平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最基礎(chǔ)、最重要的概念之一，隸屬于“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”主題。平均數(shù)在現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中并不是獨(dú)立的單元，一般與條形統(tǒng)計(jì)圖等內(nèi)容混合編排。依照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》編寫的人教版新教材中，“平均數(shù)”是作為一個(gè)單元單獨(dú)編排的。本文中的“平均數(shù)”單元指的是由“認(rèn)識(shí)平均數(shù)”及“體會(huì)平均數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”等課時(shí)組成的小單元。

一、確定指向核心素養(yǎng)的單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

1. 基于主題提煉核心概念及單元具體觀念

“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”主題的核心概念是數(shù)據(jù)意識(shí)，數(shù)據(jù)意識(shí)在本單元中的具體表現(xiàn)是“知道在現(xiàn)實(shí)生活中，有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，感悟數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息；知道同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，而只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”。

平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)“集中趨勢(shì)”的統(tǒng)計(jì)量，代表了這組數(shù)據(jù)的整體水平。因此，平均數(shù)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的情境中理解平均數(shù)所具有的“代表性”，這是數(shù)據(jù)意識(shí)的本質(zhì)體現(xiàn)。

基于課程標(biāo)準(zhǔn)及平均數(shù)的本質(zhì)，可以將核心概念具體化為如下單元觀念。

觀念1：數(shù)據(jù)蘊(yùn)含著信息。用平均數(shù)可以代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，平均數(shù)并不是客觀存在的，是通過加工原始數(shù)據(jù)“勻一勻”得到的。

觀念2：平均數(shù)具有“敏感性”（平均數(shù)對(duì)一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)值的變化都較為敏感，尤其容易受到極端數(shù)據(jù)的影響）和“有界性”（平均數(shù)的取值范圍在一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之間）的特點(diǎn)，根據(jù)平均數(shù)的特性可以解釋或解決生活中有關(guān)平均數(shù)的簡(jiǎn)單問題。

觀念3：知道對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，平均數(shù)具有隨機(jī)性，運(yùn)用隨機(jī)數(shù)據(jù)求得的平均數(shù)所得到的結(jié)論更加公平合理。

2. 多版本教材對(duì)比分析

現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材一般將“平均數(shù)”編排在四年級(jí)，多種版本教材都結(jié)合具體情境讓學(xué)生體會(huì)平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)平均水平的代表，介紹了“移多補(bǔ)少”和“求和均分”等計(jì)算平均數(shù)的方法。蘇教版教材還在“你知道嗎”中介紹了“在演唱比賽中……計(jì)算選手的得分時(shí)，往往要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分……可以剔除一些極端數(shù)據(jù)……更能代表選手的實(shí)際水平”的知識(shí)，拓展學(xué)生對(duì)平均數(shù)的認(rèn)識(shí)。

3. 參考權(quán)威考試命題

下面是六年級(jí)畢業(yè)考試中的一道題目（見圖1）：

此題考查的是對(duì)平均數(shù)的本質(zhì)及特性—“有界性”—的理解，即平均數(shù)介于一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之間。又如下題（見圖2）：

此題考查學(xué)生對(duì)平均數(shù)的“敏感性”的理解，平均數(shù)很“敏感”，易受極端數(shù)據(jù)的影響。因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)要先去掉極端數(shù)據(jù)之后再求平均數(shù)，此時(shí)的平均數(shù)會(huì)更具“代表性”，做出的推斷也更合理。

可見，素養(yǎng)立意下的考試命題更加注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解及思維過程，關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等的理解與應(yīng)用。

4. 確定單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

綜合以上分析，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和單元具體觀念，確定單元學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：

①在熟悉的情境中體驗(yàn)、理解平均數(shù)所具有的“代表性”，感悟數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息，能夠解釋用平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)整體水平的合理性，能運(yùn)用“移多補(bǔ)少”“先求和再均分”等方法計(jì)算平均數(shù)。

