摘"要：材料力學能量法的教學一般安排在桿件受力變形、強度理論及壓桿失穩(wěn)之后，單獨成為一個章節(jié)，與結構力學、彈性力學等后續(xù)課程緊密銜接，能量法的學習對于學生采用全新視角分析力學問題十分重要。該文闡述能量法經典講授思路，包括應變能與加載順序無關、功的互等定理、外力功/余功和應變能/余能的轉換和虛位移原理及虛力原理四種推導方式。旨在，其一，聚合不同思維方式，幫助學生理解能量法知識體系，啟發(fā)學生科學思維與創(chuàng)新精神；其二，分析不同講授方法的特點及不同本科專業(yè)的適用性，以針對不同人才培養(yǎng)模式合理安排課程內容。

關鍵詞：材料力學；能量法；卡氏定理；虛位移原理；單位荷載法

中圖分類號：G640"""文獻標志碼：A"""""文章編號：2096-000X（2025）01-0001-07

Abstract：EnergyMethodsinMaterialMechanicsisgenerallyarrangedafterthestressandstrainanalysisinmostmaterialmechanicsbooks.Itiscloselylinkedtocoursesofstructuralmechanicsandelasticmechanicsforundergraduatestudents.Thispapersummarizesfourtypicalclassteachingwaysfortheenergymethods.Acomprehensivereviewoftheenergymethodsisfirstprovided.Then，comparisonofthedifferentteachingwaysandtheirapplicabilitytodifferentundergraduatemajorsareprovidedinordertoarrangemoresuitableteachingcontents.

Keywords：materialmechanics;energymethods;Castigliano'stheorem;principleofvirtualdisplacement;unit-loadmethod

材料力學是工程力學、土木工程、礦業(yè)工程等工科專業(yè)的一門十分重要的專業(yè)基礎課，具有很強的工程與應用背景，它是銜接高等數(shù)學、線性代數(shù)、理論力學等基礎理論課程到結構力學、彈性力學、有限元方法、鋼筋混凝土等專業(yè)課程的橋梁，對學生從理論知識學習到嘗試解決實際工程問題具有重要的過渡作用[1]。能量法作為材料力學課程的一個核心模塊，不僅對于學生鞏固材料力學基本知識、理解全新的分析問題思路具有重要意義，同時對后續(xù)課程中核心知識點理解具有重要的銜接作用[2]，尤其是近年來隨著計算力學的快速發(fā)展，能量法的學習更應受到重視[3]。

能量法是指利用功和能的概念求解可變形固體的位移、變形和內力的方法[4]，能量原理建立在經典力學之后，被看作是19世紀最重要的發(fā)現(xiàn)之一，能量原理中克拉珀龍定理（Clapeyron'stheorem）、卡氏第一和第二定理（Castigliano'sfirstamp;secondtheorem）、克羅蒂－恩蓋塞定理（Crotti-Engesser'stheorem）、麥克斯韋互等定理（Maxwell'sreciprocaltheorem）、虛功原理等伴隨和影響著近現(xiàn)代力學、計算力學的發(fā)展。

由于能量法的特殊性與重要性，當前國內外大多教材[3-9]均將能量法安排為一個單獨的章節(jié)。涉及桿件受力變形過程中外力功的計算、桿件內部存儲的應變能計算、卡氏第二定理、變形體的虛位移原理和單位荷載法的內容，部分教材會同時安排互等定理、余能的計算、余能定理（克羅蒂－恩蓋塞定理）、卡氏第一定理和圖乘法等內容的介紹，以便和后續(xù)結構力學等課程緊密配合。能量法知識點多，理論性強，對學生的數(shù)學知識、力學基礎知識和邏輯思維能力要求較高，是材料力學課程教與學公認的一個難點[10]，學生普遍反映能量法學習困難，難以建立起能量法核心知識體系。

利用有限的課堂講授學時，合理安排講授能量法講授內容，系統(tǒng)優(yōu)化力學課程相關知識點教學，幫助學生逐漸建立起能量原理知識體系并逐漸具備解決實際問題的能力，值得深入探討[11-13]。

