摘要：選取合適的計數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法，能夠利于解決大數(shù)據(jù)時代的數(shù)據(jù)分析和預(yù)測問題.研究利用Logistic結(jié)構(gòu)，融合考慮協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型，結(jié)合了條件極大似然估計模型中的未知參數(shù).研究結(jié)果表明，當(dāng)樣本容量增大時，模型參數(shù)估計的偏差、標(biāo)準(zhǔn)差、均方誤差都減小了，說明了模型估計量具有相合性.在參數(shù)組合為（0.6，0.5，1）且樣本量為800的條件下，模型A展現(xiàn)出低偏差、低標(biāo)準(zhǔn)差和低均方誤差，且條件極大似然估計量符合正態(tài)分布趨勢.比較一般一階整數(shù)值自回歸模型時，基于赤池信息準(zhǔn)則和貝葉斯信息準(zhǔn)則的結(jié)果表明，研究模型具有更好的擬合效果，更有助于計算數(shù)據(jù)的預(yù)測和分析.

關(guān)鍵詞：一階整數(shù)值自回歸；Logistic結(jié)構(gòu)；協(xié)變量；混合概率；條件極大似然估計；參數(shù)估計

中圖分類號：O212.8文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

A First-order Integer Autoregressive Model Considering the Influence of Covariates on Mixed Probabilities

WEN Xuejun

（Shanxi Electronic Science and Technology Institute， Linfen 041000， China）

Abstract： Selecting appropriate counting data statistical methods can help solve data analysis and prediction problems in the era of big data. The study utilizes a logistic structure to integrate a First-Order integer-valued autoregressive model that considers the influence of covariates on mixing probability， and combines the unknown parameters in the conditional maximum likelihood estimation model. The research results show that as the sample size increases， the bias， standard deviation， and mean square error of the model parameter estimation decrease， indicating that the model estimators are consistent. Under the condition of parameter combination of （0.6， 0.5， 1） and sample size of 800， Model A exhibits low bias， low standard deviation， and low mean square error， and the conditional maximum likelihood estimator follows a normal distribution trend. When comparing First-Order integer autoregressive models， the results based on the Chichi information criterion and Bayesian information criterion indicate that the research model has better fitting performance and is more helpful for for the prediction and analysis of computational data.

Key words： first-order integer autoregression; logistic structure; covariance; mixed probability; conditional maximum likelihood estimation; parameter estimation

在大數(shù)據(jù)時代，人們面臨著大量的計數(shù)數(shù)據(jù)，例如交通流量、用戶點擊數(shù)量、社交媒體評論等.這些數(shù)據(jù)具有離散性、非負(fù)性等特點，因此需要針對這些特點選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計方法和模型［1］.傳統(tǒng)的連續(xù)型時間序列模型無法很好地描述和預(yù)測這些數(shù)據(jù)，選擇合適的時間序列模型對于分析和預(yù)測這些計數(shù)數(shù)據(jù)的變化趨勢和規(guī)律至關(guān)重要.整數(shù)值時間序列能夠克服傳統(tǒng)模型在處理計數(shù)數(shù)據(jù)時產(chǎn)生的偏差和不準(zhǔn)確性，從而改進(jìn)數(shù)據(jù)分析和預(yù)測的結(jié)果［2］.整數(shù)值時間序列的建模需要采用新的方法，以解決連續(xù)時間序列模型在處理計數(shù)數(shù)據(jù)時的離散性等局限性，以獲得更準(zhǔn)確的擬合和預(yù)測結(jié)果.一階整數(shù)值自回歸過程是一種離散時間過程，可以在建模計數(shù)數(shù)據(jù)時提供一定的靈活性［3］.它可以用來描述計數(shù)數(shù)據(jù)之間的依賴關(guān)系，可以幫助人們理解計數(shù)數(shù)據(jù)的動態(tài)變化.通過對該模型進(jìn)行參數(shù)估計和統(tǒng)計推斷，人們可以對計數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、預(yù)測以及相關(guān)推斷［4］.在考慮協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型中，通過考慮協(xié)變量的影響，在建模整數(shù)值序列時可以更準(zhǔn)確地捕捉到外部因素對序列變動的影響，可以幫助人們更好地理解計數(shù)數(shù)據(jù)的動態(tài)變化，并提供有關(guān)協(xié)變量對整數(shù)值序列的影響的信息［5］.鑒于此，本研究將基于協(xié)變量影響混合概率構(gòu)建一階整數(shù)值自回歸模型，并利用參數(shù)估計方法對模型參數(shù)展開估計，以更好地對實際生活中遇到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和預(yù)測.

