摘 要：隨著教育改革的不斷深化，課程思政成為學(xué)校教育的重要組成部分.數(shù)學(xué)作為一門隱性為主的思政資源，需要在教育視野對數(shù)學(xué)知識觀解讀的基礎(chǔ)上，探討數(shù)學(xué)課程思政的知識本源，以及如何挖掘思政元素.基于數(shù)學(xué)思政元素的知識本源，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該堅持核心素養(yǎng)與課程思政明暗兩條線融合、過程性教學(xué)和隱喻教學(xué)，以期達到數(shù)學(xué)課程的育人目標.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識觀；思政元素；教學(xué)范式

數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)，一方面，需要通過引入中華民族古往今來熱愛自己國家和民族，并做出巨大貢獻的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家的事跡，中華民族與新中國取得的偉大成就，以及大國工匠在平凡崗位做出巨大貢獻的故事等，對學(xué)生施以熱愛自己的國家、民族認同與愛崗敬業(yè)等教育，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的價值觀；另一方面，數(shù)學(xué)作為抽象性與系統(tǒng)性極強的一門學(xué)科，數(shù)學(xué)知識具有思想性、方法性和認知性.因此，數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)也需要基于知識的教學(xué)，從學(xué)生心靈的深處觸及其思想認知，幫助學(xué)生學(xué)會用辯證思維觀察、分析與解決問題.

1 數(shù)學(xué)知識觀視域下的教育

1.1 數(shù)學(xué)知識觀的教育解讀

知識觀是關(guān)于知識的本質(zhì)、來源、發(fā)展、應(yīng)用的基本觀點和看法.2020年版《辭?！穼⒅R定義為“人們在實踐活動中獲得的有關(guān)客觀事物及其規(guī)律的認識和理解”.這表明知識是通過人類基于實踐活動得到的智慧結(jié)晶，知識的價值在于提供人類認識世界、改造世界的物質(zhì)基礎(chǔ)和精神基礎(chǔ).知識觀不僅涉及知識本身，還涉及人們對知識的認識和理解，以及知識的傳播、傳承及其價值的實現(xiàn).

數(shù)學(xué)知識兼具認知和教育性.數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)是什么？這是一個哲學(xué)問題，也是一個教育問題.

從哲學(xué)角度看，其涉及對存在、邏輯、真理、美和自由等哲學(xué)基本問題的深入思考和探索.數(shù)學(xué)知識不僅僅是一系列公式和定理的簡單堆砌，更是人類揭示和認知世界本質(zhì)的有力工具和思維方式.哲學(xué)角度下，用數(shù)學(xué)知識認識世界有如下特點：首先，超越具體事物的表面現(xiàn)象，用具有高度抽象性的“數(shù)學(xué)語言”表達世界，揭示事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律；其次，邏輯推演是數(shù)學(xué)的核心，數(shù)學(xué)中的真理是通過邏輯推演得到的，邏輯推演的過程不僅保證了數(shù)學(xué)知識的正確性和可靠性，同時也可以訓(xùn)練我們的思維能力和邏輯推理能力，使我們更加理性、嚴謹?shù)乜创澜?；再次，通過欣賞數(shù)學(xué)的對稱、和諧、簡潔的美，人類可以更加深入地感受到數(shù)學(xué)所蘊含的智慧和美學(xué)價值；最后，數(shù)學(xué)的抽象性并不意味著數(shù)學(xué)的僵化和刻板，相反，自由和創(chuàng)新是數(shù)學(xué)認識世界的源動力.

從教育角度看，數(shù)學(xué)知識的來源主要有兩個方面：一是從實踐中來.實踐是數(shù)學(xué)知識的源泉.二是從理論研究中來.數(shù)學(xué)家通過嚴密的邏輯推理和證明，發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)原理和方法，推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展.教學(xué)中的數(shù)學(xué)知識是上述兩個方面的數(shù)學(xué)知識經(jīng)過系統(tǒng)化和抽象化得到的一種知識體系，它是對世界認知的結(jié)果和認知世界的思想與方法，而且內(nèi)蘊著社會文化元素.因此，一方面，數(shù)學(xué)教育更要注重數(shù)學(xué)的基本概念和方法，以及數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)；另一方面，基于數(shù)學(xué)的實踐特性，應(yīng)注重數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉融合，將數(shù)學(xué)知識與實際生活和工作相結(jié)合，采用探究性教學(xué)等方式，引導(dǎo)學(xué)生在活動中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，積累活動經(jīng)驗.此外，學(xué)生的認知方式存在差異，制定個性化、分層的教學(xué)方案，讓學(xué)生能夠從多個角度和不同層面來理解和構(gòu)建數(shù)學(xué)知識.