本文總結了普通高等教育本科國家級規(guī)劃教材、面向21世紀課程教材、國外相關專業(yè)使用的經典教材以及網絡公開課資源，總結歸納了四種不同的能量法教學思路，旨在幫助學生逐漸理解能量原理內涵，啟發(fā)學生創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學生解決復雜問題的綜合能力和高級思維，為后續(xù)專業(yè)課程的學習打好基礎。同時進行了對比分析，探討了不同講授方法在不同專業(yè)中的適用性，旨在幫助更合理地安排適用于各專業(yè)人才培養(yǎng)的課程內容。幫助學生逐漸具備利用所學知識創(chuàng)新性地解決實際專業(yè)問題的能力，為提升課程的高階性，突出課程的創(chuàng)新性，增加課程的挑戰(zhàn)性提供參考。

一"能量法的四種講授方式

對于材料力學能量法講授來說，首先應明確應變能的概念，尤其是線彈性桿件應變能的計算。對于一般彈性材料情形，隨著桿件上廣義力F的增加，廣義位移Δ逐漸增加，二者關系如圖1所示。外力功為圖示從Δ=0到Δ=Δ1之間F-Δ曲線下圍成的面積，不考慮加載過程中的能量損耗，外力功W轉換為積蓄在桿件內部的應變能Vε，即

各教材一般會說明彈性體應變能的特征：①應變能恒正，與坐標系選取無關；②應變能僅與荷載的最終值有關，而與加載順序無關；③線彈性范圍內，應變能為內力或相應變形的二次函數(shù)，也可表示為廣義力或位移的二次函數(shù)，導致計算應變能時疊加原理不適用。

在學習過桿件基本變形應變能表達形式后，上述①和②容易理解。②中不同書籍給出了不同的說明，其中一個結合材料力學課程前述內容較易理解的思路：線彈性小變形情形下桿件的變形可通過疊加原理求得，無論多個廣義力何種方式何種順序施加到其最終值，與之對應的桿件上的變形為確定值。而應變能是由于桿件變形而存儲的能量，變形一定的情況下桿件內存儲的應變能為確定值。

在明確了應變能的基本概念，尤其是線彈性范圍內桿件的應變能的特征后，不同教材在安排與能量法相關的其余內容及其講授方法時出現(xiàn)了較大不同，不同學者也針對能量法的教學給出了不同的建議[2，10，14-19]。此處列出四種典型的講授思路，重點關注卡氏定理的推導。

（一）"通過應變能與加載順序無關推導

國內廣泛使用的教材[3]及大多數(shù)國外教材[8-9，20]都借助了應變能與加載順序無關來進行卡氏第二定理的證明。如圖2所示，彈性體上作用了n個廣義外力，分別為F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n，與之對應的彈性體上的廣義位移分別為1，2，…，i，…，n。這些廣義力在施加過程中在相應的廣義位移上做功。對于彈性體來說，廣義位移可以表示為廣義力的函數(shù)？駐i=f1（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n），同樣廣義力也可以表示為廣義位移的函數(shù)Fi=f2（1，2，…，i，…，n）。在不考慮能量損失的情況下，應變能由外力功轉換而來，因而應變能可以表示為Fi或？駐i的函數(shù)

當其中一個廣義力Fi有一微小增量dFi，根據高等數(shù)學偏微分知識，由式（2）表示的應變能增量可寫為dVε=■dFi，此時桿件上的總應變能為Vε+■dFi。對于線彈性體這種特殊情況來說，如果調換加載順序先施加dFi，此時與dFi對應的廣義位移為di，應變能為■dFidi。之后再作用F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n，此時雖然已經有dFi的作用，由F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n引起線彈性體對應的廣義位移大小同樣為1，2，…，i，…，n，導致的應變能依舊為Vε。注意F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n施加過程中，已經施加的dFi會在廣義位移i上做功，且為常力做功，大小為dFii。按新的加載次序，桿件內存儲的應變能為■dFidi+Vε+dFii。

