摘要：為揭示混沌的生成機理，探討了強迫Lorenz模型混沌行為的力學機制。將強迫Lorenz模型轉化成柯爾莫哥洛夫系統(tǒng)，把系統(tǒng)的力矩分解成慣性力矩，耗散力矩和外力矩。分析各種力矩耦合模式對系統(tǒng)動力學行為的影響，從中揭示系統(tǒng)生成混沌的力學機理。研究表明只有耗散因素，驅(qū)動因素和內(nèi)能都存在的全力矩模式下，并且驅(qū)動因素和耗散因素相匹配時強迫Lorenz系統(tǒng)才能產(chǎn)生混沌。構造卡西米爾函數(shù)進行全局穩(wěn)定性分析，估計強迫Lorenz模型吸引子的邊界。

關鍵詞：混沌; 柯爾莫哥洛夫系統(tǒng); 力學機理; 卡西米爾函數(shù)

中圖分類號： O175.14； O241.81文獻標識碼： A

收稿日期：2023-05-05；修回日期：2023-06-07

基金項目：國家自然科學基金（11572146）

第一作者：王賀元（1963-），男，遼寧黑山人，博士，教授，主要研究方向為非線性系統(tǒng)。

Mechanical Mechanism Analysis of Forced Lorenz Model

WANG Heyuan^1，2，CHEN Xiangting²

（1.College of General Education， Guangdong University of Science and Technology， Dongguan 523083，China; 2.College of Mathematics and Systematics Sciences， Shenyang Normal University，Shenyang 110034，China）

Abstract：In order to reveal the generation mechanism of chaos， the mechanical mechanism of forced Lorenz model is discussed. The forced Lorenz model is transformed into Kolmogorov system， and the torques of the system are decomposed into inertial torques， dissipative torques and external torques. The effects of various torque coupling modes on the System dynamics behavior are analyzed to reveal the mechanism of chaos generation. It is shown that only when the dissipation factor， the driving factor and the internal energy exist in the full moment mode， and the driving factor and the dissipation factor match， the forced Lorenz system can produce chaos. The global stability of the forced Lorenz model is analyzed by constructing the Casimir function， and the boundary of the attractor of the forced Lorenz model is estimated.

Keywords： chaos; Kolmogorov system; mechanical mechanism；Casimir function

0 引言

混沌學領域重要的數(shù)學模型-Lorenz系統(tǒng)于1963年被美國學者洛倫茲^[1]提出，這個通過截譜方法對Rayleigh-Bénard對流問題的數(shù)學模型截斷得到的Lorenz方程組對混沌領域的開拓和發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響。經(jīng)典Lorenz模型的提出揭示了一系列混沌系統(tǒng)的運動特征，并發(fā)現(xiàn)了第一個奇怪吸引子，而截譜方法的應用也為研究無限維非線性系統(tǒng)開辟了道路^[1-9]。通過分析經(jīng)典Lorenz模型的截斷方法，許多高維或無窮維的物理問題也可以截斷出對應的Lorenz模型或類Lorenz模型。例如添加外強迫項后形成的受外強迫的Lorenz模型^[2]，通過對旋轉Rayleigh-Bénard問題的模型截斷得出的旋轉Rayleigh-Bénard問題的Lorenz模型^[3-5]，截斷不可壓縮的Navier-Stokes方程得出的有限維類Lorenz模型^[6-9]，與經(jīng)典Lorenz模型形態(tài)相似但不拓撲等價的Chen系統(tǒng)^[10]、Lü系統(tǒng)^[11]等。深入研究這些Lorenz模型或類Lorenz模型將推動混沌學領域乃至非線性動力學的發(fā)展。

強迫Lorenz模型的應用場景更為廣泛，經(jīng)典Lorenz模型具有極強的初值敏感性，該系統(tǒng)吸引子在x－y面上概率密度函數(shù)所具有的雙峰結構可以對應許多天氣變化情況^[12]，但實際應用中并不是所有的氣候變化都是雙峰結構。而受外強迫的Lorenz模型是在經(jīng)典Lorenz模型的基礎上引入了外強迫項，外強迫項的加入降低了系統(tǒng)的初值敏感性，也降低了應用該系統(tǒng)分析氣候變化的難度，擴寬了Lorenz系統(tǒng)的應用領域。對強迫Lorenz系統(tǒng)的數(shù)值模擬結果可以應用到大氣可預報性的研究中^[13-18]。解析外強迫的Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的關鍵因素將為氣候預報提供更多理論支撐。對受外強迫Lorenz模型的研究的應用前景也十分廣泛，例如外強迫項可以是海表溫度，此時受外強迫的Lorenz方程就可以用來分析季風及季風降水的年際變化。