綜上，數(shù)學(xué)知識的教育價值主要體現(xiàn)在以下幾個方面：一是實用價值.數(shù)學(xué)知識是用來解決實際問題的.二是思維價值.數(shù)學(xué)知識可以訓(xùn)練人的邏輯思維和抽象思維能力，提高人的思維品質(zhì).三是文化價值.數(shù)學(xué)知識是人類文化的重要組成部分，它體現(xiàn)了人類的智慧和創(chuàng)造力，屬于人類的精神世界.四是德育價值.通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹、認真、負責(zé)的態(tài)度，學(xué)會尊重事實、服從真理的科學(xué)精神，以及形成堅韌不拔、勇敢進取的精神.五是美育價值.數(shù)學(xué)展現(xiàn)了一種理性的美，包括和諧美、簡潔美、對稱美、奇異美等.通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以提升審美情趣和能力，欣賞數(shù)學(xué)中的美感，進而培養(yǎng)其對美的追求和創(chuàng)造力.六是社會價值.數(shù)學(xué)是現(xiàn)代社會發(fā)展的重要基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于科技、經(jīng)濟、文化等各個領(lǐng)域.學(xué)生掌握必需的數(shù)學(xué)知識和技能是進入社會和未來職業(yè)生涯的必要前提.

1.2 數(shù)學(xué)知識觀下的課程思政教學(xué)分析

基于數(shù)學(xué)知識的教育價值，數(shù)學(xué)知識觀下數(shù)學(xué)課程思政就是培養(yǎng)全面發(fā)展的人.因此，數(shù)學(xué)課程思政元素的挖掘要扣住思政的價值導(dǎo)向，將思想政治教育與數(shù)學(xué)教學(xué)有機結(jié)合，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時，也受到思想政治教育的熏陶和啟迪.

第一，深入挖掘數(shù)學(xué)課程中的思政元素.數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，其中蘊含著豐富的思想、觀點和方法.教師可以從數(shù)學(xué)概念、定理和公式的歷史背景、發(fā)展演變中挖掘思政元素，如科學(xué)精神、探索精神、創(chuàng)新精神等.同時，還可以結(jié)合數(shù)學(xué)家的故事和成就，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的文化自信和民族自豪感.

第二，強化數(shù)學(xué)課程中的德育.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過具體的數(shù)學(xué)問題和案例，引導(dǎo)學(xué)生認識數(shù)學(xué)在解決實際問題中的重要作用，從而培養(yǎng)學(xué)生的責(zé)任感、使命感和擔當精神.同時，教師還可以在數(shù)學(xué)運算與證明等教學(xué)或解題過程中，滲透誠信、嚴謹、求真等品質(zhì)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中潛移默化地形成這些優(yōu)良品質(zhì).

第三，注重基于過程培養(yǎng)學(xué)生的思想道德素養(yǎng).在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以通過組織小組討論、合作學(xué)習(xí)、自主探究等方式，讓學(xué)生在共同解決問題的過程中學(xué)會合作與分享，逐步形成團結(jié)協(xié)作、獨立思考、勇于探索的習(xí)慣.在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新精神，幫助學(xué)生形成正確的世界觀、人生觀和價值觀.

第四，以數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升助力思想政治教育的效果.數(shù)學(xué)課程思政作為一種特殊的教育形式，旨在通過數(shù)學(xué)教育來培養(yǎng)學(xué)生的思想政治素養(yǎng).在這個過程中，學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升是一個重要的推動力.數(shù)學(xué)不僅僅是一種工具或技能，它更是一種思維方式，其中包含的邏輯、推理、抽象等思維品質(zhì)對于培養(yǎng)人的綜合素質(zhì)，特別是思想政治素質(zhì)具有重要作用.思維品質(zhì)能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)中的哲學(xué)思想、價值觀念和社會意義，從而增強他們的思想政治素養(yǎng).

