摘 要：2024年新高考Ⅱ卷第19題考查了雙曲線與數(shù)列的綜合，情境新穎，難度不小.文章從不同角度給出試題的多種證明方法，旨在為一線教師提供研究高考題的思路與教學(xué)參考.

關(guān)鍵詞：雙曲線；數(shù)列；等比數(shù)列；三角形面積；證法探究

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）36-0042-03

收稿日期：2024-09-25

作者簡(jiǎn)介：朱伶鷺（1984.12—），女，江蘇省啟東人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

高考數(shù)學(xué)壓軸題一直以來(lái)都是考生關(guān)注的焦點(diǎn)，它不僅考查學(xué)生的知識(shí)掌握程度，更考驗(yàn)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí).2024年新高考Ⅱ卷的壓軸題將雙曲線與等比數(shù)列巧妙結(jié)合，具有較高的難度和區(qū)分度，這種綜合性的題目對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)提出了更高的要求.本文將對(duì)這道壓軸題進(jìn)行深入剖析，從不同角度探索其證明方法，希望能為廣大師生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中提供有益的參考，進(jìn)一步提升學(xué)生解決綜合問(wèn)題的能力.

1 真題再現(xiàn)

題目 （2024年新高考Ⅱ卷第19題）已知雙曲線C：x2-y2=m（m＞0），點(diǎn)P1（5，4）在C上，k為常數(shù)，0＜k＜1.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)Pn（n=2，3，…），過(guò)點(diǎn)Pn-1作斜率為k的直線與C左支交于點(diǎn)Qn-1，令Pn為Qn-1關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記Pn的坐標(biāo)為（xn，yn）.

3 結(jié)束語(yǔ)

本題以雙曲線為知識(shí)素材，通過(guò)直線與雙曲線的交點(diǎn)及該點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，依次構(gòu)造新的點(diǎn)，形成一組點(diǎn)列，探討這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之差構(gòu)成的數(shù)列的性質(zhì).試題考查解析幾何中的“設(shè)而不求”和“化繁為簡(jiǎn)”的思想，同時(shí)對(duì)等比數(shù)列的掌握、代數(shù)求解能力和平面幾何能力等也有一定的要求，是一道較為綜合、難度較高的題目.通過(guò)對(duì)這道題目的證法探究，我們深刻體會(huì)到高考數(shù)學(xué)命題的深度和廣度.在未來(lái)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)更加注重對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解和綜合運(yùn)用，不斷提升自己的思維能力和解題技巧.教師也應(yīng)根據(jù)高考命題的趨勢(shì)，調(diào)整教學(xué)方法和策略，培養(yǎng)出更多具有創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的優(yōu)秀學(xué)生.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李鴻昌.高考題的高數(shù)探源與初等解法［M］.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022.

［責(zé)任編輯：李 璟］