摘 要：“等周問(wèn)題”是經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題，有些地區(qū)的中考把關(guān)題也常常出現(xiàn)“等周問(wèn)題”的影子.以“等周問(wèn)題”為背景，研發(fā)微專題拓展課程，在做好必要鋪墊問(wèn)題的啟發(fā)、暗示之后，出示有挑戰(zhàn)的“等周問(wèn)題”，引導(dǎo)資優(yōu)學(xué)生關(guān)注和理解一些簡(jiǎn)單的“等周問(wèn)題”，有利于學(xué)生開(kāi)拓視野，激發(fā)他們進(jìn)入高中之后借助更多數(shù)學(xué)工具深入研究“等周問(wèn)題”的學(xué)習(xí)興趣.

關(guān)鍵詞：等周問(wèn)題；微專題教學(xué)；經(jīng)典問(wèn)題；鋪墊問(wèn)題

孫志東老師曾對(duì)一道中考試題進(jìn)行了深度研究，在給出一題多解之后，還揭示出該考題的深層結(jié)構(gòu)“等周問(wèn)題”中的一個(gè)簡(jiǎn)單情形.［1］由此，筆者想到蔡宗熹先生的著作《等周問(wèn)題》［2］，該書對(duì)“等周問(wèn)題”給出一系列詳細(xì)的解析與拓展，其中有些特例問(wèn)題可作為初中階段拓展課程的素材，“走向一般”的系列“等周問(wèn)題”又是高中階段的拓展課程內(nèi)容.基于以上理解，筆者在近期給九年級(jí)資優(yōu)生開(kāi)設(shè)拓展課程時(shí)，以“等周問(wèn)題”為背景，研發(fā)出一節(jié)專題拓展課.開(kāi)課之后，取得較好的教學(xué)效果，本文梳理該課教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在為教學(xué)研究提供參考.

1 “等周問(wèn)題”微專題教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)1：基礎(chǔ)熱身，解決“鋪墊問(wèn)題”.

問(wèn)題1 如圖1所示，在△ABC中，AB＝AC.

（1）求證：∠B＝∠C.

（2）過(guò)點(diǎn)A作AM∥BC，在AM上找一點(diǎn)A′（點(diǎn)A′不與點(diǎn)A重合），連接A′B，A′C（如圖2），判斷△A′BC與△ABC周長(zhǎng)的大小.

教學(xué)預(yù)設(shè)：第（1）問(wèn)是“等邊對(duì)等角”性質(zhì)定理的復(fù)習(xí).第（2）問(wèn)可先讓學(xué)生獨(dú)立思考，如果有困難，可提示從軸對(duì)稱的角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化.如圖3所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′A′，C′C，BC′，可證出A在BC′上.于是A′C′＋A′Bgt;BC′＝AC′＋AB＝AB＋AC，即△A′BC的周長(zhǎng)大于△ABC的周長(zhǎng).通過(guò)第（2）問(wèn)的求解和教師的引導(dǎo)，學(xué)生歸納出一個(gè)重要結(jié)論：面積與一邊長(zhǎng)給定的三角形（△ABC與△A′BC的面積相等，有一條公共邊），另外兩邊相等時(shí)該三角形周長(zhǎng)最小.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：變式改編，探究“一題多解”.

問(wèn)題2 如圖4所示，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段EF在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，若⊙O的面積為2π，EF＝1，求△DEF周長(zhǎng)的最小值.

思路1：如圖5所示，連接BD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DM，作點(diǎn)E關(guān)于直線DM的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F，DE′，可以發(fā)現(xiàn)DE＋DF＝DE′＋DF≥E′F，適當(dāng)平移E′F，使E′F經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)（如圖6），就取得了DE＋DF的最小值3（直角三角形E′FE，運(yùn)用勾股定理計(jì)算可得），相應(yīng)的△DEF周長(zhǎng)最小值為4.

思路2（可以看作是“思路1”的改進(jìn)與簡(jiǎn)化）：如圖7所示，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BD，截取BG＝EF＝1，連接GD交AC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的位置得到確定（相應(yīng)的點(diǎn)F的位置也確定），此時(shí)在直角三角形BDG中，運(yùn)用勾股定理計(jì)算出DG的長(zhǎng)，即DE＋DF的最小值3，相應(yīng)的△DEF周長(zhǎng)最小值為4.

思路3：分離出圖8，設(shè)OF＝x，OE＝1－x，分別用含x的式子表示DE＋DF＝（1－x）2＋2＋x2＋2，改寫一下DE＋DF＝（x-1）2+（2-0）2+（x-0）2+（2-0）2，從“形”的角度看，構(gòu)造圖9進(jìn)行分析，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，0），點(diǎn)Q在直線y＝2上，求OQ＋PQ的最小值，結(jié)合軸對(duì)稱性質(zhì)（有人稱其為“將軍飲馬”模型），可得點(diǎn)Q坐標(biāo)12，2.此時(shí)，求得OQ＋PQ的最小值為PO′的長(zhǎng)3，即DE＋DF的最小值為3.

教學(xué)環(huán)節(jié)3：拓展思考，挑戰(zhàn)“等周問(wèn)題”.

問(wèn)題3 求證：周長(zhǎng)與一條邊長(zhǎng)給定的三角形，當(dāng)另外兩條邊長(zhǎng)相等時(shí)，面積最大.

