【摘 要】學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的起始，其本質(zhì)與整數(shù)和小數(shù)除法意義一致，是對分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的平均分。文章基于“運(yùn)算一致性”視角，從“構(gòu)建、強(qiáng)化、打通、延展等分結(jié)構(gòu)”四個(gè)層次，闡述“分?jǐn)?shù)除法（一）”的教學(xué)，努力讓課堂發(fā)起于學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)與基礎(chǔ)，立足于學(xué)科本身的知識(shí)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)，順應(yīng)于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)學(xué)科知識(shí)過程的真實(shí)學(xué)習(xí)路徑，走向分?jǐn)?shù)除法意義與結(jié)構(gòu)的融合。

【關(guān)鍵詞】順學(xué)而教 分?jǐn)?shù)除法 運(yùn)算一致性 意義與結(jié)構(gòu)的融合

“分?jǐn)?shù)除法（一）”是小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域非常重要的內(nèi)容，是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的起始，是在探究分?jǐn)?shù)除以整數(shù)法與理的基礎(chǔ)上，理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的意義與結(jié)構(gòu)，并承接與等分除和分?jǐn)?shù)乘法等內(nèi)容的聯(lián)系。

通過內(nèi)容分析及教學(xué)活動(dòng)的觀察，不難發(fā)現(xiàn)，在本課時(shí)達(dá)成掌握分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的知識(shí)與技能目標(biāo)是容易的，但讓學(xué)生體悟分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的意義并進(jìn)一步理解其意義與結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一是困難的。教師有必要從“運(yùn)算一致性”視角，從以下四個(gè)層次，讓課堂發(fā)起于學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)與基礎(chǔ)，立足于學(xué)科本身的知識(shí)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)，順應(yīng)于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)學(xué)科知識(shí)過程的真實(shí)學(xué)習(xí)路徑，走向分?jǐn)?shù)除法意義與結(jié)構(gòu)的融合。

層次一：圍繞÷2，感知分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的意義，構(gòu)建等分結(jié)構(gòu)

1.出示例1，學(xué)生讀題列式。

例1．把一張紙的平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？

2.說一說這樣列式的理由，感知分?jǐn)?shù)除以整數(shù)與之前學(xué)的除法是相通的。

師：你是怎么列出這個(gè)算式的？

生：因?yàn)槭瞧骄郑杂贸惺健?。

3.猜想÷2的答案，聚焦到。

師：猜一猜商可能是幾？

生：。

師：大家都認(rèn)為÷2的結(jié)果是，寫出驗(yàn)證方法，讓其他同學(xué)一眼就能看明白你的想法。

“猜想—驗(yàn)證”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常用的數(shù)學(xué)思想方法。通過猜想能更好地暴露學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，讓課堂更堅(jiān)持學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。猜想的過程也是課堂聚焦的過程，讓探究更具體。學(xué)生從提出猜想到收集和運(yùn)用數(shù)據(jù)來驗(yàn)證自己的想法，并找到彼此之間的邏輯關(guān)系、做出合理的解釋，就是在經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的全過程，從而提升問題解決能力。

4.驗(yàn)證方法的多樣性和關(guān)聯(lián)性。

生1：里有4個(gè)，平均分成2份，每份就是2個(gè)，也就是。

生2：我用畫圖法（圖1）。先把1個(gè)長方形平均分成7份，就是這樣的4份，再把這4份平均分成2份，其中的1份就是。

生3：我這樣算÷2=" =。

學(xué)生已經(jīng)接觸過整數(shù)除法、小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)乘法，在面對分?jǐn)?shù)除法時(shí)，很容易想到基于除法等分意義的文字描述，這種描述包含了學(xué)生對分?jǐn)?shù)除法意義的初步感受，但僅僅是經(jīng)驗(yàn)的順向遷移，未上升到分?jǐn)?shù)單位平均分的程度；部分學(xué)生會(huì)將語言描述具象成直觀的圖示表征；小部分學(xué)生會(huì)將語言描述抽象成數(shù)學(xué)算式；還有學(xué)生會(huì)根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法與除法的關(guān)聯(lián)或先前接觸過的知識(shí)而使用“顛倒相乘”的方法。

生1的文字描述清晰地體現(xiàn)了學(xué)生對分?jǐn)?shù)除以整數(shù)意義的認(rèn)知；生2的圖示形象直觀地促進(jìn)了學(xué)生對分?jǐn)?shù)除以整數(shù)意義的理解，學(xué)生需要清晰地說出圖示中各部分表示的意思；生3的算式法是精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)化表達(dá)，學(xué)生要說明白每一步計(jì)算的意思，并在方法的對比中，感悟所有方法都是基于對分?jǐn)?shù)單位和除法意義的理解，其本質(zhì)是對分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的平均分。

