摘要：

為使不等速行星輪系機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)精準(zhǔn)取放任務(wù)，提出一種混合多位姿運(yùn)動(dòng)綜合方法。將不等速行星輪系機(jī)構(gòu)視為平面2R開鏈機(jī)構(gòu)與非圓齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的組合，以理想運(yùn)動(dòng)軌跡上關(guān)鍵位姿（精確與近似）數(shù)據(jù)為約束，基于桿長(zhǎng)不變條件建立平面2R開鏈機(jī)構(gòu)混合多位姿運(yùn)動(dòng)綜合模型，并利用同倫算法求解獲得最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)；給出了非圓齒輪傳動(dòng)比計(jì)算與分配方法，實(shí)現(xiàn)了不等速行星輪系機(jī)構(gòu)的混合多位姿運(yùn)動(dòng)綜合。將此運(yùn)動(dòng)綜合方法應(yīng)用于農(nóng)業(yè)機(jī)械領(lǐng)域取苗機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)可滿足蔬菜穴盤苗精準(zhǔn)取放移栽要求，通過虛擬仿真分析、物理樣機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的正確性。

關(guān)鍵詞：行星輪系；非圓齒輪；混合多位姿；運(yùn)動(dòng)綜合；取苗機(jī)構(gòu)

中圖分類號(hào)：TH122；S223.9

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.12.014

Mixed Multi Pose Synthesis Method and Applications of Unequal

Velocity Planetary Gear Trains

WANG Lei1，2 FANG Zichen1 WANG Zhentao1 SUN Liang1，2 YU Gaohong1，2 CUI Rongjiang3

1.School of Mechanical Engineering，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou，310018

2.Zhejiang Provincial Key Laboratory of Agricultural Intelligent Perception and Robotics，

Hangzhou，310018

3.Special Equipment Institute，Hangzhou Vocational amp; Technical College，Hangzhou，310018

Abstract： A mixed multi pose motion synthesis method was proposed to achieve accurate take-and-place tasks of planetary gear mechanisms with different velocities. The unequal velocity planetary gear train was regarded as a combination of planar 2R open chain mechanism and non-circular gear transmission mechanism. Constrained by the key pose（exact and approximate） data on the ideal trajectory， a mixed multi-pose motion synthesis model of the planar 2R open chain was established based on the condition of constant link length， and the optimal structural parameters were obtained by homotopy algorithm. The calculation and distribution method of the non-circular gear ratio was given， and the mixed multi pose motion synthesis of unequal velocity planetary gear train was realized. The proposed method was applied to design the seedling picking mechanism in the field of agricultural machinery to meet the requirements of accurate taking and placing of vegetable pot seedlings. The correctness of the proposed method was verified by virtual simulation analysis and physical prototype experiments.

Key words： planetary gear train; non-circular gear; mixed multi pose; motion synthesis; seedling picking mechanism

收稿日期：2024-07-11

基金項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（2022YFD2001800）;國(guó)家自然科學(xué)基金（52305290，52375275，52075497）;浙江省自然科學(xué)基金（LTGN23E050002，LY23E050013）

0 引言

不等速行星輪系機(jī)構(gòu)不僅具有齒輪傳動(dòng)的精度高、效率高、承載強(qiáng)、摩擦小等優(yōu)點(diǎn)，而且能像凸輪、連桿機(jī)構(gòu)一樣實(shí)現(xiàn)變傳動(dòng)比傳動(dòng)，可以生成多樣的運(yùn)動(dòng)軌跡與姿態(tài)［1-2］，這些特點(diǎn)使其不僅能夠替代傳統(tǒng)凸輪、連桿機(jī)構(gòu)，還可與其他機(jī)構(gòu)相組合實(shí)現(xiàn)更加復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，在農(nóng)業(yè)、紡織、包裝、液壓泵以及汽車差速器等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景與研究?jī)r(jià)值［3-7］。

運(yùn)動(dòng)綜合是指能夠引導(dǎo)機(jī)構(gòu)執(zhí)行構(gòu)件依次通過若干給定位置和姿態(tài)角度（簡(jiǎn)稱位姿）的一種設(shè)計(jì)方法［8-9］。德國(guó)學(xué)者Burmester從純幾何學(xué)的角度出發(fā)，研究了剛體平面有限分離和無限接近位置的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，提出了經(jīng)典的Burmester曲線［10］，奠定了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合理論基礎(chǔ)。HAN等［11］提出了映射和解域的思想，基于4個(gè)指定位姿在有限解域中直觀地給出四桿機(jī)構(gòu)不同性能屬性、分布以及變化趨勢(shì)，從而便于機(jī)構(gòu)篩選。GE等［12］、ZHAO等［13］基于運(yùn)動(dòng)映射理論建立了給定N個(gè)位姿的連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合統(tǒng)一算法，為行星輪系機(jī)構(gòu)多位姿綜合提供了理論參考。