2 數(shù)學(xué)思政元素的知識探究

2.1 數(shù)學(xué)思政元素的知識本源

知識觀與教學(xué)改革的淵源昭示：數(shù)學(xué)課程思政必須處理好和知識的關(guān)系，需要以知識的實在性、社會性與實踐性融合作為其知識觀基礎(chǔ).［1］

首先，數(shù)學(xué)知識的實在性體現(xiàn)在其客觀存在和普遍適用性上.數(shù)學(xué)知識是經(jīng)過長期實踐和理論驗證的，具有嚴密的邏輯性和普適性，它們不依賴于人的主觀意志而獨立存在.知識的實在性承載了人類探索自然和認識世界的實踐歷程，融入了人類解決問題的思想方法，呈現(xiàn)了人類表達世界的思維模型.

其次，數(shù)學(xué)知識的社會性體現(xiàn)在其與社會的互動和應(yīng)用中.知識是一種社會活動產(chǎn)物，表現(xiàn)為意識化的信息，沒有脫離社會環(huán)境的知識存在，知識帶有社會性元素以及人的主觀性，完全拋開社會因素的數(shù)學(xué)知識是不存在的.數(shù)學(xué)知識不僅僅是數(shù)學(xué)家的專利，它更是社會各個領(lǐng)域都需要的工具.

最后，數(shù)學(xué)知識的實踐性體現(xiàn)在其解決問題的能力上.知識不僅僅是外在于人的一種事實，更是通過在物理層面的實踐和精神層面的實踐促進人和社會的發(fā)展.

2.2 數(shù)學(xué)課程思政元素的挖掘

數(shù)學(xué)知識內(nèi)蘊思政的兩個維度：一是科學(xué)成分，屬于認知維度；二是人文成分，屬于非認知維度.例如，數(shù)學(xué)理性精神中，人文成分的數(shù)學(xué)精神，集中反映人的情感、意志等非認知心理因素，是數(shù)學(xué)理性精神的非智力成分，以人的意向性為特征.科學(xué)成分的數(shù)學(xué)精神，以研究為特征，集中反映思維方式與策略等認知心理因素，它是數(shù)學(xué)理性精神的智力成分.從系統(tǒng)論觀點看，人文成分是動力系統(tǒng)，科學(xué)成分是操作系統(tǒng)，二者合二為一才具有元認知的力量，對于思維的調(diào)節(jié)具有導(dǎo)航作用，對于思維能力的發(fā)展和認知結(jié)構(gòu)的完善具有促進作用，進而具有自我人格的完善價值，這就是數(shù)學(xué)理性精神的教育價值.

2.2.1 基于情境，挖掘顯性思政元素

情境是指在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)具有一定情感色彩和實踐意義的場景.情境間接或直接影響人的思想道德修養(yǎng)、人文素質(zhì)、數(shù)學(xué)精神、憲法法治意識、國家安全意識和認知能力.對于職業(yè)情境而言，教師要注重強化學(xué)生工程倫理教育，培養(yǎng)學(xué)生精益求精的大國工匠精神，激發(fā)學(xué)生科技報國的家國情懷和使命擔當.基于情境挖掘思政元素，就是從數(shù)學(xué)和思政兩個角度創(chuàng)設(shè)具有教育意義的數(shù)學(xué)情境.下面以案例的形式進行說明.

情境：先用30秒播放著名運動員蘇炳添刻苦訓(xùn)練、頑強拼搏的視頻，并用表格列出蘇炳添在某段時間內(nèi)訓(xùn)練100米短跑成績（見表1）.

引領(lǐng)：成績越來越好，是蘇炳添刻苦訓(xùn)練的結(jié)果，這種不畏艱辛、堅韌不拔、為國爭光的精神值得我們學(xué)習(xí)！

師：表格中的數(shù)據(jù)有什么特征呢？

生1：有兩個數(shù)列：①1，2，3，4，5，6；

②10秒09，10秒07，10秒05，10秒03，10秒01，9秒99.

師：兩個數(shù)列有何共同特征呢？

生2：后一項與前一項的差是常數(shù).

這樣的情境不僅可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，體驗等差數(shù)列的本質(zhì)特征，學(xué)得輕松，而且有效地對學(xué)生進行了價值引領(lǐng)，一分耕耘，一分收獲，唯有奮斗才能取得好成績.

