摘"要：在教育教學(xué)改革一再深入的背景下，人們開始探索“數(shù)學(xué)+計算機”的教學(xué)模式。該文在剖析微分方程現(xiàn)存教學(xué)模式弊端的基礎(chǔ)上，提出微分方程可視化教學(xué)的幾點建議。基于數(shù)學(xué)軟件MATLAB，介紹4個微分方程可視化的具體案例，并在其后附上相應(yīng)的程序及注釋，以期能幫助有需要的人們更快地進入MATLAB編程的大門。

關(guān)鍵詞：常微分方程；偏微分方程；MATLAB；可視化；數(shù)值解

中圖分類號：G642"""文獻標(biāo)志碼：A"""""文章編號：2096-000X（2025）01-0008-06

Abstract：Inthecontextofrepeateddeepeningofeducationandteachingreform，peoplebegantoexploretheteachingmodeof\"mathematics+computer\".BasedontheanalysisoftheshortcomingsoftheexistingteachingmodeofDifferentialEquations，thispaperputsforwardseveralsuggestionsforthevisualteachingofDifferentialEquations.BasedonthemathematicalsoftwareMATLAB，fourspecificcasesofdifferentialequationvisualizationareintroduced，followedbycorrespondingprogramsandcomments，inordertohelptheneedypeopleenterthedoorofMATLABprogrammingfaster.

Keywords：ordinarydifferentialequation;partialdifferentialequation;MATLAB;visualization;numericalsolution

微分方程是以建立數(shù)學(xué)模型、開展理論分析、解釋客觀現(xiàn)象進而解決實際問題為內(nèi)容的一個數(shù)學(xué)分析的重要分支[1]。作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的核心課程，起著承前啟后的作用，它既是數(shù)學(xué)分析和大學(xué)物理的后續(xù)課程，也是數(shù)學(xué)建模和泛函分析等課程的先修課程，主要包括常微分方程和偏微分方程兩個板塊。

傳統(tǒng)的微分方程教學(xué)主要是“黑板+粉筆”的灌輸式教學(xué)，拘泥于抽象的理論學(xué)習(xí)及復(fù)雜的手動計算。學(xué)生通過學(xué)習(xí)一些定義、定理、公式等來了解微分方程知識，抽象的語言和復(fù)雜的公式往往使學(xué)生望而生畏，興趣索然，打擊了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和信心，同時也不利于學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)。若能將抽象的概念和結(jié)論借助幾何圖形生動直觀地呈現(xiàn)出來，必將非常有助于學(xué)生對微分方程知識的學(xué)習(xí)和理解。

MATLAB是一款以矩陣運算為基礎(chǔ)的的數(shù)學(xué)軟件，有著強大的數(shù)值計算和可視化功能[2]。鑒于此，我們可以將MATLAB可視化融入微分方程教學(xué)中，利用MATLAB把過程和結(jié)果以可視、動態(tài)的形式展示出來，讓微分方程的知識更加直觀、更容易理解，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)變得更為有趣、更加高效。

我們在微分方程多年教學(xué)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，提出微分方程可視化教學(xué)的一些建議，并結(jié)合4個具體的案例介紹了MATLAB可視化在微分方程教學(xué)中的應(yīng)用，其中包含2個常微分方程和2個偏微分方程。同時，還附上了相應(yīng)的程序及注釋，以方便不熟悉MATLAB操作和編程的師生參考借鑒。

一"可視化教學(xué)建議

教學(xué)模式單一、以教師為中心、缺乏育人元素是目前大多數(shù)的微分方程課程所存在的問題[3]。如何在夯實學(xué)生基礎(chǔ)知識的同時，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情？下面提出三點建議以供參考。

（一）"滲透數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情

微分方程歷史悠久、應(yīng)用廣泛，在其發(fā)展的各個階段都有著故事，或是微分方程某個理論產(chǎn)生的現(xiàn)實背景，或是幾代數(shù)學(xué)家接續(xù)的刻苦鉆研，亦或是微分方程在自然科學(xué)和社會科學(xué)中應(yīng)用的最新成果[4]。在課堂中有意識地給學(xué)生滲透微分方程相關(guān)的故事和文化，不僅能讓學(xué)生了解知識的來龍去脈，知道為什么學(xué)、學(xué)有何用，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，寓教于樂。

（二）"傳授理論知識，搭建知識框架

微分方程的內(nèi)容具有抽象、復(fù)雜等特點[5]。教師在授課過程中，要先將微分方程的理論和方法給學(xué)生講解透徹，使學(xué)生對微分方程的基本知識框架有個宏觀的認(rèn)識，在頭腦中形成系統(tǒng)的微分方程知識體系。

