摘 要：在初中幾何最值問(wèn)題的教學(xué)中，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定顯得尤為關(guān)鍵，它對(duì)學(xué)生的高效學(xué)習(xí)以及教師的教學(xué)執(zhí)行和評(píng)估都有著直接的影響.我國(guó)關(guān)于數(shù)學(xué)幾何最值的研究主要集中于概念層面上的探索和應(yīng)用方面.本文主要研究在布魯姆教育目標(biāo)分類理論的框架下，如何設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題的教學(xué)目標(biāo).

關(guān)鍵詞：教育目標(biāo)分類理論；幾何最值問(wèn)題教學(xué)；教學(xué)目標(biāo)；教學(xué)建議

在中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，平面幾何具有不可忽視的重要性.隨著社會(huì)發(fā)展與科技進(jìn)步，平面幾何教學(xué)也逐漸由傳統(tǒng)的理論型向應(yīng)用型轉(zhuǎn)變，其教學(xué)內(nèi)容已不僅僅是課本中的定理公式或圖形變換.通過(guò)將平面幾何作為教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生有機(jī)會(huì)掌握科學(xué)和技術(shù)所必需的基礎(chǔ)幾何概念，以及能夠解決他們常見(jiàn)的日常生活中遇到的難題，并由此提升邏輯思維、空間想象、實(shí)際應(yīng)用和創(chuàng)新等多方面的能力.隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，人們?cè)絹?lái)越重視對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系建構(gòu)的研究，特別是對(duì)于初中階段平面幾何課程的設(shè)置與實(shí)施給予更多關(guān)注.

1 幾何最值問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)

在分析幾何最值問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)的知識(shí)維度時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)教師在制定教學(xué)目標(biāo)時(shí)，特別強(qiáng)調(diào)了幾何最值問(wèn)題的解決方法和技巧.這些知識(shí)維度包括路徑與最值、瓜豆原理、將軍飲馬問(wèn)題、胡不歸問(wèn)題、阿氏圓問(wèn)題和造橋選址問(wèn)題.同時(shí)，筆者注意到學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展過(guò)程中存在著一定程度的缺陷，抽象思維能力較弱.在這些知識(shí)中，與解題技巧有關(guān)的“程序性知識(shí)”數(shù)量最多，緊隨其后的是“概念性知識(shí)”.另外，也有一些學(xué)生關(guān)注到了“概念理解、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力”等方面的內(nèi)容.但是，“事實(shí)性知識(shí)”與“反省認(rèn)知知識(shí)”的教育目標(biāo)相對(duì)較少.此外，學(xué)生在理解這些概念上存在較大困難.需要強(qiáng)調(diào)的是，“反省認(rèn)知知識(shí)”在制定教學(xué)目標(biāo)時(shí)并沒(méi)有受到足夠的重視.

在教學(xué)目標(biāo)內(nèi)容分析中，教師對(duì)幾何最值問(wèn)題的特殊知識(shí)和一般知識(shí)的關(guān)注不夠均衡，一般化的知識(shí)占據(jù)了較大比例.

教學(xué)目標(biāo)的綜合維度包含了知識(shí)維度和認(rèn)知過(guò)程維度，通過(guò)將教學(xué)目標(biāo)置于布魯姆教育目標(biāo)分類的兩維分類表中進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)主要集中在“理解概念性知識(shí)”和“運(yùn)用程序性知識(shí)”兩個(gè)方面.［1］然而，“評(píng)價(jià)”維度的知識(shí)類別數(shù)量較少，顯示出對(duì)學(xué)生評(píng)價(jià)能力關(guān)注的不足.

初中教師在設(shè)計(jì)幾何最值問(wèn)題的教學(xué)目標(biāo)時(shí)，存在著對(duì)特定知識(shí)和認(rèn)知過(guò)程的過(guò)度關(guān)注，對(duì)評(píng)價(jià)能力等其他方面的關(guān)注不足的問(wèn)題.這些發(fā)現(xiàn)有助于指導(dǎo)教師更加科學(xué)地設(shè)計(jì)幾何最值問(wèn)題的教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

2 中考路徑最值問(wèn)題的解法探究

筆者選取部分典型路徑最值問(wèn)題進(jìn)行研究.研究以試題呈現(xiàn)、解析、評(píng)述三個(gè)步驟開(kāi)展.