1基于協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型

1.1基于Logistic結(jié)構(gòu)的一階整數(shù)值自回歸模型

Logistic結(jié)構(gòu)通常指的是Logistic回歸模型中的函數(shù)形式和參數(shù)估計方法.Logistic回歸是一種用于建立分類模型的統(tǒng)計方法，廣泛應(yīng)用于預(yù)測和解釋二元或多元變量的概率.在Logistic回歸中，通常使用Logistic函數(shù)來建模因變量與自變量之間的關(guān)系，該函數(shù)可以將連續(xù)的自變量映射到0到1之間的概率值［6］.Logistic回歸模型的參數(shù)估計方法和函數(shù)形式使其在分類問題中非常有用，例如判斷某個事件是否發(fā)生，或者預(yù)測概率是否超過某個閾值.此外，在機器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域，Logistic回歸也經(jīng)常被用作其他模型的基礎(chǔ)，如邏輯回歸在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中被用作激活函數(shù).在logistic回歸中，研究某一個結(jié)果y和x1，x2，…，xn因素之間的關(guān)系時，通常構(gòu)建線性回歸模型，表達(dá)式如（1）所示.

y=θ0+θ1x1+θ2x2+…+θnxn+ε（1）

公式（1）中，y和x1，x2，…，xn分別表示因變量和自變量，θ0，θ1，…，θn為模型參數(shù)，ε表示誤差項.該線性回歸模型對自變量的取值沒有限制，故因變量y的取值也不受限制，是一個連續(xù)變量.但是在實際情況中，會存在因變量y只取分類值的情形，故此線性回歸模型需要進(jìn)一步優(yōu)化.因此，假設(shè)y是只取二分類值的因變量，探討自變量x1，x2，…，xn對因變量y的影響可以轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞縳1，x2，…，xn對概率p=Py=1的影響.一般情況下，對p的研究等價于對p1-p的研究.當(dāng)y和自變量x1，x2，…，xn的關(guān)系滿足表達(dá)式（2）時，說明因變量和自變量的關(guān)系滿足Logistic回歸模型.

lnp1－p=φ0+∑ni=1φixi（2）

式（2）中，φ1，φ2，…，φn表示參數(shù).公式（2）有一個等價形式，表達(dá)式如式（3）所示.

p=expφ0+∑ni=1φixi1+expφ0+∑ni=1φixi（3）

Logistic回歸模型以其良好的解釋性和易于實施的特點，在各個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，同時該模型的思想也被用于研究整數(shù)值時間序列.考慮到協(xié)變量對稀疏參數(shù)的隨機效應(yīng)，有學(xué)者基于Logistic結(jié)構(gòu)提出一種由協(xié)變量影響的一階混合隨機系數(shù)整數(shù)值自回歸過程［7］.本研究將利用這種思想，構(gòu)建基于Logistic結(jié)構(gòu)的協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型.混合概率表示每個整數(shù)的生成概率不是固定的，而是根據(jù)協(xié)變量的特征進(jìn)行調(diào)整［8］.這樣可以使模型更具靈活性，能夠更好地捕捉不同協(xié)變量取值下整數(shù)序列的變化規(guī)律.基于Logistic結(jié)構(gòu)的協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型構(gòu)建過程如圖1所示.

從圖1可以看出，模型在構(gòu)建過程中，首先利用Logistic結(jié)構(gòu)構(gòu)建線性回歸模型，然后將其融合到受協(xié)變量影響的一階混合隨機系數(shù)整數(shù)值自回歸過程中，從而得到基于Logistic結(jié)構(gòu)的協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型.假設(shè)Zt=（Zt1，Zt2，…，Ztq）T表示平穩(wěn)的可觀測隨機變量，當(dāng)非負(fù)整值時間序列{Xt，t=0，1，…}滿足（4）時，則{Xt，t=0，1，…}為q維協(xié)變量影響混合概率的一階混合隨機系數(shù)整數(shù)值自回歸過程［9-10］.

