摘 要：數(shù)學(xué)解題與技巧研究是一個(gè)深層次的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過(guò)程，也是教學(xué)與學(xué)習(xí)中不斷積累知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)、掌握技巧與方法的一個(gè)重要場(chǎng)所.本文結(jié)合一道數(shù)量積的最值問(wèn)題，從不同思維視角切入與應(yīng)用，并深入拓展與研究，提升思維與能力的高度與維度，引領(lǐng)并指導(dǎo)解題研究與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：三角形；單位圓；平面向量；數(shù)量積

平面向量數(shù)量積是平面向量模塊知識(shí)中最為重要的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)，也是近年高考試卷中比較常見(jiàn)的一個(gè)基本考點(diǎn).此類平面向量數(shù)量積問(wèn)題，經(jīng)常以平面幾何圖形為背景，結(jié)合數(shù)量積的求值、最值（或取值范圍）以及創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題等形式來(lái)合理設(shè)置.熟練理解并掌握求解平面向量數(shù)量積的基本技巧與策略方法，就成為解決此類問(wèn)題的重中之重，也是課堂教學(xué)與復(fù)習(xí)備考中的一個(gè)基本專題.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題 已知A，B，C為單位圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AB·（AB+AC）的最小值為""" .

此題以單位圓為背景，結(jié)合單位圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)內(nèi)接三角形的確定，進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)平面向量數(shù)量積的最值.

在實(shí)際解題過(guò)程中，可以綜合平面向量?jī)?nèi)涵，從平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算層面來(lái)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算與應(yīng)用；也可以回歸平面幾何本質(zhì)，從解三角形思維切入來(lái)分析與應(yīng)用等.不同思維視角的切入，給問(wèn)題的解決開(kāi)拓更加廣闊的空間與應(yīng)用.

2 問(wèn)題破解

2.1 代數(shù)思維

方法1：坐標(biāo)法.

以BC的垂直平分線為y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（a，b），B（m，n），C（－m，n），

則a2+b2＝1，m2+n2＝1.

由已知AB·（AB+AC）＝AB2+AB·AC＝（m－a，n－b）·（m－a，n－b）+（m－a，n－b）·（－m－a，n－b）＝2+2n2－2am－4bn.

由柯西-施瓦茨不等式，可得am+2bn≤（a2+b2）（m2+4n2）＝1+3n2，當(dāng)且僅當(dāng)2an＝bm時(shí)等號(hào)成立，

則AB·（AB+AC）＝2+2n2－2am－4bn≥2+2n2－21+3n2.

構(gòu)建函數(shù)f（n）＝2+2n2－21+3n2，n∈［－1，1］，此時(shí)函數(shù)f（n）是偶函數(shù).

當(dāng)n∈［0，1］時(shí)，求導(dǎo)可得f′（n）＝4n－6n1+3n2，令f′（n）＝0解得n＝156，所以當(dāng)n∈0，156時(shí)，f′（n）lt;0，函數(shù)f（n）單調(diào)遞減；當(dāng)n∈156，1時(shí)，f′（n）gt;0，函數(shù)f（n）單調(diào)遞增.同理可得，當(dāng)n∈-1，-156時(shí)，f′（n）＜0，函數(shù)f（n）單調(diào)遞減；當(dāng)n∈-156，0時(shí)，f′（n）＞0，函數(shù)f（n）單調(diào)遞增，所以f（n）min＝f156=f-156＝－16.

綜上，AB·（AB+AC）最小值為－16，當(dāng)且僅當(dāng)n＝±156且2an＝bm時(shí)等號(hào)成立，故答案為－16.

點(diǎn)評(píng)：解決平面向量數(shù)量積問(wèn)題，可以從平面向量的坐標(biāo)公式層面來(lái)應(yīng)用，合理構(gòu)建相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系就成為解題的關(guān)鍵所在.借助平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建，把對(duì)應(yīng)的數(shù)量積表示成坐標(biāo)的關(guān)系式，結(jié)合代數(shù)運(yùn)算，綜合函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)以及不等式等知識(shí)的應(yīng)用來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題.