由于應變能和加載順序無關，兩次不同加載順序最終的應變能應相等，略去高階微量■dFid？駐i并化簡后可得卡氏第二定理

即線彈性體應變能對于廣義力Fi的變化率等于與該廣義力Fi對應的廣義位移？駐i。在講授過程中應特別強調上述推導僅適用于線彈性體，即先作用F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n或者先作用dFi，由于F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n導致的位移？駐1，？駐2，…，？駐i，…，？駐n是一樣的，而此結論對于非線彈性桿件并不適用。教學中這一點可以從圖1加以解釋，對于非線彈性體，由于廣義力和廣義位移的非線性對應關系，作用相同的廣義力增量對應的廣義位移增量并不相同。

大多數(shù)教材會緊接著講授變形體虛位移原理，進而講授單位荷載法及圖乘法相關內容。事實上，也可以在上述卡氏第二定理的基礎上推導得到單位荷載法。以忽略剪切變形的一般對稱彎曲線彈性梁為例，求彎矩時疊加原理適用，因而梁內任意位置x處的彎矩M（x）可以表示為廣義力的函數(shù)

式（7）表明在線彈性小變形情形下，卡氏第二定理和單位荷載法是等價的。

此種講授方式無需引入余功及余能等概念，僅涉及線彈性桿件疊加原理、應變能的計算等內容，可以幫助學生對之前章節(jié)知識點加以回顧并加深理解，對學生初步接受能量法基本原理具有幫助作用。同時，此種方式對于教師介紹變形體虛位移原理、單位荷載法及圖乘法提供了較大的自由度，對于學生融會貫通理解能量法基本思想和原理提供了較易理解的途徑。

（二）"通過功的互等定理推導

部分教材以功的互等定理為切入點推導了卡氏第二定理[7]。以簡支梁為例，如圖3（a）所示，當桿件上僅在C1處有一個廣義力F1作用時，與之對應的C1處的廣義位移為？駐11，此時C2處也會發(fā)生位移，記為？駐21，表示C2處由于C1處的廣義力F1作用時所產生的位移。對于線彈性桿件來說，這兩個廣義位移都應與廣義力F1呈線性關系

式中：α11和α21為對應的柔度系數(shù)。此過程中外力做功W1=■F111=■α11F■■，不考慮能量損耗的情況下，外力功全部轉換為桿件內存儲的應變能Vε1=W1=■α11F■■。

類似，如圖3（b）所示，當桿件上僅在C2處有一個廣義力F2作用時，與之對應的C2處的廣義位移為？駐22，C1處也會發(fā)生廣義位移為？駐12，這兩個廣義位移都應與廣義力F2呈線性關系

式中：α12和α22為對應的柔度系數(shù)。此過程中外力功W2=■F222=■α2２F■■，不考慮能量損耗的情況下，外力功全部轉換為桿件內存儲的應變能Vε2=W2=■α2２F■■。

當廣義力F１和F2共同作用時，如圖3（c）所示，求線彈性桿件位移的疊加原理適用，因而可視作首先在C1處施加F１，其次在C2處施加F2。求和得C1處和C2處的廣義位移

現(xiàn)考慮當廣義力F１和F2共同作用時桿件內的應變能，由于彈性桿件內存儲的應變能和加載順序無關，不妨首先施加F１，此時桿件內存儲的應變能為■α1１F■■。其次施加F2，此過程中F2做功導致桿件內應變能增量為■α22F■■，應該注意的是此過程中F1已經施加在C1處，會在新產生的位移？駐12上做功，且為常力做功，與之對應的梁上應變能的增量為F1·α12F2?？傻么朔N加載方式桿件內存儲的應變能為

如果更改加載順序，首先施加F2再施加F１，與上述分析類似可得桿件內存儲的應變能為

由于彈性桿件內存儲的應變能和加載順序無關，式（14）和式（15）應相等，對比可得α12=α21。也就是說由于C1處作用單位力導致的C2處的位移等于由于C2處作用單位力導致的C1處的位移，這個結論稱為位移互等定理或麥克斯韋互等定理（Maxwell'sreciprocaltheorem）。

