摘 要：“兩角和（差）公式”是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要公式，是在學(xué)生已經(jīng)熟悉的直角三角形知識(shí)的基礎(chǔ)上由于解決問(wèn)題的需要自然生長(zhǎng)出來(lái)的新知識(shí).本文旨在使學(xué)生體驗(yàn)兩角和（差）三角公式的必要性和優(yōu)越性，理解銳角同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及幾何意義，掌握兩角和（差）公式，感悟公式推導(dǎo)過(guò)程中的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的價(jià)值.

關(guān)鍵詞：命題課型；基本經(jīng)驗(yàn)；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算

如何引導(dǎo)學(xué)生在已有的基本經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)公式、證明公式，并推廣應(yīng)用，這對(duì)拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)是十分重要的課題.在銳角前提下，“兩角和（差）公式”是“建構(gòu)新概念、新公式、新方法、新思想”的探究性新授課，也是一種嘗試課.根據(jù)直角三角形中邊的關(guān)系“提出問(wèn)題”“發(fā)現(xiàn)新的研究對(duì)象”“如何給新的對(duì)象下定義”“探索不是特殊角的三角函數(shù)值如何求解”“能否給出一個(gè)新的數(shù)學(xué)公式”“如何證明新的數(shù)學(xué)公式”等，需要學(xué)生經(jīng)歷形成問(wèn)題、建構(gòu)概念、尋找方法、語(yǔ)言表述等“從無(wú)到有”的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過(guò)程，用研究問(wèn)題的一般性的科學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，從而促進(jìn)了學(xué)生的思維發(fā)展和科學(xué)探索精神，把學(xué)生培養(yǎng)成探究性的研究型學(xué)習(xí)者，使其終身受益.因此，教師應(yīng)把“怎樣探究問(wèn)題、怎樣研究問(wèn)題”放在核心地位，這樣才能把握住本節(jié)課真正的教學(xué)要義.筆者開(kāi)設(shè)一節(jié)“兩角和（差）公式”的示范課，旨在探索課堂教學(xué)培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的新途徑.

1 基于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的命題教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象是本校與中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)聯(lián)辦的少年預(yù)備班2023級(jí)1班學(xué)生，該班數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情很高，思維較為活躍，創(chuàng)新思維能力強(qiáng)，但表述不嚴(yán)謹(jǐn).

1.2 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.2.1 設(shè)計(jì)理念

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P. Halmos）認(rèn)為“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”.問(wèn)題是數(shù)學(xué)思想的源泉，是數(shù)學(xué)思維的動(dòng)力.有了問(wèn)題，學(xué)生的好奇心才能被激發(fā)，思維才能被啟動(dòng).數(shù)學(xué)就是在問(wèn)題的不斷提出與解決中發(fā)展的.數(shù)學(xué)的一切概念、公式、定理，都是因解決問(wèn)題的需要而產(chǎn)生的.學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力也是由于問(wèn)題解決得以提升.因此，筆者設(shè)計(jì)了教學(xué)路線圖（如圖1），以此構(gòu)成了一個(gè)典型的“基于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的探究學(xué)習(xí)過(guò)程.

1.2.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）能從勾股定理中理解并掌握同角三角函數(shù)關(guān)系式，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光去觀察事物，會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).

（2）滲透數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)思維去分析事物、分析問(wèn)題并解決問(wèn)題的能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)研討交流的意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

（3）經(jīng)歷代數(shù)、幾何視角探究“兩角和（差）三角公式”的主要過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)其中的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去表述事件，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).

1.2.3 教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程不只是讓學(xué)生接受、記憶、模仿和練習(xí)，更主要的是要讓學(xué)生自主探究，通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、智力參與、主體體驗(yàn)、合作交流等活動(dòng)，“再創(chuàng)造”自己的數(shù)學(xué)意義和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為發(fā)展智力、提升科學(xué)思維和人文思維的過(guò)程.

環(huán)節(jié)一：?jiǎn)栴}導(dǎo)入.

師：如圖2所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，三條邊的關(guān)系是什么？

生：AB2＋BC2=AC2.

師：如果把等式變形為ABAC2＋BCAC2=1，你們能聯(lián)想到什么？

生：BCAC=sin A，ABAC=cos A，于是有sin2A＋cos2A=1.①

師：BCAB可以定義為A的什么函數(shù)呢？

生：定義正切函數(shù)tan A=BCAB.

師：它與sin A，cos A有聯(lián)系嗎？

生：tan A=sin Acos A.②

師：同學(xué)們從熟悉的勾股定理出發(fā)，探究出銳角的同角三角函數(shù)關(guān)系，即①是平方關(guān)系，②是商數(shù)關(guān)系.現(xiàn)在先看一組求值題：sin 30°=""" ，cos 30°=""" ，sin 45°=""" ，cos 45°=""" ，cos 60°=""" .

生：sin 30°=12，cos 30°=32，sin 45°=22，cos 45°=22，cos 60°=12.

師：已知α、β為銳角，化簡(jiǎn)cos2α-sin2β＋sin2αsin2β-cos2αcos2β=0.