針對(duì)如何使行星輪系機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)理想運(yùn)動(dòng)軌跡與姿態(tài)問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展了大量的尺度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究，如以人機(jī)交互等方式優(yōu)化機(jī)構(gòu)參數(shù)的“正向設(shè)計(jì)方法”，雖可實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)［14-17］，但具有一定的盲目性，需要依靠專家經(jīng)驗(yàn)。為減少對(duì)經(jīng)驗(yàn)依賴，BAE等［18］在水稻毯苗分插機(jī)構(gòu)的研究中，提出了由機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)軌跡反向求解行星輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)的“逆向設(shè)計(jì)方法”。ZHAO等［19］通過給定取苗軌跡上的3個(gè)精確位姿設(shè)計(jì)了一種平面行星輪系取苗機(jī)構(gòu)。TONG等［20］基于精確5位姿設(shè)計(jì)了一種組合齒輪傳動(dòng)行星輪系蔬菜取苗機(jī)構(gòu)。SUN等［21］在基于精確5位姿綜合無解的條件下，基于運(yùn)動(dòng)映射理論以擴(kuò)大誤差的方式求解了行星輪系機(jī)構(gòu)的近似解。YE等［22］將解域綜合思想和運(yùn)動(dòng)映射理論相結(jié)合提出了基于精確或近似位姿的行星輪系機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合方法，但該方法需要將位姿與約束轉(zhuǎn)換映射后才可求解，過程相對(duì)復(fù)雜。WANG等［23］提出了基于優(yōu)化同倫算法的不等速行星輪系機(jī)構(gòu)近似多位姿綜合方法。YU等［24］基于指定的8個(gè)平面位姿綜合設(shè)計(jì)了一種雙行星架輪系式康復(fù)機(jī)構(gòu)?；谶\(yùn)動(dòng)軌跡上關(guān)鍵位置姿態(tài)，從開鏈桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合的角度入手，設(shè)計(jì)出可以滿足位姿要求的行星輪系機(jī)構(gòu)是一種新的可行方法，但目前運(yùn)動(dòng)綜合多集中在5位姿以下精確綜合和多位姿近似綜合，在工程實(shí)際中不僅要求機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)軌跡，而且往往需要機(jī)構(gòu)能夠精確通過其中若干位姿，并近似通過其余位姿（如高速拾放任務(wù)）。

本文提出一種不等速行星輪系機(jī)構(gòu)混合多位姿運(yùn)動(dòng)綜合方法，建立了平面2R開鏈機(jī)構(gòu)混合多位姿綜合模型，給出了不等速行星輪系機(jī)構(gòu)混合多位姿綜合流程，并將其應(yīng)用于農(nóng)業(yè)機(jī)械領(lǐng)域取苗機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，以更好地滿足蔬菜穴盤苗的移栽要求，最后通過仿真分析、樣機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的正確性。

1 不等速行星輪系機(jī)構(gòu)典型構(gòu)型

行星輪系機(jī)構(gòu)一般主要由太陽輪、行星輪、行星架和機(jī)架組成，其基本構(gòu)型主要有K-H、2K-H、3K和K-H-V型（K代表太陽輪，H代表行星架，V代表輸出構(gòu)件）。圖1所示為K-H-V型不等速行星輪系機(jī)構(gòu)的典型構(gòu)型，主要由非圓齒輪副（圖示為兩級(jí)齒輪傳動(dòng)，包括太陽輪3、中間輪Ⅰ 4、中間輪Ⅱ 5、行星輪6）、行星架1和末端執(zhí)行器2組成，太陽輪3固接在機(jī)架上，中間輪Ⅰ與中間輪Ⅱ固接，太陽輪3與中間輪Ⅰ相互嚙合，行星輪6和中間輪Ⅱ相互嚙合，末端執(zhí)行器2與行星輪6固接。機(jī)構(gòu)工作時(shí)，太陽輪3固定不動(dòng)，行星架1順時(shí)針（或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)力通過兩級(jí)非圓齒輪副（齒輪34和56）的傳動(dòng)，使得末端執(zhí)行器2輸出的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為隨行星架1的平動(dòng)和繞行星輪軸心的不等速轉(zhuǎn)動(dòng)的合成（周期性往復(fù)擺動(dòng)），從而可形成豐富的軌跡與姿態(tài)，通過配置不同的末端執(zhí)行器2可實(shí)現(xiàn)不同的功能，適用于多種工作場(chǎng)合。

分析圖1所示不等速行星輪系構(gòu)型可知，該類機(jī)構(gòu)實(shí)質(zhì)是非圓齒輪將開鏈2R機(jī)構(gòu)兩桿運(yùn)動(dòng)耦合的一類特殊機(jī)構(gòu)，即可將其看作是平面2R開鏈機(jī)構(gòu)（1，2）與非圓齒輪機(jī)構(gòu)（3～6）的組合，如圖2所示。對(duì)于該類不等速行星輪系機(jī)構(gòu)的綜合設(shè)計(jì)，可首先對(duì)平面2R開鏈機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)綜合設(shè)計(jì)，進(jìn)而根據(jù)桿件1、2間的轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)規(guī)律添加耦合非圓齒輪將平面2R開鏈機(jī)構(gòu)自由度降為1，最終實(shí)現(xiàn)不等速行星輪系機(jī)構(gòu)的混合多位姿運(yùn)動(dòng)綜合設(shè)計(jì)。

2 混合多位姿運(yùn)動(dòng)綜合方法

2.1 平面2R開鏈機(jī)構(gòu)綜合模型

圖3所示為一平面2R開鏈機(jī)構(gòu)，其中A點(diǎn)為其固定鉸鏈點(diǎn)，稱之為圓心點(diǎn)；B點(diǎn)為其動(dòng)鉸鏈點(diǎn)，稱之為圓點(diǎn)。該機(jī)構(gòu)的尺寸可由機(jī)構(gòu)處于某一位置時(shí)A、B兩點(diǎn)的位置坐標(biāo)進(jìn)行描述。如圖3所示，平面2R開鏈機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合要求其機(jī)構(gòu)末端構(gòu)件2能夠按順序通過運(yùn)動(dòng)軌跡Tr上一系列的給定位姿Pn（xPn， yPn， φn），n=1，2，…，N。其中，（xPn， yPn）為剛體上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，φn為剛體上任一線段與地面的夾角。