現(xiàn)討論由互等定理導出卡氏第二定理，將式（14）關于F1和F2分別求偏導數(shù)，同時由于α12=α21，可得

從式（16）和式（17）可以看出對于線彈性桿件來說，應變能關于廣義力的偏導數(shù)等于與此廣義力對應的廣義位移。

更一般的情況，如果桿件上C1，C2，…，Ci，…，Cn有n個廣義力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n共同作用時，各位置處對應的廣義位移分別為1，2，…，i，…，n。與桿件上有兩個廣義力共同作用的式（12）和式（13）類似，n個廣義力共同作用時，Ci處的廣義位移可以表示為

式中：k取1，2，…，n。桿件上存儲的總應變能可表示為

式中：j，k分別取1，2，…，n。總應變能關于Ci處的廣義力Fi求偏導數(shù)，即對式（19）中當j=i或k=i時求偏導，可得

注意由于αji=αij，并將上式右側第二項中求和指標j替換為k，可得

即i=■，卡氏第二定理得證。

與第一節(jié)類似，此種方式同樣無需引入余功和余能的概念。其中一個難點是在推廣到多個廣義力共同作用時的推導過程中運用了基本的帶求和符號的求導運算，講授過程中需要加以解釋。此種講授方式在國外的部分教材中較常見，推導過程簡潔直接，繞過了必須引入微增量等學生較難理解的知識點。材料力學重點討論線彈性桿件小變形情形，此種講授方式易于學生接受。同時教師在講授過程中可以順帶講授位移互等定理，可以啟發(fā)學生對于能量原理進行更加深入的思考。

（三）"通過外力功/余功和應變能/余能的轉換推導

與第一種及第二種推導的講授方式稍有區(qū)別，在明確了應變能及其由外力功轉換而來的同時引出余功和余能的概念。此種講授代表性的教材是高等教育出版社孫訓方等編著的系列教材[4]，該教材在第三版后將能量法重點放在應變能、余能概念、卡氏定理及其應用上，將虛位移原理及單位荷載法放在章節(jié)后半部分作為與后續(xù)結構力學課程的銜接。

如圖1所示，余功為圖示從F=0到F=F1之間F-Δ曲線與縱軸圍成的面積，且余能（Vc）和余功（Wc）在數(shù)值上相等

余能是一個人為定義的概念，與應變能具有相同的量綱，并無具體的物理意義，對于線彈性材料來說，余能和應變能在數(shù)值上相等。

在“外力功在數(shù)值上等于應變能”和“外力余功在數(shù)值上等于余能”的前提下，給出了卡氏第一和第二定理的講述。首先是卡氏第一定理的證明，對于彈性體在給定荷載F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n作用時，對應的廣義位移1，2，…，i，…，n和彈性體最終存儲的應變能Vε也隨即確定。應變能（或外力功）僅與荷載（或位移）的最終值有關，可表示為廣義力或廣義位移的函數(shù)，式（2）和式（3）。

假設與Fi相應的廣義位移Δi有一微小增量dΔi，如圖4所示，在忽略掉二階及以上小量時，由式（3）彈性體內應變能的變化可表示為dVε=■d？駐i。從另外一個角度考慮，當桿件僅發(fā)生與Fi相應的廣義位移dΔi變化時，僅Fi做功，外力功的變化為dW=FidΔi。這里學生在理解過程中的難點是在虛加位移dΔi過程中Fi保持恒定，做功為常力做功，在講授過程中需要特別加以說明。另外，此處需要特別強調廣義力Fi和廣義位移Δi的對應關系，以幫助學生正確理解和應用卡氏定理。依據外力功在數(shù)值上等于應變能，消去dΔi，可得卡氏第一定理

即彈性體應變能對于廣義位移Δi的變化率等于該位移對應的廣義力Fi。該定理適用于小變形情況下線彈性及非線彈性桿件。

這種推導過程較易理解，但由于沒有涉及變形體虛位移原理，學生可能會對彈性體上廣義位移產生微小增量處產生疑問，尤其是對課本簡支梁上只在其中一個廣義位移處產生微增量，而保持其余位移不變產生疑問。因而，需要稍加解釋虛位移模式，即虛位移應首先保證變形體的連續(xù)性條件的同時符合約束條件。虛位移有無數(shù)種可能，穩(wěn)定約束系統(tǒng)中，真實發(fā)生的位移僅為可能的虛位移中的一種；其次虛位移為任意虛設的小位移，計算中可基于變形體原來的形狀進行計算。對于課本中簡支梁僅在Fi相應的位移Δi有一微小增量dΔi，而其余荷載對應的位移保持不變，虛加位移方式有無數(shù)多種，圖5（a）和圖5（b）虛線給出了兩種滿足上述條件的虛加位移dΔi。

