摘" 要：預(yù)測港口貨物吞吐量有助于港口管理者更好地了解港口的運(yùn)作效率和運(yùn)輸流程，精確地規(guī)劃港口的建設(shè)和發(fā)展，確保港口能夠滿足未來的貨運(yùn)需求。文章基于2011—2022年福州港貨物吞吐量歷史數(shù)據(jù)，利用分?jǐn)?shù)階灰色馬爾可夫模型（FGM（1，1）模型）對福州港未來三年貨物吞吐量進(jìn)行預(yù)測。結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的GM（1，1）模型和FGM（1，1）模型相比，新的模型預(yù)測精度更高，預(yù)測值與實(shí)際值擬合度更高，預(yù)測結(jié)果可以為港口的總體布局、建設(shè)規(guī)模以及集疏運(yùn)等配套設(shè)施的建設(shè)和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展提供有力的支持。

" 關(guān)鍵詞：FGM（1，1）模型；馬爾可夫鏈；吞吐量預(yù)測；灰色預(yù)測

" 中圖分類號：F552.7" " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2024.24.003

Abstract： Predicting port cargo throughput helps port managers better understand the operational efficiency and transportation processes of the port， accurately plan the construction and development of the port， and ensure that the port can meet future freight needs. This article is based on the historical data of cargo throughput at Fuzhou Port from 2011 to 2022， and uses a fractional order grey Markov model （FGM （1，1） model） to predict the cargo throughput of Fuzhou Port in the next three years. The results show that compared with the traditional GM （1，1） model and FGM （1，1） model， the new model has higher prediction accuracy and a higher degree of fit between the predicted and actual values. The prediction results can provide strong support for the overall layout， construction scale， construction of supporting facilities such as collection and distribution， and economic development of the port.

Key words： FGM （1，1） model; Markov chain; throughput prediction; gray prediction

收稿日期：2024-04-18

作者簡介：邱明晟（2001—），男，福建仙游人，上海理工大學(xué)管理學(xué)院碩士研究生，研究方向：物流管理；李" 林（1966—），女，遼寧營口人，上海理工大學(xué)管理學(xué)院，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：管理科學(xué)與工程、工業(yè)工程、質(zhì)量管理。

引文格式：邱明晟，李林. 基于分?jǐn)?shù)階灰色馬爾可夫模型的港口貨物吞吐量預(yù)測研究[J]. 物流科技，2024，47（24）：10-15.

0" 引" 言

改革開放以來，中國經(jīng)濟(jì)全球化進(jìn)程加快，世界航運(yùn)中心逐步向亞太地區(qū)（尤其是以中國為核心）轉(zhuǎn)移。在此過程中，沿海港口作為連接陸海重要橋梁和對外貿(mào)易重要門戶，其運(yùn)作能力和物流規(guī)模顯著提升，對港口城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展、上下游產(chǎn)業(yè)繁榮和工業(yè)品進(jìn)出口有巨大促進(jìn)作用[1]。港口作為基礎(chǔ)性、樞紐性設(shè)施，是經(jīng)濟(jì)持續(xù)發(fā)展的堅(jiān)實(shí)支柱[2]。港口作為全球海運(yùn)供應(yīng)鏈重要一環(huán)，其吞吐量不僅是競爭力和效率核心指標(biāo)，更是評估港口生產(chǎn)運(yùn)營狀況及規(guī)劃和執(zhí)行策略有效性的關(guān)鍵依據(jù)。因此，準(zhǔn)確預(yù)測港口吞吐量有助于了解港口運(yùn)營狀況，為港口未來發(fā)展規(guī)劃提供數(shù)據(jù)支持，確保港口在全球化背景下持續(xù)、健康、高效發(fā)展[3]。

