摘"要：兩個重要極限是微積分學中的基礎(chǔ)概念，它們在數(shù)學分析和實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。首先，探討第一個重要極限的意義，利用夾逼定理給出第一個重要極限的證明方法。其次，探討第二個重要極限的價值，主要利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限和夾逼定理給出第二個重要極限的證明方法；探討主要變式并給出證明；探討主要變式之間的共同特征。最后，探討兩個重要極限在三個方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：第一個重要極限"第二個重要極限"0/0未定型"1∞未定型

中圖分類號：O172

ExplorationofTwoImportantLimitsandTheirApplicationsCHENYanMinjiangTeachersCollege，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujianProvince，350108China

Abstract：TwoimportantlimitsarethebasicconceptsinCalculus，andtheyarewidelyusedinmathematicalanalysisandpracticalapplications.Firstofall，thesignificanceofthefirstimportantlimitisdiscussed，andtheproofmethodofthefirstimportantlimitisgivenbyusingthesqueeze"theorem.Secondly，thevalueofthesecondimportantlimitisdiscussed，theproofmethodofthesecondimportantlimitisgivenbyusingthemonotoneboundedsequenceboundlimitandthesqueezetheorem;Themainvariantsarediscussedandproved;Thecommoncharacteristicsofthemainvariantsarediscussed.Finally，theapplicationsoftwoimportantlimitsarediscussedinthreeaspects.

KeyWords：Thefirstimportantlimit;Thesecondimportantlimit;0/0undefined;1∞undefined

在數(shù)學中，極限是一個重要的概念，用于描述函數(shù)或數(shù)列趨向于某個值的過程。兩個重要極限是微積分學中的基礎(chǔ)概念，它們在數(shù)學分析和實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。例如：在物理學中，它們可以用來描述物體的運動現(xiàn)象；在經(jīng)濟學中，它們可以用來解決復(fù)利計算等問題。本文將詳細探討這兩個重要極限的意義和證明方法，最后給出這兩個重要極限的一些應(yīng)用。

1"第一個重要極限：

第一個重要極限在微積分中非常基礎(chǔ)且重要，它揭示了正弦函數(shù)和它的角度之間的一種關(guān)系。證明這個極限值的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)的性質(zhì)和夾逼定理。第一個重要極限的幾何意義就是正弦函數(shù)在原點處的斜率。下面先敘述一個定理，然后再證明。

夾逼定理：若對于∈或時，有，且，則。

現(xiàn)證明第一個重要極限。

證明：取一個半徑為1的單位圓，表示以弧度計的圓心角，設(shè)（如圖1所示），因為扇形的面積大于△的面積而小于△的面積（為該圓在點的切線），所以有，各式同除以正值，得，即。

（1）下面證明（）"。

證明：因為，且，所以由夾逼定理推得可知，又因為，所以再次運用夾逼定理即可得

（2）上面證明是在的假設(shè)下進行的，對于取負值的情形證明如下。

證明：取一個半徑為1的單位圓，表示以弧度計的圓心角，設(shè)，因為扇形的面積大于△的面積而小于△的面積（為該圓在點的切線），所以有，再由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及不等式性質(zhì)等價變形，得，各式同除以負值，得，即。最后由夾逼定理同理可得：

綜上，由式（1）、式（2）成立可得第一個重要極限得證。

第一個重要極限還有一個重要的變式：，運用極限的四則運算法則即可得證。

第一個重要極限還可以進一步推廣當趨于常數(shù)時的情形，即，可令，進行換元等價變形后即可得證。

小結(jié)：認真觀察、、，可以發(fā)現(xiàn)以下幾個特點：

（1）極限式子中都含有三角函數(shù)；（2）極限式子中函數(shù)的變量可以是趨于0，也可以是趨于某個常數(shù)，但是它們的極限都等于常數(shù)1；（3）極限式子外在形式不同，但是本質(zhì)屬性相同，都屬于含有三角函數(shù)的未定型——0/0。

2第二個重要極限：

第二個重要極限在數(shù)學和物理學中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在概率論和復(fù)利計算中。證明這個極限的關(guān)鍵在于利用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及單調(diào)有界原理。下面先敘述一個定理，然后再證明。

定理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

這個定理在幾何上是很顯然的，例如單調(diào)增而有界數(shù)列，當增大時它對應(yīng)在數(shù)軸上的點不會向左移動，而又不會超過某一定點，所以當無限增大時，點就會聚集在某一定點附近，即可以任意地?。ㄍ瑯涌山忉寙握{(diào)遞減而有界數(shù)列）。

下面證明數(shù)列的極限存在。

證明：因為由

由此可知，的前項不小于的相應(yīng)項，而且比的展開式還多一個正項，所以，因此是單調(diào)遞增數(shù)列。此外，由的展開式可得

所以是有界數(shù)列。

綜上所述，是單調(diào)有界數(shù)列，因此極限存在，通常用字母來表示它，即

同時還可以證明，函數(shù)當時，有極限，且。

下面證明：。

證明：設(shè)，則，且和同時趨于，因為

應(yīng)用夾逼準則，即得。

證明：令，則當時，.從而

由（1）（2）可得。

第二個重要極限有一個重要變式，即

下面證明：

證明：令，則當時，，從而

小結(jié)：通過觀察、、這幾個在第二個重要極限推導(dǎo)過程中得到的公式，可以發(fā)現(xiàn)它們有幾個特點：（1）極限式子中函數(shù)的變量可以是自然數(shù)也可以是實數(shù)，但是它們的極限都等于常數(shù)；（2）盡管極限式子中的函數(shù)的變量趨向不同，但是底數(shù)都是“1+0”的形式；（3）極限式子中的函數(shù)的指數(shù)部分的極限值為，且與底數(shù)第二個加數(shù)互為倒數(shù)；（4）極限式子外在形式不同，但是本質(zhì)屬性相同，都屬于同一個未定型——。