生：利用平方和關(guān)系，原式化為cos2α（1-cos2β）-sin2β（1-sin2α）=cos2αsin2β-sin2βcos2α=0.

生：令α=β=45°，結(jié)果為0.

【設(shè)計(jì)意圖】用求值化簡(jiǎn)方式復(fù)習(xí)舊知，比單純記憶背誦公式更有效，把知識(shí)與運(yùn)用情境結(jié)合，使知識(shí)情境化.

環(huán)節(jié)二：探究新知.

師：你們能求出cos 75°、sin 75°嗎？

生1：75°可以拆成30°＋45°，由cos 75°=cos 30°＋cos 45°得cos 75°=22＋32.

生2：生1的結(jié)論不正確，22＋32gt;1，由銳角余弦函數(shù)定義知，0lt;cos αlt;1，因此公式不成立.

師：理由充分，那怎么求cos 75°的值呢？

生：利用幾何法求解，如圖3所示，在Rt△ABC中，∠BAC=75°，在∠CAB內(nèi)作∠DAB=45°，D在BC上，作DE⊥AC于E.所以∠CAD=30°，∠CDE=75°.設(shè)AD=1，則AB=22=BD，DE=12，AE=32，所以CE=12tan 75°.又在Rt△ABC中，AC=ABcos 75°，因此AB=22=（AE＋EC）cos 75°，即32cos 75°＋12sin 75°=22.

師：把它看成關(guān)于cos 75°和sin 75°的方程，相當(dāng)于兩個(gè)未知量，同學(xué)們能找到它們的內(nèi)在聯(lián)系嗎？

生：利用sin275°＋cos275°=1，化簡(jiǎn)得（2-3cos 75°）2＋cos275°=1，即4cos275°-26cos 75°＋1=0，解得cos 75°=6-24，同理可得sin 75°=6＋24.

師：由45°和30°，同學(xué)們能聯(lián)想到什么？

生： 由于6-24=22·32-22·12=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°，于是cos（45°＋30°）=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°，同理可得sin（45°＋30°）=sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°.

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題引領(lǐng)是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，意在探究新公式、新方法.

環(huán)節(jié)三：邏輯推理.

師：這些式子僅僅是猜想，那么對(duì)一般銳角α、β都成立嗎？你們能證明嗎？

生1：同上述實(shí)例，如圖4所示，設(shè)∠DAB=α，∠CAD=β，AD=1，因此有AB=cos α，AE=cos β，BD=sin α，DE=sin β.

在Rt△ABC中，DE=CDcos β+sin βtan（α+β），DE=CDcos（α＋β），CD=BC-BD=cosαtan（α+β）-sinα，即sin β=cos αsin（α＋β）-sin αcos（α＋β），結(jié)合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）=1，得sin β＋sin αcos（α＋β）cos α2＋cos2（α＋β）=1，化簡(jiǎn)整理，得cos2（α＋β）＋2sin αsin βcos（α＋β）＋sin2β-cos2α=0，配方得［cos（α＋β）＋sin αsin β］2-sin2αsin2β＋sin2β-cos2α=0.因?yàn)?sin2αsin2β＋sin2β-cos2α=（1-sin2α）sin2β-cos2α=-cos2αcos2β，所以［cos（α＋β）＋sin αsin β］2=cos2αcos2β，開(kāi)方得cos（α＋β）＋sin αsin β=cos α·cos β，所以cos（α＋β）=cos αcos β-sin αsin β.

生2：開(kāi)方時(shí)，要有 “±”號(hào).

生3：因?yàn)閏os（α＋β）＋sin αsin βgt;0，所以“-cos αcos β”舍去了.同理可以證明sin（α＋β）=sin αcos β＋cos αsin β.

師：推理嚴(yán)謹(jǐn)，公式正確.你們還有其他想法嗎？

生：在Rt△ABC中，AC=EA+EC=cosβ+sinβtan（α+β），利用AB=ACcos（α＋β）=［ cos β＋sin βtan（α＋β）］ cos（α＋β），所以cos α=［ cos β＋sin β·tan（α＋β）］ cos（α＋β），即cos α=cos βcos（α＋β）＋sin βsin（α＋β）.

如果令γ=α＋β，則α=γ-β，所以cos（γ-β）=cos βcos γ＋sin βsin γ.

師：利用換元法，盡管沒(méi)有得到cos（α＋β），但卻得到cos（α-β）.你們還有什么想法？

生：在sin β=cos αsin（α＋β）-sin αcos（α＋β）中，令γ=α＋β，則β=γ-α，所以sin（γ-α）=sin γ·cos α-cos γsin α.

師：你們研究?jī)蓚€(gè)銳角和與差的正弦、余弦公式，還想研究哪一個(gè)三角公式呢？

生：我想利用同角正弦、余弦的商數(shù)關(guān)系研究α±β的正切公式，如sin（α＋β）cos（α＋β）=sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β-sin αsin β，右邊分子分母同時(shí)除以cos αcos β，于是兩邊都化為正切形式，tan（α＋β）=tan α＋tan β1-tan αtan β，同樣可得tan（α-β）=tan α-tan β1＋tan αtan β.

