【摘 要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程既要有“意思”也要有“意義”。結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)視角下的“小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算拓展課”教學(xué)，要以整體的、關(guān)聯(lián)的、系統(tǒng)的視角，從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)、知識內(nèi)在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)、策略方法結(jié)構(gòu)出發(fā)明確結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)合理教學(xué)主線；引導(dǎo)學(xué)生通過意義思辨、圖式思辨、批判思辨，將圖與式建立聯(lián)結(jié)，對知識進(jìn)行系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)、轉(zhuǎn)換；讓學(xué)生通過習(xí)得練習(xí)、變式練習(xí)、延伸練習(xí)助力方法、結(jié)構(gòu)的遷移應(yīng)用，在實(shí)現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)化的同時(shí)使思維結(jié)構(gòu)化，促進(jìn)思維進(jìn)階。

【關(guān)鍵詞】知識結(jié)構(gòu)化 知識關(guān)聯(lián) 計(jì)算拓展課

結(jié)構(gòu)化視角下“小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算拓展課”教學(xué)，是以學(xué)生計(jì)算中的難點(diǎn)、疑點(diǎn)、拓展點(diǎn)和學(xué)生實(shí)際認(rèn)知為基礎(chǔ)，以學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升和活動經(jīng)驗(yàn)的積累為重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識、思維方式和學(xué)習(xí)策略等進(jìn)行整體關(guān)聯(lián)和相互融通，在學(xué)習(xí)中通過遷移、拓展與提升，促進(jìn)知識系統(tǒng)建構(gòu)與思維發(fā)展。

一、瞻前顧后，明確結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)內(nèi)容

（一）追溯：探明已有經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)

在學(xué)習(xí)新知識之前，學(xué)生原有的相關(guān)知識基礎(chǔ)與基本能力是怎樣的？生活經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是怎樣的？對新知識的認(rèn)識是怎樣的？對于這些，教師都需要明確。在此基礎(chǔ)之上才能將計(jì)算拓展的知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)對接起來，真正找到學(xué)習(xí)中的核心是什么，從而精準(zhǔn)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容。

在探究這一知識之前，在第五冊中已經(jīng)學(xué)習(xí)了三位數(shù)乘一位數(shù)的乘法，并在練習(xí)中探究了把2、4、5、7四個數(shù)分別填入□中寫成乘法算式：要使積最大，應(yīng)該怎么填？□□□×□；要使積最小，應(yīng)該怎么填？□□□×□，也通過進(jìn)一步的探究，發(fā)現(xiàn)了填數(shù)的規(guī)律。同時(shí)在面積單元研究了 “周長相同的長方形哪個面積最大”的問題。在第六冊中又學(xué)習(xí)了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的乘法計(jì)算，這些為這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供了知識基礎(chǔ)、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)以及方法的支撐。

（二）勾連：梳理知識關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)

將疑點(diǎn)、難點(diǎn)、拓展點(diǎn)知識進(jìn)行勾連、轉(zhuǎn)換和融合，將有聯(lián)系的知識串聯(lián)和融合起來，幫助學(xué)生建立知識結(jié)構(gòu)。學(xué)生將舊經(jīng)驗(yàn)遷移到新的情境中去，類比學(xué)習(xí)新知識、解決新問題，能夠加深對新知識的理解與接納，從一道題走向一類題。

對于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)積最大和最小”問題，學(xué)生借助三位數(shù)乘一位數(shù)積最大和最小問題的經(jīng)驗(yàn)，先確定最高位上的數(shù)字，再確定其他數(shù)字。十位上的數(shù)字容易確定，而瓶頸在于從乘法算式的意義和數(shù)的組成角度出發(fā)綜合考慮進(jìn)行大小比較并調(diào)整個位上的數(shù)字。因此，解決的辦法在于激活先前所學(xué)的乘法算式積的大小判斷的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)借助長方形面積和周長的有關(guān)知識作為支撐，幫助學(xué)生直觀理解。通過勾連前后知識的內(nèi)容和思考方法內(nèi)在的聯(lián)系，加深對新知識的理解與接納，促進(jìn)知識結(jié)構(gòu)化。