②知道平均數(shù)不是實(shí)際存在的數(shù)值，是通過“勻一勻”加工出來的；知道平均數(shù)是個(gè)“不大不小”的數(shù)，取值范圍在一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之間；知道平均數(shù)對(duì)一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)值的變化都較為敏感，尤其容易受到極端數(shù)據(jù)的影響。

③初步感受平均數(shù)的推斷功能，能運(yùn)用平均數(shù)的特性對(duì)真實(shí)情境中“去掉最低分和最高分再取平均數(shù)”的數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行解釋，知道在實(shí)際應(yīng)用時(shí)要先去掉極端數(shù)據(jù)之后再求平均數(shù)，此時(shí)的平均數(shù)會(huì)更具“代表性”，做出的推斷也更合理。

二、單元內(nèi)容重組與課時(shí)規(guī)劃

1. 厘清單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)階

基于上述分析，確定“平均數(shù)”單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)階如下。層級(jí)1：會(huì)用“先求和再均分”或“移多補(bǔ)少”的方法計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。層級(jí)2：知道平均數(shù)能夠代表一組數(shù)據(jù)的整體水平（平均水平），體驗(yàn)平均數(shù)的“敏感性”“有界性”等特性。層級(jí)3：能夠解釋并體會(huì)平均數(shù)作為“代表”的合理性，感受平均數(shù)的推斷功能，知道去掉極端數(shù)據(jù)后所得到的平均數(shù)更有代表性，推斷更合理，知道平均數(shù)具有隨機(jī)性。

其中，層級(jí)1屬于對(duì)平均數(shù)理解的“算法水平”，學(xué)生有相應(yīng)的知識(shí)基礎(chǔ)，較容易達(dá)成；層級(jí)2屬于“概念水平”，層級(jí)3屬于“統(tǒng)計(jì)水平”，較難達(dá)成。因此，可以將本單元分為兩個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)著眼于“層級(jí)1和層級(jí)2”的達(dá)成，第二課時(shí)則聚焦于“層級(jí)3”的達(dá)成。

2. 學(xué)情調(diào)研

學(xué)生早在二年級(jí)時(shí)就會(huì)用除法解決“平均分”的問題。雖然“平均分”和平均數(shù)的意義不同，但計(jì)算方法一樣，因此學(xué)生掌握平均數(shù)的算法相對(duì)容易。調(diào)研發(fā)現(xiàn)，95%以上的學(xué)生會(huì)用已有知識(shí)“總數(shù)÷份數(shù)=平均數(shù)”計(jì)算平均數(shù)；但只有不到10%的學(xué)生能比較含糊地說出平均數(shù)的含義；對(duì)于平均數(shù)是小數(shù)的情況，有近95%的學(xué)生表示不能理解，認(rèn)為是錯(cuò)誤的；另外，學(xué)生缺乏用一個(gè)數(shù)代表一組數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，很難想到用平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表數(shù)。

3. 設(shè)計(jì)指向目標(biāo)的核心任務(wù)序列

基于上述分析，筆者重構(gòu)了平均數(shù)的單元內(nèi)容。

（1）關(guān)鍵課

教學(xué)內(nèi)容：認(rèn)識(shí)平均數(shù)。

核心目標(biāo)：①結(jié)合游戲情境和幾何直觀，認(rèn)識(shí)平均數(shù)的“代表性”，能用“先求和再均分”“移多補(bǔ)少”等方法求出平均數(shù)；②結(jié)合真實(shí)情境和幾何直觀，體會(huì)平均數(shù)的“虛擬性”“有界性”和“敏感性”；③初步感受平均數(shù)的推斷功能。

核心任務(wù)設(shè)計(jì)：任務(wù)1—玩“記數(shù)游戲”，比一比“誰(shuí)的記數(shù)水平高”；任務(wù)2—用“求和均分”和“移多補(bǔ)少”的方法求平均數(shù)；任務(wù)3—觀察直觀圖，說出你的發(fā)現(xiàn)（討論：如果再玩一次，5次的平均數(shù)和4次的平均數(shù)一樣嗎？為什么？）；任務(wù)4—樂樂前四次的計(jì)數(shù)成績(jī)分別是6、8、7、3，她第五次能記住幾個(gè)數(shù)？請(qǐng)說明理由。

