摘要：通過推導(dǎo)壓力與飽和度間本構(gòu)關(guān)系，定義兩相擬壓力函數(shù)和β因子，實(shí)現(xiàn)封閉地層單井氣水兩相非線性滲流數(shù)學(xué)模型的線性化，并給出定流壓、定產(chǎn)量、階段變流壓等生產(chǎn)制度下的單井全生命周期產(chǎn)能公式；通過Duhamel褶積原理推導(dǎo)變流壓/變產(chǎn)量下非穩(wěn)態(tài)/擬穩(wěn)態(tài)的解析解，明確兩相物質(zhì)平衡擬時(shí)間適用條件，形成生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析方法。結(jié)果表明：積分形式的擬壓力和β因子能夠表征滲流過程中壓力-飽和度的變化路徑及相互影響，適用于不同工作制度的產(chǎn)能預(yù)測；在擬穩(wěn)態(tài)時(shí)期兩相物質(zhì)平衡擬時(shí)間對任何工作制度均精確成立，在非穩(wěn)態(tài)階段對呈階段性單調(diào)遞減或連續(xù)性變化的生產(chǎn)制度近似漸進(jìn)；無量綱形式下的規(guī)整化產(chǎn)氣量和氣相物質(zhì)平衡擬時(shí)間對應(yīng)關(guān)系與水相數(shù)據(jù)相同，通過圖版擬合可獲取儲(chǔ)層物性、單井控制含氣/水儲(chǔ)量等參數(shù)。

關(guān)鍵詞：氣水兩相； 非線性滲流； 壓力-飽和度關(guān)系； 擬壓力； 物質(zhì)平衡擬時(shí)間

中圖分類號：TE 33"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

引用格式：王軍磊，位云生. 基于擬壓力函數(shù)的單井氣水兩相生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析方法［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，48（6）：123-131.

WANG Junlei， WEI Yunsheng. Transient production analysis of gas-water two-phase flow of gas wells using a pseudo-pressure function based approach［J］.Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science），2024，48（6）：123-131.

Transient production analysis of gas-water two-phase flow of

gas wells using a pseudo-pressure function based approach

WANG Junlei， WEI Yunsheng

（PetroChina Research Institute of Petroleum Exploration and Development， Beijing 100083， China）

Abstract： In order to analyze gas/water two phase flow of gas wells in depletion-driven reservoirs， this work， based on the constitutive relationship between pressure and saturation， proposes the gas/water phase integral transformations including pseudo-pressure and β factor to linearize the two-phase diffusivity equation for a closed cylindrical reservoir with one vertical well. A pseudo-pressure based approach was described， which can generate the required benchmark analytical solution for single-phase liquid case， and the rescaled well performance equations subject to constant bottomhole pressure （BHP）， constant rate， and step-BHP constraints were presented. A rigorous equation for variable BHP/rate constraints was also derived by using the Duhamel convolution， and the application conditions on the use of liquid type curves were studied with the definition of a two-phase material-balance pseudo-time. The results show that the pseudo-pressure based approach and β factor can account for the change in saturation and gas/water PVT properties with pressure， and capture the path inter-dependency of pressure and saturation throughout the production life of the well. The material balance pseudo-time can convert variable rates/BHPs in gas-water two-phase cases into an equivalent constant rate solution for single-phase liquid case. In a boundary-dominated flow regime， the material-balance pseudo-time is strictly a rigorous solution， regardless of well specification constraints. Nevertheless， the material-balance pseudo-time works fairly well in infinite acting flow regimes， which is an approximate solution for the constraint of step like decline drawdown and continuous non-monotonic drawdown. In a dimensionless way combined with the concepts of pseudo-pressure and material balance pseudo-time， the gas-phase equation has exactly the same form as the water phase， which means the dimensionless gas production data overlay with those of water production. The other unknowns such as formation parameters， original gas in place （OGIP） and original water in place （OWIP） can be explicitly calculated using a simple， direct and fast way of a classical type-curve matching.

