摘要：建立一個由生產(chǎn)商、零售商和需求市場組成的，其中由零售商負(fù)責(zé)可再制造產(chǎn)品的回收.且在生產(chǎn)、運(yùn)輸環(huán)節(jié)考慮了廢棄物排放的多產(chǎn)品綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)模型.給出了多層綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)各層決策者的多準(zhǔn)則優(yōu)化條件、對應(yīng)的變分不等式以及多準(zhǔn)則網(wǎng)絡(luò)均衡條件.最后，驗(yàn)證了綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的通有穩(wěn)定性，即綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題空間中存在一個稠密剩余集，該子集中的任意一個綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題的解映射都是連續(xù)的.

關(guān)鍵詞：綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈；上半連續(xù)；Baire空間；本質(zhì)解

中圖分類號：F224；F253文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Green Losed-Loop Supply Chain Network and"Pass-Through Stability Research

XU Jialei， LIN zhi

（Mathematics and Statistics School， Chongqing Jiaotong University， Chongqing 400074， China）

Abstract： In this paper， a multi-product green closed-loop supply chain network consisting of producers， retailers and demand markets is modeled， with the retailers responsible for the recycling of recyclable products， and waste emissions are considered in the production and transportation stages. The multi-criteria optimization conditions for decision makers at each level of the multi-layer green closed-loop supply chain network， the corresponding variational inequalities， and the multi-criteria network equilibrium conditions are given. Finally， the generic stability of the green closed-loop supply chain network is verified， i.e. there exists a dense residual set in the problem space of the green closed-loop supply chain network， and the solution mapping of any green closed-loop supply chain network problem in this subset is continuous.

Key words： green closed-loop supply chain; upper semi-continuous; Baire space; essential solution

綠色供應(yīng)鏈［1］，它是一種將環(huán)境影響因素和資源利用效率共同考慮到供應(yīng)鏈中的現(xiàn)代化管理模式.閉環(huán)供應(yīng)鏈［2］由正向供應(yīng)鏈與逆向供應(yīng)鏈兩部分構(gòu)成，多數(shù)制造商通常喜歡將逆向供應(yīng)鏈設(shè)計作為一種減少環(huán)境污染問題的競爭行為.部分學(xué)者在研究綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈時考慮碳排放因素進(jìn)行優(yōu)化，且李進(jìn)和朱道立［3］（2018）探究了生產(chǎn)成本、運(yùn)輸成本與客戶需求模糊的低碳閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題，模型在優(yōu)化成本目標(biāo)外，同時最小化設(shè)施選址、各設(shè)施間產(chǎn)品運(yùn)輸以及設(shè)施中產(chǎn)品生產(chǎn)、處置和回收等過程中產(chǎn)生的碳排放量.Reddy 等［4］（2019）考慮了產(chǎn)品生產(chǎn)、處置、回收和運(yùn)輸?shù)冗^程中所產(chǎn)生的碳排放量，并將其轉(zhuǎn)化為碳排放成本，計算到企業(yè)（制造商）的總成本中，以最小化供應(yīng)鏈總成本為目標(biāo)來進(jìn)行建模.顧秋陽等［5］ （2021）將供應(yīng)商數(shù)量折扣問題結(jié)合到多產(chǎn)品綠色供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中，在優(yōu)化總成本的同時，并追求最小化碳排放與最大化消費(fèi)者滿意度.該模型的決策包括了混合處理中心選址、交通工具選擇、技術(shù)種類的選擇、產(chǎn)品的流向以及庫存管理等.

然而在現(xiàn)實(shí)生活中，綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中各個成員的各成本函數(shù)并不是一成不變的，很容易因?yàn)橐恍┩獠恳蛩氐母蓴_而產(chǎn)生擾動.因此研究綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的通有穩(wěn)定性是十分重要的.本文利用非線性均衡理論與變分不等式相關(guān)理論作為研究工具，建立考慮廢棄物排放的綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)多準(zhǔn)則決策均衡模型，并基于非線性均衡理論建立綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題解的通有穩(wěn)定性結(jié)果.

1綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈模型

綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如下：m個制造商，n個零售商/回收中心和o個需求市場.其中制造商們制造/再制造s種同等質(zhì)量無差別產(chǎn)品，新產(chǎn)品與再制造產(chǎn)品不做區(qū)分.正向供應(yīng)鏈：制造商生產(chǎn)的產(chǎn)品銷往不同的零售商，再由零售商出售給不同需求市場的顧客.逆向供應(yīng)鏈：回收中心從各個需求市場回收可再制造的產(chǎn)品，再將回收的產(chǎn)品運(yùn)往制造商進(jìn)行再制造.如圖1均衡狀態(tài)下的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)所示.均衡解用“*”表示.

1.1制造商的競爭行為及其均衡條件

qlNi表示制造商i生產(chǎn)產(chǎn)品l所需原材料的數(shù)量，ρlN為生產(chǎn)第l種產(chǎn)品所需原材料的單位價格，qlij表示制造商i供應(yīng)給零售商j第l種產(chǎn)品的數(shù)量，qlRij表示制造商i從回收中心j購買第l種可再制造產(chǎn)品的數(shù)量.我們將行向量表示為

QN：=q1N1，q1N2，…，q1Nm，q2N1，…，q2Nm，…，qsN1，…，qsNm∈Rms+，

Q1i：=q1i1，q1i2，…，q1in，q2i1，…，q2in，…，qsi1，…，qsin∈Rns+，QR1i：=q1Ri1，q1Ri2，…，q1Rin，q2Ri1，…，q2Rin，…，qsRi1，…，qsRin∈Rns+，

Q1：=Q11，QR11，Q12，QR12，…，Q1m，QR1m∈R2mns+.

fli表示每個制造商i生產(chǎn)第l種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本函數(shù)，該生產(chǎn)成本函數(shù)通常取決于制造商購買的原材料數(shù)量與可再制造產(chǎn)品數(shù)量，即fli=fli（qlNi，∑nj=1qlRij）.clij表示制造商i和零售商j之間第l種產(chǎn)品與可再制造產(chǎn)品的交易成本，是向量Q1分量（qlij，qlRij）的函數(shù)，即clij=clij（qlij，qlRij）.

ρlij表示制造商i批發(fā)給零售商j第l種產(chǎn)品的單位價格，ρlRij表示制造商i支付給回收中心j第l種可再制造產(chǎn)品的單位回收價格.制造商i追求利潤最大化，其第一決策準(zhǔn)則問題為：

Max∑sl=1∑nj=1ρlijqlij－ρlNqlNi－∑sl=1∑nj=1ρlRijqlRij－∑sl=1fli（qlNi，∑nj=1qlRij）－∑sl=1∑nj=1clij（qlij，qlRij），

s.t.∑nj=1qlij≤βlNiqlNi+∑nj=1βlRiqlRij，qlNi≥0;qlij≥0;qlRij≥0;" " " "i=1，2，…，m;j=1，2，…，n;l=1，2，…，s.（1）

其中，βlNi，βlRi分別為制造商i生產(chǎn)第l種產(chǎn)品單位原材料與可再制造產(chǎn)品的新產(chǎn)品轉(zhuǎn)化率，（1）式的約束條件表示制造商售出給零售商的商品總數(shù)不得超過其生產(chǎn)總數(shù).

此外，制造商們關(guān)心生產(chǎn)產(chǎn)品以及將產(chǎn)品運(yùn)輸?shù)礁鱾€零售商的過程中產(chǎn)生的廢棄物排放總量.ali表示在制造商i生產(chǎn)第l種產(chǎn)品產(chǎn)生的廢棄物排放函數(shù)，blij表示在制造商i向零售商j運(yùn)輸或回收第l種產(chǎn)品產(chǎn)生的廢棄物排放函數(shù).制造商i追求廢棄物排放量最小化，其第二決策準(zhǔn)則問題為：