層次二：跟進(jìn)訓(xùn)練，鞏固分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的意義，強(qiáng)化等分結(jié)構(gòu)

1．計(jì)算÷3、÷4，看誰算得又對又快。

生：÷3==，÷4==。

2．通過課件演示，驗(yàn)證得數(shù)的正確性，鞏固意義。（圖2）

3．歸納算法，強(qiáng)化等分結(jié)構(gòu)。

師：算得又對又快的竅門是什么？

生：直接用分子除以除數(shù)，分母不變，就能得到結(jié)果。

“新知學(xué)習(xí)+習(xí)題鞏固”是新授課的常用方式，但在實(shí)際教學(xué)中很少有教師在完成÷2的教學(xué)后設(shè)計(jì)同結(jié)構(gòu)的配套練習(xí)。設(shè)計(jì)同結(jié)構(gòu)的配套練習(xí)的出發(fā)點(diǎn)：第一，學(xué)習(xí)了÷2后，學(xué)生已初步理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的等分結(jié)構(gòu)和計(jì)算方法，有必要跟進(jìn)一組同結(jié)構(gòu)的練習(xí)加以鞏固，這是內(nèi)容和思維的順延。第二，避免過早讓學(xué)生接觸“顛倒相乘”而失去思考分?jǐn)?shù)除以整數(shù)中最本質(zhì)的等分意義和結(jié)構(gòu)。第三，方法的提煉為接下來層次三的學(xué)習(xí)“挖了個(gè)坑”。筆者認(rèn)為，好的數(shù)學(xué)課堂不會(huì)是線性的一通到底，學(xué)生唯有經(jīng)歷過曲折的思維掙扎，他的收獲和理解才會(huì)更到位。第四，用直觀圖示工具的動(dòng)態(tài)演示支撐和證明計(jì)算結(jié)果的正確性，讓學(xué)生深刻理解“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)是對分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的平均分”這一本質(zhì)。

層次三：解決÷3，凸顯分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的意義，打通等分結(jié)構(gòu)

1．出示例2，讀題列式。

例2：把一張紙的平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？

2．獨(dú)立求解÷3。

3．依次反饋，在交流中理解算法，明晰意義。

生1：÷3=÷3==。

基于先前獲得的經(jīng)驗(yàn)和掌握的方法，學(xué)生最容易順向連接的是÷3=，但接下去怎么辦？經(jīng)過思考，一部分學(xué)生會(huì)放棄，轉(zhuǎn)而使用其他方法，但終究會(huì)有部分學(xué)生順著等分經(jīng)驗(yàn)堅(jiān)持下來，完成÷3=÷3==的突破，達(dá)成轉(zhuǎn)化后的等分結(jié)構(gòu)與分?jǐn)?shù)除以整除意義的統(tǒng)一，感悟到分子不能被除數(shù)整除在本質(zhì)上依然是等分結(jié)構(gòu)。

生2：用圖3表征。

師：這么畫，從中能看出是什么結(jié)果？

生：，，。

師：根據(jù)圖示，好像是正確的，你們認(rèn)同嗎？

生：我認(rèn)為是錯(cuò)的，因?yàn)閳D中的15份不一樣大，要把整個(gè)長方形分到底，分完后一共是21份，所以我認(rèn)為是。

師：按照你們的意思再畫一畫。看來不僅要把4個(gè)平均分成3份，還要將長方形每一個(gè)都平均分成3份，結(jié)果的確是。

師：（出示圖4）這里還有一幅豎著分的圖，能看懂嗎？

生：（出示圖5）豎著分與橫著分是一樣的，都是把整個(gè)長方形平均分成了21份，其中的4份就是。

學(xué)生的圖示表征多數(shù)是圖3，究其原因不難發(fā)現(xiàn)：學(xué)生看到÷3，會(huì)認(rèn)為是對4個(gè)的三等分，不會(huì)想到要去把整個(gè)長方形中的每一份進(jìn)行細(xì)分，而且分?jǐn)?shù)除以整數(shù)運(yùn)算的本質(zhì)是分?jǐn)?shù)單位的變化，學(xué)生體悟其抽象性和復(fù)雜性是比較困難的。上述的“補(bǔ)圖”，補(bǔ)的不僅僅是技法的完整，更是分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算中分?jǐn)?shù)單位變化的完整體驗(yàn)。具象的圖示很好地支撐起學(xué)生對分?jǐn)?shù)單位再細(xì)分的體驗(yàn)，是學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)本質(zhì)的關(guān)鍵。這是基于學(xué)生真實(shí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)科知識(shí)本質(zhì)的從不完整到完整的學(xué)習(xí)過程。當(dāng)這樣的體驗(yàn)補(bǔ)充到位，圖示就能成為連接分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法的橋梁。