Keywords： gas-water two-phase; nonlinear flow; pressure-saturation relation; pseudo-pressure; material-balance pseudo-time

以日產(chǎn)量、壓力等生產(chǎn)數(shù)據(jù)為依據(jù)的動(dòng)態(tài)分析方法是認(rèn)識儲(chǔ)層宏觀物性、預(yù)測未來產(chǎn)量的重要技術(shù)，是氣藏動(dòng)態(tài)描述的主要組成部分。以單相不穩(wěn)定試井理論為基礎(chǔ)結(jié)合油藏工程方法，形成既具理論性又具實(shí)操性的動(dòng)態(tài)分析方法體系，稱為生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析^［1-3］。使用物質(zhì)平衡（擬）時(shí)間^［4-6］建立變產(chǎn)量/流壓數(shù)據(jù)與單相定產(chǎn)量非穩(wěn)態(tài)壓力解間的等效關(guān)系，是該方法實(shí)現(xiàn)技術(shù)跨越的重要標(biāo)志，已成功應(yīng)用于不同井型及氣藏類型^［7-10］。對于氣藏尤其低滲氣藏，氣水同層分布導(dǎo)致氣井產(chǎn)水現(xiàn)象普遍。氣/水飽和度場與壓力場同步變化、相互影響，使基于單相流的生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析方法不再適用。將氣水流動(dòng)模型處理成與液態(tài)單相線性流模型一致的形式，能夠?qū)㈥P(guān)于液體滲流成果借鑒到氣水兩相滲流中，基于擬壓力^［11-16］和密度^［17-20］的定義是應(yīng)用最廣泛的處理方法。為提高兩相流生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析方法的靈活性和適用范圍，筆者以氣水非線性滲流方程、流體狀態(tài)方程為基礎(chǔ)，根據(jù)Perrine-Martin近似條件，推導(dǎo)壓力-飽和度本構(gòu)關(guān)系函數(shù)，利用Duhamel褶積推導(dǎo)不同工作制度下的氣水產(chǎn)能公式，通過嚴(yán)格理論推導(dǎo)明確提出兩相物質(zhì)平衡擬時(shí)間概念，給出Blasingame型、Agarwal-Gardner型兩種典型曲線圖版及擬合流程，形成從理論推導(dǎo)到實(shí)際應(yīng)用的氣水兩相生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析方法。

1 氣水兩相流動(dòng)數(shù)學(xué)模型

1.1 流動(dòng)控制方程

以圓形封閉地層直井生產(chǎn)為例建立數(shù)學(xué)模型，假設(shè)：①儲(chǔ)層等厚、圓形封閉；②物性均質(zhì)、氣水分布均勻；③不考慮孔隙度彈性、流體重力及地層溫度變化；④直井完全穿透儲(chǔ)層，地層內(nèi)為二維流動(dòng)；⑤流體滿足達(dá)西運(yùn)動(dòng)定律，氣水間無傳質(zhì)現(xiàn)象。

分別根據(jù)水相及氣相物質(zhì)守恒原理，建立密度形式或體積形式的兩相滲流控制方程為

-·ρυvυ=φρυSυt， ·vυBυ=φtSυBυ.（1）

式中，Bυ為流體體積系數(shù)，無量綱；Sυ為飽和度，無量綱；ρυ為流體密度，g/m3；t為時(shí)間，s；

vυ為滲流速度，m/s；k為絕對滲透率，m2；下標(biāo)υ為g代表氣相，υ為w代表水相。

根據(jù)兩相達(dá)西運(yùn)動(dòng)公式vυ=kKrυ/μυp，將其代入式（1）即可獲得關(guān)于壓力和飽和度時(shí)空分布的兩相非線性流動(dòng)控制方程。氣、水流體具有不同的高壓物性，其中氣體為強(qiáng)可壓縮流體，黏度、壓縮因子、壓縮系數(shù)等均是關(guān)于壓力的強(qiáng)非線性函數(shù)；水為微可壓縮流體，黏度、壓縮系數(shù)均為常數(shù)，體積系數(shù)和密度是關(guān)于壓力的弱非線性函數(shù)（近似線性函數(shù)）。考慮到氣水PVT參數(shù)的差異性，分別給出密度形式及體積形式下的氣相、水相擬壓力函數(shù)定義。為了統(tǒng)一壓力與擬壓力量綱，定義式為