因點(diǎn)B為構(gòu)件2剛體上的一點(diǎn)，故其任意運(yùn)動(dòng)位置應(yīng)滿足：

xBnyBn1=D1nxB1yB11" n=2，3，…，N（1）

D1n=

cos φ1n－sin φ1nxPn－xP1cos φ1n+yP1sin φ1n

sin φ1ncos φ1nyPn－xP1sin φ1n－yP1cos φ1n001

又因點(diǎn)B為構(gòu)件1上的一點(diǎn)，根據(jù)AB桿長(zhǎng)不變約束條件可建立平面2R開鏈機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)綜合設(shè)計(jì)方程：

（Bn－A）T（Bn－A）=（B1－A）T（B1－A）（2）

A=［xA yA 1］T" B1=［xB1 yB1 1］T

Bn=D1nB1

將式（1）代入式（2）展開可得

Cn1xA+Cn2yA+Cn3=0" n=2，3，…，N（3）

Cn1=2［xB1（1－cos φ1n）+yB1sin φ1n+xP1cos φ1n－yP1sin φ1n－xPn］

Cn2=2［yB1（1－cos φ1n）－xB1snn φ1n+yP1cos φ1n+xP1sin φ1n－yPn］

Cn3=2（－xPnyB1－yPnxP1+xPnyP1+

yPnxB1）sin φ1n+2（xPnxB1－xPnxP1－yPnyP1+

yPnyB1）cos φ1n－2yByP1－2xBxP1+y2Pn+x2Pn+

y2P1+x2P1

當(dāng)要求機(jī)構(gòu)末端通過給定的N個(gè)位姿時(shí)，有設(shè)計(jì)方程組：

f2=C21xA+C22yA+C23=0f3=C31xA+C32yA+C33=0""" """"fN=CN1xA+CN2yA+CN3=0（4）

式（4）中包含N-1個(gè)方程和4個(gè)未知數(shù)（xA，yA，xB1，yB1），根據(jù)方程數(shù)應(yīng)等于未知數(shù)原則，平面2R開鏈機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合能夠精確實(shí)現(xiàn)的位姿數(shù)目最多為5個(gè)，當(dāng)需要實(shí)現(xiàn)的位姿數(shù)Nlt;5時(shí)，可以任意給定5-N個(gè)參數(shù)，從而獲得無窮解，其中：

（1）當(dāng)N=4時(shí)，式（4）有3個(gè)方程4個(gè)未知數(shù)，可以將xA和yA作為未知數(shù)，并由線性代數(shù)相容條件，有

C21C22C23C31C32C33C41C42C43=0（5）

式（5）為關(guān)于xB1和yB1的三次方程，即為經(jīng)典的Burmester圓點(diǎn)曲線方程，在該曲線上任取一點(diǎn)代入式（3）即可求得相對(duì)應(yīng)的圓心點(diǎn)坐標(biāo)，相應(yīng)地，將xB1和yB1當(dāng)作未知數(shù)可獲得關(guān)于xA和yA的三次方程，即圓心點(diǎn)曲線方程。

（2）當(dāng)N=5時(shí)，方程組可分解為兩次相容條件，求其Burmester曲線交點(diǎn)，也可直接求解方程組獲得有限個(gè)解。由Burmester理論可知，該情況下最多可得到4組實(shí)數(shù)解或無解。

（3）當(dāng)Ngt;5時(shí)，式（4）為方程數(shù)大于未知數(shù)的超定非線性方程組，無精確解存在，可將式（4）中的N-1個(gè)方程平方和相加轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)F（x）最小值的多元函數(shù)極值問題：

min F（x）=∑Nn=2（fn（x））2（6）

x =［xA yA xB1 yB1］T

由多元函數(shù)求極值原理可知，目標(biāo)函數(shù)式（6）取極小值的必要條件是一階偏導(dǎo)數(shù)等于0。

分別對(duì)式（6）中的4個(gè)設(shè)計(jì)變量求一階偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0，得到一個(gè)含有4個(gè)未知數(shù)和4個(gè)多項(xiàng)式方程的非線性方程組如下：

F（x）=F（x）xA=0

F（x）yA=0

F（x）xB1=0

F（x）yB1=0（7）

利用同倫算法［25］求解式（7）可得到其全部解，將計(jì)算得到的每個(gè)實(shí)數(shù)解代入目標(biāo)函數(shù)式（6）以檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)數(shù)值大小，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)數(shù)值小于給定精度值ε（如ε=0.000 01）時(shí)，即可認(rèn)為滿足設(shè)計(jì)要求，這樣便可得到平面2R開鏈機(jī)構(gòu)近似多位姿綜合的有限個(gè)解。

結(jié)合上述理論基礎(chǔ)，提出平面2R開鏈機(jī)構(gòu)的混合多位姿綜合方法，用來解決平面2R開鏈機(jī)構(gòu)J+K個(gè)混合多位姿綜合問題，其中，J為近似實(shí)現(xiàn)位姿數(shù)目，K為精確實(shí)現(xiàn)位姿數(shù)目，并且規(guī)定K≤4。其綜合思路是：以K個(gè)精確位姿為約束獲得平面2R開鏈機(jī)構(gòu)無窮多個(gè)精確解，以J個(gè)近似位姿為約束獲得機(jī)構(gòu)有限個(gè)近似解，然后將有限個(gè)近似解代入無窮個(gè)精確解中進(jìn)行匹配，最后從無窮多個(gè)精確解中輸出其誤差最小的解，即為實(shí)現(xiàn)混合多位姿的機(jī)構(gòu)最優(yōu)解。