2.2.2 從數(shù)學(xué)發(fā)展史中挖掘思政元素

數(shù)學(xué)發(fā)展史是進行辯證唯物主義、歷史唯物主義和愛國主義教育的最好素材.數(shù)學(xué)發(fā)展史分為內(nèi)史和外史，內(nèi)史指的是數(shù)學(xué)真理性的知識體系，外史以其獨特的思想體系記錄了人類在特定社會形態(tài)和特定歷史階段文化發(fā)展的狀態(tài).數(shù)學(xué)家的活動背景和研究過程都是在社會情境中進行的，從事數(shù)學(xué)認識活動的工具和方法是由人創(chuàng)造的，表述知識的語言內(nèi)化著人類的思想和文化，最終通過一定的理論或結(jié)構(gòu)形式等表達出來.結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識的發(fā)展歷程，挖掘思想教育元素，有助于學(xué)生理解所學(xué)知識，潛移默化地進行思政教育.

例如，在學(xué)習(xí)集合、微積分時，教師介紹集合論、微積分等數(shù)學(xué)理論由創(chuàng)立到不斷完善的過程，挖掘數(shù)學(xué)家執(zhí)著追求、嚴謹求真的科學(xué)態(tài)度和精神等，對學(xué)生進行辯證唯物主義認識論、精益求精工匠精神、科學(xué)精神的熏陶.

當然，挖掘數(shù)學(xué)史的教育價值，不能僅僅停留在“欣賞”層面，要有一定的主題意義表達，實現(xiàn)正確價值觀的引導(dǎo)，否則達不到課程思政教育的目的.

2.2.3 解析數(shù)學(xué)知識的要義，挖掘隱性思政元素

數(shù)學(xué)符號作為一種人工符號，表面上只具有語符意義，其意義和價值是被人賦予的，反映的是人類精神世界中的事物及其關(guān)系.但數(shù)學(xué)符號的內(nèi)里具有物理意義，反映的是客觀事物及其相互關(guān)系，其意義和價值與符號本身相關(guān).［2］如圖1所示，物質(zhì)世界與精神世界是通過符號結(jié)構(gòu)或記號表象結(jié)構(gòu)實現(xiàn)一一對應(yīng)，感性知識、理性知識、人工符號之間具有復(fù)雜的對應(yīng)關(guān)系，理性知識是對客觀事物本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系的反映，認知結(jié)構(gòu)是建立在感性知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)之上的復(fù)雜的記號表象結(jié)構(gòu).因此，在教育領(lǐng)域，要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，進而認識自然世界，必須要對知識所對應(yīng)的符號進行解析.

客觀事物自然符號結(jié)構(gòu)

人工符號結(jié)構(gòu)感官記號表象感性思維理性思維感性知識結(jié)構(gòu)理性知識結(jié)構(gòu)認知結(jié)構(gòu)

教材中的數(shù)學(xué)知識屬于事實性知識，事實性知識具有豐富的道德因素，體現(xiàn)著人類的道德、批判態(tài)度、自由探索的勇氣和大膽創(chuàng)新的精神，以及人類對美的追求.這部分思政元素內(nèi)隱于知識結(jié)果當中，需要教師對其解析，完成對知識意義的煉制，通過解析，知識的這部分意義才能顯現(xiàn).例如，兩個向量的內(nèi)積a·b＝｜a｜|b｜cos θ，其變式cos θ=a·b｜a｜｜b｜從－1到0再到1的變化，就和統(tǒng)計學(xué)關(guān)聯(lián)起來了，cos θ=a·b｜a｜｜b｜模型反映的是事物的相關(guān)性問題，進一步與向量數(shù)量積的坐標表達式結(jié)合起來，此模型就反映了兩個以上的分類學(xué)問題，基于分類學(xué)可以提升學(xué)生分析社會文化或價值觀沖突問題等.［3］

如何解析數(shù)學(xué)知識的要義？一般地，我們可以從符號的二元結(jié)構(gòu)著手解析符號與對象的關(guān)系.在數(shù)學(xué)符號的二元結(jié)構(gòu)中，符號與對象之間的關(guān)系是通過內(nèi)涵、認知、情感、外延這些意義來建立的.內(nèi)涵意義指的是符號本身所固有的，不依賴于語境或使用者而存在的意義；認知意義反映了使用者對符號的理解和應(yīng)用，可以從符號中獲得關(guān)于認知對象的信息；情感意義賦予了符號情感色彩，在符號刺激下，認知主體獲得關(guān)于對應(yīng)精神世界的內(nèi)容、心理體驗或心理反應(yīng)；外延意義則定義了符號所指代的具體對象或集合.

下面從拋物線方程結(jié)構(gòu)解析所內(nèi)蘊的思政元素.