教學(xué)預(yù)設(shè)：可以回到問(wèn)題1的圖形，在圖3的基礎(chǔ)上，得A′B＋A′C＞AB＋AC.

如圖10所示，設(shè)點(diǎn)D在線段A′C上（點(diǎn)D不與端點(diǎn)A′，C重合），連接BD，BD＋CD＝AB＋AC時(shí)，明顯△BCD的面積小于△A′BC面積，同時(shí)小于△ABC面積.反過(guò)來(lái)，也直觀說(shuō)明周長(zhǎng)以及一條邊長(zhǎng)給定的三角形（△BCD與△ABC周長(zhǎng)相等，且有一條公共邊BC），當(dāng)另外兩條邊長(zhǎng)相等（AB＝AC）時(shí)面積最大.

以下再預(yù)設(shè)一種“算”的證明思路.設(shè)該三角形的周長(zhǎng)為2p（p為常數(shù)），一條邊長(zhǎng)為a（a為常數(shù)）.則另外兩邊長(zhǎng)分別為x，2p－a－x.根據(jù)海倫公式，三角形面積S＝p（p－a）（p－x）（x＋a－p），只要考慮根號(hào)內(nèi)含變量x的式子（p－x）（x＋a－p），運(yùn)用二次函數(shù)配方法，可得當(dāng)x＝2p－a2時(shí)，式子取得最大值，相應(yīng)的三角形面積S取得最大值.此時(shí)三角形另外兩邊都為2p－a2，即等腰三角形時(shí)，三角形面積S取得最大值.上面所運(yùn)用三角形的面積公式（海倫公式），也可解決“在周長(zhǎng)給定的三角形中，等邊三角形的面積最大”這一命題，由于推理演算過(guò)程中需要使用高中“三元均值不等式”，這里不作拓展.

教學(xué)環(huán)節(jié)4：課堂小結(jié)，布置同類作業(yè).

小結(jié)問(wèn)題1：本課從等腰三角形出發(fā)，從不同角度研究了一些較難問(wèn)題，你對(duì)哪道較難問(wèn)題印象較深？舉例說(shuō)說(shuō).

小結(jié)問(wèn)題2：本課中探究的三角形問(wèn)題都有一條給定的邊長(zhǎng)，先是給出三角形面積一定時(shí)求周長(zhǎng)的最小值，接著逆向思考三角形周長(zhǎng)一定時(shí)，求面積的最大值.你覺(jué)得兩類問(wèn)題之間有怎樣的聯(lián)系，又有什么不同嗎？

2 關(guān)于微專題課例研發(fā)的初步思考

2.1 微專題課例要優(yōu)選“經(jīng)典問(wèn)題”

近年來(lái)，微專題教學(xué)得到一些教師的關(guān)注和實(shí)踐.其中不少微專題主要關(guān)注的是中考熱點(diǎn)題型或解題策略.筆者以為，微專題課例的研發(fā)，應(yīng)該更加關(guān)注“經(jīng)典問(wèn)題”以及“好的問(wèn)題”，這些問(wèn)題常常具有“簡(jiǎn)單而高深”的特點(diǎn)，也能體現(xiàn)“數(shù)學(xué)的美”.中國(guó)科學(xué)院席南華院士關(guān)于“數(shù)學(xué)的美”就曾指出，數(shù)學(xué)的美，從形式上看有“清晰，簡(jiǎn)潔，簡(jiǎn)單，原創(chuàng)，新穎，優(yōu)美”等特點(diǎn)；從內(nèi)涵上看有“深刻，重要，基本，蘊(yùn)意豐富”等特點(diǎn).［3］上文關(guān)注的“等周問(wèn)題”就屬于“經(jīng)典問(wèn)題”和“好的問(wèn)題”，無(wú)論從形式上還是從內(nèi)涵上都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的美.

2.2 微專題教學(xué)要預(yù)設(shè)“鋪墊問(wèn)題”

微專題教學(xué)一般都聚焦主線，由易到難，漸次展開(kāi).在課堂前半段要重視基礎(chǔ)問(wèn)題的回顧與復(fù)習(xí)，不要急于出示較難題或有挑戰(zhàn)的問(wèn)題.對(duì)一些基礎(chǔ)問(wèn)題進(jìn)行初步變式或改編之后，也要留足學(xué)生思考和探究的時(shí)間，這些問(wèn)題還應(yīng)重視“一題多解”的課堂交流與展示，一方面是帶領(lǐng)學(xué)生從不同角度解決問(wèn)題，另一方面是“等待”更多學(xué)生理解“鋪墊問(wèn)題”的解法思路與深層結(jié)構(gòu)，為后續(xù)較難題的攻克提供必要的解法暗示.在上文課例中，在出示“等周問(wèn)題”之前，安排的問(wèn)題1、問(wèn)題2，都可以看成是為學(xué)生后續(xù)攻克“等周問(wèn)題”提供的鋪墊問(wèn)題，從課堂教學(xué)效果來(lái)看，不少學(xué)生能從前面的問(wèn)題中獲得必要的思路暗示，從而順利獲得思路.

參考文獻(xiàn)

［1］孫志東.一道中考試題的解法探究與推廣［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2023（7）：33-34+50.

［2］蔡宗熹.等周問(wèn)題［M］.北京：人民教育出版社，1964.

［3］席南華.數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單與高深［M］.北京：科學(xué)出版社，2024.