方法2：三角法.

如圖2所示，以單位圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，取A（1，0），設(shè)B（cos α，sin α），C（cos β，sin β），其中α，β∈［0，2π）.

由已知AB＝（cos α－1，sin α），AC＝（cos β－1，sin β），

則AB·（AB+AC）＝（cos α－1，sin α）·（cos α+cos β－2，sin α+sin β）＝（cos α－1）·（cos α+cos β－2）+sin α（sin α+sin β）

＝3+cos（α－β）－3cos α－cos β＝3（1－cos α）+［cos（α－β）－cos β］＝6sin 2α2－2sin α2sinα-2β2

≥6sin 2α2－2sin α2（當(dāng)且僅當(dāng)sinα-2β2＝1時(shí)等號(hào)成立）

＝6sinα2－162－16≥－16（當(dāng)且僅當(dāng)sinα2＝16時(shí)等號(hào)成立）.

綜上，AB·（AB+AC）的最小值為－16，當(dāng)且僅當(dāng)sinα-2β2＝1且sinα2＝16時(shí)等號(hào)成立，故答案為－16.

點(diǎn)評(píng)：依托單位圓的本質(zhì)，對(duì)于單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)可以借助三角換元法來(lái)設(shè)置，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題，進(jìn)而利用三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等來(lái)確定相應(yīng)的最值.在三角換元及其三角恒等變換過(guò)程中，合理的變換與轉(zhuǎn)化成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2.2 幾何思維

如圖3所示，設(shè)△ABC的外心為O，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，作OE//AB，交圓O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作OE的垂線，垂足為M，設(shè)CD交OE于點(diǎn)N

結(jié)合投影，可得AB·（AB+AC）＝AB2+AB·AC＝AB2+AB·AD

≥AB2－AB·AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)等號(hào)成立）

＝AB2－AB·MN≥AB2－AB·ME（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)E重合時(shí)等號(hào)成立）

＝AB2－AB·（OE－OM）＝AB2－AB·（1－12AB）＝32AB2－AB＝32·AB－132－16≥－16，當(dāng)且僅當(dāng)AB＝13時(shí)等號(hào)成立.

綜上，AB·（AB+AC）的最小值為－16，故答案為－16.

點(diǎn)評(píng)：回歸平面向量中的平面幾何“形”的結(jié)構(gòu)特征，從幾何圖形的直觀想象入手，結(jié)合平面向量的數(shù)量積的變形與轉(zhuǎn)化，利用幾何圖形加以轉(zhuǎn)化；結(jié)合向量投影的幾何意義與應(yīng)用來(lái)轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與求解.投影法是解決平面向量的數(shù)量積及其綜合應(yīng)用問(wèn)題中比較常用的一種技巧方法，也是數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化與應(yīng)用的一種基本策略.

2.3 解三角形思維

設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，結(jié)合正弦定理有a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C.

由已知AB·（AB+AC）＝AB2+AB·AC＝c2+bccos A＝c2+bc·b2+c2-a22bc

＝32c2+12b2－12a2＝6sin 2C+2（sin2B－sin2A）＝6·sin 2C+2sin（B+A）sin（B－A）

＝6sin 2C－2sin C·sin（A－B）≥6sin 2C－2sin C＝6sin C－162－16≥－16，當(dāng)且僅當(dāng)sin（A－B）＝1且sin C＝16，即A－B＝π2且sin C＝16時(shí)等號(hào)成立.

綜上，AB·（AB+AC）的最小值為－16，故答案為－16.

點(diǎn)評(píng)：回歸平面向量中“形”的本質(zhì)，從平面幾何入手，借助解三角形思維來(lái)應(yīng)用，有時(shí)可以給此類平面向量綜合應(yīng)用問(wèn)題的解決創(chuàng)造更加良好的條件，使得問(wèn)題的分析與處理更加簡(jiǎn)捷有效.解三角形的應(yīng)用，最終也是轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的關(guān)系式問(wèn)題，利用三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定最值問(wèn)題.