具體綜合步驟如下：

（1）給定J+K個(gè)混合位姿；

（2）將K個(gè)精確位姿數(shù)據(jù)代入式（4），并指定5-K個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，對(duì)其中一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)設(shè)定取值區(qū)間及步長(zhǎng)，利用同倫算法進(jìn)行求解，從而獲得x=（xA，yA，xB1，yB1）T的無窮精確解集，記為{R1}；

（3）將J個(gè)近似位姿數(shù)據(jù)代入式（4），并建立目標(biāo)函數(shù)式（6），利用同倫算法求解式（7）獲得x=（xA，yA，xB1，yB1）T的有限近似解集，記為{R2}；

（4）在機(jī)構(gòu)精確解集{R1}中尋找與近似解集{R2}最接近的解進(jìn)行輸出，具體是將{R2}中的每個(gè)解與{R1}中的相減，取其絕對(duì)值最小的解進(jìn)行輸出，即為平面2R開鏈機(jī)構(gòu)混合多位姿綜合的最優(yōu)解。

圖4為平面2R開鏈機(jī)構(gòu)混合多位姿綜合的具體流程。

2.2 非圓齒輪設(shè)計(jì)

當(dāng)選定一個(gè)平面2R開鏈機(jī)構(gòu)后，其位置角θ（n）1，θ（n）2和桿長(zhǎng)L1，L2分別為

θ（n）1=arctan（yBn－yAxBn－xA）

θ（n）2=arctan（yPn－yBnxPn－xBn）（8）

n=1，2，…，J+K

L1=（xB1－xA）2+（yB1－yA）2

L2=（xP1－xB1）2+（yP1－yB1）2（9）

由行星輪系機(jī)構(gòu)工作原理可知，末端執(zhí)行器僅能相對(duì)于曲柄AB同向或逆向旋轉(zhuǎn)，將末端執(zhí)行器相對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)角記為θ（n）2，并定義末端執(zhí)行器基于初始位姿相對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)角增量為

Δθ（n）2=θ（n）2－θ（1）2" n=2，3，…，J+K（10）

那么，末端執(zhí)行器相對(duì)于曲柄AB的轉(zhuǎn)角增量為

Δθ（n）21=Δθ（n）2－Δθ（n）1" n=2，3，…，J+K（11）

由式（10）、式（11）可構(gòu)建2R開鏈機(jī)構(gòu)兩旋轉(zhuǎn)副的相對(duì)轉(zhuǎn)角位移矩陣：

Δθ=Δθ（2）1Δθ（3）1…Δθ（n）1Δθ（2）21Δθ（3）21…Δθ（n）21（12）

通過依附非圓齒輪副將平面2R開鏈機(jī)構(gòu)的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)副轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)耦合，即可將其轉(zhuǎn)化為不等速行星輪系機(jī)構(gòu)。由式（12）可得到行星架相對(duì)地面轉(zhuǎn)角與末端執(zhí)行器相對(duì)行星架轉(zhuǎn)角在到達(dá)各個(gè)位姿時(shí)的函數(shù)關(guān)系，可表示為

Δθ21=G（Δθ1）（13）

其中，Δθ1，Δθ21∈［0，2π］，且G（0）=G（2π）。

為獲得完整周期的相對(duì)轉(zhuǎn)角關(guān)系，需要將行星架角位移Δθ1按計(jì)算得到的K+J個(gè)位姿點(diǎn)轉(zhuǎn)角Δθ（2）1，Δθ（3）1，…，Δθ（K+J）1進(jìn)行劃分，末端執(zhí)行器相對(duì)行星架的角位移Δθ21用Δθ（2）21，Δθ（3）21，…，Δθ（K+J）21進(jìn)行劃分，且為了計(jì)算方便，令2R開鏈機(jī)構(gòu)在到達(dá)第一位姿時(shí)的位置為初始位置，即此時(shí)的行星架角位移Δθ1=0，再加上旋轉(zhuǎn)副角位移一個(gè)周期為2π，共K+J+1組角位移數(shù)據(jù)。以Δθ1為橫坐標(biāo)、Δθ21為縱坐標(biāo)建立行星架勻速轉(zhuǎn)動(dòng)、末端執(zhí)行器相對(duì)行星架變速轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移關(guān)系曲線，由于角位移曲線的細(xì)微變化會(huì)對(duì)輪系機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡以及非圓齒輪形狀產(chǎn)生影響，所以為便于后續(xù)優(yōu)化，可在這K+J+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間按線性規(guī)律增加M個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（變量），利用3次非均勻B樣條曲線技術(shù)［26］擬合出經(jīng)過該K+J+M+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的光滑連續(xù)的完整周期角位移關(guān)系曲線，如圖5所示。

由相對(duì)角位移曲線即可計(jì)算得到不等速行星輪系機(jī)構(gòu)的總傳動(dòng)比：

i12=d（Δθ1）d（Δθ21）（14）

在獲得機(jī)構(gòu)總傳動(dòng)比后，將總傳動(dòng)比進(jìn)行分配，從而求解得到兩級(jí)齒輪傳動(dòng)的單級(jí)子傳動(dòng)比，以進(jìn)行后續(xù)非圓齒輪節(jié)曲線的設(shè)計(jì)［27］。為使非圓齒輪具有較好的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，分配后的各級(jí)子傳動(dòng)比應(yīng)具有相似的幅值。對(duì)于圖1所示的兩級(jí)齒輪傳動(dòng)，其傳動(dòng)比分配方案為

