摘" 要：在數學教學中，主要目標之一是利用所學習的數學知識解決生活中的實際問題.在信息化時代中，數學建模成為解決現實生活中問題的重要方法以及學生數學學習的重點.當前，為了強調對高中學生數學應用能力的培養(yǎng)，將數學建模引入到高中數學教學中，從而教會學生靈活運用建模思想解決實際問題，加強應用能力.本文重點探究數學建模，深入分析學生在此部分知識的學習中常遇到的問題，依據具體情況提供可行性措施.同時，為提高教學成效，為學生提供將數學知識與其真實生活進行聯(lián)系的機會.

關鍵詞：數學建模；高考；函數模型

1" 高考函數模型應用分析

在高中數學教學中，函數是重要組成部分，能夠進行對變化規(guī)律的描述.函數知識是學生學習的重點，在初高中階段貫穿.《普通高中教科書數學必修第一冊》（以下簡稱“必修一”）新增數學建?；顒影鍓K，需學生通過函數模型解決現實問題.教師在教學中應正確認識函數模型的重要性，明確其在現實生活中的廣泛應用.以應用題為例，常出現利潤最大等

問題.近些年來，在高考題中，涉及函數模型的應用題較多.例如，2014年以爆米花可食用率探究二次函數模型；2015年通過指數函數模型探究食物保鮮時間與儲存溫度的聯(lián)系；2017年利用三角函數模型分析容器注入水深這一問題；2018年比較公交群體與自駕群體的通勤時間，利用其探究函數的實際應用；2020年使用對數函數模型分析新冠感染病例數和時間的聯(lián)系.在解決問題時，需要根據問題背景深入分析，明確題目中的常量、變量，確定兩者之間的聯(lián)系.還要掌握研究對象運動變化特點，實現對其合理分類，達成適合函數模型的選擇，并且按照目標函數特點，利用其運算性質獲得結果.利用函數模型結果能夠科學解釋實際問題中存在的規(guī)律，也可以對今后情況開展科學預測，為合理決策的制定提供參考.在上述應用題中，主要涉及常見基本初等函數模型，包含一次函數、二次函數、指數函數和對數函數等.

針對二次函數模型，學生在初高中階段均有對此部分知識的學習.在初中學習中，著重進行對定義和應用的學習，能夠初步實現對數學建模內容的探究.［1］在高中時，會對此部分知識進行深入學習.通過初高中階段的全面學習，學生能夠充分認識知識內容的重要性.此函數模型主要與最大銷售利潤等問題的探究相關.

指數函數爆炸式增長，屬于數式增長的一種.對此知識，學生會進行對指數函數、對數函數定義等多方面知識的深入學習，并且全面梳理及整合此兩種函數的相同點與不同之處.在此基礎上深入學習在解決應用題過程中怎樣依據研究對象的變化進行合適函數模型的應用，從數學角度開展對實際問題的探究，進行對事件的描述以及科學預測，通過獲得的結果為科學決策的制定提供重要依據.

三角函數是初等函數中的重要內容，能夠將周期性變化予以體現.此數學模型常在圖象處理等問題中使用.同時，這一模型在航海等多個領域也有充分運用.

在通過數學建模處理真實問題的過程中，關鍵步驟為模型建立.若想實現對模型的建立，學生需具有良好的文字閱讀能力，能夠正確審題，理解提供的題目內容，分析描述的真實背景.在其中獲取數量關系，將語言文字抽象轉變?yōu)閿底址栒Z言，并且選擇適合的數學模型，實現對實際問題的正確解答，從而提高學生使用數學模型解決現實問題的應用能力.［2］

2" 函數模型案例：茶水溫度問題

茶葉類型與泡茶的水溫會產生對茶水口感的直接影響.在生活中，某茶葉若以80℃的水泡茶，在等待其溫度降到55℃時，飲用茶水能夠享受最佳口感.若室溫是35℃，需要將茶水放置多長時間才能夠享受最佳口感.表1是茶水溫度改變情況的具體數據信息.

案例來源：必修一數學建模板塊活動案例改編.

案例分析：利用本題，主要考查學生對基礎函數知識的掌握情況.若想實現對本問題的解決，學生應明確多種初等函數的概念和圖象性質，掌握多種函數之間存在的相同點與不同點.