近年來，國內(nèi)外預(yù)測港口貨物吞吐量的方法很多，如BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)以及系統(tǒng)動力學(xué)等。陳雄寅[4]運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合當(dāng)?shù)馗沟亟?jīng)濟(jì)指標(biāo)對泉州港的物流需求進(jìn)行了預(yù)測，然而這種方法需要對大量數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行訓(xùn)練，而實(shí)際上，港口貨物吞吐量受到國家政策、社會經(jīng)濟(jì)、地理環(huán)境等多重因素的影響，各因素的具體影響程度難以精確量化[5]。程文忠等[6]則采用SVM對九江港的吞吐量進(jìn)行了預(yù)測，但支持向量機(jī)預(yù)測的核心在于核函數(shù)的選取，而當(dāng)前成熟的核函數(shù)及其參數(shù)的選擇往往依賴于人的主觀經(jīng)驗(yàn)[7]。相比之下，Chung等[8]通過分析變量間的因果關(guān)系，運(yùn)用系統(tǒng)動力學(xué)方法預(yù)測了朝鮮港口的貨物運(yùn)量。相較于傳統(tǒng)預(yù)測方法，系統(tǒng)動力學(xué)在解決社會現(xiàn)象中的非線性關(guān)系問題上更具優(yōu)勢。

鑒于當(dāng)前港口吞吐量預(yù)測呈現(xiàn)影響因素難以精確量化、樣本數(shù)據(jù)相對有限、影響因素隨時間發(fā)生變化，導(dǎo)致吞吐量產(chǎn)生波動的特點(diǎn)[9-10]，本文以2011—2022年福州港貨物吞吐量數(shù)據(jù)為例，采用灰色模型對福州港未來三年的貨物吞吐量進(jìn)行預(yù)測，并將傳統(tǒng)的一階累加灰生成拓展為分?jǐn)?shù)階累加灰生成，使得構(gòu)建的模型更符合新信息優(yōu)先的原理[11]，并利用馬爾可夫過程無后效性的特點(diǎn)彌補(bǔ)灰色模型在數(shù)據(jù)出現(xiàn)波動時的誤差[12]，以期為港口運(yùn)營和政府政策制定提供有力的數(shù)據(jù)支持。

1" 模型建立

1.1" FGM（1，1）模型

灰色系統(tǒng)理論是由中國學(xué)者鄧聚龍教授于20世紀(jì)80年代提出的[13]，經(jīng)過四十余年的發(fā)展，其模型在理論研究和實(shí)際應(yīng)用方面都取得了顯著進(jìn)步，有效性和實(shí)用性已得到廣泛認(rèn)可。累加生成是灰色系統(tǒng)理論中由灰變白的一種方法，在構(gòu)建灰色預(yù)測模型時，累加生成有助于揭示序列灰量積累過程的發(fā)展態(tài)勢，使混亂的原始數(shù)據(jù)中隱藏的積分特性或規(guī)律得以顯現(xiàn)。隨后，通過對累加后滿足灰指數(shù)規(guī)律的序列進(jìn)行指數(shù)模擬，構(gòu)建出灰色預(yù)測模型[14]。

FGM（1，1）模型首先建立r階累加序列，接著建立一階白化微分方程，利用最小二乘法求得參數(shù)解得到預(yù)測模型，建立1—r階累加序列，最后將模型結(jié)果還原得到預(yù)測結(jié)果。FGM（1，1）模型如下。

a.建立r階累加序列

令原始非負(fù)時間序列為[Xn=x1，x2，…，xn]，基于此序列，建立[r0lt;rlt;1]階累加序列：

[Xrn=xr1，xr2，…，xrn]。 （1）

其中：[Xrn=i=1kCk-ik-i+r-1xi]，[Ck-ik-i+r-1=k-i+r-1k-i+r-1…r+1rk-i！]，[C0r-1=1]，[Ck+1k=0]。

b.建立一階白化微分方程

[dxrdt+axr=b] （2）

上述微分方程解的形式為：[c=x1-bae-at+ba]。 （3）

c.最小二乘法求解參數(shù)[a]和[b]