Xt=αtXt－1+εt，1－βεt，β（4）

式（4）中，1－β、β均為概率，其中，αt需要滿足的條件如式（5）所示.

lnαt1－αt=ξTZt=ξ1Zt1+ξ2Zt2+…+ξqZtq（5）

式（5）中，ξ=（ξ1，ξ2，…，ξq）T表示協(xié)變量系數(shù)，{εt}用于描述獨立同分布的隨機變量序列，值為非負(fù)整數(shù)，且和{Xt－s，s=1，2，…}、{Zt，t=1，2，…}獨立.

1.2基于條件極大似然估計的模型參數(shù)估計

針對模型中的未知參數(shù)，需要利用參數(shù)估計方法進(jìn)行估計.參數(shù)估計方法通常使用條件極大似然估計方法來尋找最佳的模型參數(shù)，使得模型的預(yù)測值與觀測值的差異最小化.基于條件極大似然估計的模型參數(shù)估計過程如圖2所示.

通過圖2可以看出，在條件極大似然估計中，研究首先通過最大化似然函數(shù)，來尋找能夠最好地解釋觀測數(shù)據(jù)的模型參數(shù).似然函數(shù)反映了在給定模型參數(shù)下，觀測數(shù)據(jù)出現(xiàn)的可能性，而極大似然估計方法旨在找到能夠最大化似然函數(shù)的參數(shù)值［11］.在使用參數(shù)估計方法時，研究需要確保這些假設(shè)和前提條件的合理性，并進(jìn)行相應(yīng)的檢驗和驗證.

條件極大似然估計是一種極大似然估計的擴(kuò)展方法，適用于包含隱變量或條件概率的模型中.相比于傳統(tǒng)的極大似然估計，條件極大似然估計考慮了條件概率和隱變量的影響.隱變量是指模型中未直接觀測到的變量，它們對于觀測數(shù)據(jù)的生成具有重要的影響.通過考慮隱變量和條件概率，條件極大似然估計能夠更準(zhǔn)確地估計模型的參數(shù)［12］.通過考慮隱變量和條件概率，條件極大似然估計能夠更準(zhǔn)確地估計模型的參數(shù)，提高模型的擬合能力和預(yù)測準(zhǔn)確性.條件極大似然估計可以用來估計概率分布參數(shù)的值，其中泊松分布和幾何分布是常見的概率分布［13］.泊松分布適用于離散數(shù)據(jù)的計數(shù)問題，例如統(tǒng)計某個事件在特定時間或區(qū)域內(nèi)發(fā)生的次數(shù).幾何分布則適用于描述在一系列獨立重復(fù)的試驗中，首次成功所需的失敗次數(shù)［14］.由于本研究主要考慮到實際情況中人們面臨著大量具有離散性的計數(shù)數(shù)據(jù)，則將選取更加合適的條件極大似然估計的泊松分布模型進(jìn)行估計.假設(shè)εt服從參數(shù)為λ的泊松分布α（λ），概率分布列表達(dá)式如式（6）所示.

α（εt=k）=λkk！e－λ，k=0，1，2…（6）

假設(shè)ξ=（φ，β1，β2，…，βq，λ）T表示未知參數(shù)，并令β=（β1，β2，…，βq）T，則參數(shù)的條件極大似然函數(shù)如式（7）所示.

Lξ=∏nt=2αXt=xtXt－1=xt－1，Zt=zt=∏nt=21－αtg1xt，λ+αt∑min{xt－1，xt}i=0xt－1ig2xt－1，i，φg3xt，i，λ（7）

之后對條件極大似然函數(shù)取對數(shù)，獲得對數(shù)似然函數(shù)，表達(dá)式如式（8）所示.