i34=ksi12i56=i12/i34（15）

式中，i34 為第1級(jí)非圓齒輪傳動(dòng)比；i56為第2級(jí)非圓齒輪傳動(dòng)比；ks為調(diào)整系數(shù)。

由傳動(dòng)比i與齒輪傳動(dòng)中心距a（L1/2）即可計(jì)算得到非圓齒輪的節(jié)曲線［28］。如圖6所示，非圓齒輪副的中心距為a，主動(dòng)輪1的轉(zhuǎn)角為φ1，瞬時(shí)角速度為ω1，從動(dòng)輪2的轉(zhuǎn)角為φ2，瞬時(shí)角速度為ω2，兩齒輪在任一瞬時(shí)總有一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為0的點(diǎn)P（瞬心），且滿足ω1·O1P=ω2·O2P，分別用r1、r2表示O1P、O2P，則瞬時(shí)傳動(dòng)比為

i=ω1ω2=r2r1=a－r1r1（16）

當(dāng)傳動(dòng)比i為變量時(shí)，相應(yīng)瞬心P的位置及r1、r2也是變化的，由式（16）可得極坐標(biāo)系下非圓齒輪節(jié)曲線方程：

r1（φ1）=a1+i

r2（φ2）=a－r1（φ1）=ai1+i

φ2=∫φ101idφ1（17）

式中，r1、r2分別為主從動(dòng)輪節(jié)曲線的向徑值。

3 應(yīng)用實(shí)例

在農(nóng)業(yè)機(jī)械領(lǐng)域，自動(dòng)移栽裝備的核心機(jī)構(gòu)是不等速行星輪系，它要求輸出部件能夠?qū)崿F(xiàn)特定的運(yùn)動(dòng)軌跡與姿態(tài)，以替代人手完成取苗、送苗、植苗等一系列復(fù)雜動(dòng)作［29］?；诮o定的運(yùn)動(dòng)軌跡與姿態(tài)設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)屬于典型的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合問題。本文以旱地穴盤苗自動(dòng)移栽機(jī)的取苗機(jī)構(gòu)為應(yīng)用對(duì)象，基于本文所提綜合方法，面向取苗運(yùn)動(dòng)軌跡與姿態(tài)來綜合設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)。

3.1 設(shè)計(jì)要求

旱地穴盤苗取苗機(jī)構(gòu)的功能是將秧苗從育苗穴盤中有序取出并將其投入到栽植器中，因此，取苗機(jī)構(gòu)需完成精準(zhǔn)取苗、送苗、投苗等工序。如圖7所示，取苗軌跡上點(diǎn)1、2、3為取苗階段，取苗時(shí)，取苗爪進(jìn)入秧苗缽體夾緊并將其從穴盤中取出，經(jīng)持苗段（點(diǎn)3、4）將取出的秧苗送至投苗位置4，此時(shí)，取苗爪松開并將秧苗推出投入到鴨嘴栽植器中。然后植苗機(jī)構(gòu)將秧苗栽植到田中。

根據(jù)上述分析，為達(dá)到較好的取苗效果，取苗設(shè)計(jì)要求主要包括：

（1）取苗時(shí)，為不破壞苗缽和缽盤將苗完整取出，取苗爪進(jìn)入缽穴的深度需在35 mm左右，并要求入缽與出缽軌跡近似為直線，且應(yīng)與苗盤盡量垂直，同時(shí)，該階段取苗爪的擺動(dòng)角度越小越好；

（2）投苗時(shí)，為使秧苗以豎直姿態(tài)投出，要求推苗角盡可能達(dá)到90°，且推苗角和取苗角的差值應(yīng)近似等于苗箱安裝角度（50°左右）。

3.2 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

為了能夠?qū)崿F(xiàn)精準(zhǔn)取苗，提高取苗成功率，通過分析人工取苗、投苗作業(yè)過程和上述取苗機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)要求，提出了一種理想取苗軌跡方案，如圖8所示。取苗時(shí)，取苗爪沿軌跡1—2段（點(diǎn)1與點(diǎn)2之間直線距離為39.32 mm）從缽苗的中下部進(jìn)入缽穴一定深度后將缽苗夾緊，然后沿2—3段軌跡以近似垂直缽穴端面的姿態(tài)將缽苗從苗盤中取出。缽苗沿3—6段軌跡被夾持到推苗位置點(diǎn)6，該段軌跡對(duì)取苗爪姿態(tài)沒有較高的要求，保證缽苗被夾持到指定推苗位置即可。軌跡5—6為推苗段，取苗爪沿5—6段軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)逐漸張開，使缽苗在6點(diǎn)之前以豎直的狀態(tài)被投入栽植器中。然后，取苗爪沿點(diǎn)6—9快速返回到最初的取苗位置，進(jìn)行下一次的取苗工作。在該條軌跡上選取9個(gè)位姿數(shù)據(jù)（表1），其中要求取苗、推苗處等關(guān)鍵位姿精確實(shí)現(xiàn)，其他位姿近似實(shí)現(xiàn)。

根據(jù)表1中位姿數(shù)據(jù)及要求，由2.1節(jié)混合位姿綜合方法得到3組滿足設(shè)計(jì)要求的實(shí)數(shù)解如表2所示。

通過全周轉(zhuǎn)性判別與優(yōu)選，選擇第1組解設(shè)計(jì)不等速行星輪系機(jī)構(gòu)，根據(jù)第2節(jié)所述輪系機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法計(jì)算得到圖9所示結(jié)果。其中，圖9a為2R開鏈機(jī)構(gòu)復(fù)演生成軌跡，可以看出該機(jī)構(gòu)生成軌跡可以精確實(shí)現(xiàn)表1中的1、2、3、6位姿，近似實(shí)現(xiàn)其余位姿，滿足設(shè)計(jì)要求。圖9b、圖9c所示分別為其傳動(dòng)比曲線與非圓齒輪節(jié)曲線，