（三）延展：聚焦策略方法結(jié)構(gòu)

聚焦問題解決的策略和思考方法，有助于學(xué)生在情境中進(jìn)行分析、探索、理解等。教師要重視策略和方法的提煉，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)對知識的理解和方法的遷移。當(dāng)學(xué)生通過恰當(dāng)?shù)穆窂揭詳?shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考時(shí)，就基本形成了從一道題到一類題的模型，從而形成牢固的方法結(jié)構(gòu)和知識結(jié)構(gòu)。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)積最大和最小”問題，不能只限于解決這一道題，要幫助學(xué)生打通知識的壁壘。既要聚焦活動經(jīng)驗(yàn)遷移：利用三位數(shù)乘一位數(shù)的積最大和最小問題的探究以及格子圖或面積圖表示算式的意義；又要聚焦方法遷移：積最大——大數(shù)排十位，兩數(shù)差最?。环e最小——小數(shù)排十位，兩數(shù)差最大。當(dāng)學(xué)生會用這樣的經(jīng)驗(yàn)和方法進(jìn)行思考并形成解決問題的路徑時(shí)，就建構(gòu)起了從一道題到一類題的模型。

二、圖式聯(lián)結(jié)，構(gòu)建方法策略結(jié)構(gòu)

（一）意義思辨——夯基礎(chǔ)，促使經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)

意義思辨是知識生長的根基，教師要拋出問題，引導(dǎo)學(xué)生從根源思考，尋找方法。教學(xué)中，教師要激活學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合學(xué)生的現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)狀況，讓學(xué)生在活動中產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突，發(fā)現(xiàn)新舊知識的聯(lián)系，找到一些相關(guān)聯(lián)的元素信息，展開學(xué)習(xí)。

在教學(xué)時(shí)，教師呈現(xiàn)兩組材料：①復(fù)習(xí)：把1，2，4，6四個數(shù)分別填入□中寫成乘法算式：要使積最大，應(yīng)該怎么填？□□□×□；要使積最小，應(yīng)該怎么填？□□□×□。②探索：把1，2，4，6四個數(shù)分別填入□中寫成乘法算式：要使積最大，應(yīng)該怎么填？□□×□□；要使積最小，應(yīng)該怎么填？□□×□□。從回憶復(fù)習(xí)“□□□×□”過渡到“□□×□□”的探究。這樣的教學(xué)過程既關(guān)聯(lián)了學(xué)生先前經(jīng)驗(yàn)，又為后續(xù)學(xué)習(xí)積累了活動經(jīng)驗(yàn)和方法經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生會根據(jù)乘法運(yùn)算的意義，要使積最小，最高位上放小的數(shù)1和2，個位上放另外的數(shù)，得到14×26和16×24。

（二）圖式思辨——謀發(fā)展，助力結(jié)構(gòu)形成

將乘法算式分別與點(diǎn)子圖、面積圖之間建立聯(lián)結(jié)進(jìn)行規(guī)律的探索。以“圖”作為信息載體，通過點(diǎn)子圖計(jì)數(shù)、面積圖計(jì)量過程體會乘法算式的意義，根據(jù)點(diǎn)子圖和面積圖進(jìn)行兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式圖式分解，將算式的圖式分解與圖的表征建立對應(yīng)關(guān)系，并得到“和相等，差大積小”的結(jié)論。通過多元表征，對知識進(jìn)行系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)、轉(zhuǎn)換和應(yīng)用，在實(shí)現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)化的同時(shí)使思維結(jié)構(gòu)化。

1.點(diǎn)子圖，感受圖和式的聯(lián)結(jié)

點(diǎn)子圖直觀性強(qiáng)，有利于學(xué)生進(jìn)行操作和比較。在深度理解乘法意義的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行畫圖表征，在表征過程中感受圖與式的聯(lián)結(jié)。