傳統(tǒng)教學(xué)中，我們先推導(dǎo)焦點在x軸正半軸上的拋物線標準方程，再由學(xué)生用同樣的方法分組求出焦點在其他位置的拋物線標準方程，最后從方便記憶的角度，總結(jié)四個標準方程的特點等.

這樣教學(xué)對提高學(xué)生的計算素養(yǎng)有著重要的作用，但沒有揭示出四種圖象的位置關(guān)系與方程之間的聯(lián)系.四個圖象可以通過旋轉(zhuǎn)90度得到，因此可以猜想，它們對應(yīng)的方程也應(yīng)該存在著聯(lián)系.聯(lián)想到復(fù)數(shù)i可以看作一個旋轉(zhuǎn)90度的量，為此，我們可以按照下面的設(shè)計，融入思政教育.

我們可以從焦點在y軸正半軸上的拋物線x2=2py開始，設(shè)圖2中拋物線上任意一點P（a，b），旋轉(zhuǎn)后得到圖3中的對應(yīng)點Q（x，y）.

又圖2中拋物線上的點用復(fù)數(shù)形式表示為a＋bi，此時，考慮到i這個旋轉(zhuǎn)量，有（a＋bi）·cosπ2＋isinπ2=-b＋ai，即曲線向左逆時針旋轉(zhuǎn)90度后，曲線上點的坐標變?yōu)椋?b，a），則

x=-b，

y=a，即a=y，

b=-x.

因為P（a，b）在拋物線x2=2py上，代入得到焦點在x軸負半軸上的拋物線方程為y2=-2px.

繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可以得到其他兩種拋物線標準方程，如圖4所示.

在這一過程中，綜合運用了復(fù)數(shù)、旋轉(zhuǎn)公式等知識，有效地提升了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力，同時感悟到這四種拋物線方程雖然不一樣，但結(jié)構(gòu)（本質(zhì)）是一樣的，并順勢點醒學(xué)生，事物是普遍聯(lián)系的，我們要善于觀察、思考，善于發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)系，用所學(xué)的知識去分析、解決問題.不要被事物的表象所迷惑，要學(xué)會用聯(lián)系的觀念看問題，學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì).

2.2.4 案例教學(xué)彰顯過程中的思政元素

知識的實踐性昭示數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)一定要有活動、有過程.“不深思則不能造于道，不深思而得者，其得易失.”學(xué)生思維品質(zhì)培養(yǎng)的載體是過程性教學(xué)，實現(xiàn)深層次的課程育人目的.基于案例設(shè)計過程教學(xué)要注意以下幾點：一是要設(shè)計具有挑戰(zhàn)性和啟發(fā)性的問題，激發(fā)學(xué)生的思維興趣和探索欲；二是要提供豐富的數(shù)學(xué)資源和實踐活動，讓學(xué)生在操作中體驗和感知數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用；三是要建立良好的師生關(guān)系和課堂氛圍，鼓勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程并發(fā)表自己的觀點和想法；四是要注重評價學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和思維能力發(fā)展，給予及時的反饋和指導(dǎo).

數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)中的情感態(tài)度和價值觀引導(dǎo)是一個復(fù)雜的過程.要通過精心設(shè)計的教學(xué)內(nèi)容和過程，以及有效的引導(dǎo)策略，在幫助學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識過程中，培養(yǎng)他們的社會責(zé)任感、合作精神和批判性思維.下面以“幾何中的對稱性與美”的教學(xué)為例進行說明.

情境引入：教師首先展示一些具有對稱性的自然景物、建筑和藝術(shù)作品的圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察并感受對稱美.對稱性在自然界和人類文化中普遍存在，給學(xué)生以美的享受，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和好奇心.

知識學(xué)習(xí)：教師詳細講解幾何中對稱性的基本概念和性質(zhì)，包括軸對稱、中心對稱等.通過具體的數(shù)學(xué)公式和圖形，幫助學(xué)生理解對稱性的數(shù)學(xué)表達.同時，強調(diào)數(shù)學(xué)知識的嚴謹性和精確性，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神.

實踐應(yīng)用：教師設(shè)計一些具有實際意義的數(shù)學(xué)問題，如讓學(xué)生分析一個城市的建筑布局，找出其中的對稱元素，并討論這種布局對城市規(guī)劃和美化的影響.通過這個環(huán)節(jié)，學(xué)生可以更好地體會到數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，增強他們的實踐能力和社會責(zé)任感.

