摘要：

面齒輪磨削溫度場(chǎng)預(yù)測(cè)中存在兩個(gè)難題：一是砂輪與面齒輪之間存在復(fù)雜的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和接觸變化，導(dǎo)致傳統(tǒng)的齒輪磨削溫度場(chǎng)模型失效；二是以往的磨削溫度研究中，大多將砂輪-工件接觸區(qū)域整體作為一個(gè)移動(dòng)帶狀熱源，忽略了磨削接觸區(qū)域中離散磨粒的微觀切削行為，導(dǎo)致磨削溫度場(chǎng)的計(jì)算精度不高。為解決上述問題，建立了面齒輪的材料去除模型，推導(dǎo)了輪齒材料去除參數(shù)的表達(dá)式，以砂輪離散磨粒為計(jì)算單元，將熱流密度的建模與不同磨削階段（滑擦、犁耕和切削）的磨削力模型相統(tǒng)一，提出了一種磨削溫度預(yù)測(cè)新方法。面齒輪的磨削溫度測(cè)量實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該方法的預(yù)測(cè)誤差為-6.94%～9.29%。同時(shí)，分析發(fā)現(xiàn)面齒輪展成磨削溫度場(chǎng)呈現(xiàn)出明顯的離散性、局部封閉性和非線性變化等特征，探討了這些特征的產(chǎn)生機(jī)理。

關(guān)鍵詞：面齒輪；展成磨削；離散磨粒；溫度預(yù)測(cè)；溫度場(chǎng)特征

中圖分類號(hào)：TH13;TH16

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.12.017

Temperature Field Prediction Method for Face Gear Generating Grinding

with Discrete Grains as Computational Units

MA Xiaofan1，2 CAI Zhiqin1 YAO Bin1 CHEN Guanfeng3

1.School of Aerospace Engineering，Xiamen University，Xiamen，F(xiàn)ujian，361102

2.School of Aerospace Engineering，North University of China，Taiyuan，030051

3.School of Mechanical and Electrical Engineering，Xiamen University Tan Kah Kee College，

Zhangzhou，F(xiàn)ujian，363105

Abstract： Predicting the temperature field of generating grinding for face gears was challenging due to two factors. One was the complex relative motions and contact variations between the grinding wheel and the face gear， which rendered the conventional gear grinding temperature field model ineffective. The other was that most of the existing grinding temperature studies adopted the contact zone between the grinding wheel and the workpiece as a moving banded heat source， neglecting the micro-cutting behavior of discrete abrasive grains in the grinding contact area， which led to low accuracy of the grinding temperature field computation. To address these issues， a material removal model of face gear was established， the expression of material removal parameters was derived， and a novel grinding temperature prediction method was proposed that took the discrete abrasive grains as the computational unit and integrated the heat flux modeling with the grinding force model of different grinding phases（sliding， ploughing and cutting）. The grinding temperature measurement experiments of face gears demonstrate that the prediction errors of this method range from -6.94% to 9.29%. It is also observed that the temperature field exhibits distinct features of discreteness， local confinement and non-linear variation， and the mechanism of these features was discussed.

Key words： face gear; generating grinding; discrete grain; temperature prediction; temperature field feature

收稿日期：2023-09-12

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（52475070）；福建省自然科學(xué)基金（2023J01048）;廣東省自然科學(xué)基金（2023A1515010040）;福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目（JAT220510）;山西省自然科學(xué)基金（202403021212141）;山西省高等學(xué)?？萍紕?chuàng)新項(xiàng)目（2024L163）

0 引言

磨削是面齒輪消除變形、保證幾何精度、提高表面質(zhì)量的精密制造工藝。分析磨削溫度場(chǎng)有助于優(yōu)化工藝參數(shù)，提高工件材料去除率和表面完整性，同時(shí)也有利于保持砂輪的耐磨性能，延長(zhǎng)砂輪的使用壽命［1-2］。學(xué)者們從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面深入探討了磨削熱量產(chǎn)生區(qū)域、熱流密度分布及磨削熱量分配等問題。磨削接觸區(qū)域內(nèi)的磨粒切削行為是磨削總能量的源頭。HAHN［3］將砂輪與工件的磨削接觸區(qū)域整體視作一個(gè)移動(dòng)帶狀熱源，將熱流密度水平均勻地分配在磨削接觸區(qū)域。此外，針對(duì)熱流密度，學(xué)者們?cè)谀ハ鹘佑|區(qū)域上還建立了水平線性遞增模型［4］、傾斜線性遞增模型［5］、二次函數(shù)分布模型［6］、傾斜均布分布模型［7］和水平均勻分布及對(duì)流冷卻熱流模型［8］等。在溫度場(chǎng)建模過程中，除了熱流密度，磨削熱量的分配系數(shù)也是需要準(zhǔn)確確定的變量。針對(duì)水基磨削液，LAVINE等［9］建立了磨削液分配系數(shù)的求解模型。針對(duì)淺切深磨削，ROWE［10］利用實(shí)驗(yàn)（切削速度vs為30 m/s，進(jìn)給速度vw為0.2 m/s，磨削深度ap為10 μm）測(cè)出了水基切削液帶走的熱通量為13.5 W/mm2，油基切削液帶走的熱通量為7.7 W/mm2。MALKIN等［11］研究發(fā)現(xiàn)，在磨削過程中，磨屑在分離之前不會(huì)熔化，因此，通過熱傳導(dǎo)流入磨屑的熱能將受到磨屑熔化能量的限制，并通過實(shí)驗(yàn)確定磨屑熔化能量為6 J/mm3。