有了卡氏第一定理的鋪墊，余能定理的推導可通過對照自然得出。對于線彈性體或非線彈性體在給定荷載F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n作用時，對應的廣義位移1，2，…，i，…，n及其余能也即確定。類似，余能Vc可表示為荷載Fi的函數(shù)Vc=f（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n）?，F(xiàn)假設廣義力Fi有一微小增量dFi，忽略掉二階及以上小量時，梁內余能的變化可表示為dVc=■dFi。從另外一個角度考慮，當彈性體僅發(fā)生與廣義位移Δi對應的Fi變化dFi時，外力余功的變化為dWc=ΔidFi，此處同樣應強調廣義力和廣義位移的對應。依據外力余功在數(shù)值上等于余能，消去dFi可得余能定理或稱為克羅蒂－恩蓋塞定理

即彈性桿件余能對于某一廣義力Fi的變化率等于與該廣義力對應的廣義位移Δi。該定理適用于小變形情況下線彈性體及非線彈性體。

特別地，對于線彈性桿件來說，應變能Vε和余能Vc在數(shù)值上相等。因而用Vε替換式（24）中的Vc即可得卡氏第二定理Δi=■。與卡氏第一定理適用于線彈性和非線彈性體不同，卡氏第二定理僅適用于線彈性體。

此種講授通過類比對照的方式分別給出了卡氏第一定理及余能定理的證明，通過線彈性材料余能在數(shù)值上和應變能相等，給出了僅適用于線彈性材料的卡氏第二定理。講授知識點較全面，講授過程中需要注意幫助學生回顧高等數(shù)學全微分等理論知識以及幫助學生理解虛位移等基本概念，此種講授方式的優(yōu)勢在于可以幫助學生更全面地了解能量法中的不同定理，同時理解不同定理的適用范圍。

（四）"通過虛位移原理及虛力原理推導

此種講授方式與第三節(jié)類似，不同的是首先講授虛位移原理和虛力原理，進而推導卡氏第一和第二定理[16]。講授過程涉及更為嚴格的理論推導，可幫助學生逐漸理解能量法體系，進而對后續(xù)學習有限元分析等課程具有幫助作用。為了適應學生力學分析及研究的需要，此種講授方式其中一個代表性教材[21]從第三版起，將能量法擴充為兩章，分別講授虛位移及虛力原理相關內容，進而形成更加系統(tǒng)的能量原理知識體系。事實上大多結構力學教材中會更詳細介紹虛功原理，即首先講授變形體的虛功原理，其次講授由虛功原理得到的兩個虛功型原理：虛位移原理（與力系平衡等價）和虛力原理（與變形協(xié)調方程等價）。

在材料力學前序課程理論力學中已經給出了質點和質點系的虛位移原理：質點或質點系處于平衡狀態(tài)的充要條件是外力對于虛位移所作的總功為零。對于變形體來說，發(fā)生虛位移時不僅外力做功，內力也會由于虛位移導致的桿件變形而做功。大多材料課本中都給出了變形體虛位移原理的簡單論述，例如，以單輝祖版為代表的教材[5]借助簡支梁受分布荷載，采用分部積分法論證了虛位移原理。以劉鴻文版為代表的教材[3]和以孫訓方版教材[4]為代表的教材分別在理論力學剛體虛位移原理的基礎上給出了變形體虛位移原理的說明。關于虛位移原理更嚴格的論證可以參考結構力學書籍[22]。變形體的虛位移原理可以表述為：變形體處于平衡狀態(tài)的充要條件是作用在其上的外力在虛位移上所做的功（外力虛功）等于內力在相應虛變形上所做的功（內力虛功），即