分析表1呈現的數據，茶水的溫度會隨著時間的變化而改變，溫度是關于時間的函數.但具體的函數模型尚無法確定，利用散點圖實現對表1數據變化情況的直觀分析，再依據分析結果選擇可以體現茶水溫度隨著時間改變這一規(guī)律的函數模型.

模型假設：在解決問題中，設溫度在80℃開始，在茶水放置xmin后，溫度為y℃.聯(lián)系表1數據，通過Excel繪制散點圖（如圖1）.通過對各點分布情況的深入探究發(fā)現，函數模型可能為一次函數或者是指數函數，無法實現對具體模型的確定.因此要進行對不同模型的嘗試.

模型假設1：一次函數模型y=kx+b.

模型建立：利用圖分析，將表1中的部分數據進行代入計算，得k=-4.86，b=80，解析式為 y=-4.86x+80.

模型檢驗：繼續(xù)計算，將表1中剩余的數據分別代入模型y=-4.86x+80中，對其進行檢驗，發(fā)現其獲得的溫度數據和表格中呈現的真實數據存在較明顯的差異.因此，用一次函數模型解題不夠科學，應嘗試另一種假設.

模型假設2：指數函數模型 y=kax+b.

模型建立：組織學生查閱相關資料，學生通過大量資料的查找了解在茶水的溫度降低到室溫20℃以下后，茶水的口感會大幅度地降低，也會導致茶葉出現細菌，飲用茶水容易導致腹痛、腹瀉等情況發(fā)生.因此，在茶水溫度降低過程中，應保證其降到室溫20℃，參數為b=20.基于以上分析，以指數函數模型y=kax+20（k∈R，0lt;alt;1，xgt;0）實現對茶水溫度隨著時間改變規(guī)律的體現.

模型求解：聯(lián)系表1分析，當 x=0時，y=80，代入y=kax+b計算，得k=60.在指數函數探究中，衰減率是重要內容，

即本題的參數a.利用其啟發(fā)學生，確定溫度的衰減比例a，從第2 min計算，探究不同時間比值，列出表2.在表2中，各比值不一樣.但綜合分析各比值，發(fā)現存在近似相同的情況，應將其平均值當做衰減比例.其平均值為a=14（0.919+0.9106+0.9012+0.9012）=0.9125.通過上述分析與深入探索，指數函數模型是y=60×0.9125x+20（x≥0）.

模型檢驗：根據上面所采取的檢查方式，將表中的時間x數據代入指數函數模型y=60×0.912 5x+20，通過檢驗發(fā)現，其所獲得的溫度值和表格中的真實數據的差異較小.因此，采用此函數模型能夠獲得較為理想的結果.

模型應用：將 y=35代入函數y=60×0.912 5x+20，獲得結果x=15.依據結果可知，當室溫在35℃時，需要在泡好茶水后，等待約15分鐘進行品茶，口感最佳.

案例意圖：利用此案例，可以使學生針對茶水溫度的改變情況進行深入分析，將其和指數函數模型對應，引導學生學會應用建模解決實際問題.在基本初等函數的訓練中，通過茶水溫度變化這一建模方案引導學生探究，能夠使學生更加深入地掌握不同函數存在的差異與相同點，正確達成對不同函數的辨析.［3］同時，在學生的解題過程中，其模型能力、抽象概括能力等不斷發(fā)展，有利于學生數學素養(yǎng)的發(fā)展.

3" 高考線性規(guī)劃模型分析

在高中學生學習數學知識的過程中，生活中的優(yōu)化問題較為常見，也是學生常接觸的題型.此類問題和線性規(guī)劃模型的關系較緊密.在高中學習中為重要知識點，是學生學習掌握的基礎知識內容，學習的困難程度不高.在此部分知識的學習與探究中，應實現對基本概念等知識的掌握.通常在生產等優(yōu)化問題的探究中應用該模型，費用最少問題的探索中也常用此模型.高考此模型應用題見表3.

在線性規(guī)劃模型中，主要包含控制變量、線性約束條件及目標函數.控制變量是學生能夠進行控制的量，存在取值范圍.對于線性約束分析，控制變量應將不等關系滿足.目標函數是學生能夠達到最優(yōu)化的表達式.