針對(duì)面齒輪展成磨削，WANG等［12］證明了展成磨削后的面齒輪表面形貌和齒面殘余應(yīng)力呈現(xiàn)不均勻分布的特點(diǎn)，這是由砂輪與面齒輪之間復(fù)雜的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和接觸變化造成的。李灣等［13］根據(jù)Gleason接觸原理，求得了碟形砂輪磨削點(diǎn)接觸橢圓的瞬時(shí)幾何參數(shù)，并采用小步長(zhǎng)移動(dòng)法仿真得到了齒面磨削斑點(diǎn)的瞬態(tài)溫度場(chǎng)。GUO等［14］基于赫茲接觸原理，推導(dǎo)得到了磨削區(qū)域的瞬時(shí)磨削寬度和接觸弧長(zhǎng)表達(dá)式，提出了一種利用蝸桿砂輪展成磨削面齒輪的瞬時(shí)溫度計(jì)算方法，分析了磨削工藝參數(shù)對(duì)齒面瞬時(shí)溫度的影響。JERMOLAJEV等［15］提出了一種基于磨削接觸區(qū)域測(cè)量溫度的時(shí)域溫度場(chǎng)表征方法，并根據(jù)金相轉(zhuǎn)變溫度優(yōu)化磨削工藝，采用多次淺切磨削代替深切磨削，有效降低了齒面燒傷。JIN等［16］建立了漸開線齒輪成形磨削的綜合力-熱模型，分析了齒輪成形磨削中的傳熱機(jī)制，并探究了佩克萊（Peclet）數(shù)、齒數(shù)和齒輪模數(shù)對(duì)沿漸開線接觸齒廓的磨削溫度場(chǎng)的影響。易軍等［17］假設(shè)熱流密度為三維分布，采用有限元法建立了包含齒頂和齒根過渡區(qū)域的磨削溫度解析模型，探究了齒面溫度場(chǎng)分布規(guī)律，結(jié)果表明，齒面的溫度分布是不均勻的。

綜上所述，現(xiàn)有面齒輪展成磨削溫度場(chǎng)模型大多基于赫茲接觸理論建立，但并未建立準(zhǔn)確的展成磨削材料去除模型，而且已有的磨削溫度計(jì)算模型大多將砂輪-工件接觸區(qū)域整體視作一個(gè)移動(dòng)帶狀熱源，忽略了磨削接觸區(qū)域中離散磨粒的微觀切削行為。此外，砂輪與面齒輪之間復(fù)雜的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和接觸變化，使得磨削寬度和接觸弧長(zhǎng)處于動(dòng)態(tài)變化之中，導(dǎo)致了傳統(tǒng)的齒輪磨削溫度場(chǎng)模型失效。因此為了提高面齒輪磨削溫度的計(jì)算精度，本文建立了面齒輪的材料去除模型，推導(dǎo)了輪齒材料去除參數(shù)表達(dá)式，包括瞬時(shí)磨削寬度、接觸弧長(zhǎng)、有效磨粒數(shù)量和未變形切屑厚度。然后以砂輪離散磨粒為計(jì)算單元，提出了面齒輪展成磨削溫度場(chǎng)計(jì)算方法，預(yù)測(cè)得到了具有微觀細(xì)節(jié)和高精度的齒面溫度場(chǎng)。

1 面齒輪展成磨削原理及材料去除參數(shù)

1.1 面齒輪磨削原理

1.1.1 面齒輪傳動(dòng)嚙合原理

面齒輪副由面齒輪和圓柱齒輪組成，兩齒輪的軸線相交，其夾角為90°。根據(jù)齒輪嚙合原理，建立面齒輪副的傳動(dòng)坐標(biāo)系如圖1所示。其中，Sp（xp，yp，zp）表示與圓柱齒輪固連的固定坐標(biāo)系，Sm（xm，ym，zm）表示與面齒輪固連的固定坐標(biāo)系，

Ss（xs，ys，zs）表示圓柱齒輪的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，S2（x2，y2，z2）表示面齒輪的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系。上述坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)相重合，其中軸線zm和z2的夾角為90°，

φs和φ2分別表示漸開線齒輪和面齒輪的轉(zhuǎn)角。

M2s表示坐標(biāo)系Ss到坐標(biāo)系S2的變換矩陣，其表達(dá)式為

M2s=M2pMpmMms（1）

式中，M2p為坐標(biāo)系Sp到坐標(biāo)系S2的變換矩陣；Mpm為坐標(biāo)系Sm到坐標(biāo)系Sp的變換矩陣；Mms為坐標(biāo)系Ss到坐標(biāo)系Sm的變換矩陣。

由式（1）可以得到M2s的表達(dá)式：

M2s=cos φ2cos φs－sin φ2cos φssin φs0－cos φ2sin φssin φ2sin φscos φs0－sin φ2－cos φ2000001（2）