1ξ=∑nt=2lnαXt=xtXt－1=xt－1，Zt=zt

=∑nt=2lnM1xt－1，xt，φ，β，λ，zt（8）

對數(shù)似然函數(shù)關(guān)于參數(shù)φ、βi、λ的偏導(dǎo)數(shù)為1ξφ、1ξβi、1ξλ，令該三個偏導(dǎo)數(shù)為0，即如式（9）所示.

1ξφ=01ξβi=01ξλ=0（9）

求得式（9）的解，便可以得到參數(shù)φ、βi、λ的條件極大似然估計值

φ∧1，CML、β∧i1，CMLi=1，2，…，q、λ∧1，CML，再利用Matlab軟件對數(shù)值解進(jìn)行求解.

2考慮協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型分析

2.1模型參數(shù)估計的一維數(shù)值模擬

由于考慮協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型會受到協(xié)變量的影響，故研究將對一維協(xié)變量情形下進(jìn)行數(shù)值模擬，對方法的有效性進(jìn)行檢驗.假設(shè)模型A的信息序列服從泊松分布，待估參數(shù)為φ，β，λ，選取四組參數(shù)組合，分別為（0.6，0.5，1）、（0.6，-0.5，1）、（0.8，0.5，2）、（0.8，-0.5，2）.選取300、500、800的樣本容量，重復(fù)進(jìn)行模擬，計算估計量的偏差（BIAS）、標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation，SD）和均方誤差（Mean Squared Error，MSE），再利用Matlab軟件對數(shù)值解進(jìn)行求解，結(jié)果如圖3所示.

通過圖3可以看出，在不同的參數(shù)組合下，模型參數(shù)估計的偏差、標(biāo)準(zhǔn)差、均方誤差均隨著樣本量的增加而降低，能夠展示出模型估計量具有一定的相合性.當(dāng)參數(shù)組合為（0.6，0.5，1）時，樣本量為300時，模型A的BIAS、SD、MSE分別為（0.008 9，0.327 6，0.006 1）；樣本量為500時，模型A的BIAS、SD、MSE分別為（0.005 8，0.131 2，0.003 7）；樣本量為800時，模型A的BIAS、SD、MSE分別為（0.002 8，0.086 9，0.002 1）；當(dāng)樣本量為800時，模型在參數(shù)組合（0.6，0.5，1）下的條件極大似然估計量的QQ圖如圖4所示.由于其他組合計算結(jié)果的QQ圖與之相似，故不再列舉.估計量QQ圖（Quantile-Quantile Plot）是一種用于驗證估計量是否符合某種理論分布的圖形工具，在QQ圖中，橫軸表示理論分布的分位數(shù)，縱軸表示估計量的分位數(shù).如果估計量與理論分布一致，那么繪制的點應(yīng)該沿著一條直線分布.

通過圖4可以看出，關(guān)于全部參數(shù)，條件極大似然估計量呈現(xiàn)出正態(tài)分布的趨勢，且條件極大似然估計具有較好的速度和精度，過程也相對簡單，即利用條件極大似然估計可以應(yīng)對樣本量較大情形下的參數(shù)估計.結(jié)合模擬結(jié)果，能夠發(fā)現(xiàn)協(xié)變量在平穩(wěn)的相依過程和隨機余弦波過程中，條件極大似然估計效果良好，說明考慮一維協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型建模過程中，協(xié)變量能夠結(jié)合實際情形，相對靈活地進(jìn)行選取，具有較廣泛的應(yīng)用范圍.

2.2實例分析

利用考慮一維協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型，對實際數(shù)據(jù)進(jìn)行分析擬合.從政府犯罪統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫中選取發(fā)布的2010年至2020年盜竊犯罪情況數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于四川省公安廳的官方網(wǎng)站（http：//gat.sc.gov.cn/），利用合適的時間序列構(gòu)建犯罪數(shù)據(jù)模型.該組數(shù)據(jù)包括186個樣本，樣本均值和方差分別為2.541 3、3.021 7，樣本的最大值和最小值分別為21、0，利用Matlab檢驗，發(fā)現(xiàn)該組數(shù)據(jù)為平穩(wěn)序列.分析樣本的自相關(guān)函數(shù)（Autocorrelation Function，ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（Partial Autocorrelation Function，PACF）情況，結(jié)果如圖5所示.