[u=ab=BTB-1BY] （4）

其中：[B=-0.5xr1+xr21-0.5xr2+xr31??-0.5xrn-1+xrn1]，[Y=xr2-xr1xr3-xr2?xrn-xrn-1]。

d.得出模型時間響應(yīng)式并求[r]階序列

[Xr=xr1，xr2，…，xrn] （5）

e.基于[r]階序列構(gòu)建1-[r]階累加序列

[X1=xr1-r1，xr1-r2，…，xr1-rn] （6）

f.還原序列得到原始數(shù)據(jù)的預(yù)測值

[xn=xr1-rn-xr1-rn-1] （7）

1.2" Markov模型

馬爾可夫過程是一種隨機(jī)過程，該理論于20世紀(jì)初由俄國數(shù)學(xué)家Markov所提出[15]。理論指出，對于隨機(jī)過程[Xn，n=0，1，2，…]，若它只取有限或可列多個值（我們以[1，2，…]來標(biāo)記[E1]，[E2]，…，稱它們是過程的狀態(tài)并記為E，稱為過程的狀態(tài)空間），并且對任意[n]≥0，對一切的狀態(tài)[i ， j ， i0 ， j0" ，…，jn-1]有：

[PXn+1=jX0=i0 ，X1=i1，，…，Xn-1=in-1，Xn=i，=PXn+1=jXni，]。 （8）

則稱隨機(jī)過程[Xn，n=0，1，2，…]為馬爾可夫鏈。馬爾可夫鏈的最大特點(diǎn)就是它所具備的“無后效性”（即馬爾可夫性），馬爾可夫性指出，客觀事物的下一步狀態(tài)只與它此刻的狀態(tài)有關(guān)，并不需要對它以往狀況的認(rèn)識[16]。利用馬爾可夫鏈模型對FGM（1，1）模型所得的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正，其建模過程如下。

a.狀態(tài)劃分

FGM（1，1）模型的相對誤差[δn]為：

[δn=xn-xnxn]。 （9）

由FGM（1，1）模型計(jì)算出的預(yù)測值與實(shí)際值可以計(jì)算出各個數(shù)值的相對誤差，根據(jù)誤差范圍和樣本個數(shù)，劃分出[n]個狀態(tài)區(qū)間，對應(yīng)的每個狀態(tài)區(qū)間可表示為[Ei=e1i，e2ii=1，2，…，n]，其中[e1i]和[e2i]分別表示狀態(tài)[Ei]區(qū)間的最大限制和最小限制。

b.構(gòu)建狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

定義[P（n）ij]表示由狀態(tài)[Ei]經(jīng)過[n]步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)[Ej]的概率，那么樣本的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率[P（n）ij]可表示為：

[P（n）ij=Q（n）ijQi]。 （10）

其中：[Q（n）ij]表示狀態(tài)[Ei]經(jīng)過[n]步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)[Ej]的次數(shù)，[Qi]表示樣本處于[Ei]狀態(tài)的總次數(shù)。由此可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

[P（n）=P（n）11P（n）12…P（n）1nP（n）21P（n）22…P（n）2n???P（n）n1P（n）n2…P（n）nn]。 （11）

c.馬爾可夫預(yù)測值修正

根據(jù)所得的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣修正[r]階灰色預(yù)測值，對相對誤差的狀態(tài)區(qū)間[Ei]取中間值，得到模型預(yù)測公式為：

[y=xn1±0.5e1i+e2i]。 （12）

當(dāng)預(yù)測值高于實(shí)際值時，式中符號取正；當(dāng)預(yù)測值低于實(shí)際值時，式中符號取負(fù)；當(dāng)預(yù)測值與實(shí)際值較為接近（指相對誤差[≤]0.02）時不予修正。

1.3" 模型檢驗(yàn)