教學(xué)時(shí)基于核心問題“14×26和16×24的積誰??？不用豎式計(jì)算，你能借助點(diǎn)子圖表示出來嗎？”引發(fā)學(xué)生進(jìn)行圖式思辨。先讓學(xué)生圖式分解14×26和16×24，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)相同的部分“14×24”大小是一樣的，只需要在圖中比較“2×14”和“2×24”的大小就可以了，這樣就完成了從點(diǎn)子圖到算式的分解，將算式的分解和點(diǎn)子圖中的表征建立對應(yīng)關(guān)系。初步得到“兩數(shù)和相等的情況下，差越大，它們的乘積就越小”的結(jié)論。如圖1。

2.面積圖，建立圖和式的聯(lián)結(jié)

從點(diǎn)子圖到面積圖，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生通過經(jīng)驗(yàn)遷移進(jìn)行圖式分解，完成表征形式的意義聯(lián)結(jié)，并實(shí)現(xiàn)表征形式的結(jié)構(gòu)化和抽象化，這也是對規(guī)律的驗(yàn)證。

基于核心問題“62×41和61×42的積誰大？不用豎式計(jì)算，你能在長方形中表示出來嗎？”引導(dǎo)學(xué)生在面積圖形中先畫一畫再寫出分解算式，或者先寫一寫分解的算式，再在面積圖上畫一畫，構(gòu)建乘法算式的意義。根據(jù)學(xué)生不同的面積圖表達(dá)（如圖2），統(tǒng)一為圖①和②，最后根據(jù)先前點(diǎn)子圖的經(jīng)驗(yàn)，將圖①和②進(jìn)行比較重疊，得到圖③。發(fā)現(xiàn)：61×41為公共部分，大小相等，只要比較沒有重疊部分的大小就可以了。建立面積圖和算式的對應(yīng)，幫助學(xué)生找到解決問題的策略，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“兩數(shù)和相等的情況下，差越小，它們的乘積就越大”的結(jié)論。

（三）批判思辨——通障礙，完善知識結(jié)構(gòu)

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比反思，敢于對結(jié)論提出疑問，發(fā)表不同意見，這就是批判思維的具體表現(xiàn)。教學(xué)中，教師可以設(shè)置一些障礙，對學(xué)生批判性思維進(jìn)行培養(yǎng)和錘煉。兩組數(shù)和相等，比較這兩組數(shù)積的大小時(shí)，可以借助規(guī)律，也可以先列舉再計(jì)算找到答案。既然有“和相等”，那么也肯定有“和不相等”，那么當(dāng)“和不相等”時(shí)，還存在“差小積大，差大積小”的規(guī)律嗎？

教師繼續(xù)呈現(xiàn)問題：請你用喜歡的方法比較51×34和57×31的大小。以此驅(qū)動學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)，學(xué)生在經(jīng)歷運(yùn)用規(guī)律、圖式分解、直接計(jì)算的批判思辨中，發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)和不相等時(shí)，借助規(guī)律判斷是錯誤的。

三、實(shí)踐運(yùn)用，助方法結(jié)構(gòu)遷移

（一）“習(xí)得”練習(xí)，應(yīng)用中夯實(shí)知識技能

理解運(yùn)用是檢驗(yàn)學(xué)生規(guī)律掌握的重要手段。在解決新問題得出規(guī)律之后，教師需要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生加以鞏固。這些練習(xí)的核心是基礎(chǔ)知識和基本技能，但不是例題的原版呈現(xiàn)，需要學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行正確解答。

如圖3，學(xué)生通過計(jì)算A，估算B，圖式分解C和D，在具體解決問題中多種策略并用，不僅提高了思維的靈活性，同時(shí)也體現(xiàn)了解決問題的方法的簡捷。

練習(xí)1：“比較算式乘積大小”