（三）"發(fā)揮主觀能動，探究可視化過程

在教學(xué)過程中，重視教學(xué)與信息化技術(shù)的融合，以滿足新時代大學(xué)生對知識的需求，幫助學(xué)生理解和掌握知識[6]。在學(xué)生對微分方程知識有了一定的了解后，教師可將MATLAB的使用方法教給學(xué)生，讓學(xué)生獨立地去探究微分方程及其結(jié)果的可視化過程，直觀地感悟微分方程的理論知識。對于較為復(fù)雜的方程，還可考慮采用小組合作的方式，促進學(xué)生思維之間的碰撞。

此外，教師還可以從銜接中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、改革教學(xué)評價體系等方面入手，改善微分方程教學(xué)現(xiàn)狀，提高微分方程教學(xué)效果。

二"可視化教學(xué)應(yīng)用舉例

我們選取了微分方程課程中的四個具體例子來探究可視化教學(xué)，分別是伯努利微分方程、常微分方程的歐拉法、熱傳導(dǎo)方程和泊松方程。傳統(tǒng)的微分方程教學(xué)模式拘泥于抽象的理論學(xué)習(xí)及復(fù)雜的手動計算，學(xué)生理解起來有較大的難度。基于MATLAB的可視化功能，采取“數(shù)學(xué)文化+理論分析+可視化”的教學(xué)模式，旨在搭建代數(shù)與幾何之間的橋梁，讓微分方程更加直觀，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加高效，同時也希望學(xué)生能因此而更加有信心和興趣學(xué)習(xí)微分方程。

（一）"常微分方程解析解的可視化

低階特殊常微分方程及線性常微分方程可采用解析解法來求解，其解的表達式為初等函數(shù)或超越函數(shù)。常用的解析解法有分離變量法、常數(shù)變異法、積分因子法和降階法。這些解析解法，既是常微分方程理論中很有自身特色的部分，也與實際問題密切相關(guān)，值得我們好好學(xué)習(xí)、認(rèn)真體會。

案例1：求方程■=6■-xy2的通解[7]。

1）數(shù)學(xué)文化。瑞士的伯努利家族，在祖孫三代人中便產(chǎn)生了8位數(shù)學(xué)家，其中至少有三位出類拔萃。1654年，雅各布·伯努利出生于巴塞爾，其父親老尼古拉·伯努利希望他學(xué)神學(xué)，遵循父親的意愿，他于22歲取得了神學(xué)碩士學(xué)位。與此同時，雅各布還自學(xué)了他所喜愛的數(shù)學(xué)，伯努利微分方程便是其研究成果之一。而雅各布·伯努利對數(shù)學(xué)最大的貢獻在于概率論的研究，他曾發(fā)表有關(guān)賭博游戲中輸贏次數(shù)問題的論文，后來寫成了巨著《猜度術(shù)》。1705年，雅各布·伯努利逝世。

2）理論分析。這是n=2的伯努利微分方程。令z=y-1，算得■=-y-2■。代入原方程得到線性微分方程■=-6■+x，由常數(shù)變易法求得其通解為z=■+■，其中C為任意常數(shù)。最后代回原來的變量y得到原方程的通解■-■=C。此外，方程還有解y=0。

3）可視化探究。程序Case_1.m如圖1所示。

由MATLAB求解得，方程通解為y=■或y=0。如圖2所示，當(dāng)Clt;0時，曲線有兩個間斷點；當(dāng)C=0時，曲線有一個間斷點；當(dāng)Cgt;0時，曲線無間斷點，有兩個極大值點和一個極小值點。所有曲線族均關(guān)于y軸對稱，是偶函數(shù)。

（二）"常微分方程數(shù)值解的可視化

在實際應(yīng)用中，許多微分方程無顯式解，需要借助數(shù)值解法進行求解[8]。所謂常微分方程初值問題的數(shù)值解法，即將一個連續(xù)的微分方程初值問題轉(zhuǎn)化為一個離散的差分方程初值問題，而后通過解差分方程獲得其數(shù)值解。常微分方程問題常用的數(shù)值解法：歐拉（Euler）法和龍格-庫塔（Runge-Kutta）法。

數(shù)值解得到的數(shù)值不易分析，利用MATLAB等計算機技術(shù)可將數(shù)據(jù)進行可視化，轉(zhuǎn)化為便于分析處理的圖形圖像。尤其是大部分微分方程都不可解、不可積，若能結(jié)合抽象的數(shù)值解及其直觀的圖形顯示，對微分方程的學(xué)習(xí)和研究都有著極大的幫助。