模型檢驗(yàn)是模型開發(fā)和應(yīng)用過程中不可或缺的環(huán)節(jié)，它對于確保模型的質(zhì)量、可靠性和有效性具有重要意義。本文通過平均相對誤差、后驗(yàn)差檢驗(yàn)和小概率誤差對模型進(jìn)度進(jìn)行檢驗(yàn)。殘差序列[εk=xn-xn]，樣本序列標(biāo)準(zhǔn)差[S1=1nk=1nxn-x2]，殘差序列標(biāo)準(zhǔn)差[S2=1nk=1nεk-ε2]。

a.平均相對誤差

[M=1nk=1nεkxn] （13）

b.后驗(yàn)差比值

[C=S2S1] （14）

c.小概率誤差

[p=εk-εlt;0.674 5S1] （15）

d.模型精度表[17]（見表1）

2" 數(shù)值實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

選用《福建統(tǒng)計(jì)年鑒》中2011—2022年福州港貨物吞吐量（見表2）作為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究，分別采用灰色預(yù)測模型和FGM（1，1）預(yù)測模型，對樣本尾數(shù)誤差最小的一組數(shù)據(jù)繼續(xù)做馬爾可夫修正，并比較灰色馬爾可夫預(yù)測模型和FGM（1，1）-Markov模型的精度，找出精度最優(yōu)的模型并預(yù)測未來3年的港口吞吐量情況。

2.1" FGM（1，1）預(yù)測

以2011—2022年福州港貨物吞吐量數(shù)據(jù)為建模樣本，則原始非負(fù)時間序列為[Xn]={10 221.08，11 410.22，12 759.03，14 391.14，13 967.23，14 515.66，14 838.16，17 876.32，21 255.49，24 896.84，27 352.42，30 164.10}。

首先確定最優(yōu)階數(shù)r的取值，累加階數(shù)不同，模型的平均相對誤差和樣本尾數(shù)誤差也不盡相同。按照上述建模過程，利用Matlab對數(shù)據(jù)進(jìn)行傳統(tǒng)GM（1，1）和FGM（1，1）求解。該樣本在分?jǐn)?shù)階灰色模型預(yù)測中，[r=0.1]時，[r∈]（0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0）樣本的尾數(shù)誤差最小，其中，[r=1]時，F(xiàn)GM（1，1）模型就是GM（1，1）模型。不同階數(shù)[r]對應(yīng)的平均相對誤差和樣本尾數(shù)誤差如表3所示。由表3可知，隨著累加階數(shù)r的增加，樣本的尾數(shù)誤差呈逐漸增加的趨勢，既然模型的特點(diǎn)是降低樣本的尾數(shù)誤差，而馬爾可夫修正是利用最近一年的狀態(tài)對下一年的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，故應(yīng)選取尾數(shù)誤差最小的累加階數(shù)[18]，即[r=0.1]。

0.1階累加序列為：

[x0.1n]={[x0.11]，[ x0.12]，…，[x0.112]}={10 221.08，12 432.33，14 462.21，16 688.12，16 852.36，17 785.65，18 572.85，21 860.33，25 823.45，30 213.70，33 553.59，37 228.53}。

最小二乘法求解參數(shù)[a]和[b]為：

[ab=BTB-1BY=-0.118 4-40.940 2]。

其中：

[B=-11 326.701-13 447.271-15 575.161-16 770.241-17 319.001-18 135.031-20 172.381-23 841.891-28 018.581-31 883.641-35 391.061]，[Y=2 211.252 029.882 225.91164.24933.29698.773 375.923 963.124 390.243 339.893 674.94]。

時間響應(yīng)函數(shù)為：

[yk+1]=9 875.34[e0.118 4 k]+345.74。

0.1階累加序列為：

[Xr=xr1，xr2，… ， xrn]

={10 221.08，11 462.50，12 859.98，14 433.14，16 204.05，18 197.59，20 441.74，22 967.99，25 811.82，29 013.14，32 616.90，36 673.68}。

還原序列為：

[X1=xr1-r1，xr1-r2，… ， xr1-rn]