Min∑sl=1ali（qlNi，∑nj=1qlRij）+∑sl=1∑nj=1blij（qlij，qlRij），s.t.∑nj=1qlij≤βlNiqlNi+∑nj=1βlRiqlRij，qlNi≥0;qlij≥0;qlRij≥0;j=1，2，…，n;l=1，2，…，s.（2）

文獻(xiàn)［6］，賦予（2）式一個非負(fù)權(quán)重ωi，這一權(quán)重可表示為制造商i愿意為每單位廢棄物排放支付的價格，或可理解為制造商i對環(huán)境的重視程度，權(quán)重越高表明制造商對環(huán)境越重視.因此，制造商i的目標(biāo)函數(shù)為：

Max∑sl=1∑nj=1ρlijqlij－ρlNqlNi－∑sl=1∑nj=1ρlRijqlRij－∑sl=1fli（qlNi，∑nj=1qlRij）" " " " " "－∑sl=1∑nj=1clij（qlij，qlRij）－ωli（∑sl=1ali（qlNi，∑nj=1qlRij）+∑sl=1∑nj=1blij（qlij，qlRij））；s.t.∑nj=1qlij≤βlNiqlNi+βlRiqlRi;qlNi≥0;qlij≥0;qlRij≥0;j=1，2，…，n;l=1，2，…，s.（3）

假設(shè)所有制造商都處于非合作競爭狀態(tài)，則所有制造商同時達(dá)到最優(yōu)的條件等價于以下變式不等式，即求解（QN*，Q*1，ρ*1，γ*1）T∈Rms+2mns+ms+ms+滿足

∑sl=1∑nj=1∑mi=1［clij（ql*ij，qlR*ij）qlij－ρl*ij+ωliblij（ql*ij，qlR*ij）ql*ij+γl*1i］×［qlij－ql*ij］+∑sl=1∑nj=1∑mi=1［ρlR*ij+fli（qlN*i，∑nj=1qlR*ij）qlRij+clij（ql*ij，qlR*ij）qlij+ωli（ali（qlN*i，∑nj=1qlR*ij）qlR*ij+blij（ql*ij，qlR*ij）qlRij）－βlRiγl*1i］×［qlRij－qlRij*］+∑sl=1∑mi=1［ρlN*i+fli（qlN*i，∑nj=1qlR*ij）qlN*i+ωliali（qlN*i，∑nj=1qlR*ij）qlN*i－βlNiγl*1i］×［qlNi－qlN*i］

+∑sl=1∑mi=1［βlNiqlN*i+∑nj=1 βlRiqlR*ij－∑nj=1ql*ij］×［γl1i－γl*1i］≥0，

（QN，Q1，ρ*1，γ1）T∈Rms+2mns+ms+ms+.（4）

其中，γl1i為（3）式中約束相關(guān)聯(lián)的拉格朗日乘子，γ1為（4）式中所有拉格朗日乘子的ms維行向量.

1.2零售商的競爭行為及其均衡條件

qljk表示需求市場k在零售商j購買第l種產(chǎn)品的數(shù)量，qlRjk示回收中心j從需求市場k回收第l種可再制造產(chǎn)品的數(shù)量.我們將行向量表示為

Q2j：=q1j1，q1j2，…，q1jn，q2j1，…，q2jn，…，qsj1，…，qsjn∈Ros+，

QR2j：=q1Rj1，q1Rj2，…，q1Rjn，q2Rj1，…，q2Rjn，…，qsRj1，…，qsRjn∈Ros+，

Q2：=Q21，QR21，Q22，QR22，…，Q2n，QR2n∈R2nos+.

零售商j需要對所有產(chǎn)品進(jìn)行儲存或展示，有儲藏展示成本，用cj表示，是向量Q1函數(shù)，即cj=cj（Q1）.