合作探究：接著教師將學(xué)生分成若干小組，讓他們共同探究一個與對稱性相關(guān)的社會問題.例如，討論性別平等在社會各個領(lǐng)域中的體現(xiàn)，分析對稱性在推動社會公平、社會和諧方面的作用.在小組討論的過程中，教師鼓勵學(xué)生積極發(fā)表自己的觀點，傾聽他人的意見，學(xué)會尊重和理解不同的觀點.同時，教師也要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會現(xiàn)象中的不對稱性，培養(yǎng)他們的批判性思維.

總結(jié)反思：教師引導(dǎo)學(xué)生對整個學(xué)習(xí)過程進行總結(jié)和反思，讓學(xué)生分享自己在學(xué)習(xí)過程中的收獲和體會，包括對稱性的數(shù)學(xué)知識、審美情趣、合作精神和批判性思維等方面的提升.教師對學(xué)生的表現(xiàn)給予積極的評價和反饋.

通過案例教學(xué)，學(xué)生在掌握解析幾何中對稱性的基本知識和應(yīng)用技能的同時，也深刻體會到了數(shù)學(xué)中的對稱美和社會價值.他們學(xué)會了欣賞和創(chuàng)造美，增強了審美情趣.在小組合作中，培養(yǎng)了合作精神和團隊意識；在探究社會問題的過程中，鍛煉了批判性思維和提升了社會責(zé)任感.

3 數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)的基本范式

實施數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)時，需要遵循一定的原則和方法.

3.1 運用新時代案例創(chuàng)設(shè)情境，融入思政元素

進入新時代，偉大祖國取得了舉世矚目的成就，如航空航天、高速鐵路、北斗導(dǎo)航系統(tǒng)等超級工程.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，聚焦國家重點戰(zhàn)略需求，介紹大國重器，將時事熱點問題有機融入課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會熱點等問題，對培養(yǎng)學(xué)生關(guān)心時政、愛崗敬業(yè)、熱愛生活、樂于奉獻、家國情懷，激發(fā)學(xué)生責(zé)任擔當意識，追求真善美，樹立正確的價值觀等具有重要意義.

在“函數(shù)的表示法”的教學(xué)中可以引入下面的例題.

例題 黨的十八大以來，我國實施精準扶貧、精準脫貧方略，脫貧攻堅取得了舉世矚目的成就，為全面建成小康社會打下了堅實基礎(chǔ)，我國成為世界上脫貧人數(shù)最多的國家，也是世界上率先完成聯(lián)合國千年發(fā)展目標的國家.2015—2019年末全國農(nóng)村貧困人數(shù)見表2.

表2中，年份與全國農(nóng)村貧困人數(shù)之間有對應(yīng)關(guān)系，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用數(shù)學(xué)表達式來表示函數(shù)，那么是否也可以用這個表格來表示函數(shù)？

在學(xué)習(xí)函數(shù)的表示法時，用我國扶貧與脫貧取得的舉世矚目的成就創(chuàng)設(shè)情境，提出數(shù)學(xué)問題，教師引導(dǎo)學(xué)生體會中國共產(chǎn)黨“以人民為中心”的執(zhí)政理念，人民對美好生活的向往就是中國共產(chǎn)黨的奮斗目標.將知識學(xué)習(xí)與“共產(chǎn)黨的初心”融為一體，引導(dǎo)學(xué)生樹立高尚的學(xué)習(xí)理想.

3.2 教學(xué)明暗兩條線，核心素養(yǎng)線與思政教育線雙線并行

數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和課程思政教學(xué)可以看作是明暗兩條線.明線是學(xué)生對包括數(shù)學(xué)概念、原理、公式等數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和掌握，以及關(guān)鍵能力的發(fā)展，暗線則是明線教學(xué)過程中有意識培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、融入價值觀念和道德品質(zhì)等的教育.這兩條線索是同一個教學(xué)過程的兩個維度，相互交織、相互促進，相得益彰.一方面，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為課程思政教學(xué)提供了基礎(chǔ)和支持.只有當學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力時，他們才能更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題.同時，這些數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力也有助于學(xué)生更好地接受和理解思政教育內(nèi)容.另一方面，課程思政教學(xué)也為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)提供了動力和引導(dǎo).通過思政教育，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的價值觀和道德觀，可以激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情和積極性.同時，這些正確的價值觀和道德觀也有助于引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更加注重思考.