案例2：用向前歐拉法、向后歐拉法和改進歐拉法計算下列初值問題，并與精確解對比，步長h=0.1，

1）數(shù)學(xué)文化。歐拉于1707年出生于瑞士，一生的大部分時間在俄羅斯帝國和普魯士度過。他是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，一生寫了三十二部足本著作和七十多卷科學(xué)論著，其中一半的著作是在生命的最后七年，在雙目完全失明的情況下產(chǎn)出的。歐拉是剛體力學(xué)和流體力學(xué)的奠基者，彈性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的開創(chuàng)人。他曾用兩種方法來描述流體的運動，其一便是根據(jù)空間固定點描述流體速度場的歐拉法。

2）理論分析。易得方程的精確解為

根據(jù)向前歐拉法、向后歐拉法和改進歐拉法的遞推公式，可得計算結(jié)果見表1。

3）可視化探究。程序Case_2.m如圖3所示。

如圖4所示，方程的特解是單調(diào)遞減的曲線。從圖4中可以直觀地看出，當(dāng)用向前或后歐拉法近似曲線時誤差較大，用改進歐拉法近似曲線時誤差較小，即改進歐拉法的近似效果優(yōu)于向前（后）歐拉法。

（三）"拋物型方程的可視化

拋物型方程是一類重要的二階偏微分方程，在流體力學(xué)、熱力學(xué)和石油化工等方面都有著應(yīng)用[9]。它的一般形式為

式中：u為未知函數(shù)，a、d、f為已知實值函數(shù)，？駐是Laplace算子。拋物型方程的求解難度與空間維數(shù)有關(guān)，未知函數(shù)u與時間t有關(guān)，純粹的理論分析對初學(xué)者來說理解起來較為困難。這里將可視化引入教學(xué)中，讓拋物型方程動起來，使學(xué)生能直觀地觀察到函數(shù)u隨時間t的變化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

案例3：求解下面方程。

1）數(shù)學(xué)文化。傅里葉是法國的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，1768年在歐賽爾出生，1840年卒于巴黎。他在數(shù)學(xué)方面的主要貢獻是在研究熱傳播時創(chuàng)立的數(shù)學(xué)理論。1807年，傅里葉在論文《熱的傳播》中推導(dǎo)出了著名的熱傳導(dǎo)方程，并在探索方程的通解時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可表示為三角函數(shù)的級數(shù)形式，在此過程中，傅里葉逐漸形成了級數(shù)收斂的概念，進一步創(chuàng)立了在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)中十分重要的傅里葉級數(shù)和傅里葉積分的系統(tǒng)理論。

2）理論分析。這是二維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題。對此定解問題，首先利用分離變量法解出滿足問題中的方程及邊界條件的非平凡解，再考慮非平凡解的級數(shù)形式，使其滿足初值條件，即可得到定解問題的函數(shù)解。在MATAB中，可利用函數(shù)parabolic求解。

3）可視化探究。程序Case_3.m如圖5所示。

熱傳導(dǎo)方程求解區(qū)域及細化后的三角網(wǎng)格如圖6所示。這里MATLAB以動態(tài)圖的形式給出t∈[0.01]之間的共20幀熱傳導(dǎo)方程解函數(shù)的圖像，圖7為其中的4幀解函數(shù)圖。

（四）"橢圓型方程的可視化

橢圓型方程也是一類重要的二階偏微分方程，其一般形式為

式中：u為未知函數(shù)，a、f為已知實值函數(shù)，？駐是Laplace算子。橢圓型方程有著廣泛的物理背景，主要用來描述物理中的平衡穩(wěn)定狀態(tài)，比如振動趨于平衡、熱傳導(dǎo)趨于穩(wěn)定及保守場。

案例4：求解Dirichlet問題。

式中：Ω是等腰三角形，其頂點為（-1，0），（1，0），（0，■）[10]。

1）數(shù)學(xué)文化。西莫恩·德尼·泊松是法國數(shù)學(xué)家，1781年出生于法國盧瓦雷，1840年卒于法國索鎮(zhèn)。泊松最初奉父命學(xué)醫(yī)，但他對醫(yī)學(xué)并無興趣，不久便轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)。泊松的科學(xué)生涯開始于研究微分方程及其在擺的運動和聲學(xué)理論中的應(yīng)用。在論文《關(guān)于球體引力》和《關(guān)于引力理論方程》中，泊松引入了著名的泊松方程。