以往對Lorenz模型或類Lorenz模型的研究工作大都側重于從穩(wěn)定性和分岔理論開展研究，主要是利用分岔理論來解釋和分析系統(tǒng)的動力學行為及其混沌演化過程等，而對截斷模型的物理背景、物理意義以及混沌的生成機理等問題很少有文獻涉及，諸如能量的演化，內(nèi)能，耗散和外力等相互轉化和物理意義等問題幾乎無人關注。因此探討類Lorenz模型混沌的生成機理及其物理意義等相關問題是非常有意義和具有挑戰(zhàn)性的。國內(nèi)外一些學者已開始從力學角度探討系統(tǒng)生成混沌的基本機理。Pasini和 Pelino^[19]對Lorenz系統(tǒng)進行了研究，并給出了統(tǒng)一的柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov）洛倫茨系統(tǒng)；齊和梁^[20]將混沌系統(tǒng)轉換成Kolmogorov形系統(tǒng)，進行力的分析，解釋角動量的混沌狀態(tài)，討論能量循環(huán)，研究了齊四翼混沌系統(tǒng)的力學機理與能量轉換，通過與Kolmogorov系統(tǒng)和歐拉方程的比較，把四翼混沌系統(tǒng)的矢量場分解為慣性力矩、內(nèi)力矩、耗散和外力矩來探討產(chǎn)生混沌的基本因素，通過力矩耦合分析研究了四翼混沌吸引子不同類型力矩的功能和作用以及產(chǎn)生不同類型動力學模式的關鍵因素，利用Lie-Poisson括號揭示哈密頓能，動能與勢能的相互轉換；借助擴展的Kolmogorov系統(tǒng)，Pelino等^[20]研究了洛倫茲系統(tǒng)的能量轉換；王^[21]討論了Couette-Taylor問題的力學機理和能量轉換問題，這些研究工作可參閱具體文獻^[19-25]?；谶@些工作本文研究強迫Lorenz模型混沌行為的力學機理和物理意義?；煦缦到y(tǒng)的奇怪吸引子是非常復雜和難于計算的，通過引入卡西米爾函數(shù)，估計了奇怪吸引子的邊界。

1 強迫Lorenz模型產(chǎn)生混沌的力學機理分析及仿真

非線性系統(tǒng)的各項一般都具有其物理意義，各項之間存在著內(nèi)在聯(lián)系，按非線性系統(tǒng)各項相互作用直接分析系統(tǒng)混沌的成因較為困難，所以將混沌系統(tǒng)轉化成Kolmogorov形式的系統(tǒng)以實現(xiàn)力矩的分離^[23-25]，從而把系統(tǒng)的矢量場從復雜的物理量轉變?yōu)?種力矩。力矩之間不同的耦合，代表了系統(tǒng)不同的動力模式。解析不同動力模式對于系統(tǒng)動力學行為產(chǎn)生的影響就是在解析系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的力學機理。

通過數(shù)值模擬可以得出當F≤1.61時系統(tǒng)（3）存在混沌吸引子，如圖6所示。由情形1，2，3可知，當系統(tǒng)缺少外力矩時，系統(tǒng)解趨向于平衡點O。由情形4可知，當系統(tǒng)缺少耗散力矩時，系統(tǒng)解無限增長。因此，外力和耗散的耦合是系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件。但當外力矩和耗散力矩不匹配時，耗散不足以保證系統(tǒng)的能量衰減。因此，外力和耗散是系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的基本因素，但是外力和耗散簡單的耦合并不總使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌。數(shù)值模擬顯示當F=3.5時系統(tǒng)的全局吸引子圖像7，是平衡點，而非奇怪吸引子。只有當外強迫項滿足－1.61lt;Flt;1.61時，即驅(qū)動因素和耗散因素相匹配時，系統(tǒng)（3）才可能產(chǎn)生混沌（如圖6）。數(shù)值模擬結果顯示（圖8），此時動能的波峰對應勢能的波谷，說明兩種能量相互轉化。

1.2 強迫Lorenz模型的全局穩(wěn)定性及混沌吸引子的邊界

卡西米爾函數(shù)在分析動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件和全局描述時是非常有用的。如果非線性系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的，其系統(tǒng)解的軌線在增長的同時也在不斷地折疊，因此，研究混沌系統(tǒng)解的邊界性質(zhì)是至關重要的。構造一個卡西米爾函數(shù)^[26]，通過對卡西米爾函數(shù)的運算可以得到外強迫的Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子的邊界。卡西米爾函數(shù)的引入，不僅可以確定混沌系統(tǒng)的有界性，同時借助Casimir函數(shù)也可以揭示能量轉化、平衡點間的距離和軌線三者之間的關系。