案例：數(shù)學(xué)中的家國情懷——“對數(shù)概念”的教學(xué)設(shè)計.

“對數(shù)概念”的教學(xué)，經(jīng)常出現(xiàn)下面的教學(xué)設(shè)計：第一步，先介紹對數(shù)的發(fā)展史.對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J. Napier），他發(fā)明了供天文計算作參考的對數(shù)，并于1614年在愛丁堡出版了《奇妙的對數(shù)定律說明書》，公布了他的發(fā)明.德國思想家、教育家恩格斯把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始、微積分的建立并稱為17世紀數(shù)學(xué)的三大成就.第二步，開展對數(shù)概念的教學(xué).先引入對數(shù)發(fā)展史，再開展新課教學(xué)，思政元素融入顯得較為生硬，學(xué)生只是了解到有“納皮爾”和“對數(shù)”這樣兩個名詞，對對數(shù)的產(chǎn)生、知識的實在意義和價值缺乏進一步的認知.

我們可以換一種方式引入對數(shù)史，如采用課程思政與核心素養(yǎng)明暗兩條線并行設(shè)計.

第一步，從an=M開始，①已知a和n，求M是冪運算；②已知n和M，求a是開方運算；③已知a和M，求n，引出“對數(shù)”就是求冪指數(shù)的運算，得到對數(shù)的本質(zhì).

第二步，設(shè)計一個計算冪指數(shù)的表格（見表3），讓學(xué)生填空.已知y=2n，求n.

對這樣的表格和特殊的數(shù)字，學(xué)生能寫出結(jié)果，但隨著y值的變大以及y值變成非特殊值，學(xué)生就寫不出結(jié)果了.教師指出這樣的運算道理都是一樣，都是一種機械性的運算，如果制定一個這樣的表格，下次遇到相同的求n的運算，我們只要查閱制作好的表格就可以了.引出了“對數(shù)”的字面意思——求對應(yīng)的數(shù)，以及對數(shù)表的意義——避免了重復(fù)勞動，節(jié)約了時間.

第三步，“對數(shù)”概念教學(xué).由于有了前面兩步，自然就有了

ab=N和logaN=b，

然后利用微課或教師解說，此定義形式是歐拉創(chuàng)立的，接著引入對數(shù)在中國的數(shù)學(xué)史：清初年，薛鳳祚和波蘭傳教士穆尼閣合作《比例對數(shù)表》（《歷學(xué)會通》中的章節(jié)），此書稱真數(shù)為 “原數(shù)”，對數(shù)為“比例數(shù)”.《數(shù)理精蘊》（康熙年間，梅瑴成等作）中稱作“對數(shù)比例”，對數(shù)比例乃西士若往·納皮爾所作，以借數(shù)與真數(shù)對列成表，故名對數(shù)表，后來普遍稱之為“對數(shù)”.

這種引入方式更加契合核心素養(yǎng)教學(xué)要求，同時也能夠讓學(xué)生認識到在中華民族的發(fā)展進程中，每個時代都有屬于數(shù)學(xué)人的家國情懷和責(zé)任擔當.

3.3 過程性教學(xué)，強化思想教育的深度

數(shù)學(xué)課程思政就是用邏輯說話，用事實說話，用數(shù)據(jù)說話，用方法說話，提升學(xué)生悟道理、長見識的能力.因此，課程思政要杜絕空話、假話，關(guān)注過程性教學(xué).另外，要深入認識問題的本質(zhì)或深層次原因，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)就成為思政教育的內(nèi)核之一，學(xué)生思維及其品質(zhì)、多元視角觀察與分析問題等的培養(yǎng)也是要基于過程.

案例：學(xué)會思考，認識事物的本質(zhì)——“等比數(shù)列概念及其通項公式”教學(xué).

教師在學(xué)生掌握了等比數(shù)列通項公式an=a1 qn-1后，給出下面例題.

例題 等比數(shù)列{an}中，a2=6，a5=48，求數(shù)列{an}的通項公式an及a11.

方程思想是解決等比數(shù)列相關(guān)問題的基本技能和方法.本著培養(yǎng)學(xué)生思維，讓學(xué)生深刻認識等比數(shù)列概念的內(nèi)涵，教師可以追問“對于本題而言，求等比數(shù)列通項公式an，一定要求出a1和q嗎”這個問題.