2.1 圓弧形路徑最值問(wèn)題

2.1.1 挖掘條件，構(gòu)建輔助圓

例1 如圖，點(diǎn) O 為線段 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) A、C、D 到點(diǎn) O 的距離相等，若∠ABC=40°，則∠ADC 的度數(shù)是""" .

圖

解析：如圖1所示，連接OA、OD，由題可得OA=OB=OC=OD，則點(diǎn)A、B、C、D 在以 O 為圓心，以 OA 為半徑的圓上，故∠ADC=180°-∠ABC=140°.

例2 如圖，已知AB=AC=AD，∠CBD=2·∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD 的度數(shù)為""" .

圖

解析：如圖2所示，以點(diǎn) A 為圓心，AB 為半徑作圓，由 AB=AC=AD，可得點(diǎn) C、D 都在⊙A 上，則∠CAD=2∠CBD=4∠BDC=2∠BAC=88°.

評(píng)述：上述兩個(gè)例題都有一個(gè)顯著的特點(diǎn)，那就是都存在三條具有公共端點(diǎn)的等高線.由此可以想到“所有圓的半徑都是相同的”這樣的思路來(lái)構(gòu)建輔助圓，這有助于導(dǎo)角.這種結(jié)構(gòu)被形象地描述為“相等三線圖”，意味著“看到相等的三線圖后，就去構(gòu)想輔助圓”.

2.1.2 構(gòu)建輔助圓，破解問(wèn)題

例1 如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，點(diǎn)P是邊AB上另一動(dòng)點(diǎn)，則PD＋PG的最小值為""" .

圖

解析：如圖3所示，設(shè)邊BC的中點(diǎn)為M，由題知∠BGC=90°，故點(diǎn)G 在以 BC 為直徑的⊙M 上運(yùn)動(dòng).作點(diǎn) D 關(guān)于 AB 的對(duì)稱點(diǎn) D′，連接 D′P 、D′M、GM，則 PD＋PG＋GM=PD′＋PG＋GM≥D′M，即 PD＋PG ≥ D′M-GM ，再作 MN ⊥ AD 于點(diǎn) N，易得 D′M=213，GM=2，故 PD＋PG ≥213-2，即 PD＋PG 的最小值為213-2.

例2 如圖，△ABC 內(nèi)接于⊙O，BC=12，∠A=60°，點(diǎn) D 為弧 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，BE⊥直線OD 于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)D 從點(diǎn)B 沿弧BC 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C 時(shí)，點(diǎn)E 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為""" .

圖

解析：如圖4所示，連接 OB，設(shè)OB的中點(diǎn)為M，由題知∠OEB=90°，故點(diǎn)E 在以 OB 為直徑的⊙M 上運(yùn)動(dòng)，易知點(diǎn) E 的起始位置 E1與點(diǎn) B 重合，連接 CO 并延長(zhǎng)，其與⊙M 的另一個(gè)交點(diǎn) E2即為點(diǎn) E 的終止位置，故點(diǎn) E 經(jīng)過(guò)的路徑為優(yōu)弧 E1OE2，進(jìn)一步可求其弧長(zhǎng)為240π·23180=83π3，即點(diǎn)E 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為83π3.

例3 如圖，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為2，E 為射線 CD 上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) C 重合），以 CE 為邊在正方形 ABCD 外部作正方形 CEFG，連接 BE、DG，直線 BE、DG 相交于點(diǎn) P，連接 AP.當(dāng)線段 AP 的長(zhǎng)為整數(shù)時(shí)，AP 的長(zhǎng)為""" .

圖

解析：如圖5所示，連接AC、BD，兩者交于點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心，MA長(zhǎng)為半徑作圓，則△BCE≌△DCG，進(jìn)一步可證∠BPD=90°，故點(diǎn)P在以BD為直徑的⊙M上運(yùn)動(dòng)，從而點(diǎn)P可看作直線BE與⊙M的交點(diǎn)，由此可判斷點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑實(shí)際上是一段半圓弧ADC（不含端點(diǎn)A 與 C），則0lt;APlt;22，故其整數(shù)值為1或2.