mg=Bgiμgiρ

gsc∫^ρgρgscKrgcgμgdρg=Bgiμgi∫ppscKrgBgμgdp，

mw=Bwicwρwsc∫^ρwρwscKrwdρw=Bwi∫ppscKrwBwdp.（2）

式中，p為壓力，Pa；cg和cw分別為氣體和水的壓縮系數(shù)，Pa^-1；μg和μw分別為氣體和水的黏度，Pa·s；Krg和Krw分別為氣相和水相相對滲透率；mg和mw分別為氣相和水相擬壓力，Pa；下標(biāo)i代表原始狀態(tài)，sc代表地面標(biāo)準(zhǔn)溫壓狀態(tài)。

氣相μg采用Lee-Gonzalez-Eakin公式、cg采用Abou-Kassem公式，PVT參數(shù)T=373.15 K，ρgsc=1.11 kg/m3，Zgsc=0.77，psc=0.101 MPa，Tsc=293.15 K；其他PVT物性計(jì)算公式為

Zg=TscZgscρgscppscTρg，

ρg=ρgscexp［-cg（p-psc）］，

Bg=ρgscρg.

式中，T為溫度，K；Zg為氣體壓縮因子。

水相參數(shù)cw=4.28×10^-10 Pa^-1，μw=3.46×10^-4 Pa·s，ρwsc=974.15 kg/m3，根據(jù)流體狀態(tài)方程，利用以上參數(shù)獲得Bw、ρw等PVT屬性。

氣水相對滲透率曲線采用Corey型相滲模型：

Krg（Sw）=Krgcl1-Sw-Swcon1-Sgcon-Swcon^ng，

Krw（Sw）=KrwiroSw-Swcon1-Sgcon-Swcon^nw.（3）

式中，Swcon和Sgcon分別為束縛水和殘余氣飽和度；Krgcl為Swcon對應(yīng)的氣相相對滲透率；Krwiro為Sgcon對應(yīng)的水相相對滲透率；ng和nw為Corey常數(shù)。

需要明確的是，式（1）～（2）中的密度形式和體積形式是等價(jià)的，通過狀態(tài)方程可相互轉(zhuǎn)換。將式（2）代入式（1）可以獲得密度與體積形式統(tǒng)一的氣相和水相擬壓力控制方程^［20］為

2mυ=φμυSυkkrυcυ+1SυdSυdpmυt .（4）

式（4）弱化了原方程的非線性，但擴(kuò)散系數(shù)項(xiàng)（即式（4）右側(cè)參數(shù)項(xiàng)）仍為飽和度、壓力及其梯度的非線性項(xiàng)，強(qiáng)行近似將引起較大的計(jì)算誤差。單相氣滲流研究表明，關(guān)于壓力的擴(kuò)散系數(shù)項(xiàng)可使用空間積分平均值消除壓力場空間變化的影響^［21］；同理，當(dāng)飽和度變化較為平緩（即滿足Perrine-Martin近似條件）時(shí)，飽和度場也可采用類似的處理方法^［22］。

以圓形封閉地層直井定井底壓力生產(chǎn)模型為例（為了充分模擬非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)和擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，模型參數(shù)設(shè)為pi=3.42×10⁷ Pa，re=3000 m，h=10 m，k=10^-15 m2，φ=0.3，Swi=0.5，pwf=7 MPa，Swcon=0.2，Sgcon=0.1，Krgcl=0.9，Krwiro=1，ng=0.5，nw=1），通過數(shù)值模擬建立無量綱壓力場、飽和度場隨時(shí)間的變化圖版（圖1），證實(shí)在衰竭式開采過程中，相比于壓力場飽和度場空間梯度變化較小，滿足飽和度場空間積分平均處理的條件。

至此，擴(kuò)散系數(shù)項(xiàng)可最終近似處理為關(guān)于平均地層飽和度、平均地層壓力的函數(shù)：

ηυ=kKrυ（Sυ）φSυμυ（p）cmυ（p，Sυ）≈kKrυ（υ）φυμυ（）cmυ（，υ）=krυφυ

υmυ .（5）

式中，ηυ為自定義擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；cmυ為自定義流體壓縮系數(shù)，Pa^-1。