φ2=φsNsN2（3）

式中，Ns、N2分別為漸開線齒輪和面齒輪的齒數(shù)。

已知漸開線齒輪的齒廓方程可以表示為

rs（us，θs）=［xs ys zs 1］T=

±rbs（sin（θs+θos）－θscos（θs+θos））－rbs（cos（θs+θos）+θssin（θs+θos））us1（4）

式中，rbs為漸開線齒輪的基圓半徑；θos為齒輪漸開線與基圓交點(diǎn)的角度參數(shù)；θs、μs分別為漸開線齒面參數(shù)。

根據(jù)空間嚙合理論，面齒輪的齒面徑矢函數(shù)可以表示為

r2（μs，θs，φs）=M2s（φs）rs（μs，θs）

f（μs，θs，φs）=0（5）

聯(lián)立式（1）～式（5），得到面齒輪的齒面方程如下：

r2（θs，φs）=

±rbs［cos φ2（sin ξs－θscos ξs）－sin φ2m2scos ξs］

－rbs［sin φ2（sin ξs－θscos ξs）+

cos φ2m2scos ξs］

－rbs（cos ξs±θssin ξs）（6）

ξs=φs±（θs+θos）

式中，m2s為漸開線齒輪與面齒輪的齒數(shù)比。

1.1.2 基于布爾運(yùn)算的刀具-工件接觸模型

為了得到面齒輪的三維模型，在三維軟件中令漸開線齒輪和面齒輪毛坯模擬面齒輪副的嚙合運(yùn)動(dòng)，通過軟件的布爾運(yùn)算功能實(shí)現(xiàn)面齒輪的建模，如圖2所示。圖2a中的A軸和C軸分別表示漸開線齒輪和面齒輪的旋轉(zhuǎn)軸，利用軟件平臺(tái)的布爾運(yùn)算功能得到了面齒輪的3D模型，如圖2b所示。

將面齒輪的布爾運(yùn)算建模思想應(yīng)用于展成磨削過程中，提出一種基于布爾映射關(guān)系的刀具-工件接觸模型，模型建立過程如下。

（1）漸開線齒輪的齒面用均勻分布的網(wǎng)格描述，如圖3a所示。us和θs分別表示為

us=iΔd

θs=2jΔdrbs（7）

式中，Δd為網(wǎng)格間距；i、j分別為漸開線齒輪齒寬和輪廓方向上的網(wǎng)格索引。

（2）確定布爾運(yùn)算區(qū)域內(nèi)的磨削深度。如圖3b所示，首先確定布爾運(yùn)算區(qū)域，即磨粒k與虛擬小齒輪等效磨削余量產(chǎn)生干涉的區(qū)域，再根據(jù)磨削原理，在齒面網(wǎng)格坐標(biāo)系中求解磨削深度。

（3）由布爾映射關(guān)系得到面齒輪的法向切削深度。根據(jù)齒輪嚙合原理，將虛擬小齒輪不同位置的磨削深度映射到面齒輪的表面，得到面齒輪的法向切削深度。

1.2 面齒輪展成磨削材料去除參數(shù)

1.2.1 面齒輪展成輪磨削寬度

在面齒輪的展成磨削中，砂輪分度角過小會(huì)導(dǎo)致相鄰磨削軌跡的磨削區(qū)域之間存在干涉區(qū)域。將第n條磨削軌跡與第n-1條磨削軌跡的磨削區(qū)域干涉寬度用漸開線弧長(zhǎng)l1表示，未干涉寬度用l2表示，則受砂輪分度角的影響，l1和l2分為以下兩種情況。

（1）如圖4a所示，由于砂輪分度角較大，導(dǎo)致相鄰磨削軌跡的磨削區(qū)域并無干涉，此時(shí)l1與l2可以表示為

l1=0

l2=rbs2（θ2u1－θ2d1）（8）

式中，θu1、θd1分別為第n-1條磨削軌跡的磨削寬度邊界展角。

（2）如圖4b所示，由于砂輪分度角較小，導(dǎo)致相鄰磨削軌跡的磨削區(qū)域存在干涉，此時(shí)l1與l2分別為

l1=rbs4（θ2u1+θ2u0+2θ2s0－θ2d1－θ2d0－2θ2s1）

l2=rbs4（θ2u1+θ2d0+2θ2s1－θ2u0－θ2d1－2θ2s0）（9）

式中，θu0、θd0分別為第n條磨削軌跡的磨削寬度邊界展角；θs0、θs1分別為第n條和n-1條磨削軌跡的漸開線展角。

1.2.2 面齒輪展成磨削中單顆磨粒的接觸弧長(zhǎng)

由刀具-工件接觸模型得到接觸弧長(zhǎng)lk（圖5中弧線d1d0d2）表達(dá)式為

lk=（1+Rkvw60vs，k）｛［（ik，max－ik，min）2+

（jk，max－jk，min）2］（Δd）2+a2n，k｝12（10）

式中，Rk為磨粒k的旋轉(zhuǎn)半徑；vs，k為磨粒k的切削速度；an，k為磨粒k的法向切削深度；ik，max、ik，min，jk，max、jk，min分別為第k個(gè)磨粒的半個(gè)接觸弧長(zhǎng)在網(wǎng)格i和j方向的邊界值。

1.2.3 面齒輪展成磨削有效磨粒數(shù)量

基于布爾映射關(guān)系的刀-工接觸模型仿真得到齒面d點(diǎn)的磨削接觸斑點(diǎn)，其表面形貌如圖6所示。已知砂輪的磨削深度為10 μm，圖中不同顏色表示齒面材料的殘余高度。

將磨削接觸區(qū)域看作是多條接觸弧微元累加的結(jié)果［18］，砂輪表面網(wǎng)格寬度和砂輪磨粒的平均直徑分別用Lm和davg表示，則接觸弧微元寬度可以表示為L(zhǎng)m+davg，則第w條接觸弧微元長(zhǎng)度內(nèi)的磨粒數(shù)量可以表示為

Nζ=［lζLm+davg］" w∈（1，W）（11）

其中，［x］表示取不大于x的最大整數(shù)，W表示接觸弧長(zhǎng)的總數(shù)目，則齒面磨削區(qū)域內(nèi)有效磨粒的總數(shù)量Nall為