對(duì)應(yīng)的非圓齒輪齒廓如圖10所示。

3.3 仿真分析

根據(jù)3.2節(jié)求解的取苗機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)與工作原理，對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，其中在對(duì)輪系式取苗機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，將根據(jù)圖9綜合得到的機(jī)構(gòu)相差180°轉(zhuǎn)角對(duì)稱布置了兩個(gè)取苗臂（末端執(zhí)行器），以使機(jī)構(gòu)在提高工作效率的同時(shí)能夠保持高速運(yùn)行中較好的穩(wěn)定性。為進(jìn)一步驗(yàn)證理論方法的正確性和取苗機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的可行性，對(duì)取苗機(jī)構(gòu)進(jìn)行三維建模并導(dǎo)入仿真分析軟件ADAMS中進(jìn)行虛擬樣機(jī)運(yùn)動(dòng)仿真，分別得到兩種取苗機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器尖點(diǎn)的仿真運(yùn)動(dòng)軌跡與姿態(tài)轉(zhuǎn)角曲線。

圖11a所示為輪系式取苗機(jī)構(gòu)理論設(shè)計(jì)軌跡與仿真軌跡的對(duì)比，圖11b為在ADAMS中測(cè)量并導(dǎo)出至MATLAB軟件分析處理的機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器姿態(tài)轉(zhuǎn)角仿真曲線，紅色標(biāo)記點(diǎn)對(duì)應(yīng)于給定位姿處的φ值數(shù)據(jù)。

通過分析可知，本文所設(shè)計(jì)的取苗機(jī)構(gòu)仿真結(jié)果與理論設(shè)計(jì)結(jié)果基本一致，存在的微量偏差主要由建模與仿真軟件誤差導(dǎo)致，均符合設(shè)計(jì)要求，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提出設(shè)計(jì)方法的正確性和應(yīng)用該方法所設(shè)計(jì)取苗機(jī)構(gòu)的可行性。

3.4 樣機(jī)實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證綜合得到的取苗機(jī)構(gòu)在實(shí)際移栽作業(yè)中的可行性，根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)制作了取苗機(jī)構(gòu)實(shí)物樣機(jī)，并搭建了取苗實(shí)驗(yàn)臺(tái)。將裝配好的物理樣機(jī)安裝在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行空轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，通過攝像機(jī)對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)進(jìn)行圖像采集，并利用視頻分析軟件Adobe After Effects對(duì)實(shí)驗(yàn)視頻進(jìn)行解析，獲得取苗機(jī)構(gòu)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡如圖12所示。與圖11a仿真軌跡對(duì)比可知，兩者軌跡形狀整體基本一致。

進(jìn)一步地，從分析軟件中分別截取機(jī)構(gòu)在實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)過程中的關(guān)鍵位置與姿態(tài)圖像進(jìn)行分析，圖13為取苗機(jī)構(gòu)實(shí)際姿態(tài)圖。其中，圖13a所示為取苗機(jī)構(gòu)開始取苗狀態(tài)，圖13b所示為取苗爪進(jìn)入缽穴最深處夾緊秧苗時(shí)刻，圖13c所示為取苗機(jī)構(gòu)將秧苗全部取出狀態(tài)，圖13d所示為取苗機(jī)構(gòu)推苗狀態(tài)。將測(cè)量得到的樣機(jī)實(shí)際姿態(tài)角度數(shù)據(jù)與理論設(shè)計(jì)值（表1中φ值）進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3所示。

從表3中數(shù)據(jù)可以看出，取苗機(jī)構(gòu)關(guān)鍵位置處姿態(tài)角的實(shí)際測(cè)量值與理論值之間的最大誤差值為3.51°，誤差均值為1.87°。其中，取苗機(jī)構(gòu)實(shí)際所實(shí)現(xiàn)姿態(tài)角度誤差較小的原因在于綜合時(shí)該4個(gè)位姿為精確綜合，而其余所有給定位姿均為近似綜合，這與理論設(shè)計(jì)分析相一致。

為測(cè)試所設(shè)計(jì)取苗機(jī)構(gòu)的實(shí)際作業(yè)性能，對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行取苗實(shí)驗(yàn)，本次實(shí)驗(yàn)選用苗齡為40 d左右的馬鞭草缽苗，使用3盤秧苗共384株進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，取苗效果以取投苗成功率（取苗成功率為取出數(shù)與穴盤苗數(shù)的比）衡量，實(shí)驗(yàn)時(shí)將電機(jī)轉(zhuǎn)速設(shè)為45 r/min（取苗頻率為90株/（min·行））。圖14所示為取苗機(jī)構(gòu)在實(shí)際取苗作業(yè)各關(guān)鍵位置的作業(yè)姿態(tài)（對(duì)應(yīng)于圖13各關(guān)鍵位姿）。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示，結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的輪系式取苗機(jī)構(gòu)三盤秧苗取苗成功率均在90%以上，平均取苗成功率為93.5%，滿足自動(dòng)取苗機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)要求。