教師提示學(xué)生研讀等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等比數(shù)列（公比為q），

然后讓學(xué)生在探究中歸納猜想.

在等比數(shù)列｛an｝中，你能用公比q表示任意兩項的比值嗎？

a7a5=""" ；a11a8=""" ；a67a57=""" ；……

猜想：anam=？

生：可以得出anam＝qn-m，即an=am·qn-m（n，m∈N*）.

師：這個結(jié)論是通過特殊到一般得到的，是一種不完全歸納，你能用數(shù)學(xué)知識證明這個結(jié)論嗎？

師：對于上面的例題，要不要再列出方程組求解？

生：關(guān)鍵是求公比q，不需要再列出方程組.根據(jù)等比數(shù)列定義可得a5a2=q3，求出q=2，由an=am·qn-m，得an=a2qn-2=6·2n-2.

本案例中，不就題講題，而是從題目中挖掘思維材料，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，學(xué)會抽象與歸納，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)是一門講理的學(xué)科，任何結(jié)論都必須用數(shù)學(xué)知識加以證明，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性，這樣的教學(xué)不僅深化了學(xué)生對等比數(shù)列的理解，認識其本質(zhì)，更重要的是有效提升了學(xué)生思維品質(zhì).

思維品質(zhì)是一個人分析問題的核心要素之一.教會學(xué)生遇到問題時如何科學(xué)地觀察、辯證地思考與正確地分析也是課程思政教學(xué)的目標之一.

3.4 利用隱喻傳達意會的思想教育內(nèi)容

隱喻是我們?nèi)绾嗡伎?、如何認識現(xiàn)實的意義以及看待事物的觀點或方法的一種方式.隱喻為客觀知識和人的主觀認識之間架起了一座橋梁.數(shù)學(xué)教育中，隱喻的目的是改變數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的嚴肅、封閉印象，培養(yǎng)并提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的想象力以及理解力.通過隱喻，學(xué)生能夠利用他們了解的事物、熟悉的情境和已有的經(jīng)驗來更好地觀察與分析產(chǎn)生問題的根本原因.數(shù)學(xué)隱喻在思政教育中的應(yīng)用是指通過數(shù)學(xué)概念、原理或數(shù)學(xué)問題的解析，來傳達教育想要表達的正確的價值觀和正能量.數(shù)學(xué)隱喻是通過深入挖掘數(shù)學(xué)知識與思政教育內(nèi)容之間的聯(lián)系，可以將思政教育變得更加生動有趣和富有啟發(fā)性，從而提高思政教育的接受度和理解深度.

案例：“事件的獨立性”教學(xué)設(shè)計.

創(chuàng)設(shè)情境：一個現(xiàn)實中發(fā)生交通事故的案例.

教師引導(dǎo)：違反交通規(guī)則是造成交通事故的重要原因.

提出問題：設(shè)小明在同一個路口違反交通規(guī)則闖紅燈1次，發(fā)生事故的概率為0.005，問闖紅燈2次、3次、10次造成交通事故的概率分別是多少？

師生分析：教師根據(jù)學(xué)生計算結(jié)果指出，雖然1次、2次違反交通規(guī)則造成交通事故的概率很小，但違反交通規(guī)則次數(shù)越多，發(fā)生交通事故的可能性就越大，當違反交通規(guī)則次數(shù)足夠多時，發(fā)生交通事故幾乎是必然的.每次闖紅燈都是一個獨立的試驗，而隨著試驗次數(shù)的增加，至少有一次會成功（在這里是“至少發(fā)生一次交通事故”），其概率會趨向于1.對于連續(xù)在不同的路口闖紅燈，可以通過概率的加法原則來理解，即雖然單次事件的概率很低，但多次事件的概率累加會使總概率增加.

教師引領(lǐng)：在生活中，我們要遵章守紀，不要有僥幸心理，每個學(xué)生都要樹立正確的價值觀，勿以惡小而為之，勿以善小而不為，平時學(xué)習(xí)和生活中的小錯誤和小毛病看似很小，如果不重視、不及時糾正，長期積累，就會釀成大的錯誤.

本案例中，用生活中的例子來學(xué)習(xí)獨立事件的概念，并從概率的角度來分析交通事故發(fā)生的可能性大小.在此基礎(chǔ)上，教師進行價值觀引領(lǐng)，在學(xué)生知識學(xué)習(xí)的同時，既發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，又滲透了價值觀教育.

參考文獻

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