（2）練習(xí)拓展課

教學(xué)內(nèi)容：平均數(shù)的再認(rèn)識(shí)。

核心目標(biāo)：①能運(yùn)用平均數(shù)的“有界性”解決真實(shí)情境中的問題；②能夠結(jié)合真實(shí)情境，對(duì)“先去掉極端數(shù)據(jù)再求平均數(shù)”的方法進(jìn)行解釋，知道這時(shí)的平均數(shù)會(huì)更具“代表性”，做出的推斷也更合理。

核心任務(wù)設(shè)計(jì)：任務(wù)1—體育老師用示意圖表示了樂樂跳遠(yuǎn)的情況（見圖3）。圖中三條短實(shí)線所在的位置代表她三次跳遠(yuǎn)的成績(jī)。如果用虛線所在的位置表示她三次跳遠(yuǎn)的平均成績(jī)，請(qǐng)你畫出這條虛線，并解釋這樣畫的理由。

任務(wù)2—陳飛制作了一個(gè)簡(jiǎn)易擺鐘，他想測(cè)出這個(gè)擺鐘擺動(dòng)60次所用的時(shí)間，于是做了一次實(shí)驗(yàn)，并邀請(qǐng)8位同學(xué)分別計(jì)時(shí)，得到了下面的數(shù)據(jù)（單位：秒）（見圖4）。結(jié)合數(shù)據(jù)，想要更準(zhǔn)確地得到擺鐘擺動(dòng)60次所用的時(shí)間，你建議使用什么方法？請(qǐng)說明理由。

三、關(guān)鍵課教學(xué)舉例—“認(rèn)識(shí)平均數(shù)”

1. 環(huán)節(jié)一：情境引入，尋找代表數(shù)

師生一起玩記數(shù)游戲。教師出示游戲規(guī)則：每次屏幕上會(huì)出現(xiàn)10個(gè)數(shù)字，只能觀察2秒，把記住的數(shù)字寫下來（可以不按順序），看自己每次可以記住幾個(gè)數(shù)字，每人玩三次。

【思考】游戲情境緊緊抓住了學(xué)生的心，學(xué)生精力高度集中，迅速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，為接下來的數(shù)據(jù)分析奠定良好基礎(chǔ)。

2. 環(huán)節(jié)二：借助直觀，認(rèn)識(shí)平均數(shù)的代表性

教師出示記數(shù)統(tǒng)計(jì)表（見圖5）：

師：比一比，誰(shuí)的記數(shù)水平高？

生1：我覺得歡歡的水平高，因?yàn)樗幸淮斡涀×?個(gè)，樂樂的都比9個(gè)少。

生2：我不同意，歡歡只有一次記住了9個(gè)，其他幾次都比9個(gè)少，這樣不公平！

生3：可以把這幾個(gè)數(shù)加起來，5+4+7+5+9=30，6+8+7+3=24，30>24，所以歡歡的記數(shù)水平高。

生4：我不同意！歡歡玩了5次，樂樂只玩了4次，5次的成績(jī)當(dāng)然比4次的成績(jī)好啦，這對(duì)樂樂不公平！

生5：她倆玩的次數(shù)不同，比較總數(shù)不公平。我覺得可以用5+4+7+5+9=30，再用30÷5=6（個(gè)）；用6+8+7+3=24，24÷4=6（個(gè)），她倆的記數(shù)水平dc4a941a170c12d55f48c6186dfb0131bd45cc645e422f99a63103b3b2cb4e09一樣。

……

學(xué)生意見不一，爭(zhēng)執(zhí)不下。

師：我們可以把這些數(shù)據(jù)整理一下，看看直觀的統(tǒng)計(jì)圖能不能幫助我們選擇合適的代表數(shù)（見圖6）。

課件逐次動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖討論：用哪個(gè)數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的整體水平更合理、更公平？