式（2）和式（5）均是關(guān)于壓力、飽和度的函數(shù)，通過建立飽和度-壓力的對應(yīng)關(guān)系，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量，以降低求解難度。在封閉定容儲(chǔ)層中，飽和度-壓力的關(guān)系本質(zhì)上是微分物質(zhì)平衡方程。在地層范圍內(nèi)對式（1）兩側(cè)進(jìn)行空間積分，獲得時(shí)間微分下的物質(zhì)平衡方程^［23］為

-qυsc=qυBυ=Vpddtυυ=VpBυυυddt+dυdt.（6）

式中，qυsc為地面標(biāo)況下流體產(chǎn)量，m3/d；Vp為儲(chǔ)層孔隙體積，m3。聯(lián)立氣水兩相微分物質(zhì)平衡方程（6），分別獲得飽和度、壓力關(guān)于時(shí)間的微分形式，進(jìn)一步處理可獲得飽和度關(guān)于壓力的常微分方程為

dwd=dw/dtd/dt=-RGWwwg+ggBwBw+RGWg=

rwgg-rgwwrg+rw .（7）

式中，RGW為單井生產(chǎn)氣水比；Mrw為水相對流度，s·Pa^-1；Mrg為氣相對流度，s·Pa^-1。

根據(jù)Perrine-Martin近似條件，井筒處壓力、飽和度的流度比近似為平均地層壓力、平均地層飽和度下的RGW，即

RGW=qgscqwsc=（Krg/μg）Bw（Krw/μw）Bg

r=rw≈（rg/g）w（rw/μw）g=rgwrwg .（8）

利用自適應(yīng)步長的Runge-Kutta方法求解常微分方程（7）。在圖1模型所用參數(shù)條件下，驗(yàn)證定井底壓力、定產(chǎn)氣量、階段變井底壓力3種典型生產(chǎn)制度下的飽和度-壓力關(guān)系，其中定井底壓力制度中pwf=7 MPa，定產(chǎn)氣量制度中qgsc=10⁷ m3/d，階段變流壓制度中pwf為14、25、20、15、10、7 MPa對應(yīng)的時(shí)間分別為0lt;tlt;1 d、1lt;tlt;50 d、50lt;tlt;100 d、100lt;tlt;200 d、200lt;tlt;300 d、tgt;300 d。

將式（7）代入式（5）消除飽和度梯度項(xiàng)，擴(kuò)散系數(shù)轉(zhuǎn)換為關(guān)于壓力、飽和度的函數(shù)：

ηυ=krυλrυγMυφcυiμυiSυi .（9）

相關(guān)自定義變量為

λw=1，λg=（cgiμgi）/（

gg）， rt=rg+rw，

Mυ=（Sυiυrt）/（trυ），t=w

w+gg.

同時(shí)定義時(shí)間積分形式的兩相β因子（βυ）以考慮擴(kuò)散系數(shù)的時(shí)間演化影響，對應(yīng)表達(dá)式為

βυ=1t∫t0（λυrυMυ）dt.（10）

至此，經(jīng)過氣水?dāng)M壓力和β因子處理后的兩相滲流控制方程為

2mυ=φcυiμυiSυikmυ（βυt） .（11）

根據(jù)擬壓力定義和達(dá)西運(yùn)動(dòng)定律，在直井井筒處建立產(chǎn)氣（水）量與氣（水）相擬壓力梯度的對應(yīng)關(guān)系式，即內(nèi)邊界條件為

qυsc=rwυm*υrr=rw.（12）

其中

g=Bgiμgi2πkh，w=Bwiμw2πkh.