在數學學習中，數量關系不僅只有等量關系，而且包含不等關系.在利用線性規(guī)劃模型進行對現實生活中實際問題的探究時，需要聯(lián)系題目中蘊含的已知條件進行分析，通過已經掌握的信息明確不同變量之間存在的聯(lián)系，依據內在聯(lián)系達成函數的建立并確定約束條件，通過不等式或不等式組達成對具體問題中不等關系的表達，通過坐標系實現對約束條件的繪制，做到對相應范圍的明確.將直線平移使其與該范圍進行接觸，能夠得到最優(yōu)解.［4］對于該類問題分析，本質上是利用幾何直觀達成對現實問題的解決.

4" 線性規(guī)劃模型：利潤優(yōu)化問題

具體案例：在某工廠中，主要生產甲、乙兩種產品.該工廠具有生產此兩種產品的計劃，進行對常用材料A、B的準備.在實際生產中，1.5kg的A材料、1kg的B材料能夠生產一件甲產品，工時為5.0.5kg的A材料、0.3kg 的B材料能夠生產一件乙產品，工時為3.在利潤方面，生產甲產品與乙產品分別為2100元、900元.目前，此工廠準備材料為150kgA、90kg B.在確保工時不會超過600的基礎上，進行對甲、乙兩種商品的生產，獲得的最大利潤是多少？

案例來源：2016年新課標Ⅰ卷的高考應用題改編.

案例分析：在解題中，應明確解題的重點為控制變量、約束條件及目標函數，只有實現對以上重點的把握，才能夠成功構建模型.通過二元一次不等式組實現對平面區(qū)域的確定，并利用這一區(qū)域獲得最優(yōu)解.在本題分析中，題目的文字材料較多，涉及較多變量，為使學生更高效地解題，可引導其制作表格.利用表格明確題中的已知條件，掌握各量之間的關系.結合本題內容及表格呈現能夠明確需要以線性規(guī)劃模型解題.

模型的假設與建立：通過對本題的分析，明確控制變量為甲、乙產品的具體件數.在該問題的解決中，設工廠生產甲產品與乙產品分別為 x 件、y 件，利潤和是 z 元.基于以上分析，目標函數是z=2100x+900y.依據上述內容，約束條件如下所示.

1.5x+0.5y≤150，

x+0.3y≤90，

5x+3y≤600，

x，y∈N.

3x+y≤300，

10x+3y≤900，

5x+3y≤600，

x，y∈N.

模型求解：依據以上分析得出的二元一次不等式組能夠將可行域繪制（如圖2）.結合可行域，能夠發(fā)現在平移后交點為A時z最大.因此，這是最優(yōu)解.通過其坐標可知，A（60，100）.即在此工廠的甲產品60件，乙產品100件時，利潤最高為216000元.

模型檢驗：在進行檢驗時，將獲得的結果代入約束條件可知，該結果與題意相符.因此，可以采用此數學模型求解.

模型應用：本題為線性規(guī)劃模型，此類問題的探究在高中學生的學習中涉及較多.調運方案是否合理等問題也需要以此模型解決.在解題中，應依據題目內容對變量、常量等全面梳理，依據材料內容制作表格，在綜合分析后明確控制變量，假設模型，并將相應的約束條件列出，確定目標函數，實現對模型的構建.并且，依據分析畫出可行域，實現對幾何直觀的合理應用.

案例意圖：利用生活中常見的利潤問題引領學生探究，能夠促使學生運用自己掌握的線性規(guī)劃模型進行對問題的探究.在此學習過程中，學生整理信息、數形結合、建模能力等會在解題過程中獲得提高.在本題解決中，教師應依據題目引領學生進行變式練習，在條件中進行對參數的設置.如設置甲材料A參數為a，改為不超過600個工時的基礎上，甲、乙兩種產品利潤之和最大值為216000元，求出取值范圍.在此題的解決過程中，同樣需要學生利用可行域、圖形進行探究與處理，利用蘊含參數的圖形運動發(fā)現其中的規(guī)律，使圖形特點與關系以代數語言呈現，實現對結果的科學計算.

參考文獻

［1］廖明艷，林瑞記.高中數學建模素養(yǎng)培養(yǎng)存在的問題及對策［J］.中學數學，2024（7）： 30-31+37.

［2］蔡薇.高中數學“問題—互動”教學的探索與實踐［J］.數理天地（高中版），2024（5）：72-74.

［3］黃為民.核心素養(yǎng)背景下高中數學思維導圖教學研究［J］.數學之友，2023，37（24）：12-14.

［4］秦志強.核心素養(yǎng)培養(yǎng)視域下高中數學教學策略優(yōu)化研究［J］.高考，2023（35）：3-5.