師：這位同學(xué)靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)了兩角和差三角函數(shù)的六組公式.

【設(shè)計(jì)意圖】利用已有的基本知識(shí)、基本技能、基本方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)深度探究三角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)思考.

環(huán)節(jié)四：公式演變.

師：如果將上述公式中α與β特殊化，你們嘗試一下，又能得到哪些公式呢？

生1：若令α=β，則sin 2α=2sin αcos α，cos 2α=cos2α-sin2α，tan 2α=2tan α1-tan2α.

生2：由sin2α＋cos2α=1，可得cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α.

師：這組公式就是二倍角公式，你們還有什么想法嗎？

生1：cos 3α=cos（2α＋α）=cos 2αcos α-sin 2αsin α=4cos3α-3cos α.

生2：sin 3α=sin（2α＋α）=sin 2αcos α＋cos 2α

·sin α=3sin α-4sin3α.

師：你們利用兩角和公式和二倍角公式證明了三倍角正弦和余弦公式.你們能解決下面這個(gè)問(wèn)題嗎？

是否存在整系數(shù)方程：ax3＋bx2＋cx＋d=0（a≠0）使得cos 20°是其一個(gè)解？

生：由于60°=3×20°，于是想到cos 3α的公式，因此cos 60°=cos（3×20°）=4cos320°-3cos 20°，所以12=4cos320°-3cos 20°，即8cos320°-6cos 20°-1=0，所以cos 20°是方程8x3-6x-1=0的一個(gè)解，所以a=8，b=0，c=-6，d=-1.

【設(shè)計(jì)意圖】從一般到特殊探索新的數(shù)學(xué)公式，讓學(xué)生嘗試?yán)眯轮獎(jiǎng)?chuàng)造性地解決問(wèn)題，自己探索路徑，尋找突破口.

2 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)的重要組成部分，往往揭示了數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就必然要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式，因而數(shù)學(xué)公式就成為數(shù)學(xué)教學(xué)的極為重要的內(nèi)容.

2.1 讓學(xué)生感悟新知識(shí)產(chǎn)生的必要性

數(shù)學(xué)概念、公式、定理、方法等是由于解決問(wèn)題的需要自然而然產(chǎn)生的，其中包括生活實(shí)際的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要.例如，兩角和（差）公式是由于求解75°，15°等三角函數(shù)值時(shí)，已有的公式不能解決了，才自然需要探究新的公式.請(qǐng)學(xué)生提出解決問(wèn)題的方案，他們會(huì)自然提出探究求解sin 75°，cos 75°的“想法”，經(jīng)過(guò)實(shí)際操作，由“想法”到“解法”再到“方法”，這些方法不是教師直接告訴，而是由師生共同探究求解思路，自然產(chǎn)生新知識(shí).因此教學(xué)中需要教師根據(jù)學(xué)生已有的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)啟發(fā)性的問(wèn)題情境，是學(xué)生經(jīng)歷必要的疑難和困惑而形成問(wèn)題的過(guò)程，來(lái)感悟新學(xué)習(xí)內(nèi)容“從無(wú)到有”產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)需要和數(shù)學(xué)發(fā)展的需要.學(xué)生體會(huì)到已有的數(shù)學(xué)公式、思想方法已經(jīng)不夠用了，才需要自然探究新公式、新定理和新數(shù)學(xué)思想方法，以此產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求，認(rèn)識(shí)到新的數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)是十分必要的、非常自然的、合乎情理的.這樣，才能使鮮活的數(shù)學(xué)定理、公式、法則和數(shù)學(xué)思想方法等自然而然地流淌出來(lái).這里的“自然”包括情境創(chuàng)設(shè)、課題引入、知識(shí)生長(zhǎng)、思想方法等.

2.2 創(chuàng)造性地運(yùn)用教材把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本素材，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要載體和資源.教師需要提升對(duì)教材的認(rèn)識(shí)力、思考力、判斷力和鑒賞力，可在理解和把握數(shù)學(xué)教材的基礎(chǔ)上，圍繞教學(xué)目標(biāo)和學(xué)情，把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，創(chuàng)造性地運(yùn)用教材.例如，初中數(shù)學(xué)教材的“銳角三角函數(shù)”一節(jié)的旁白“思考：如何計(jì)算sin 75°，cos 75°”，不少教師在教學(xué)時(shí)忽視這一重要的素材，沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生深度思考，特別對(duì)于拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)而言，失去最佳探究機(jī)會(huì)，這也是本節(jié)課的教學(xué)目的.在初中數(shù)學(xué)教材的“二元一次方程組”一節(jié)中，教師僅僅停留在解法及變式訓(xùn)練的表層認(rèn)識(shí)上，忽視對(duì)二元一次方程與一次函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的研究.如果我們深度探究其幾何意義，那么在求解二元二次方程組時(shí)，就水到渠成地引入圓的概念以及直線與圓的位置關(guān)系的初步認(rèn)識(shí)，這樣設(shè)計(jì)教學(xué)對(duì)于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)大有裨益.