式中， h為儲(chǔ)層厚度，m。

1.2 模型求解及驗(yàn)證

擬函數(shù)和β因子方法雖然能夠?qū)庀唷⑺喾蔷€性滲流控制方程組（11）、（12）轉(zhuǎn)化成與液體線性滲流控制方程組參數(shù)一一對應(yīng)的樣式，但推導(dǎo)過程是建立在物質(zhì)平衡的假設(shè)條件上（即擬穩(wěn)態(tài)階段精確成立）。這里分別給出定流壓、定產(chǎn)量、階段變流壓等3種常見的工作制度下的氣水兩相全生命周期產(chǎn)能解（包括非穩(wěn)態(tài)和擬穩(wěn)態(tài)兩大階段），以論證本文中線性化處理方法在非穩(wěn)態(tài)階段的可靠性。

（1）定井底壓力生產(chǎn)時(shí)，單井的產(chǎn)量遞減模型滿足

qυsc（t）=mυi-mυwfυqD，cp（κυβυt）.（13）

其中

κυ=kφμυicυiSυir2w .

式中，qD，cp為定井底壓力條件下的單相液體無量綱產(chǎn)量解；rw為井筒半徑，m；φ為儲(chǔ)層孔隙度；mυi為原始地層壓力對應(yīng)的擬壓力，Pa；mυwf為井底流壓pwf對應(yīng)的擬壓力，Pa；。

（2）定產(chǎn)氣/水量生產(chǎn)時(shí)，瞬時(shí)井底擬壓力以及相應(yīng)的產(chǎn)量遞減模型分別滿足

mυwf（t）=mυi-υp

D，cr（κυβυt）;

qwsc（t）=qgsc/RGW（t）， 定產(chǎn)氣量時(shí);

qgsc（t）=qwscRGW（t）， 定產(chǎn)水量時(shí).（14）

式中，pD，cr為定產(chǎn)量條件下的單相液體無量綱井底壓力。

（3）階段變井底壓力生產(chǎn)時(shí)，使用Duhamel褶積考慮變流壓對產(chǎn)量的時(shí)間疊加影響，同時(shí)需要考慮β因子關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)的影響，進(jìn)而獲得不同生產(chǎn)階段時(shí)的瞬時(shí)產(chǎn)氣/水量。離散形式下的第j階段產(chǎn)量為

qυsc（t）=mυi-mυwf，1υqD，cp

（κυβυt）+∑j-1k=1

mυwf，k+1-mυwf，kυqD，cp（κυβυt-κυβυ，ktk），" tj-1lt;tlt;tj.（15）

式中，mυwf，j為第j階段井底流壓pwf，j對應(yīng)的擬壓力，Pa。

式（13）～（15）給出了不同工作制度條件下的氣水全生命周期解，在擬壓力函數(shù)和β因子作用下，關(guān)于液體滲流的眾多研究成果可直接借鑒到研究氣水滲流問題中來^［24-26］。在計(jì)算過程中，積分形式的擬壓力及變量λυ和βυ需要使用壓力、飽和度等未知量，這里借助飽和度-壓力關(guān)系式（7）及兩相物質(zhì)平衡方程實(shí)現(xiàn)。其中兩相物質(zhì)平衡方程 ^［20］為

ww=SwiBwi1-WpWi， gg=SgiBgi1-GpGi.（16）

式中，Wp為累積產(chǎn)水量，m3；Gp為累積產(chǎn)氣量，m3；Wi為原始含水儲(chǔ)量，m3；Gi為原始含氣儲(chǔ)量，m3。

式（13）～（16）形成了氣水兩相產(chǎn)能解析解的顯式計(jì)算方法，無需迭代，大大提高了其在應(yīng)用過程中的靈活性。

基于圖1算例模型，模擬不同工作制度下的（累積）產(chǎn)氣量、（累積）產(chǎn)水量、井底流壓等單井產(chǎn)能指標(biāo)隨時(shí)間的變化，對比數(shù)值模擬結(jié)果（圖2），這種線性化處理方式在非穩(wěn)態(tài)階段是近似的，隨著時(shí)間的延續(xù)越來越精準(zhǔn)，在擬穩(wěn)態(tài)階段是精確的。整體看來，無論是非穩(wěn)態(tài)階段還是擬穩(wěn)態(tài)階段，解析解與數(shù)值解之間均具有很好的擬合效果，驗(yàn)證了證明了本文模型適用于不同工作制度下的全生命周期氣水產(chǎn)能預(yù)測。原因在于，擬壓力函數(shù)完整保留了原方程中的非線性作用項(xiàng)，在壓力-飽和度本構(gòu)關(guān)系基礎(chǔ)上，擬壓力同步考慮了滲流過程中壓力、飽和度的變化路徑及其相互影響。