Nall=∑Wζ=1Nζ（12）

將單顆磨粒接觸弧長(zhǎng)表達(dá)式（式（10））代入式（12），磨粒數(shù)量Nall可以表示為

Nall=∑Wζ=1｛［（iζ，k，max－iζ，k，min）2+（jζ，k，max－jζ，k，min）2］·

（Δd）2+a2ζ，k｝12（Lm+davg）-1（1+Rζ，kvw60vs，k）（13）

式中，iζ，k，max、iζ，k，min， jζ，k，max、jζ，k，min分別為第ζ條磨削半接觸弧長(zhǎng)在網(wǎng)格i和j方向的邊界值；aζ，k、Rζ，k分別為第ζ條接觸弧長(zhǎng)中第k個(gè)磨粒的法向切削深度和旋轉(zhuǎn)半徑。

1.2.4 未變形切屑厚度

由于展成磨削過程中的接觸弧長(zhǎng)極短，故磨料沿周向的未變形切削厚度可以近似為線性分布，以此計(jì)算出磨料的磨削深度hm（ζ，c）為最大未變形切屑厚度除以接觸弧長(zhǎng)方向上的磨料數(shù)量，再乘以位置系數(shù)c，可以表示為

hm（ζ，c）=60vs，khmax，ζ（Lm+davg）c（Rζ，kvw+

60vs，k）-1{［（iζ，k，max－iζ，k，min）2+（jζ，k，max－jζ，k，min）2］·

（Δd）2+a2ζ，k}-12（14）

式中，hmax，ζ為第ζ條磨削接觸弧長(zhǎng)內(nèi)磨粒的最大未變形切削厚度［19］。

2 基于離散磨粒的面齒輪磨削溫度預(yù)測(cè)

2.1 熱流密度計(jì)算模型

2.1.1 考慮磨削階段的總熱流密度

磨削過程中，假設(shè)所有輸入的磨削能量都能被磨粒-工件相互作用耗散，最終轉(zhuǎn)化為磨削區(qū)內(nèi)的熱能，則由未變形切屑厚度hm判斷當(dāng)前磨粒所處的磨削階段［20］：當(dāng)hm≤hplou時(shí)，當(dāng)前磨粒處于滑擦階段；當(dāng)hploult;hmlt;hcut時(shí)，當(dāng)前磨粒處于犁耕階段；當(dāng)hm≥hcut時(shí)，當(dāng)前磨粒處于切削階段。

其中，hplou表示滑擦階段與犁耕階段的未變形切屑厚度臨界值；hcut表示犁耕階段與切削階段的未變形切屑厚度臨界值。

磨削過程如圖7所示，根據(jù)滑擦、耕犁和切削階段對(duì)工件材料的作用機(jī)理，即滑擦階段使材料發(fā)生彈性變形，耕犁和切

削階段發(fā)生塑性變形，將熱流密度分為滑擦熱流密度、犁耕熱流密度和切削熱流密度。將滑擦熱流密度看作磨粒底面接觸面積的函數(shù)，將耕犁熱流密度和切削熱流密度看作橫截面積的函數(shù)［21-22］。則在滑擦階段，法向力和切向力［23］可以表示為

Fn，rub=pmSrubFt，rub=μrubpmSrub（15）

式中，Srub為磨粒的磨鈍面積；pm為磨粒的磨鈍面與工件的單位面積正壓力，可通過維氏硬度實(shí)驗(yàn)獲得［24］；μrub為滑擦階段磨粒與工件的摩擦因數(shù)，可以通過摩擦磨損實(shí)驗(yàn)獲得［25］。

滑擦階段的熱流密度qrub可以表示為

qrub=Ft，rubvsSrub（16）

Srub=π（rw+hmtanθ）2（17）

式中，rw為磨粒的磨鈍半徑。

在犁耕階段，磨粒對(duì)工件表面產(chǎn)生犁溝效應(yīng)和黏著效應(yīng)。

（1）犁溝效應(yīng)。已知工件材料的屈服極限為σs，則法向磨削力We和犁溝力Pe［26］可以分別表示為

We=Splouσs=π2（2rw+hmtan θ）hmσstan θ（18）

Pe=Aplouσs=（2rw+hmtan θ）hσs（19）

式中，Splou為磨粒的接觸表面在工件平面上的投影面積；Aplou為磨粒的接觸表面在工件垂直面上的投影面積。

犁溝效應(yīng)階段的摩擦因數(shù)為

f=PeWe=2cot θπ（20）

為了滿足材料屈服性能各向同性條件下的犁溝效應(yīng)，引入修正系數(shù)kp對(duì)f值進(jìn)行修正，修正后的摩擦因數(shù)μplou1=kpf，其中，kp的取值為1.35。

（2）黏著效應(yīng)。黏著效應(yīng)的法向磨削力［26］可以表示為

Wa=Saσs（21）

式中，Sa為磨粒與工件的接觸面積。

切向磨削力Ta可以表示為

Ta=μplou2Wa（22）

式中，μplou2為摩擦因數(shù)，可以表示為μplou2=1/α，其中，α的取值為9。

根據(jù)犁耕階段中的犁溝效應(yīng)和黏著效應(yīng)，得到犁耕階段磨削力表達(dá)式為

Fn，plou=We+Wa=（Splou+Sa）σs

Ft，plou=Pe+Ta=（μplou1Splou+μplou2Sa）σs（23）

犁耕階段的熱流密度qplou為

qplou=Ft，plouvsAplou（24）

Aplou=（2rw+hmtan θ）hm（25）

在切削階段，根據(jù)單顆磨粒切削工件的過程，將切削階段產(chǎn)生的磨削力定義為切屑形成力［23］，其表達(dá)式為

Fn，cut=KAcutFt，cut=φ0KAcut（26）

式中，Acut為磨粒切削截面積；K為磨削力系數(shù)，可以通過單顆磨粒切削實(shí)驗(yàn)獲得［25］；φ0為幾何系數(shù)，其取值與顆粒的形狀有關(guān)。