綜上所述，機(jī)構(gòu)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡與理論軌跡一致，說明了機(jī)構(gòu)所到達(dá)的位置（xP，yP）基本相同，其關(guān)鍵位置處的姿態(tài)角度φ值也與理論設(shè)計(jì)值基本一致，雖然存在一定的誤差，但均能達(dá)到預(yù)期設(shè)計(jì)目標(biāo)，符合設(shè)計(jì)要求。實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡與姿態(tài)角度存在的偏差主要是由物理樣機(jī)的加工、裝配偏差、實(shí)驗(yàn)臺(tái)架的振動(dòng)以及測(cè)量誤差等多種因素所導(dǎo)致。實(shí)際取苗實(shí)驗(yàn)中取苗機(jī)構(gòu)在各個(gè)關(guān)鍵時(shí)刻均能較好地完成相應(yīng)動(dòng)作，在不干涉苗盤的情況下順利進(jìn)入缽穴，并將秧苗夾緊從缽盤中順利取出，最終準(zhǔn)確投放到鴨嘴栽植器中。

因此，通過樣機(jī)實(shí)驗(yàn)得出，所設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)能夠滿足旱地穴盤自動(dòng)移栽軌跡及姿態(tài)要求，驗(yàn)證了本文所提出的綜合方法的正確性，同時(shí)也證明了所設(shè)計(jì)的不等速行星輪系式取苗機(jī)構(gòu)的實(shí)際可行性。

4 結(jié)論

（1）提出了一種不等速行星輪系機(jī)構(gòu)混合多位姿運(yùn)動(dòng)綜合方法，基于桿長(zhǎng)不變條件建立了平面2R開鏈機(jī)構(gòu)混合多位姿運(yùn)動(dòng)綜合模型，給出了非圓齒輪傳動(dòng)比計(jì)算與分配方法，實(shí)現(xiàn)了不等速行星輪系機(jī)構(gòu)的混合多位姿運(yùn)動(dòng)綜合。

（2）設(shè)計(jì)了能夠?qū)崿F(xiàn)精準(zhǔn)取投苗的不等速行星輪系取苗機(jī)構(gòu)，通過虛擬樣機(jī)仿真分析、樣機(jī)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了對(duì)比分析，結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)能夠滿足旱地穴盤自動(dòng)移栽軌跡及姿態(tài)要求，也驗(yàn)證了所提綜合方法的正確性。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 華林， 鄭方焱. 非圓齒輪研究現(xiàn)狀及展望［J］. 北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2018， 44（7）：969-978.

HUA Lin， ZHENG Fangyan.Research Status and Prospect of Non-circular Gear［J］. Journal of Beijing University of Technology， 2018， 44（7）：969-978.

［2］ 李渤濤， 陳定方. 非圓齒輪設(shè)計(jì)、制造、檢測(cè)及應(yīng)用［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2020， 56（9）：55-72.

LI Botao， CHEN Dingfang.Design， Manufacture， Inspection and Application of Non-circular Gears［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2020， 56（9）：55-72.

［3］ 俞高紅， 俞騰飛， 葉秉良， 等. 一種新型行星輪系機(jī)構(gòu)的研究［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2013， 49（15）：55-61.

YU Gaohong， YU Tengfei， YE Bingliang，et al. Research on a New Planetary Gear Train Mechanism［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2013， 49（15）：55-61.

［4］ 童俊華， 唐曲曲， 武傳宇， 等. 自動(dòng)裝盒機(jī)橢圓-圓齒輪行星輪系取盒機(jī)構(gòu)軌跡分析與設(shè)計(jì)［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2018， 54（11）：172-179.

TONG Junhua， TANG Ququ， WU Chuanyu， et al.Elliptical-circular Planetary Gear Train Box-taking Mechanism Design and Trajectory Analysis for Automatic Cartoning Machines［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2018， 54（11）：172-179.

［5］ 陳建能， 王英， 任根勇， 等. 非圓齒輪行星輪系引緯機(jī)構(gòu)的反求設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2012， 23（20）：2405-2409.

CHEN Jianneng， WANG Ying， REN Genyong， et al. Reverse Design and Kinematic Analysis of Non-circular Planetary Gear Trains Weft Insertion Mechanism［J］. China Mechanical Engineering， 2012， 23（20）：2405-2409.

［6］ 林超， 夏錫光， 邢慶坤， 等. 非圓齒輪型間歇轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)特性分析［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2020， 31（10）：1142-1148.

LIN Chao， XIA Xiguang， XING Qingkun.Design and Kinematic Characteristics Analysis of an Intermittent Rotation Mechanism Based on Non-circular Gears［J］. China Mechanical Engineering， 2020， 31（10）：1142-1148.

［7］ GUO L S， ZHANG W J. Kinematic Analysis of a Rice Transplanting Mechanism with Eccentric Planetary Gear Trains［J］. Mechanism and Machine Theory， 2001， 36（11/12）：1175-1188.

［8］ BAI S， LI Z， LI R. Exact Synthesis and Input-Output Analysis of 1-dof Planar Linkages for Visiting 10 Poses［J］. Mechanism and Machine Theory， 2020， 143：103625.

［9］ 孫建偉， 王鵬， 劉文瑞， 等. 平面四桿機(jī)構(gòu)剛體導(dǎo)引綜合的小波特征參數(shù)法［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2018， 29（6）：688-695.

SUN Jianwei， WANG Peng， LIU Wenrui，et al. Wavelet Characteristic Parameter Method of a Planar Four-bar Mechanism Motion Generation Synthesis［J］. China Mechanical Engineering， 2018， 29（6）：688-695.

［10］ MCCARTHY J M， SOH G S. Geometric Design of Linkages［M］. New York ：Springer Science amp; Business Media， 2010.

［11］ HAN J， LIU W. On the Solution of Eight-precision-point Path Synthesis of Planar Four-bar Mechanisms Based on the Solution Region Methodology［J］. Journal of Mechanisms and Robotics， 2019， 11（6）：1-18.