={10 221.08，20 661.47，31 915.26，44 255.28，57 899.45，73 059.06，89 955.52，108 828.89，129 943.74，153 594.23，180 108.91，209 855.81}。

對所得的一階累加序列模擬值做累減運(yùn)算，得出FGM（1，1）模型的預(yù)測值，如表4所示。

2.2" FGM（1，1）-Markov預(yù)測

根據(jù)表4中的相對誤差劃分出四個狀態(tài)區(qū)間（狀態(tài)區(qū)間劃分表見表5）。

得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

[P=01001301313014340001323]。

對各年份進(jìn)行狀態(tài)區(qū)間劃分，如表7所示。

馬爾可夫預(yù)測值修正。以2017年預(yù)測值為例，狀態(tài)處于[E1]，由此計(jì)算經(jīng)馬爾可夫模型修正后的預(yù)測值為y=[16 896.461-0.5×-0.138 7+-0.068 7] =15 311.01。同理可以計(jì)算出其余年份的馬爾可夫修正值，如表8所示。需注意，當(dāng)相對誤差≤0.02時，預(yù)測值不予修正。

3" 模型預(yù)測結(jié)果對比與精度檢驗(yàn)

通過計(jì)算得出FGM-Markov預(yù)測值，并將其與GM（1，1）模型、FGM（1，1）模型、灰色馬爾可夫模型預(yù)測值相比較。對比數(shù)據(jù)如表9所示。

參照模型精度等級劃分表（表1），對3種預(yù)測模型進(jìn)行誤差、后驗(yàn)差和小概率誤差檢驗(yàn)，如表10。由表10可知GM（1，1）預(yù)測模型和FGM（1，1）預(yù)測模型的精度等級為三級，分?jǐn)?shù)階灰色馬爾可夫預(yù)測模型的精度等級為一級；相較于GM（1，1）和FGM（1，1）預(yù)測模型，分?jǐn)?shù)階灰色馬爾可夫預(yù)測模型的平均誤差均值分別下降了74.65%，72.42%；后驗(yàn)差比值也為最小，精度等級有所提高。圖1也可以更直觀地看出分?jǐn)?shù)階灰色馬爾可夫模型的預(yù)測數(shù)據(jù)擬合度更高。模型更具參考價值。

4" 福州港未來三年貨物吞吐量預(yù)測

通過灰色預(yù)測與分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型分別計(jì)算出福州港未來三年貨物吞吐量，分別利用馬爾可夫模型進(jìn)行修正。以2023年數(shù)據(jù)為例，F(xiàn)GM模型預(yù)測值為33 392.03萬噸。

由表7可知2022年福州港貨物吞吐量處于狀態(tài)[E3]，則初始狀態(tài)向量為P =（0，0，1，0），可計(jì)算出2023年?duì)顟B(tài)轉(zhuǎn)移向量P1為（0，[14]，[34]，0），故下一步轉(zhuǎn)移狀態(tài)最有可能處于[E3]狀態(tài)；計(jì)算得2023年預(yù)測量為32 199.05萬噸。同理，預(yù)測2024—2025年福州港貨物吞吐量，如表11所示。

5" 結(jié)" 語

鑒于FGM模型在樣本少時，解的擾動界小，模型穩(wěn)定性較好的優(yōu)勢（分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型及其應(yīng)用研究），采用該模型預(yù)測港口貨物吞吐量，并考慮到港口貨物吞吐量數(shù)據(jù)受各種因素影響增長趨勢存在波動的不確定性，采用馬爾可夫鏈優(yōu)化FGM模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，F(xiàn)GM-Markov模型相比于單一的灰色模型和分?jǐn)?shù)階灰色模型，預(yù)測效果更優(yōu)，能夠更好地描述港口的貨物吞吐量變化趨勢，有利于協(xié)調(diào)港口經(jīng)濟(jì)發(fā)展，為港口建設(shè)與發(fā)展提供一定的支持作用。

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