切削階段的熱流密度qcut可以表示為

qcut=Ft，cutvsAcut（27）

Acut=（2rw+hmtan θ）hm（28）

rw=（3kabrFnswπ2H）13（29）

式中，hm為未變形切屑厚度，由式（14）獲得；kabr為磨損系數(shù)，受磨粒直徑的影響，此處取值為0.006［27］；H為工件的維氏硬度；sw為磨粒的切削長(zhǎng)度。

2.1.2 流入工件的熱流密度

在滑擦、犁耕和切削階段，總熱流被分配到不同的子系統(tǒng)中：①在滑擦和犁耕階段，并未產(chǎn)生切屑，因此熱流被分配到砂輪-工件系統(tǒng)中；②在切削階段會(huì)產(chǎn)生切屑，熱流被分配到切屑和砂輪-工件系統(tǒng)中。

（1）在滑擦和犁耕階段，假設(shè)總熱流分配到砂輪和工件中的比例相同［28］，此外，分配到工件中的部分熱流會(huì)被磨削液帶走，只有剩下的熱流密度qw，rub和qw，plou對(duì)工件溫升起到作用，則滑擦和犁耕階段分配到工件的熱流密度qw，rub和qw，plou分別表示為

qw，rub=12qrub－h(huán)cool（Tce－Tcs）（30）

qw，plou=12qplou－h(huán)cool（Tce－Tcs）（31）

式中，hcool為磨削液的對(duì)流傳熱系數(shù)；Tce、Tcs分別為磨削開始和結(jié)束時(shí)冷卻液的溫度。

（2）在切削階段，分配到切屑中的熱流密度可以表示為qchip=ρwcwTb/lk，其中，ρw、cw和Tb分別表示工件材料的密度、質(zhì)量熱容和熔點(diǎn)，lk表示磨粒k的接觸弧長(zhǎng)，則剩余的熱流密度被分配到砂輪-工件系統(tǒng)中，分配到砂輪和工件的熱流密度分別用qt和qwc表示［29］。同樣地，qwc中的部分熱流密度被磨削液帶走，則剩余的熱流密度qw，cut可以表示為

qw，cut=（qcut－qchip）［1+

0.974kg（1－e）－τ/1.2kwcwρwrevs］－h(huán)cool（Tce－Tcs）（32）

式中，kg、kw分別為磨粒和工件材料的熱導(dǎo)率；re為磨粒的有效接觸半徑。

2.2 基于離散磨粒的磨削溫度解析模型

根據(jù)JAEGER［30］解決的瞬時(shí)有限長(zhǎng)度的線熱源溫度場(chǎng)問題，在有限熱導(dǎo)體有一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的線熱源瞬時(shí)發(fā)熱，其總熱流密度為qs，在發(fā)熱時(shí)間t后，任意位置處的溫度可以表示為

T（x，y，z，t）=

T0+2qscwρw（4πawt）ETexp（－（x－x0）2+（y－y0）24awt）（33）

ET=12［erf（z4awt）－erf（z－L4awt）］（34）

式中，ET為誤差因子；T0為環(huán)境溫度；aw為工件材料的熱擴(kuò)散系數(shù)；erf（p）為高斯誤差函數(shù)。

通過計(jì)算得到，當(dāng)高斯誤差函數(shù)的變量p≥1.4時(shí)，上述有限長(zhǎng)熱源溫度場(chǎng)問題就可以轉(zhuǎn)化為無線長(zhǎng)熱源問題，此時(shí)計(jì)算誤差不大于4.77%，轉(zhuǎn)化后得到的任意位置處的溫度可以表示為

T（x，y，z，t）=

T0+2qscwρw（4πawt）exp（－（x－x0）2+（y－y0）24awt）（35）

整個(gè)磨削區(qū)域可以視為有限條數(shù)的有限長(zhǎng)度線熱源的集合面。然而，考慮到砂輪表面磨粒之間的間隔使得有限長(zhǎng)熱源并不連續(xù)，需要將式（35）中的qs離散化為q（k）w，stage，其具體含義為第k個(gè)磨粒在滑擦、犁耕或切削階段流入工件的熱流密度，其中上標(biāo)k表示第k個(gè)磨粒，下標(biāo)stage表示磨粒所處的磨削階段。則任一點(diǎn)位置處的溫度可以表示為

T（x，y，z，t）=T0+2∑Nk=1q（k）w，stagecwρw（4πawt）·

exp［－（x－x（k）0）2+（y－y（k）0）2+（z－z（k）0）24awt］（36）

考慮到磨粒-工件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，將有限磨削寬度（對(duì)應(yīng)熱源長(zhǎng)度L）的瞬時(shí)離散熱源溫度場(chǎng)問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)的持續(xù)離散熱源溫度場(chǎng)問題，在dt時(shí)間后，運(yùn)動(dòng)熱源對(duì)任意點(diǎn)的溫升可以表示為

dT=T0+2∑Nk=1q（k）w，stagedtcwρw（4πawt）

exp（－14awt［（x－x（k）0－

v（k）xt）2+（y－y（k）0－v（k）yt）2+（z－z（k）0－v（k）zt）2］）

（37）

在引入時(shí)間變量后，式中因子q（k）w，stage并不能夠表示單顆磨粒在不同時(shí)間的熱流密度，因此將時(shí)間t引入熱流密度的下標(biāo)中。設(shè)定任一磨粒的起始時(shí)間為t（k）0，當(dāng)前時(shí)間為tn，公式中的積分變量dt用時(shí)間間隔Δt表示。任一磨粒在任一時(shí)刻的熱流密度可以表示為q（k）tn－t0－nΔt，同理可獲得磨粒在x，y、z方向上移動(dòng)距離，分別表示為v（k）xnΔt，v（k）ynΔt，v（k）znΔt，則砂輪-工件接觸區(qū)域的三維溫度場(chǎng)可以表示為