基于變形體虛位移原理，可以得出卡氏第一定理。注意虛位移可以是與真實位移有關的位移，也可以是與真實位移無關的位移。當虛位移是真實位移的增量時，外力虛功全部轉變?yōu)閼兡茉隽浚处腤e=δVε。彈性體受外荷載（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n）作用平衡后，對應位置產生廣義位移（1，2，…，i，…，n），彈性體內部所存儲的應變能可表示為廣義位移的函數(shù)Vε=f（1，2，…，i，…，n）。如在彈性體上施加虛位移，導致相應位置產生虛位移大小為（1，δ2，…，i，…，n），此過程中外荷載在相應虛位移上所做的外力虛功可以表示為

而內力虛功，即應變能增量可表示為

依據變形體虛位移原理，上述式（26）和式（27）相等可得

式（28）對任意虛位移成立，需保證式（28）括號中的式子恒為零，可得卡氏第一定理Fi=■。

與虛位移原理對應，在講授了虛功和余能的概念后可引出虛力原理。與前述虛位移原理類似，可以給出變形體虛力原理的簡要論證，虛力原理：彈性體保持變形協(xié)調的充要條件是外力虛余功等于內力虛余功

基于變形體虛力原理，可以得出克羅蒂－恩蓋塞定理（余能定理）。任意施加的虛力需滿足平衡條件，可以與真實力有關，也可以與真實力無關，當虛力為作用在彈性體上的真實力的增量時，內力虛余功等于桿件內的余能增量，即δWic=δVc。當桿件受外荷載（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n）平衡后其內余能可以表示為廣義力的函數(shù)Vε=f（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)i，…，F(xiàn)n）。如在桿件上施加任意虛力δFi，則外力虛余功可以表示為

余能增量可表示為

由變形體虛力原理上述式（30）和式（31）相等，可得

式（32）對任意虛位移成立可得克羅蒂－恩蓋塞定理。

對于線彈性體，應變能在數(shù)值上等于余能，即Vε=Vc，可得卡氏第二定理。

在絕大多數(shù)不涉及虛力原理的教材中[3-6，20]，單位荷載法是通過虛位移原理給出的，即將虛加的單位荷載看作實際外力，而將實際位移看作虛位移，進而得到單位荷載法表達式。事實上，在講授了虛力原理后，單位荷載法的給出更為直接[21]。為求變形體在實際荷載作用下某位置處的廣義位移，在該位置處施加相應的單位荷載，并將其看做虛力，由這個單位荷載引起的變形體任意截面上的內力記為（■，■，■，■）。則外力虛余功為1·？駐，內力虛余功為■■dδ+■dλ+■dφ+■dθ，由虛力原理二者相等可得彈性體單位荷載法的一般表述形式。

此種講授方式通過類比對照分別給出了虛位移原理和虛力原理的說明，并基于此分別給出了卡氏第一定理、克羅蒂－恩蓋塞定理（余能定理）及卡氏第二定理的證明。此種講授知識點全面，相比于第三種推導的講授方式來說理論性更強，其優(yōu)勢在于可幫助學生逐漸理解能量法知識體系。

二"能量法不同講授方式對比及教學探討

（一）"四種不同講授方式對比

受課堂教學課時的限制，絕大多數(shù)材料力學能量法課堂教學僅可有針對性地選取其中一種進行講授。隨著時代的發(fā)展，國內外使用的教材也在不斷迭代，尤其是針對能量法的課程內容安排演化較大，逐漸形成了針對不同學科和專業(yè)的經典教材。當前國內機械大類專業(yè)多采用劉鴻文版材料力學，土木大類專業(yè)多采用孫訓方版材料力學教材，其余，如單輝祖、范欽珊、殷雅俊等經典教材也被力學類、航空航天類等專業(yè)廣泛使用。這些經典教材的能量法課程內容安排基本可囊括在本文所討論的四種講授思路中。

第一種講授方式通過應變能與加載順序無關推導得到卡氏第二定理，在鞏固了基本知識及講授了卡氏第二定理新知識的同時，可以更進一步進行單位荷載法及圖乘法的講授，此種方式較利于學生接受。