生1：4是最小數(shù)，不能代表整體水平；9是最大數(shù)，也不能代表整體水平；5雖然在“中間”，但是比5小的只有4，而且只少了1個(gè)；但是，比5大的有7和9，而且多了好幾個(gè)，所以5不能代表整體水平。7也不行，因?yàn)楸?大的只有9，只多了2個(gè)，但是比7小的有很多。

教師動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)“移多補(bǔ)少”的過程（見圖7）。

師：可以把“多的”移走，補(bǔ)給“少的”，這種方法叫“移多補(bǔ)少”，得到的6是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。你覺得平均數(shù)6能代表這組數(shù)據(jù)的整體水平嗎？

生1：能！因?yàn)楝F(xiàn)在每次的數(shù)都是6了。

師：是的，平均數(shù)6代表了這5個(gè)數(shù)的整體水平，而不是某一次的水平。你覺得用平均數(shù)代表歡歡和樂樂的記數(shù)水平，公平嗎？

生1：公平！

【思考】學(xué)習(xí)平均數(shù)，選擇“好情境”“好問題”十分重要。上述教學(xué)中，教者有意拉長(zhǎng)了“用平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的整體水平”這一認(rèn)知過程。首先是從歡歡和樂樂的記數(shù)成績(jī)?nèi)胧?，引出“誰(shuí)的記數(shù)水平高”的真實(shí)問題，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖，討論、辨析“用哪個(gè)數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的整體水平更合理、更公平”。在對(duì)比分析、辨析研討的過程中，學(xué)生對(duì)平均數(shù)的代表性有了深刻體會(huì)。

師：有同學(xué)是用算式（5+4+7+5+9）÷5求出平均數(shù)的，這個(gè)算式里有沒有體現(xiàn)“移多補(bǔ)少”呢？能借助這個(gè)圖來解釋一下嗎？

生1：5+4+7+5+9是求一共有多少個(gè)圓圈，除以5就是把這些圓圈平均分成5份，也就是把5次的數(shù)據(jù)都變得一樣多。

師：把歡歡5次記數(shù)的成績(jī)加在一起就代表“總數(shù)”，也就是“整體”，除以次數(shù)就代表“平均”，這樣就得到了平均數(shù)“6”。

【思考】讓學(xué)生借助直觀圖解釋算式的意義，不僅幫助學(xué)生理解“先求和再平均”的計(jì)算方法，也能加深學(xué)生對(duì)平均數(shù)的意義的理解。

3. 環(huán)節(jié)三：借助直觀，感受平均數(shù)的特征

教師出示課件，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)樂樂4次記數(shù)“移多補(bǔ)少”的過程，得出樂樂記數(shù)的平均數(shù)（見圖8）。

師：仔細(xì)觀察這幅圖，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)比平均數(shù)多的有3個(gè)，比平均數(shù)少的也有3個(gè)。

師：你知道為什么會(huì)這樣嗎？

生1：因?yàn)閺亩嗟囊谱叩?個(gè)都補(bǔ)給了少的。

生2：我發(fā)現(xiàn)平均數(shù)比最大數(shù)小，比最小數(shù)大。

生3：我也發(fā)現(xiàn)了！我還知道為什么，因?yàn)槿绻亲畲髷?shù)，就要為整體“做貢獻(xiàn)”，移走一部分給小的數(shù)；如果是最小數(shù)，大的數(shù)就會(huì)補(bǔ)給它。

師：你們不僅發(fā)現(xiàn)了平均數(shù)是一個(gè)“不大不小的數(shù)”，還講出了道理，真的很棒！想一想，如果樂樂再玩第五次游戲，你覺得這5次記數(shù)的平均數(shù)跟原來4次的平均數(shù)6相比，會(huì)有變化嗎？如果有變化，又會(huì)怎么變呢？

學(xué)生小組討論，全班交流。

生1：如果第五次記住的數(shù)比6大，平均數(shù)會(huì)變大；如果第五次記住的數(shù)比6小，平均數(shù)會(huì)變??；如果第五次記住的數(shù)是6，平均數(shù)就不會(huì)變。