T（x，y，z，t）=∑Nk=1∑（tn－t（k）0）/Δtn=j（k）2q（k）tn－t0－nΔtΔtcwρw［4πaw（tn－t0－nΔt）］·

exp（－14aw（tn－t0－nΔt）［（x－x（k）0－Δtnv（k）x）2+

（y－y（k）0－v（k）ynΔt）2+（z－z（k）0－v（k）znΔt）2

］）（38）

當(dāng)plt;1.4時(shí)，只需將上式乘以誤差因子ET（式（34））即可。

3 面齒輪磨削溫度預(yù)測(cè)及驗(yàn)證

3.1 面齒輪磨削溫度場(chǎng)的預(yù)測(cè)

在面齒輪展成磨削過程中，除了砂輪線速度vs、進(jìn)給速度vw、切削深度ap等基本參數(shù)外，砂輪擺角也對(duì)面齒輪齒面完整性具有重要影響［31］。在工藝參數(shù)ap=0.03 mm，vs=25 m/s， vw=1.2 m/s， 砂輪擺角Δφs的取值為0.5°的加工條件下，應(yīng)用上述提出的溫度場(chǎng)仿真模型計(jì)算面齒輪展成磨削的溫度場(chǎng)。面齒輪的設(shè)計(jì)參數(shù)和砂輪參數(shù)如表1和表2所示。

基于離散磨粒的面齒輪溫度場(chǎng)預(yù)測(cè)模型的計(jì)算流程如圖8所示。首先，建立包含磨粒形狀、尺寸和位置等要素的砂輪形貌模型［18］，然后根據(jù)式（8）～式（14）得到磨削接觸區(qū)域內(nèi)的磨粒未變形切削深度，確定磨粒所處的磨削階段（滑擦、犁耕和切削），計(jì)算得到磨粒-工件接觸階段的總熱流密度（滑擦（式（15）～式（17）， 式（29））；犁耕（式（18）～式（25），式（29））；切削（式（26）～式（28），式（29））。由式（30）～式（32）分別計(jì)算得到各階段進(jìn)入工件的熱流密度，然后代入式（38），得到砂輪-工件接觸區(qū)域內(nèi)所有磨粒在時(shí)間域內(nèi)的磨削溫度場(chǎng)。

為了更加直觀地展現(xiàn)齒面磨削溫度場(chǎng)的數(shù)值和分布特點(diǎn)，在t=152 μs的同一時(shí)域內(nèi)，將各齒面點(diǎn)的磨削溫度場(chǎng)繪制在同一溫度等高線圖上，如圖9a～圖9d所示。

圖9a所示為整個(gè)齒面的磨削溫度場(chǎng)，圖9b～圖9d所示為面積為0.4 mm×0.4 mm的局部溫度場(chǎng)。由圖9a可知，齒面整體磨削溫度場(chǎng)沿著每條磨削軌跡分布，并呈現(xiàn)帶狀分布。從磨削溫度值來說，齒頂（Z=6.75位置）區(qū)域的磨削溫度較低，齒根（Z=0位置）區(qū)域的磨削溫度較高；在同一齒面高度（Z軸）下，靠近內(nèi)徑（X=43 mm位置）區(qū)域的磨削溫度高，靠近外徑（X=47 mm位置）區(qū)域的磨削溫度低。

由圖9b～圖9d可以看出，溫度場(chǎng)的高溫?cái)?shù)值分布在產(chǎn)形面上，低溫?cái)?shù)值分布在相鄰產(chǎn)形面之間，且高溫等高線圖和低溫等高線圖均有非線性、離散性和局部拓?fù)鋮^(qū)域封閉性的特點(diǎn)。其中，磨削溫度場(chǎng)的非線性特點(diǎn)是由面齒輪加工過程的非線性導(dǎo)致的；磨削溫度場(chǎng)的離散性特點(diǎn)是由砂輪磨粒的離散效應(yīng)引起的；磨削溫度場(chǎng)的局部封閉性是由磨削過程單個(gè)熱源的可疊加性決定的。

3.2 面齒輪磨削溫度測(cè)量實(shí)驗(yàn)

根據(jù)K型鎧裝熱電偶的使用要求以及齒面的幾何特征，采用預(yù)埋熱電偶的方法測(cè)量磨削溫度：將熱電阻測(cè)溫點(diǎn)布置到距離磨削點(diǎn)垂直距離為0.3 mm和0.1 mm的位置。為了嚴(yán)格控制熱電偶的測(cè)溫位置，由面齒輪的齒面方程計(jì)算得到輪齒任意點(diǎn)的熱電偶測(cè)溫位置（XK，YK，ZK），可以表示為

XKYKZK=

－rbs［sin φ2（sin ξs－θcos ξs）+cos φ2m2scos ξs］－Dsin φ2cos ξs

－rbs（cos ξs+θsin ξs）+Dsin ξs

rbs［cos φ2（sin ξs－θcos ξs）－sin φ2m2scos ξs］+Dcos φ2cos ξs（39）

式中，D為測(cè)溫點(diǎn)到齒面的垂直距離，分別取值0.3 mm和0.1 mm。

為了研究不同磨削條件下齒面溫度場(chǎng)的變化規(guī)律，對(duì)齒面進(jìn)行了網(wǎng)格劃分。圖10中Ai（i = 1， 2， 3，4，5）表示齒面網(wǎng)格的五個(gè)交點(diǎn)。面齒輪的磨削工藝參數(shù)如表3所示。