通過圖5可以看出，該組數(shù)據(jù)具有自相關(guān)性.延時1的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)值超出了標(biāo)準(zhǔn)偏差，延時2的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)均在標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，表明該組數(shù)據(jù)具有一階相依性.

犯罪數(shù)據(jù)的取值常常會受到很多因素的影響，盜竊犯罪數(shù)據(jù)的取值也可能與其余犯罪數(shù)據(jù)的取值有關(guān).研究從某省官網(wǎng)發(fā)布的犯罪統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫中選取2010年至2020年連續(xù)11年間每個月的盜竊犯罪數(shù)量作為協(xié)變量，該組數(shù)據(jù)包括186個樣本，利用Matlab檢驗，發(fā)現(xiàn)該組數(shù)據(jù)為平穩(wěn)序列，符合協(xié)變量平穩(wěn)性的要求.利用一般一階整數(shù)值自回歸模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并利用條件極大似然估計方法對模型中涉及的未知參數(shù)進(jìn)行估計.利用赤池信息準(zhǔn)則（Akaike Information Criterion，AIC）和貝葉斯信息準(zhǔn)則（Bayesian Information Criterion，BIC）評價模型的擬合效果，AIC與BIC的計算見式（10）.

AIC=2k-2ln（L）BIC=kln（n）-2ln（L）（10）

式（10）中，k代表所使用模型當(dāng)中的參數(shù)個數(shù)，L代表似然函數(shù)，n代表樣本數(shù)量，二者數(shù)值越小，代表所構(gòu)建模型的擬合效果就越好.AIC和BIC側(cè)重于模型選擇，而條件極大似然估計參數(shù)則關(guān)注于參數(shù)的點估計，二者之間并沒有直接的計算關(guān)系，但AIC和BIC在選擇模型時會將參數(shù)估計的影響考慮在內(nèi).為了顯示模型的擬合效果，將考慮一維協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型和一般一階整數(shù)值自回歸模型進(jìn)行比較，得到考慮一維協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型的條件極大似然估計參數(shù)φ、β與λ的值分別為0.603 7、-0.137 5與2.103 6；一般一階整數(shù)值自回歸模型的φ、β與λ的值分別為0.152 8、-0.216 9與5.364 8；另外模型的擬合結(jié)果見表1.

通過表1可以看出，考慮一維協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型的AIC值和BIC值分別為635.413 9、646.172 8，均低于一般一階整數(shù)值自回歸模型，說明考慮一維協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型的擬合效果更好.

3結(jié)論

隨著技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用場景的增加，傳統(tǒng)的連續(xù)型時間序列模型難以很好地描述和預(yù)測計數(shù)數(shù)據(jù)的變化趨勢和規(guī)律.整數(shù)值時間序列模型能夠更好地克服傳統(tǒng)模型在處理計數(shù)數(shù)據(jù)時產(chǎn)生的偏差和不準(zhǔn)確性，從而改進(jìn)數(shù)據(jù)分析和預(yù)測的結(jié)果.研究利用Logistic結(jié)構(gòu)構(gòu)建線性回歸模型，然后將其融合到受協(xié)變量影響的一階混合隨機系數(shù)整數(shù)值自回歸過程中，從而得到基于Logistic結(jié)構(gòu)的協(xié)變量影響混合概率的一階整數(shù)值自回歸模型.選取條件極大似然估計的泊松分布模型估計未知參數(shù)，利用Matlab軟件對數(shù)值解進(jìn)行求解.模擬結(jié)果表明，隨著樣本量的增加，模型估計量具有更好的一致性.關(guān)于全部參數(shù)而言，條件極大似然估計量呈現(xiàn)出正態(tài)分布的趨勢.仿真結(jié)果表明，模型的赤池信息準(zhǔn)則值和貝葉斯信息準(zhǔn)則值分別為635.413 9、646.172 8，具有很好的擬合效果.本研究還存在一些不足之處，比如只考慮一維協(xié)變量的影響，后續(xù)將研究在二維協(xié)變量影響下的模型擬合效果.

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［責(zé)任編輯王光］