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        籌算:小棍上的中國古代數(shù)學智慧

        2024-12-31 00:00:00孫明源
        閱讀時代 2024年7期
        關(guān)鍵詞:記數(shù)法位值記數(shù)

        今天使用的阿拉伯數(shù)字其實是印度人的發(fā)明,但在印度人這一發(fā)明之前,中國就發(fā)展出了一套實用、完善的記數(shù)系統(tǒng)——算籌記數(shù)法。算籌是中國古代常用的計算工具,也叫算、籌、策、籌策、算子等。用算籌來記數(shù)和計算以及相應的方法,稱為籌算?;I算是中國古代數(shù)學的特色。

        中國科學院自然科學史研究所研究員鄒大海認為,相比于其他地區(qū)的古代數(shù)學,中國古代數(shù)學以計算和算法見長,其主要原因之一就是普遍采用籌算,不僅產(chǎn)生了先進的記數(shù)法,而且有一套表示未知量和代數(shù)式的方法,它以獨特的方式實現(xiàn)了代數(shù)符號的功能。

        十進位值制記數(shù)法最早出現(xiàn)在中國

        進制是數(shù)學的基本概念之一,其含義是“累計若干個基本單位即形成下一個單位”。人們比較熟悉的進制包括最常見的十進制、用于時間和角度計量的六十進制、計算機領(lǐng)域常見的二進制和十六進制等。

        進制的基礎(chǔ)上發(fā)展出了位值制觀念,即數(shù)字所在的位置可以表示該數(shù)字單位對應的倍數(shù)。例如在阿拉伯數(shù)字5234當中,5所在的位置是“千”位,表示5個千,而2、3、4在“百”“十”“個”位,分別表示 2個百、3個十、4個一。許多記數(shù)系統(tǒng)沒有位值制觀念,例如古埃及數(shù)字由于沒有位值制觀念,顯得非常繁瑣。

        現(xiàn)代通行的十進位值制記數(shù)法最早起源于中國。中國漢字的數(shù)字記法就是十進制系統(tǒng)。一既是基本數(shù)字,也是數(shù)字單位,此外常見的數(shù)字單位有十、百、千、萬、億、兆、京等。

        例如“一兆八千五百三十億二千一十八萬八千八百五十一”這個數(shù),只要把空著的數(shù)位用〇代替,將兆、億、萬、千、百、十等數(shù)字單位撤去,就變成“一八五三〇二〇一八八八五一”,這與現(xiàn)代的“1853020188851”一一對應??梢?,中國文字記數(shù)法是相當先進的,可以很容易跟通行的阿拉伯數(shù)字表示法進行轉(zhuǎn)化。但是,中國文字表示法只是準十進位值制,尚不完善。真正采用十進位值制的是算籌記數(shù)法。公元14世紀以前,算籌曾是廣泛使用的計算工具,之后就逐漸被算盤所取代。

        算籌的形象類似筷子,源于遠古時期人們用長條形小棍計數(shù)的習慣。用算籌表示一至九有縱、橫兩種形式。

        《夏侯陽算經(jīng)》說:“滿六以上,五在上方,六不積算,五不單張?!币馑际牵簩τ谝坏轿澹菐拙陀脦赘慊I表示;對于六到九,則將其中所含的五用一根算籌放在上面表示,余下幾就用幾根算籌與之垂直放在下面就可以了。比如╥表示七,其中上面一根表示五,下面兩根表示二。

        對于多位數(shù),《孫子算經(jīng)》記有其算籌表示法:“凡算之法,先識其位,一縱十橫,百立千僵,千十相望,萬百相當?!惫湃嗽趥€位擺縱式,十位擺橫式,百位又用縱式,千位又用橫式,如此縱橫交錯進行。鄒大海強調(diào),本來只用兩式的一種就夠了,但縱橫交錯的方法更為清晰,也不容易弄亂。算籌記數(shù)法大約產(chǎn)生于西周、春秋之際,也可能更早。在出土的先秦陶片和貨幣上可以看到這種記數(shù)法的痕跡。

        籌算具有強大的記數(shù)和運算功能

        籌算加減法比較簡單,古人沒有記載。對于復雜的乘除法,古人將算籌擺成三行,中行為乘積或被除數(shù),下行為乘數(shù)或除數(shù),上行為被乘數(shù)或商。利用九九口訣與算籌記數(shù)法相配合,就可以得出結(jié)果。這個過程在本質(zhì)上與現(xiàn)代的豎式乘除法很接近。

        籌算還可以求解線性方程組,在公元前1世紀成書的《九章算術(shù)》中,有一種稱為“方程”的方法,其表達方式和運算方法都跟現(xiàn)代的增廣矩陣很相似,而求解線性方程組的增廣矩陣方法在歐洲是18、19世紀之交才出現(xiàn)的。在籌算的方程中,不同位置具有指示不同未知量和常數(shù)項的作用,相當于現(xiàn)代的分離系數(shù)法。正是方程導致了正負數(shù)概念的產(chǎn)生,古代一般用黑色和紅色的算籌分別表示負數(shù)和正數(shù)。

        《九章算術(shù)》也用籌算來開平方、開立方,還用來求一元二次方程的解。這種方法不斷發(fā)展,到宋代已形成了一套求一元高次方程數(shù)值解的方法。宋元時代還發(fā)展出列方程的普遍方法,先是出現(xiàn)了針對一個未知量求解的天元術(shù),后來發(fā)展到最多可達四個未知量的高次方程組的列法與解法——四元術(shù),用天、地、人、物指示未知量。這種方法所列出的算式中除算籌和個別漢字“太”或“元”外,不使用符號,而是通過位置來體現(xiàn)未知量及其冪,實現(xiàn)了代數(shù)符號的功能,這在某些方面甚至比現(xiàn)代的符號方法更具優(yōu)勢。

        中國古代以文字和籌算配合,使得數(shù)學工作得以開展并傳承?;I算以其強大的記數(shù)、符號和運算功能,在中國古代數(shù)學的發(fā)展過程中發(fā)揮了重大的作用。

        后來隨著商業(yè)的發(fā)展,籌算捷法和相應的口訣發(fā)展起來,之后籌算被珠算取代。珠算通過沿用、改良籌算的口訣和方法,在商業(yè)、會計和日常生活中發(fā)揮著巨大的作用。

        但籌算也有其局限性。鄒大海指出,籌算的缺點之一是無法保留演算的過程,中間操作有誤就難以追溯。二是算籌使用起來比較占地方。三是較難實現(xiàn)超過四元的列式和運算。

        籌算影響中國傳統(tǒng)文化

        明代天元術(shù)、四元術(shù)等失傳,籌算被珠算、筆算取代,但其方法和思想仍在數(shù)學發(fā)展中發(fā)揮作用,甚至已滲透到中國思想文化的方方面面。

        籌算的重要意義在于制訂和利用一系列規(guī)則和方法?;I算靠的主要是智力,并特別講究精準,所以在中國傳統(tǒng)文化中很多反映智力活動的用語都與籌算有關(guān)。比如謀劃叫“運籌”“籌劃”,用“運籌帷幄,決勝千里”表示指揮官在后方謀劃得好讓前線取得勝利。又如考慮得周全叫“算無遺策”“胸有成算”,而謀劃失誤則叫“失算”“失策”。其他如人們常說的“算計”“暗算”“盤算”“算命”“勝算”等詞匯,皆源自古代的籌算思維。

        (源自《科技日報》)

        責編:潘茜

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