生2：我能解釋道理，因?yàn)榘凑铡耙贫嘌a(bǔ)少”的方法，如果第五次的數(shù)比6大，就要從這個(gè)數(shù)中移走一些補(bǔ)給小的數(shù)，就會(huì)拉高平均數(shù)；如果第五次的數(shù)比6小，平均數(shù)6就會(huì)補(bǔ)給它，就會(huì)拉低平均數(shù)；如果第五次恰好是6，就不用“移多補(bǔ)少”，平均數(shù)就不會(huì)變。

教師逐一呈現(xiàn)樂樂第五次的記數(shù)情況（見圖9）：分別記住了1個(gè)、10個(gè)和6個(gè)，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)“移多補(bǔ)少”的過程，驗(yàn)證學(xué)生的猜想。

師：通過觀察，你有什么新發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：我發(fā)現(xiàn)只要一個(gè)數(shù)變了，平均數(shù)就會(huì)變。

師：你真善于觀察！平均數(shù)很敏感，任何一個(gè)數(shù)據(jù)變化都會(huì)引起平均數(shù)的變化。給大家講一個(gè)真實(shí)的故事《埃蒙斯的最后一槍》。2008年北京奧運(yùn)會(huì)射擊比賽中，美國(guó)選手埃蒙斯前9槍的平均成績(jī)是10.1環(huán)，大比分領(lǐng)先第二名。但是，埃蒙斯的最后一槍只打出了4.4環(huán)，導(dǎo)致10槍的平均成績(jī)僅有9.5環(huán)，不僅丟了金牌，連獎(jiǎng)牌都沒有拿到！聽完故事你們有什么感受？

生2：平均數(shù)真的很敏感！

師：是的，平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，跟每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系，如果出現(xiàn)了極端數(shù)據(jù)，對(duì)平均數(shù)的影響是非常大的！

【思考】借助幾何直觀模型和生活事例，讓學(xué)生真切地體驗(yàn)到平均數(shù)“很敏感”，易受極端數(shù)據(jù)的影響。

4. 環(huán)節(jié)四：走進(jìn)生活，應(yīng)用平均數(shù)

（1）計(jì)算自己記數(shù)的平均數(shù)，感受平均數(shù)可以是小數(shù)

師：算一算，你三次記數(shù)的平均成績(jī)是多少呢？

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，全班交流，發(fā)現(xiàn)有的算式得不到整數(shù)結(jié)果，平均數(shù)可以用小數(shù)表示。

【思考】學(xué)生三次記數(shù)的數(shù)據(jù)都是隨機(jī)數(shù)據(jù)，即同一事件在不同時(shí)間點(diǎn)測(cè)量所獲得的數(shù)據(jù)。學(xué)生通過計(jì)算，不僅能更深刻地體會(huì)“平均數(shù)不是客觀存在的，而是通過加工原始數(shù)據(jù)得到的”，而且能初步感悟平均數(shù)的“隨機(jī)性”。

（2）生活中的平均數(shù)

教師出示數(shù)據(jù)（見圖10）：2020年，北京市把兒童乘車免票身高由1.2米提高至1.3米。

師：你認(rèn)為免票線提高的主要原因是什么？為什么要提高到1.3米而不是其他高度呢？

生1：因?yàn)楸本┦袃和骄砀呱仙恕?/p>

生2：1.3米可能是北京市兒童身高的平均數(shù)。

生3：大多數(shù)北京市兒童的身高都已經(jīng)1.3米了。

師：這個(gè)1.3米實(shí)際上是學(xué)齡前兒童的平均身高，這個(gè)數(shù)據(jù)是通過抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)得來的。

【思考】讓學(xué)生感受到平均數(shù)在生活中應(yīng)用的廣泛性，知道生活中的平均數(shù)是通過抽樣調(diào)查得到的，進(jìn)一步體會(huì)平均數(shù)的價(jià)值。

（作者系北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué)教師，正高級(jí)教師，北京市特級(jí)教師）

責(zé)任編輯：孫昕