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)條件，在Makino V33-5XB加工中心開展面齒輪的測(cè)溫實(shí)驗(yàn)。面齒輪與砂輪設(shè)計(jì)參數(shù)分別見表1與表2，工件的熱學(xué)性能參數(shù)如表4所示，實(shí)驗(yàn)過程如圖11所示。

3.3 結(jié)果對(duì)比及分析

采用控制變量法進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)條件與表3相同。在磨削過程中，溫度信號(hào)的采樣頻率為900 Hz，每組磨削參數(shù)開展6次磨削實(shí)驗(yàn)，最終得到4組有效數(shù)據(jù)。圖12所示為計(jì)算和測(cè)量結(jié)果，并基于計(jì)算結(jié)果繪制了齒面以下溫度隨深度的變化趨勢(shì)。

由圖12a，圖12c和圖12d可得，在其他加工

條件不變的情況下，隨著磨削深度、砂輪速度和分度角的增大，不僅磨削溫度升高，而且溫度變化率也增大。由圖12b可以看出，隨著進(jìn)給速度的增大，磨削溫度整體降低，但溫度變化率增大。由圖12e可以看出，隨著磨削位置從齒頂?shù)烬X根位置變化，齒面整體溫度和溫度變化率均減小。

表5表明，仿真結(jié)果與測(cè)量結(jié)果相一致，誤差為-6.94%～9.29%，驗(yàn)證了面齒輪展成磨削溫度場(chǎng)預(yù)測(cè)方法的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

考慮砂輪磨粒的離散特性，提出了一種磨削溫度預(yù)測(cè)方法，用于預(yù)測(cè)具有豐富細(xì)節(jié)化信息的磨削溫度場(chǎng)，甚至可以達(dá)到磨粒尺寸的微觀尺度。將熱流密度的建模與不同磨削階段（滑擦、犁耕和切削）的磨削力建模相統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)了具有微觀尺度細(xì)節(jié)的磨削區(qū)溫度的理論推導(dǎo)。將此方法應(yīng)用于面齒輪的展成磨削溫度預(yù)測(cè)，驗(yàn)證了所提方法的有效性，可以得到以下結(jié)論：

（1）面齒輪的磨削溫度場(chǎng)具有非線性、離散性和局部拓?fù)鋮^(qū)域封閉性的特點(diǎn)。磨削溫度場(chǎng)的非線性特點(diǎn)是面齒輪加工過程的非線性導(dǎo)致的；磨削溫度場(chǎng)的離散性特點(diǎn)是由砂輪磨粒的離散效應(yīng)引起的；磨削溫度場(chǎng)的局部封閉性是由磨削過程單個(gè)熱源的可疊加性決定的。

（2）根據(jù)面齒輪的磨削溫度測(cè)量實(shí)驗(yàn)，得到面齒輪的預(yù)測(cè)溫度與熱電偶測(cè)量結(jié)果高度吻合，誤差為-6.94%～9.29%。此外，本文提出的利用熱電偶間接測(cè)量磨削溫度的驗(yàn)證方法為齒輪展成磨削溫度的測(cè)量提供了參考。

（3）相同磨削工藝參數(shù)，齒面不同磨削位置的溫度場(chǎng)并不相同。其中，齒根溫度場(chǎng)最高溫度最大，其次是齒中，最后是齒頂。這種溫度分布的差異直接說明在進(jìn)行磨削工藝規(guī)劃時(shí)，應(yīng)根據(jù)齒面不同位置的溫度分布選擇合理的工藝參數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

［1］ GONZALEZ-SANTANDER J L， FERNANDEZ R， MARTIN G， et al. A Useful Analytical Formula to Avoid Thermal Damage in the Adaptive Control of Dry Surface Grinding［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2016， 117：152-161.

［2］ 李曉強(qiáng)， 戴士杰， 張慧博. 基于環(huán)形非均勻熱源的磨削溫度場(chǎng)建模與實(shí)驗(yàn)研究［J］. 表面技術(shù)， 2020， 49（5）：1-11.

LI Xiaoqiang， DAI Shijie， ZHANG Huibo. Modeling and Experimental Study on Grinding Temperature Field Based on Annular Non-uniform Heat Source［J］. Surface Technology， 2020， 49（5）：1-11.

［3］ HAHN R S. On the Nature of the Grinding Process［C］∥Proceedings of the 3rd Machine Tool Design and Research Conference， Advances in Machine Tool Design and Research. London， 1962：129-154.

［4］ ROWE W B. Temperature Case Studies in Grinding Including an Inclined Heat Source Model［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part B：Journal of Engineering Manufacture， 2001， 215（4）：473-91.

［5］ ROWE W B， JIN T. Temperatures in High Efficiency Deep Grinding（HEDG）［J］. CIRP Annals—Manufacturing Technology， 2001， 50（1）：205-208.

［6］ ROWE W B. Thermal Analysis of High Efficiency Deep Grinding［J］. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2001，41（1）：1-19.

［7］ JIN T， CAI G Q. Analytical Thermal Models of Oblique Moving Heat Source for Deep Grinding and Cutting［J］. Journal of Manufacturing Science and Engineering， 2001，123（2）：185-190.

［8］ DESRUISSEAUX N R， ZERKLE R D. Temperature in Semi-infinite and Cylindrical Bodies Subjected to Moving Heat Sources and Surface Cooling［J］. Journal of Heat Transfer， 1970，92（3）：456-464.