評(píng)析：在上述三個(gè)問(wèn)題中，一個(gè)共同點(diǎn)是識(shí)別或構(gòu)建“定邊對(duì)直角”的結(jié)構(gòu)，這樣才能讓學(xué)生正確判斷目標(biāo)動(dòng)點(diǎn)在圓（?。┓较蛏系囊苿?dòng).解決例1的困難在于，如何通過(guò)對(duì)稱變換，把兩個(gè)線段和的最小值通過(guò)對(duì)稱的方法轉(zhuǎn)換成三個(gè)線段和的最小值，從而使用“兩點(diǎn)之間線段最短”的原則來(lái)找出最值.［2］例2也存在一個(gè)難點(diǎn)，即通過(guò)找到點(diǎn) E 的終止位置來(lái)確定圓心角的角度，進(jìn)一步計(jì)算出路徑的長(zhǎng)度.例3的難點(diǎn)在于找到目標(biāo)點(diǎn) P 的臨界值，將其視為兩個(gè)圖象（直線 BE 和⊙M）的交點(diǎn)，這個(gè)找交點(diǎn)的方法可以被稱為“交軌法”.

例4 如圖，AB 為⊙O 的直徑，且 AB=4，點(diǎn) C 在半圓上，OC ⊥AB，垂足為點(diǎn)O.P為半圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PE⊥OC 于點(diǎn)E，設(shè)△OPE 的內(nèi)心為M，連接 OM、PM.

（1）求∠OMP 的度數(shù).

（2）當(dāng)點(diǎn) P 在半圓上從點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C 時(shí)，求內(nèi)心 M 所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

圖

解析：（1）易證∠OMP=90°＋12∠OEP=135°.

（2）如圖6所示，連接 CM，易證△OPM≌△OCM，則∠OMC=∠OMP=135°，且 OC=2，故點(diǎn) M 在以O(shè)C 為弦的圓上運(yùn)動(dòng).作△OMC 的外接圓，圓心為F，連接 OF、CF，易知當(dāng)點(diǎn) P 在半圓上從點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C 時(shí)，點(diǎn) M 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)即為弧 OC 的長(zhǎng)，又易得∠ F=90°，OF=2，則內(nèi)心 M 所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為90π·2180=2π2.

評(píng)析：這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)在于利用全等判斷∠OMC=135°來(lái)識(shí)別“定邊對(duì)定角”的結(jié)構(gòu).需要特別指出的是，這里的“定邊”指的是大小和位置都已確定的邊，不只是大小已確定的邊.

2.2 直線型路徑問(wèn)題

例題 如圖，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=3.若動(dòng)點(diǎn) P 滿足 S△PAB=13S矩形 ABCD，則點(diǎn) P 到 A、B 兩點(diǎn)距離之和 PA＋PB 的最小值為""" .

圖

解析：由 S△PAB=13S矩形 ABCD，可得點(diǎn) P 到直線 AB 的距離為2，故點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)路徑是一條與 AB 平行的直線，即圖7中的直線 l，作點(diǎn) A 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) A′，連接 A′B，交直線 l 于點(diǎn) P′，則點(diǎn) P′即為要找的點(diǎn) P，此時(shí) PA＋PB 取得最小值為 A′B=41.

評(píng)析：本題利用面積關(guān)系得到點(diǎn)P 到 AB 的距離為定值，從而判斷點(diǎn)P 在一條直線上運(yùn)動(dòng)，即為“平行定距法”.

2.3 來(lái)回型路徑問(wèn)題

例題 如圖，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20.點(diǎn) P 在線段 CB 上，以1 cm/s 的速度從點(diǎn) C 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，連接 AP，作 CE⊥AB 分別交 AP、AB 于點(diǎn) F、E，再過(guò)點(diǎn) P 作PD⊥AP 交 AB 于點(diǎn) D，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）線段 CE=""" .