此外，利用換元法還可以在重要變式（3）的基礎(chǔ)上，進一步得到第二個重要極限更為一般的變式，即：當時，有，則

或當時，有，則

3""兩個重要極限應(yīng)用探討

下面通過極限計算、理論證明以及解決實際問題這三個方面的應(yīng)用探討，幫助大家大致了解兩個重要極限在數(shù)學中的重要地位和作用。

3.1"探討一：利用兩個重要極限公式計算函數(shù)的極限

例1"求

解法一：當趨于0時，趨于0，趨于0，確定是0/0型未定式且含三角函數(shù)可以考慮用第一個重要極限，不能直接應(yīng)用第一個重要極限，可用換元法，令，令，當趨于0時，且，于是得

解法二：當趨于0時，趨于0，趨于0，確定是0/0型未定式且含三角函數(shù)，可以考慮用第一個重要極限的推廣，即直接用等價無窮小進行因式替換，由于當時，～，～，得

例2"求

解法一：先等價變形成1∞型的未定式，再運用第二個重要極限的變式（3）求解。

解法二：對1∞型的未定式指數(shù)進行等價變形時，可以巧妙利用“1”的兩個特性：進行求解。

注意：解法二中巧妙利用“1”對1∞型的未定式指數(shù)進行等價變形，可以形成模式化，對于越復(fù)雜的冪指函數(shù)使用這個方法就越簡便。等價變形如下所示：

3.2"探討二：兩個重要極限在理論推導(dǎo)方面的應(yīng)用

16個基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式中三角函數(shù)占10個。10個三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式中，和的導(dǎo)數(shù)是推導(dǎo)其他三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的重要基礎(chǔ)。而要推導(dǎo)和的導(dǎo)數(shù)，都要用到第一個重要極限。此外，和的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)都要用到第二個重要極限。16個基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式再加上求導(dǎo)法則，就可以實現(xiàn)對所有的初等函數(shù)進行求導(dǎo)。進而就有了洛必達法則，可以用來解決形如00、1∞以及0/0、∞0等未定型的極限。而兩個重要極限就是0/0和1∞未定型的特殊情況。此外，要注意不能利用洛必達法則證明兩個重要極限，這樣會犯循環(huán)論證的錯誤。

3.3"探討三：重要極限公式在解釋、解決現(xiàn)實世界現(xiàn)象和問題方面的簡單應(yīng)用

第二個重要極限可以用來解釋、解決現(xiàn)實世界中存在的許多現(xiàn)象和問題。例如，細胞繁殖、放射性衰變、人口增長、存款復(fù)利計算等消亡與生長同時并存的現(xiàn)象和問題。下面以銀行連續(xù)復(fù)利和的計算為例進行說明。

假設(shè)某人在中國銀行有一筆存款，本金為，年利率為，一年過后本利和為，，年過后本利和為。如果一年分次計算利息，年利率仍然保持不變，則每期利率為，一年過后本利和為，年過后本利和為。若一年計算利息期數(shù)，則上述公式就成為連續(xù)復(fù)利和公式。年過后的連續(xù)復(fù)利和為

通過分析上面的連續(xù)復(fù)利和計算公式，可以看出隨著年頭的增長所得的本利和越大，但是不超過這個上限。因此，第二個重要極限可以用來解決銀行連續(xù)復(fù)利和的計算和近似估計。

4"結(jié)語

兩個重要極限是微積分學中的基礎(chǔ)概念，它們在數(shù)學分析和實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。文章通過探討兩個重要極限的意義和證明方法等過程，幫助人們更好地理解并掌握兩個重要極限的特征、變式以及推廣。另外，給出這兩個重要極限在極限計算、理論證明以及生活實際中的應(yīng)用，幫助人們更好地理解兩個重要極限的地位和價值。

參考文獻

[1]吳順唐.數(shù)學分析（上冊）[M].南京：南京大學出版社，2022：43-46.

[2]同濟大學數(shù)學科學學院.高等數(shù)學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2023：47-49.

[3]張創(chuàng)源，青君.等價替換在1∞型極限中的應(yīng)用[J].南方職業(yè)教育學刊，2020（2）：95-98.

[4]韋慧，倪晉波.高等數(shù)學中函數(shù)極限計算的幾種方法[J].安陽工學院學報，2023（2）：93-96.

[5]張傳芳，楊春玲.關(guān)于一類1∞型未定式的極限問題[J].牡丹江師范學院學報（自然科學版），2024（2）：75-76，80.

[6]同濟大學數(shù)學科學學院.高等數(shù)學習題全解指導(dǎo)（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2023：38-45.

[7]王麗麗.洛必達法則在解析求極限類問題中的應(yīng)用[J].河南工程學院學報（自然科學版），2022（1）：76-80.

[8]張茜，李巧俠.MATLAB在高等數(shù)學課堂教學中的應(yīng)用分析[J].創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)理論研究與實踐，2021（9）：12-14.

[9]賈俊晶，張超.近十年考研數(shù)學三的極限計算試題分析[J].高等數(shù)學研究，2023（6）：24-28.