生3：還可以這樣計(jì)算÷3=×==。

教師不過早呈現(xiàn)這種方法，是為突出學(xué)生對分?jǐn)?shù)除以整數(shù)意義深刻理解的需要，借此溝通等分結(jié)構(gòu)并進(jìn)一步凸顯分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵。

4．理解三種方法的聯(lián)系。

5．辨析：÷3與÷2的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

同：結(jié)構(gòu)相同，都是對分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的等分。

異：一個(gè)可以直接等分，一個(gè)需要對分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行細(xì)分、轉(zhuǎn)化后再等分。

多種方法的解析和求聯(lián)，可以促進(jìn)學(xué)生對÷3意義和結(jié)構(gòu)的深入認(rèn)識(shí)。生1的轉(zhuǎn)化法，是學(xué)生最初想到的但又繼續(xù)不下去的，這是學(xué)生最想聽、最想弄明白的。生2的圖示法，出現(xiàn)了橫著等分和豎著等分且不畫完整的圖形。為了充分發(fā)揮圖示的價(jià)值，教師采用結(jié)果驅(qū)動(dòng)的方式，達(dá)成圖4或圖5及分?jǐn)?shù)單位的轉(zhuǎn)化和統(tǒng)一，讓學(xué)生看見分?jǐn)?shù)除法的本質(zhì)就是對分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的等分，只不過有時(shí)候可以直接等分，有時(shí)候需要對分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行細(xì)分后再等分，由此達(dá)成了÷2與÷3都是等分結(jié)構(gòu)的聯(lián)結(jié)，明白所有分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的本質(zhì)都是分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的等分。生3的顛倒相乘是計(jì)算分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的通法，經(jīng)過對生1、生2所說方法的理解，學(xué)生對÷3=×==中分母21的意義會(huì)更加明晰。這三種方法共同指向了分?jǐn)?shù)單位，都是將分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行了轉(zhuǎn)化。

層次四：提升訓(xùn)練，內(nèi)化分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的意義，延展等分結(jié)構(gòu)

練習(xí)1.填一填。

（ ）×5=" "（ ）×2=" "4×（ ）=

學(xué)生對于乘法與除法存在的互逆關(guān)系是有認(rèn)知基礎(chǔ)的，能夠想到用分?jǐn)?shù)除以整數(shù)來解決該練習(xí)題。通過完成本練習(xí)題，學(xué)生可以在分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)除法互逆的結(jié)構(gòu)中進(jìn)一步促成分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)除法結(jié)構(gòu)的聯(lián)結(jié)，既培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性，又促進(jìn)了知識(shí)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)的融合。

練習(xí)2：紅、黃、藍(lán)三條繩子，長度都是分母為9的最簡分?jǐn)?shù)，且長度都小于米。把它們平均分成4份，請根據(jù)以下信息判斷繩子原長度可能是多少，并說明理由。

（1）紅繩平均分成4份的算式適用“分子除以除數(shù)”的方法計(jì)算；（2）黃繩平均分成4份的算式適用“先轉(zhuǎn)化再等分”的方法計(jì)算；（3）藍(lán)繩平均分成4份的算式適用“顛倒相乘”的方法計(jì)算。

該練習(xí)題將結(jié)構(gòu)從純算式延展到實(shí)際情境，逆推算式讓學(xué)生鞏固已學(xué)的各種方法，加深理解，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際意義和實(shí)用價(jià)值。

新課標(biāo)指出，為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。這里的“整體性”與“結(jié)構(gòu)化”在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域體現(xiàn)得最為直接，并且這種整體性和一致性主要體現(xiàn)在“計(jì)數(shù)單位的統(tǒng)一”。因此，在進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)注重對整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的統(tǒng)籌，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的作用，感悟運(yùn)算的一致性。

教師在分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)中要肯定并鼓勵(lì)學(xué)生原有的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，并在這樣的過程中暴露其真實(shí)樣態(tài)，堅(jiān)持在真實(shí)的土壤里通過逐步引導(dǎo)學(xué)生深入思考，生長出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的理解路徑，關(guān)注分?jǐn)?shù)除以整數(shù)本身的結(jié)構(gòu)和意義及結(jié)構(gòu)與意義的融合，讓學(xué)生在深刻理解中成長。

【參考文獻(xiàn)】

白常平，章勤瓊，陳日升.基于學(xué)習(xí)路徑分析的“分?jǐn)?shù)的意義”單元整體教學(xué)——指向概念理解的教學(xué)順序思考[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2021（4）.