［9］ LAVINE A S， JEN T C. Thermal Aspects of Grinding：Heat Transfer to Workpiece， Wheel， and Fluid［J］. Journal of Heat Transfer， 1991， 113（2）：296-303.

［10］ ROWE W B. Principles of Modern Grinding Technology［M］.New York：William Andrew Publishing， 2009.

［11］ MALKIN S， COOK N H. The Wear of Grinding Wheels：Part 2-Fracture Wear［J］. Journal of Industrial Engineering International， 1971， 93（4）：1129-1133.

［12］ WANG Y Z， CHU X M， HUANG Y Z， et al. Surface Residual Stress Distribution for Face Gear under Grinding with a Long-radius Disk Wheel［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2019， 159（1）：260-266.

［13］ 李灣， 李學(xué)坤， 明瑞， 等. 面齒輪磨削力建模與工藝影響分析［J］. 機(jī)械與電子， 2021， 39（7）：3-9.

LI Wan， LI Xuekun， MING Rui， et al. Modeling and Processing Analysis of Grinding Force of Face Gear［J］. Machinery and Electronics， 2021， 39（7）：3-9.

［14］ GUO H， WANG X Y， ZHAO N， et al. Simulation Analysis and Experiment of Instantaneous Temperature Field for Grinding Face Gear with a Grinding Worm［J］. International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2022， 120（7）：4989-5001.

［15］ JERMOLAJEV S， BRINKSMEIER E， HEINZEL C. Surface Layer Modification Charts for Gear Grinding［J］. CIRP Annals， 2018， 67：333-336.

［16］ JIN T， YI J， LI P. Temperature Distributions in Form Grinding of Involute Gears［J］. International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2017， 88：2609-2620.

［17］ 易軍， 龔志鋒， 易濤，等. 齒根過渡圓弧對(duì)全齒槽成形磨削溫度和殘余應(yīng)力影響的研究［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2022， 33（11）：1278-1286.

YI Jun， GONG Zhifeng， YI Tao， et al. Study on the Influence of Tooth Root Transition Arc on the Temperature and Residual Stress of Full Tooth Slot Forming Grinding［J］. China Mechanical Engineering， 2022， 33（11）：1278-1286.

［18］ MA X F， CAI Z Q， YAO B， et al. Dynamic Grinding Force Model for Face Gear Based on the Wheel-gear Contact Geometry［J］. Journal of Materials Processing Technology， 2022， 306：117633.

［19］ LI C， LI X L， WU Y Q， et al. Deformation Mechanism and Force Modelling of the Grinding of YAG Single Crystals［J］， International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2019， 143：23-37.

［20］ HOU Z B， KOMANDURI R. On the Mechanics of the Grinding Process—Part I. Stochastic Nature of the Grinding Process［J］. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2003， 43（15）：1579-1593.

［21］ GHOSH S， CHATTOPADHYAY A， PAUL S. Modelling of Specific Energy Requirement during High-efficiency Deep Grinding［J］. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2008， 48（11）：1242-1253.

［22］ SINGH V， RAO P V， GHOSH S. Development of Specific Grinding Energy Model［J］. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2012， 60：1-13.

［23］ TANG J Y， DU J， CHEN Y. Modeling and Experimental Study of Grinding Forces in Surface Grinding［J］. Journal of Materials Processing Technology， 2009， 209（6）：2847-2854.

［24］ 謝桂芝， 尚振濤， 盛曉敏， 等. 工程陶瓷高速深磨磨削力模型的研究［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2011， 47（11）：169-176.

XIE Guizhi， SHANG Zhentao， SHENG Xiaoming， et al. Grinding Force Modeling for High-speed Deep Grinding of Engineering Ceramics［J］. Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2011， 47（11）：169-176.

［25］ CAI S J， YAO B， ZHENG Q， et al. Dynamic Grinding Force Model for Carbide Insert Peripheral Grinding Based on Grain Element Method［J］. Journal of Manufacturing Processes， 2020， 58：1200-1210.

［26］ WEN Shizhu， HUANG Ping. Principles of Tribology［M］. Singapore：John Wiley amp; Sons， 2012：225-251.

［27］ POPOV V L. Contact Mechanics and Friction［M］. Berlin：Springer， 2010：301-303.

［28］ POPOV V L， HEBE M. Method of Dimensionality Reduction in Contact Mechanics and Friction［M］. Berlin：Springer， 2015：115-130.

［29］ MARINESCU I D， HITCHINER M P， UHLMANN E， et al. Handbook of Machining with Grinding Wheels［M］.Boca Raton：CRC Press， 2006.

［30］ JAEGER J G. Moving Sources of Heat and the Temperature of Sliding Contacts［J］. Journal and Procedings—Royal Society of New South Wales， 1942， 76：203-224.

［31］ 郭輝， 趙寧， 張淑艷. 基于碟形砂輪磨齒的面齒輪包絡(luò)殘差研究［J］. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào)， 2014， 29（11）：2743-2750.

GUO Hui， ZHAO Ning， ZHANG Shuyan. Envelope Residuals Research of Face Gear Based on Disc Grinding Wheel Tooth Grinding［J］. Journal of Aerospace Power， 2014， 29（11）：2743-2750.

（編輯 王艷麗）

作者簡(jiǎn)介：

馬曉帆，男，1992年生，博士、講師。研究方向?yàn)閭鲃?dòng)部件加工表面完整性預(yù)測(cè)及控制。E-mail：xmumaxiaofan@163.com。

姚 斌（通信作者），男，1963年生，教授、博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)閺?fù)雜曲面成形原理與齒輪嚙合傳動(dòng)理論。E-mail：yaobin@xmu.edu.cn。