2 兩相物質(zhì)平衡擬時(shí)間

分析物質(zhì)平衡（擬）時(shí)間的目的在于打破經(jīng)典滲流理論只能討論單一井底定壓或井底定產(chǎn)量條件的限制，將相關(guān)成果推廣到變井底流壓的情形，因此物質(zhì)平衡（擬）時(shí)間的準(zhǔn)確性是建立生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析方法的基礎(chǔ)。

與變壓力制度原理一致，根據(jù)Duhamel褶積原理獲得變產(chǎn)量下全生命周期擬壓力差形式，即

mυi-mυwf（t）=κυυ∫t0qυsc（τ）τpwfD，cr（κυβυt-κυβυτ）dτ.（17）

以圓形封閉地層直井為例，液體定產(chǎn)量條件下的無量綱井底壓力解為

pwfD，cr（tD）=2r2eD-1tD+bDpss+π∑∞n=1Bn（reD）exp（-z2ntD）.（18）

其中reD=re/rw，中間變量Bn（reD）和bDpss可參見文獻(xiàn)［27］。將式（18）代入式（17），同時(shí)方程兩側(cè)除以產(chǎn)量，即

mυi-mυwf（t）qυsc（t）=2κυυr2eD-1∫t0Mυλυqυscdτqυsc（t）+υbDpssqυsc（t）∫t0qυscτdτ+υπFυ（t）.（19）

其中Fυ（t）為時(shí)間級數(shù)項(xiàng)，在非穩(wěn)態(tài)時(shí)期隨時(shí)間變化，進(jìn)入擬穩(wěn)態(tài)時(shí)期后可忽略不計(jì)^［27］。將相應(yīng)參數(shù)組合重新代入式（19）、忽略Fυ（t）項(xiàng)，獲得兩相擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)方程為

mgi-mgwf（t）qgsc（t）=2θρgscVpμgicgiSgitgamb+θρgscπkhbDpss，

mwi-mwwfqwsc（t）=1VpSwicwtwamb+μw2πkhbDpss.（20）

式（20）左側(cè)之倒數(shù)（即qυscmυi-mυwf）定義為規(guī)整化產(chǎn)量，右側(cè)tυamb定義為兩相物質(zhì)平衡擬時(shí)間，即

tυamb（t）=1qυsc（t）∫t0Mυ（τ）rυ（τ）qυsc（τ）dτ.（21）

式（20）近似表示了變產(chǎn)量、變擬壓力條件下井的產(chǎn)量和擬壓力的關(guān)系，與經(jīng)典單相動(dòng)態(tài)物質(zhì)平衡方程形式一致^［28］，為氣（水）相擬穩(wěn)態(tài)方程或氣（水）相動(dòng)態(tài)物質(zhì)平衡方程。對式（20）無量綱化處理，qυD=υqυscmυi-mυwf，tυaD=ktυambφμυicυiSυir2w。式（20）兩側(cè)同時(shí)取倒數(shù)，

qυD=12tυambD/（r2eD-1）+bDpss .（22）

氣（水）相動(dòng)態(tài)物質(zhì)平衡方程反映了規(guī)整化產(chǎn)量倒數(shù)與物質(zhì)平衡擬時(shí)間之間的線性關(guān)系（式（20）），或規(guī)整化產(chǎn)量與物質(zhì)平衡擬時(shí)間的調(diào)和關(guān)系（式（22））。

按式（20）對定井底流壓、定產(chǎn)氣量、階段變井流壓產(chǎn)能公式獲得的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱處理，其中階段變壓力生產(chǎn)制度下井底壓力隨時(shí)間變化見表1，圖版擬合如圖3所示。

結(jié)果表明，氣相規(guī)整化產(chǎn)量與物質(zhì)平衡擬時(shí)間的對應(yīng)關(guān)系，與水相數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系相同，均與單相液態(tài)定產(chǎn)量條件下的無量綱井底壓力之倒數(shù)趨于一致，其中在非穩(wěn)態(tài)時(shí)期近似漸進(jìn)，隨著時(shí)間延續(xù)漸進(jìn)精度不斷提高，在擬穩(wěn)態(tài)時(shí)期精確成立。