（2）當(dāng) t=5時(shí)，求證：△BPD≌△CAF.

（3）當(dāng) t 為何值時(shí)，△PDB 是等腰三角形.

（4）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

圖

解析：（1）易得 CE=45AC=12.

（2）由題易得∠BPD=∠CAF 且∠B=∠ACF，故無(wú)論 t 為何值，總有△BPD∽△CAF.當(dāng) t=5時(shí)，CP=5，BP=15，即 BP=CA，故有△BPD≌△CAF.

（3）易知∠BDPgt;90°，即△PDB 為鈍角三角形，要使△PDB 為等腰三角形，只可能∠B=∠BPD.由（2）知∠BPD=∠CAP，故tan∠CAP=tan∠B=34，即CPAC=34，所以 CP=34AC=454，即當(dāng) t=454時(shí)，△PDB 為等腰三角形.

（4）隨著點(diǎn) P 由起點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn) B，點(diǎn) D 由起點(diǎn) B 沿著 BA 的方向運(yùn)動(dòng)至最遠(yuǎn)處，然后又回到起點(diǎn) B 即點(diǎn) D 的路徑屬于來(lái)回型直線路徑，其路徑長(zhǎng)等于 BD 最大值的兩倍.

如圖8所示，取 AD 的中點(diǎn) M，連接 PM，作 MG⊥BC 于點(diǎn) G，設(shè) PM=AM=DM=y，則 BM=25-y，從而有MG=35BM=35（25-y）.由 PM≥MG，可得 y≥35（25-y），解得 y≥758，故 AD=2y≥754.因此，有BD=25-AD≤258，即BD 的最大值為254，當(dāng)且僅當(dāng)MP⊥BC 時(shí)取得最大值.因此，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn) D 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為254×2=252.

變式 如圖，在Rt△ABC 中，∠A=30°，斜邊 AB=23，動(dòng)點(diǎn)P 在邊AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在邊AC上，且CP⊥PQ，求線段 CQ 長(zhǎng)度的最小值.

圖

解析：如圖9所示，取 CQ 的中點(diǎn) M，連接 PM，作 MG⊥AB 于點(diǎn) G，則 PM≥MG，設(shè)PM=CM=QM=t，則 AM=AC-CM=3-t，MG=12AM=3-t2，故 t ≥3-t2，解得 t ≥1，從而 CQ=2t≥2，當(dāng)且僅當(dāng) PM⊥AB 時(shí)，CQ 取最小值為2.

評(píng)述：以上兩個(gè)問(wèn)題都是先構(gòu)建可變直角三角形斜邊上的中心線，創(chuàng)建一個(gè)符合“SSA”，即“邊邊角”特性的三角形.然后，根據(jù)“斜邊高于直角邊”或者“斜邊大于直角邊”的原則進(jìn)行求解最值.學(xué)習(xí)的核心在于深度反思，這種方法需要從結(jié)構(gòu)性的角度提煉核心內(nèi)容，并結(jié)合已掌握的知識(shí)或技巧.只有逐漸累積經(jīng)驗(yàn)，才能增強(qiáng)解題技巧，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重應(yīng)用過(guò)去的知識(shí)與方法.

3 結(jié)語(yǔ)

幾何最值問(wèn)題的教學(xué)目標(biāo)在整個(gè)幾何最值問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中起著至關(guān)重要的指導(dǎo)和評(píng)估作用.目前，我國(guó)關(guān)于幾何最值問(wèn)題教學(xué)策略研究還相對(duì)較少.本文從布魯姆教育目標(biāo)分類理論的視角來(lái)審視幾何最值問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)狀況，分析其存在的不足之處，并以教師對(duì)幾何最值問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)的理解、內(nèi)容選擇和設(shè)計(jì)方法為核心，提出了一系列改進(jìn)的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)建議.

參考文獻(xiàn)

［1］商鈺瑩.初中幾何最值教學(xué)的研究分析［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（10）：26-29.

［2］王暉.活用幾何定理 速求最值問(wèn)題［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2022（5）：14-15.

［3］吳玉華.“動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題”在初中幾何中的分類解析［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（19）：6-7.