2）理論分析。這是二維泊松方程的初值問題。用對稱開拓法（鏡像法）去構(gòu)造它在正三角形Ω上的Green函數(shù)，從而求得在此區(qū)域上的Dirichlet問題的解。

3）可視化探究。為方便繪制求解區(qū)域，這里采用PDEToolBox的交互操作求解方程。步驟如下。

①啟動PDEToolBox界面。在MATLAB命令行窗口輸入，回車彈出PDEToolBox對話框。②繪制求解區(qū)域并劃分。利用工具欄圖形工具繪制等腰三角形，雙擊等腰三角形可調(diào)整頂點坐標(biāo)；單擊工具欄三角按鈕粗略劃分三角網(wǎng)格，繼續(xù)單擊雙三角按鈕可細分三角網(wǎng)格。③修改邊界條件。單擊Boundary-Specifyboundaryconditions，選中左欄Conditiontype中的Dirichlet并修改h=1，r=0。④確定方程類型及參數(shù)。泊松方程為特殊的橢圓型方程，選中橢圓按鈕并設(shè)置a=0，f=2。⑤求解方程。單擊工具欄“=”按鈕，顯示出方程的數(shù)值解分布，還可單擊工具欄三維圖標(biāo)打開PlotSelection對話框，選擇其他方式顯示泊松方程求解結(jié)果。⑥保存為M文件。單擊File-Saveas，將結(jié)果保存在C4_4_1.m的M文件中。

泊松方程求解區(qū)域及細化后的三角網(wǎng)格如圖8所示。泊松方程求解結(jié)果如圖9所示。

三"教學(xué)效果分析

在信息化時代，我們要善用科技的力量，幫助學(xué)生抽絲剝繭，由淺入深地學(xué)習(xí)并掌握微分方程的理論和方法，讓計算機輔助教學(xué)發(fā)揮它應(yīng)有的作用和價值。教師在教學(xué)過程中，首先對微分方程的基本概念和求解方法進行深入講解，使學(xué)生從宏觀層面把握微分方程知識間的聯(lián)系及系統(tǒng)性；其次，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，把MATLAB的使用方法教給學(xué)生，以自主探索或小組合作的方式進行實踐，討論積極，課堂氣氛活躍，教學(xué)效果顯著提高。使學(xué)生經(jīng)歷借助MATLAB將抽象的微分方程問題具體化、可視化的過程，在數(shù)學(xué)實驗中理解和解決數(shù)學(xué)問題，從而愛上數(shù)學(xué)、樂學(xué)數(shù)學(xué)，善于用數(shù)學(xué)解決實際問題。

參考文獻：

[1]趙春芳.基于研究型教學(xué)的偏微分方程實例剖析[J].高教學(xué)刊，2019（26）：106-108.

[2]林挺.研究MATLAB與Mathematica在解微分方程（組）的應(yīng)用比較及特解的圖形解析[J].現(xiàn)代職業(yè)教育，2020（27）：154-155.

[3]李姝敏，郭鵬云，徐國明.常微分方程課堂教學(xué)改革的探索與實踐[J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2023，39（3）：88-92.

[4]周學(xué)勇.師范類專業(yè)認(rèn)證背景下“常微分方程”課程教學(xué)改革探討[J].內(nèi)江科技，2022，43（11）：115-117.

[5]金玲玉，王霞.新工科背景下的偏微分方程教學(xué)改革的新思考[J].教育現(xiàn)代化，2019，6（A4）：71-72.

[6]李永利，孫志濱.側(cè)重計算機仿真的數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)探索[J].科技風(fēng)，2020（25）：18-19.

[7]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[8]石彤菊.基于互聯(lián)網(wǎng)的常微分方程數(shù)值解法的可視化設(shè)計[J].保定學(xué)院學(xué)報，2011，24（3）：72-75.

[9]廉海榮，方鑫宇，劉明柱，等.拋物型微分方程的可視化討論[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2021，51（24）：304-310.

[10]朱長江，鄧引斌.偏微分方程教程[M].北京：科學(xué)出版社，2005.

基金項目：國家自然科學(xué)基金面上項目“磁流體方程的能控性”（11971320）；深圳大學(xué)研究生教育改革研究項目“應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)微分方程方向交叉創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式探索與實踐”（SZUGS2022JG09）；深圳大學(xué)教學(xué)改革研究項目“《常微分方程》課程思政探索與實踐”（JG2022120）

第一作者簡介：陶強（1982-），男，漢族，吉林長春人，博士，副教授，博士研究生導(dǎo)師。研究方向為微分方程教學(xué)與科研。