［12］ GE Q J， PING Z， PURWAR A， et al. A Novel Approach to Algebraic Fitting of a Pencil of Quadrics for Planar 4R Motion Synthesis［J］. Journal of Computing and Information Science in Engineering， 2012， 12（4）：1587-1596.

［13］ ZHAO P， LI X， ZHU L， et al. A Novel Motion Synthesis Approach with Expandable Solution Space for Planar Linkages Based on Kinematic-mapping［J］. Mechanism and Machine Theory， 2016， 105：164-175.

［14］ 俞高紅， 陳志威， 趙勻， 等. 橢圓—不完全非圓齒輪行星系蔬菜缽苗取苗機(jī)構(gòu)的研究［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2012， 48（13）：32-39.

YU Gaohong， CHEN Zhiwei， ZHAO Yun， et al. Study on Vegetable Plug Seedling Pick-up Mechanism of Planetary Gear Train with Ellipse Gears and Incomplete Non-circular Gear［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2012， 48（13）：32-39.

［15］ YE Bingliang， ZENG Gongjun， DENG Bin， et al. Design and Tests of a Rotary Plug Seedling Pick-up Mechanism for Vegetable Automatic Transplanter［J］. International Journal of Agricultural and Biological Engineering， 2020，13（3）：70-78.

［16］ 俞高紅， 俞騰飛， 葉秉良， 等. 一種旋轉(zhuǎn)式穴盤苗取苗機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2015， 51（7）：67-76.

YU Gaohong， YU Tengfei， YE Bingliang，et al. Design of a Rotary Plug Seedling Pick-up Mechanism［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2015， 51（7）：67-76.

［17］ MUNDO D. Geometric Design of a Planetary Gear Train with Non-circular Gears［J］. Mechanism and machine theory， 2006， 41（4）：456-472.

［18］ BAE K Y， YANG Y S. Design of a Non-circular Planetary-gear-train System to Generate an Optimal Trajectory in a Rice Transplanter［J］. Journal of Engineering Design， 2007， 18（4）：361-372.

［19］ ZHAO X， CHU M， MA X， et al. Research on Design Method of Non-circular Planetary Gear Train Transplanting Mechanism Based on Precise Poses and Trajectory Optimization［J］. Advances in Mechanical Engineering， 2018， 10（12）：1-12.

［20］ TONG Z， YU G， ZHAO X， et al. Design of Vegetable Pot Seedling Pick-up Mechanism with Planetary Gear Train［J］. Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2020， 33（1）：1-11.

［21］ SUN L， WANG Z， WU C， et al. Novel Approach for Planetary Gear Train Dimensional Synthesis through Kinematic Mapping［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part C：Journal of Mechanical Engineering Science， 2020， 234（1）：273-288.

［22］ YE J， ZHAO X， WANG Y， et al. A Novel Planar Motion Generation Method Based on the Synthesis of Planetary Gear Train with Noncircular Gears［J］. Journal of Mechanical Science and Technology， 2019， 33（10）：4939-4949.

［23］ WANG L， SUN L， YU G H， et al. Approximate Motion Generation of an Epicyclic Gear Train with Noncircular Gears Based on Optimization-homotopy Algorithm［J］. Journal of Mechanisms and Robotics， 2023， 15（4）：041002.

［24］ YU C， YE J， JIA J， et al. Design， Synthesis， and Experiment of Foot-driven Lower Limb Rehabilitation Mechanisms［J］. Journal of Mechanisms and Robotics， 2022， 14（2）：021001.

［25］ GUAN Y， VERSCHELDE J. PHClab：a MATLAB/Octave Interface to PHCpack［M］∥Software for Algebraic Geometry. New York：Springer， 2008：15-32.

［26］ 王偉， 姚華忠. 基于B樣條的凸輪式開關(guān)機(jī)構(gòu)輪廓線設(shè)計(jì)方法［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2017， 28（7）：789-793.

WANG Wei， YAO Huazhong. Design Method of Cam-type Switching Mechanism Contours Based on B-spline［J］. China Mechanical Engineering， 2017， 28（7）：789-793.

［27］ 崔海洋. 基于2R開鏈桿組解域綜合的行星輪系移栽機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法與試驗(yàn)研究［D］. 杭州：浙江理工大學(xué)， 2017.

CUI Haiyang. Design Method and Experimental Research on Transplanting Mechanism of Planetary Gear System Based on Solution Region Synthesis of 2R Open Chain Linkage Group［D］. Hangzhou：Zhejiang Sci-Tech University， 2017.

［28］ 孫良， 徐亞丹， 黃恒敏， 等. 基于節(jié)曲線凸性判別的行星輪系移栽機(jī)構(gòu)解析［J］. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)， 2018， 49（12）：83-92.

SUN Liang， XU Yadan， HUANG Hengmin，et al. Solution and Analysis of Transplanting Mechanism with Planetary Gear Train Based on Convexity of Pitch Curve［J］. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2018， 49（12）：83-92.

［29］ YU Yaxin， LIU Jikun， YE Bingliang， et al. Design and Experimental Research on Seedling Pick-up Mechanism of Planetary Gear Train with Combined Non-circular Gear Transmission［J］. Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2019，32：49.

（編輯 王艷麗）

作者簡(jiǎn)介：

王 磊，男，1992年生，博士、講師。研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)分析與綜合。E-mail：leiwang@zstu.edu.cn。

俞高紅（通信作者），男，1975年生，教授、博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)學(xué)、農(nóng)業(yè)機(jī)械裝備與技術(shù)。E-mail：yugh@zstu.edu.cn。