卡西米爾函數(shù)由Lie-Poisson結構定義，即：

則在Lie-poisson括號下卡西米爾函數(shù)與每個函數(shù)可交換，對于系統(tǒng)（3），卡西米爾函數(shù)定義為：

其中，Ξ₀為R³中的橢球，在Ξ₀表面上=0，因此C（t）的所有極值點都在Ξ₀表面上。當系統(tǒng)（3）的軌線進入到Ξ₀內(nèi)部時，gt;0，卡西米爾函數(shù)增加直到=0達到最大值；當系統(tǒng)（3）的軌線從內(nèi)部移出時，lt;0，因此卡西米爾函數(shù)下降到=0達到極小值。系統(tǒng)（3）的3個平衡點均位于Ξ₀的表面，下面估計混沌吸引子的邊界。

定理1 卡西米爾函數(shù)被限制在式（12）的集合內(nèi)

定理1給出了受外強迫的Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子邊界的精確估計，通過數(shù)值模擬得出卡西米爾函數(shù)的值如圖9所示。函數(shù)C（t）以（σ+r）²/2+1/2σF/b－2σ²+1/2F/2－b²為上界振蕩，混沌吸引子被包圍在邊界球內(nèi)，如圖10所示。

為討論卡西米爾函數(shù)與平衡點P_±之間的關系，定義距離D₁（t），D₂（t）表示系統(tǒng)（3）解的軌道與平衡點P_±之間的關系：

D₁（t）=X（t）－P₊，D₂（t）=X（t）－P_-

為突出D₁（t），D₂（t）和卡西米爾函數(shù)之間的關系，放大距離的振幅后進行數(shù)值模擬。當軌線同時接近平衡點P_±時，卡西米爾函數(shù)達到最小值，當軌線遠離P₊或P_-時，卡西米爾函數(shù)達到最大值。在圖11（實線是卡西米爾函數(shù)，虛線是D₁（t），D₂（t））中，卡西米爾函數(shù)與D₁（t），D₂（t）之和的關系更加緊密，他們有同樣的上升和下降趨勢，也幾乎在同一時間到達極值點。

當系統(tǒng)（3）的外強迫項增大（F增大）時，系統(tǒng)（3）的動能增加，如圖12。外力矩主要影響動能，隨著外力矩的增大動能在不斷增加，最終導致失穩(wěn)而出現(xiàn)混沌。根據(jù)以上理論分析和數(shù)值模擬結果可知，當σ=10，r=28，b=8/3，F(xiàn)gt;1.61時，系統(tǒng)（3）是穩(wěn)定的。當σ=10，r=28，b=8/3，F(xiàn)lt;1.61時，系統(tǒng)（3）發(fā)生混沌，軌線趨于P_±，在P₊和P_-之間跳躍。距離D₁（t）與D₂（t）的和隨著F的增大而遞增，卡西米爾函數(shù)從最小值逐漸增加，動能的變化趨勢與卡西米爾函數(shù)相同。

2 結論

本文從力學角度研究分析了強迫Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的力學機制。通過理論分析和數(shù)值仿真相結合的方法，揭示了受外強迫的Lorenz系統(tǒng)生成混沌的力學機制和物理意義。討論了受外強迫的Lorenz系統(tǒng)作為Kolmogorov系統(tǒng)的力學和物理意義，解析了該系統(tǒng)的4種類型的力矩，研究了各個類型力矩之間的耦合情況，討論了受外強迫的Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的關鍵因素。在情形1中，系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，Hamiltonian量是一個常數(shù)，數(shù)值模擬顯示系統(tǒng)解是周期解。結合情形2，3，4分析可知，當系統(tǒng)中只含有耗散項或只含有外力項時。系統(tǒng)不會發(fā)生混沌。這是因為當系統(tǒng)中只含有耗散項時，系統(tǒng)的Hamiltonian能量會單調(diào)遞減并趨向于零，當系統(tǒng)中只含有外力項時，系統(tǒng)的Hamiltonian能量會單調(diào)遞增并趨向于無窮。在這些情況下，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只有在全力矩模式情形5時，系統(tǒng)才發(fā)生混沌。對于受外強迫的Lorenz系統(tǒng)，耗散因素，驅(qū)動因素和內(nèi)能都存在是系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件。且只有耗散因素和驅(qū)動因素是相互匹配的，系統(tǒng)才發(fā)生混沌。在討論系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性時，引入了Casimir函數(shù)。數(shù)值模擬Casimir函數(shù)的時間演化和距離D₁（t），D₂（t）和的時間演化，可知兩個圖像波的頻率和周期近乎一致。這驗證了Casimir函數(shù)與距離之間的密切關系，即Casimir函數(shù)與距離D₁（t），D₂（t）和變化趨勢相同。因為Casimir函數(shù)是內(nèi)能，所以Casimir函數(shù)的變化速率同時也是耗散和外力矩之間的交換速率，Casimir函數(shù)的導數(shù)起著能量交換的作用。通過Casimir函數(shù)法和拉格朗日乘數(shù)法分析受外強迫的Lorenz系統(tǒng)，得到了清晰的混沌吸引子的邊界。

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（責任編輯 耿金花）