3 變式拓展

以單位圓為問(wèn)題場(chǎng)景，結(jié)合不同平面向量的數(shù)量積關(guān)系式的構(gòu)建，進(jìn)而確定數(shù)量積的最值問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)不同方式的變式與應(yīng)用.

變式1 已知A，B，C為單位圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AB·AC的最小值為""" .

方法1：坐標(biāo)法.

以BC的垂直平分線為y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（a，b），B（m，n），C（－m，n），

則a2+b2＝1，m2+n2＝1.

由已知AB·AC＝（m－a，n－b）·（－m－a，n－b）＝a2－m2+n2－2bn+b2＝2n2－2bn＝2·（n－12b）2－12b2，則當(dāng)n＝12b時(shí)，AB·AC＝2·（n－12b）2－12b2取得最小值，為－12b2.

b∈［－1，1］，故當(dāng)b＝±1時(shí)，－12b2取得最小值為－12，此時(shí)n＝±12，滿足要求，故答案為－12.

方法2：三角法.

如圖2所示，以單位圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，取A（1，0），設(shè)B（cos α，sin α），C（cos β，sin β），其中α，β∈［0，2π）.

由已知AB·AC＝（cos α－1，sin α）·（cos β－1，sin β）＝cos αcos β－（cos α+cos β）+1+sin α·sin β

＝cos（α－β）－（cos α+cos β）+1＝cos（α－β）－2cosα+β2cosα-β2+1

≥cos（α－β）－2cosα-β2+1（當(dāng)且僅當(dāng)cosα+β2＝1時(shí)等號(hào)成立）

＝2·cos2α-β2－1－2cosα-β2+1＝2cos2α-β2－2cosα-β2＝2cosα-β2－122－12≥－12（當(dāng)且僅當(dāng)cosα-β2＝12時(shí)等號(hào)成立）.

綜上，AB·AC的最小值為－12，當(dāng)且僅當(dāng)cosα+β2＝1且cosα-β2＝12時(shí)等號(hào)成立，故答案為－12.

變式2 已知△ABC的外接圓半徑為1，則AB·BC的最大值為""" .

解析：由已知AB·BC＝（OB－OA）·BC＝OB·BC－OA·BC＝－12|BC|2－|BC|·cos α≤－12·|BC|2+|BC|，其中角α為OA與BC的夾角，如圖4所示，當(dāng)且僅當(dāng)OA與BC的方向相反，即cos α＝－1時(shí)等號(hào)成立.

－12|BC|2+|BC|＝－12（|BC|－1）2+12≤12，當(dāng)且僅當(dāng)|BC|＝1時(shí)等號(hào)成立.

綜上，AB·BC的最大值為12，當(dāng)且僅當(dāng)|BC|＝1且OA與BC的方向相反時(shí)等號(hào)成立，故填答案12.

4 教學(xué)啟示

在實(shí)際求解平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，特別是數(shù)量積的求值、最值、取值范圍以及創(chuàng)新應(yīng)用等問(wèn)題時(shí)，往往離不開(kāi)平面向量自身“數(shù)”與“形”的雙重屬性.在具體解題過(guò)程中，學(xué)生可以抓住數(shù)量積自身“數(shù)”的屬性應(yīng)用，應(yīng)借助代數(shù)思維來(lái)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算；抓住數(shù)量自身“形”的幾何特征，借助幾何思維來(lái)應(yīng)用與直觀分析等.

解決平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，應(yīng)借助“數(shù)”與“形”的不同視角，結(jié)合不同的應(yīng)用場(chǎng)景，選擇行之有效的方法與解題策略來(lái)分析與處理.抓住問(wèn)題的本質(zhì)與內(nèi)涵，或“數(shù)”來(lái)代數(shù)運(yùn)算，或“形”來(lái)直觀想象，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的緊密結(jié)合，使得平面向量數(shù)量積綜合問(wèn)題的求解與應(yīng)用更加合理、有效、可行、正確、快捷.