需要說明的是，對于階段變流壓生產(chǎn)制度（圖3（c）），非穩(wěn)態(tài)時(shí)期內(nèi)的流壓滿足單調(diào)遞減特征，在非穩(wěn)態(tài)時(shí)期規(guī)整化產(chǎn)量-物質(zhì)平衡擬時(shí)間對應(yīng)關(guān)系也與液態(tài)解擬合效果良好，在擬穩(wěn)態(tài)階段兩相動(dòng)態(tài)物質(zhì)平衡方程的線性或調(diào)和關(guān)系始終成立，與工作制度無關(guān)?？偟膩砜?，通過定義兩相物質(zhì)平衡擬時(shí)間能夠?qū)馑畠上鄤?dòng)態(tài)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)量綱形式的單相液態(tài)解，使傳統(tǒng)的單相生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析方法得以擴(kuò)展使用。

3 生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析方法

為實(shí)現(xiàn)曲線晚期歸一化以區(qū)分非穩(wěn)態(tài)流及擬穩(wěn)態(tài)流，引用Blasingame型和Agarwal-Gardner型兩種經(jīng)典理論圖版重新定義無量綱時(shí)間與產(chǎn)量，

qυdD=bDpssqυD，Blasingame；

qυaD=qυD，Agarwal-Gardner.

（23）

tυdD=2（r2eD-1）bDpsstυambD， Blasingame;

tυaD=1π（r2eD-1）tυambD， Agarwal-Gardner.（24）

引入輔助識別曲線以提高擬合精度，Blasingame型輔助曲線包括產(chǎn)量積分qυidD、產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)qυdidD及β診斷曲線βdD^［29］：

qυidD=1tυdD∫^tυdD0qυdD（τ）dτ，

qυdidD=-dqυidDdln（tυdD），

βdD=-dln（qυidD）dln（tυdD） .（25）

相應(yīng)的Agarwal-Gardner型輔助曲線包括規(guī)整化產(chǎn)量倒數(shù)導(dǎo)數(shù)之倒數(shù)qυdaD，積分平均形式qυdiaD及β診斷曲線βaD^［30］：

qυdaD=-dln（tυaD）dq^-1υaD，

qυdiaD=dln（tυdD）dt^-1υdD∫^tυdD0q^-1qυaDdτ，

βaD=-dln（qυiaD）dln（tυaD） .（26）

根據(jù)基礎(chǔ)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)（包括日產(chǎn)氣量、日產(chǎn)水量及井底流壓），給出具體的應(yīng)用方法。已知基礎(chǔ)數(shù)據(jù)為：pi=47.2 MPa，rw=0.07 m，h=20 m，φ=0.42，Swcon=0.12，Sgcon=0.05，Krgcl=0.92，Krwiro=1，ng=2.1，nw=2.3，其余氣水PVT參數(shù)同1.1節(jié)取值。曲線擬合分析步驟如下：

（1）估算原始含氣地質(zhì)儲(chǔ)量Gi和原始含水地質(zhì)儲(chǔ)量Wi作為初始值（Gi，0、Wi，0）；

（2）根據(jù)目標(biāo)井生產(chǎn)數(shù)據(jù)，計(jì)算累積產(chǎn)氣量、累積產(chǎn)水量，根據(jù)物質(zhì)平衡方程確定平均含水飽和度、平均地層壓力；

（3）計(jì)算氣水兩相物質(zhì)平衡擬時(shí)間tυamb、擬壓力、規(guī)整化產(chǎn)量qυscmυi-mυwf以及相應(yīng)的輔助值；

