗糙的實(shí)驗(yàn)。學(xué)生在觀察Fermat數(shù)時(shí)，可能會得出類似的結(jié)論，這時(shí)我們?nèi)绻唵蔚卣f“做錯了”，這就太粗暴了，因?yàn)閷W(xué)生的確做了實(shí)驗(yàn)，而且實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)的確支持這個(gè)猜想。這時(shí)教師可以建議學(xué)生將實(shí)驗(yàn)做得更細(xì)致一些，而不是單純地否定。

4.3"開放性

實(shí)驗(yàn)在設(shè)計(jì)上應(yīng)該有一定的開放性，讓盡可能多的學(xué)生從中受惠，要做到這一點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)門檻必須要低一些，也就是說，問題的提出盡可能簡單明了、背景清楚易懂。讓程度低的學(xué)生一開始就能明白自己在做的事情，并且能進(jìn)行一定程度的探索；隨著影響問題的因素的增加和變化，引導(dǎo)學(xué)生向問題的縱、深進(jìn)行探索，直到學(xué)生分析歸納出一個(gè)結(jié)論（可能是猜想），在可能的情況下，最后還可以讓學(xué)生證明自己得到的結(jié)論。這樣一來，問題就有了一定的“景深”和“廣度”。要讓學(xué)生對實(shí)驗(yàn)有一種“懸而未決”“意味深長”的感覺，使得學(xué)生在做完實(shí)驗(yàn)后還有進(jìn)一步去研究問題的沖動。同時(shí)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)最后最好能包含一份相關(guān)的參考資料，使學(xué)生能根據(jù)自己的興趣進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)。

結(jié)語

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的一環(huán)，其重要性日益凸顯。為了更加充分發(fā)揮“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課的價(jià)值，我們應(yīng)不斷探索“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課的規(guī)律、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，不斷改進(jìn)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課教學(xué)模式，通過利用先進(jìn)的技術(shù)手段，進(jìn)一步豐富“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課的教學(xué)內(nèi)容和形式，使其更加生動、有趣且富有挑戰(zhàn)性。同時(shí)，借助信息技術(shù)，還能夠幫助我們更高效地收集和分析學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，從而更準(zhǔn)確地評估教學(xué)效果，為進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)策略提供有力依據(jù)。展望未來，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課將隨著信息技術(shù)的不斷進(jìn)步而不斷完善和深入，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力發(fā)揮更加重要的作用。

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基金項(xiàng)目：山西省高等學(xué)校教學(xué)改革創(chuàng)新項(xiàng)目（J2023"0774）；山西省研究生教育教學(xué)改革課題（2023JG124、2023"JG122）

作者簡介：梅銀珍（1977—"），女，漢族，山西原平人，博士，中北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，主要從事組合數(shù)學(xué)研究。