第二種講授方式通過功的互等定理推導，討論兩個及多個荷載共同作用時線彈性結構的位移及應變能，并采用柔度系數(shù)給出了應變能的表達形式，自然引出功的互等定理及位移互等定理，進一步通過應變能對廣義力求偏導直接得卡氏第二定理。部分學者也采用與上述推導類似的辦法借助剛度系數(shù)給出了卡氏第二定理的證明[15]。推導中用到的功的互等定理、剛度系數(shù)及柔度系數(shù)等概念的介紹對于學生銜接后續(xù)課程的學習具有引導幫助作用。

第三種講授方式借助外力功/余功和應變能/余能的轉換推導得到卡氏第一定理、余能定理及卡氏第二定理。講授過程中假設廣義位移或廣義力有微小增量時，外力功及外力余功的表達形式為廣義力和廣義位移的乘積，需強調廣義力和廣義位移的對應關系，以幫助學生準確使用卡氏定理。講授中一個難點是證明卡氏第一定理及余能定理時施加廣義位移或廣義力微小增量時，應變能增量的計算，可以引入虛位移概念以幫助學生理解。此外，余功及余能為人為定義的一個量，沒有實際物理含義，且為學生首次接觸，需要加以說明。此種講授方式知識點更為全面，通過對比可明確不同定理的適用范圍。

第四種講授方式通過虛位移原理及虛力原理推導，與第三種講授方式類似，理論性更強，借助能量法中虛位移原理和虛力原理給出卡氏第一定理及克羅蒂－恩蓋塞定理的證明，有助于理解能量原理的內涵。教學中以虛功原理為主體，并作為貫穿后續(xù)力學課程的一條主線，對于結構力學中虛功原理、彈性力學中關于能量法的變分原理及有限元法中最小勢能原理的學習具有引導作用。

（二）"能量法教學探討

材料力學作為工科專業(yè)基礎課，對創(chuàng)新型專業(yè)人才培養(yǎng)有關鍵的作用。課程知識點多，理論性強，其中能量法的章節(jié)更是其中的典型。本文總結了四種典型的能量法的講授方式，基本囊括了現(xiàn)行能量法講授思路，可以作為學習參考，幫助開拓思路，逐漸加深理解，形成能量法知識體系。

新工科及新時代人才培養(yǎng)不僅要求學生在學習中掌握基礎知識和基本原理，而且要求學生能逐漸建立模型分析復雜工程問題。在教學過程中引導學生明確專業(yè)目標，將實際專業(yè)問題引入課堂中，幫助學生在學習過程中逐漸建立起專業(yè)認同感及專業(yè)自豪感，培養(yǎng)學生從求解固定作業(yè)題目逐步轉變到解決實際專業(yè)工程及科學問題的能力[12]。

三"結束語

本文總結了材料力學能量法教學中的四種典型講授思路，重點關注了四種講授方式中卡氏第二定理的推導。結合材料力學課程特點，對比分析了四種能量法講授方式的特點及學生接受過程的難易。前兩種方式無需引入余功及余能等概念，與材料力學前述講授有更緊密的銜接。后兩種方式更為全面地介紹了能量原理相關的內容，可幫助學生逐漸形成能量原理知識體系，對后續(xù)相關力學分析課程的學習具有幫助作用。本文旨在聚合不同的經典教學方案，以期開拓學生思路，培養(yǎng)學生對于材料力學學習以及對科學研究的興趣，幫助學生更深刻地理解材料力學能量法，同時為相關專業(yè)學生后續(xù)課程的學習打好堅實的基礎，逐漸培養(yǎng)學生對于應用所學力學知識解決實際工程問題的能力。

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基金項目：國家自然科學基金項目“孔尺度水-油非連續(xù)驅替行為控制機理研究”（52274045）；中國礦業(yè)大學（北京）本科教育教學改革與研究項目“基于科研訓練大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育能力培養(yǎng)模式”（J241509）

第一作者簡介：鄭江韜（1989-），男，漢族，山西運城人，博士，副教授，碩士研究生導師。研究方向為工程力學教學與研究。