（4）根據(jù)（3）中計(jì)算結(jié)果繪制氣水兩相qυscmυi-mυwf-tυamb及其他輔助值與tυamb關(guān)系曲線；

（5）完成Agarwal-Gardner型典型圖版擬合，根據(jù)擬合點(diǎn)計(jì)算儲(chǔ)層滲透率（氣相、水相數(shù)據(jù)解釋結(jié)果相同）為

k=Bgiμgi2πhqgsc/ΔmgwfqgaDM=

Bwiμw2πhqwsc/ΔmwwfqwaDM. （27）

原始含氣及含水單井控制地質(zhì)儲(chǔ)量為

Gi=12πcgitgambtgaDMqgsc/ΔmgwfqgaDM，

Wi=12πcwtwambtwaDM

qwsc/ΔmwwfqwaDM.（28）

（6）比較Gi-Gi，0lt; ε及Wi-Wi，0lt; ε，若不滿足精度則令Gi，0= Gi、Wi，0= Wi，從步驟（2）開始循環(huán)計(jì)算，直到滿足精度未知；

（7）根據(jù)Agarwal-Gardner最終擬合結(jié)果，計(jì)算泄流半徑re及原始含水飽和度Swi，

re=WiBwi+GiBgiπhφ，

Swi=WiBwiGiBgi+WiBwi .（29）

（8）計(jì)算bDpss，并根據(jù)Blasingame圖版無量綱定義處理生產(chǎn)數(shù)據(jù)，判斷是否與Blasingame型典型曲線重合，驗(yàn)證Agarwal-Gardner擬合結(jié)果。

選取某口數(shù)據(jù)質(zhì)量較好的氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)，該井生產(chǎn)歷史較長、數(shù)據(jù)分辨率較高，同時(shí)生產(chǎn)制度連續(xù)性好。圖4為處理后數(shù)據(jù)與理論曲線的擬合效果，Blasingame圖版與Agarwal-Gardner圖版擬合結(jié)果一致性較好。根據(jù)式（27）～（29）解釋結(jié)果為：k=1.02×10^-14 m2，Swi=0.28，re=419.32 m，Gi=1.02×10⁹ m3，Wi=1.23×10⁶ m3。

將已知參數(shù)及解釋參數(shù)代入數(shù)值模擬模型，以井底壓力為生產(chǎn)制度，重新進(jìn)行歷史擬合（圖5）。在整個(gè)歷史生產(chǎn)周期內(nèi)，實(shí)際產(chǎn)氣量、產(chǎn)水量與模擬基本擬合，良好的歷史擬合效果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文分析方法的可靠性與實(shí)用性。

該井的工作制度在非穩(wěn)態(tài)時(shí)期呈非單調(diào)遞減模式，但連續(xù)性較好、無階段性的非單調(diào)時(shí)段，物質(zhì)平衡擬時(shí)間等效轉(zhuǎn)換效果也較好。結(jié)合圖3分析可知，物質(zhì)平衡擬時(shí)間僅不適用于在非穩(wěn)態(tài)時(shí)期呈階段性非單調(diào)遞減的工作制度，其余工作制度均適用。

4 結(jié) 論

（1）使用壓力-飽和度本構(gòu)關(guān)系、擬壓力函數(shù)及β因子等手段將關(guān)于氣水流度、密度和相對滲透率等的非線性滲流方程轉(zhuǎn)換為單相線性滲流方程，同步考慮滲流過程中壓力、飽和度的變化路徑及其相互影響。

（2）在擬穩(wěn)態(tài)階段內(nèi)，任何工作制度下兩相物質(zhì)平衡擬時(shí)間均精確成立，規(guī)整化產(chǎn)量與物質(zhì)平衡擬時(shí)間之間滿足調(diào)和遞減關(guān)系。在非穩(wěn)態(tài)時(shí)期的連續(xù)性或階段性單調(diào)遞減的工作制度下，兩相物質(zhì)平衡擬時(shí)間漸進(jìn)成立，但不適用于階段性非單調(diào)工作制度。

（3）無量綱形式下的規(guī)整化產(chǎn)氣量和氣相物質(zhì)平衡擬時(shí)間對應(yīng)關(guān)系與水相數(shù)據(jù)相同，實(shí)際數(shù)據(jù)分析時(shí)應(yīng)確保處理后的氣相與水相動(dòng)態(tài)物質(zhì)平衡方程數(shù)據(jù)重合，Agarwal-Gardner型和Blasingame型圖版擬合結(jié)果相互驗(yàn)證、共同約束，提高典型圖版生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析解釋結(jié)果的可靠性。

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（編輯 李志芬）