下面四個算式乘積最大的是（" " " " ）

A.10×34" " " B.21×43" " " C.41×32" " " D.42×31

如圖4，有的學(xué)生會受到題目中“原來”的干擾，計(jì)算時(shí)用現(xiàn)在面積減去原來的面積，但是仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，只需計(jì)算8×11部分的面積即為增加的面積，通過圖式分解也不難發(fā)現(xiàn)。這樣大大縮短了問題思考和解決的時(shí)間，助推抽象思考能力的提升。如圖4。

練習(xí)2：“比較面積大小”

菜園的長增加8米，面積比原來增加多少平方米？

（二）“變式”練習(xí)，應(yīng)用中促進(jìn)方法遷移

遷移運(yùn)用是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解的有效途徑。對一些變式問題的解決，是提升學(xué)生思維層級的必要手段。一些方法策略得出以后，教師需要及時(shí)讓學(xué)生練習(xí)，在練習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、比較，找到“變”與“不變”，建立起新知識與未知問題之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，有助于學(xué)生逆向激活所學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)和能力，最終達(dá)到融會貫通。

如圖5，學(xué)生通過算式、計(jì)算和畫圖找出答案。根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)只要比較重疊部分以外的面積就可以了，如圖6，教師可結(jié)合算式表示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)相差的面積就是右下角“缺口部分的小正方形面積”。并最終引導(dǎo)歸納：邊長為 a的正方形，它的面積比“長比 a 多b，寬比a少b的長方形”的面積多b×b。將知識進(jìn)行了遷移運(yùn)用，并實(shí)現(xiàn)了升級。

（三）“延伸”練習(xí)，應(yīng)用中促進(jìn)整體關(guān)聯(lián)

學(xué)生在探究過程中，將新舊知識建立聯(lián)系，找到對接點(diǎn)，對核心的知識、策略進(jìn)行運(yùn)用。教師著眼于整體和聯(lián)系編制延伸練習(xí)，這樣不僅能讓學(xué)生把握知識的內(nèi)核，關(guān)注知識的整體性，而且能讓學(xué)生關(guān)注前后知識之間的聯(lián)系，將其納入知識結(jié)構(gòu)之中去。

練習(xí)3：它們和邊長20厘米的正方形相比，面積相差多少？

這節(jié)課的課尾，教師編制了研究5個數(shù)組數(shù)問題（對結(jié)果不做要求）（如圖7），這樣的延伸練習(xí)題還是圍繞“根據(jù)給定數(shù)字怎樣才能組成積最大或者最小的乘法算式”主線展開教學(xué)，將這些分布在不同年級的“散點(diǎn)式”內(nèi)容串聯(lián)起來，形成網(wǎng)絡(luò)，主動建構(gòu)知識。

用1，2，3，4，5五個數(shù)字組成一個三位數(shù)乘兩位數(shù)，要使乘積最大，應(yīng)是哪兩個數(shù)？我們剛剛探究的三位數(shù)乘一位數(shù)以及兩位數(shù)乘兩位數(shù)算式中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，能否對尋找三位數(shù)乘兩位數(shù)有所幫助呢？

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程既要有“意思”也要有“意義”。結(jié)構(gòu)化視角下的“小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算拓展課”教學(xué)，要從整體的、關(guān)聯(lián)的、系統(tǒng)的視角出發(fā)，提供結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)材料進(jìn)行深入探究。教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多元表征進(jìn)行多維表達(dá)，運(yùn)用多種策略解決問題，在表征、辨析、反思、遷移中融會貫通，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知、思維、策略的整體建構(gòu)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]席愛勇，吳玉國.學(xué)理分析：讓結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)深度發(fā)生[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2018（4）.

[2]吳玉國.小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的理解與實(shí)踐［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2021.

[3]姚蕊.小學(xué)數(shù)學(xué)主題單元教學(xué)的整合策略[J].教學(xué)與管理（小學(xué)），2019（20）.

[4]陳加倉.小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課［M］.南昌：江西教育出版社，2022.