ρljk表示需求市場k在零售商j購買第l種產(chǎn)品的零售價格；ρlRjk表示回收中心j向需求市場k回收第l種可再制造產(chǎn)品的單位回收價格.零售商j追求利潤最大化，則其目標(biāo)函數(shù)為：

Max∑sl=1∑ok=1ρljkqljk+∑sl=1∑mi=1ρlRijqlRij－∑sl=1∑mi=1ρlijqlij－∑sl=1∑ok=1ρlRjkqlRjk－cj（Q1），s.t.∑ok=1qljk≤∑ni=1qlij;∑ni=1qlRij≤∑ok=1qlRjk;qljk≥0，qlRjk≥0;i=1，2，…，m;k=1，2，…，o;l=1，2，…，s.（5）

（5）式中的約束條件表示消費(fèi)者從零售商處購買的產(chǎn)品不能超過其庫存量，制造商們不能從回收中心中購買超過庫存的回收產(chǎn)品.

假設(shè)所有零售商都處于非合作競爭狀態(tài)，則所有零售商同時達(dá)到最優(yōu)的條件等價于以下變式不等式，即求解（

Q*1，Q*2，ρ*2，γ*2，γ*3）T∈R2mns+2nos+ns+ns+ns+滿足

∑sl=1∑nj=1∑mi=1cjQ*1qlij+ρl*ij－γl*2j×qlij－ql*ij+∑sl=1∑nj=1∑ok=1－ρl*jk+γl*2j×qljk－ql*jk+∑sl=1∑nj=1∑mi=1ql*ij－∑ok=1ql*jk×γl2j－γl*2j+∑sl=1∑nj=1∑ok=1［ρlR*jk－γl*3j］×［qlRjk－qlR*jk］+∑sl=1∑nj=1∑mi=1［cjQ*1qlRij－ρlR*ij+γl*3j］×［qlRij－qlR*ij］+∑sl=1∑nj=1∑ok=1qlR*jk－∑mi=1qlR*ij×γl3j－γl*3j≥0，" " " "Q1，Q2，ρ2，γ2，γ3T∈R2mns+2nos+ns+ns+ns+.（6）

其中，γl2j、γl3j分別是（5）式中零售商j兩個約束相關(guān)聯(lián)的拉格朗日乘子，γ2、γ3分別為（6）式中所有γl2j、γl3j拉格朗日乘子的ns維行向量.

1.3需求市場的競爭行為及其均衡條件

cljk、clRjk分別表示為需求市場k和零售商j之間的第l種產(chǎn)品與第l種可再制造產(chǎn)品的交易成本，是向量Q2分量qljk、qlRjk的函數(shù)，即cljk=cljk（qlij），clRjk=clRjk（qlRij）.

ρlk表示在需求市場k中產(chǎn)品l的需求價格ρl3為需求市場k中產(chǎn)品l的需求價格組成的向量，而dlk表示需求市場k對產(chǎn)品l的需求量.需求函數(shù)通常也取決于各個需求市場對產(chǎn)品l的需求價格，即dlk=dlk（ρl3）.借用Wardop用戶準(zhǔn)則，需求市場的最優(yōu)均衡條件下：

ρl*jk+cljk（ql*jk）=ρl*k，" " if ql*jkgt;0，≥ρl*k， if ql*jk=0，（7）

dlk（ρl*3）≤∑nj=1ql*jk，" if ρl*k=0，=∑nj=1ql*jk， if ρl*kgt;0.（8）

（7）式表明當(dāng)需求市場處于均衡狀態(tài)時，消費(fèi)者從零售商購買商品，其需求價格應(yīng)大于消費(fèi)者所付出的交易成本與產(chǎn)品零售價格之和；若小于該和值，則消費(fèi)者將拒絕購買.（8）式表明若需求市場處于均衡狀態(tài)且需求價格為正數(shù)，那么需求市場中消費(fèi)者購買的產(chǎn)品數(shù)量總和與需求數(shù)量是相等的.在逆向供應(yīng)鏈中，需求市場是再制造產(chǎn)品的資源地.當(dāng)回收中心支付較低價格進(jìn)行回收時，需求市場的消費(fèi)者就會拒絕回收，并選擇自行利用這些產(chǎn)品［7］.

alRkQ*2+clRjkqlR*jk=ρlR*jk， if qlR*jkgt;0≥ρR*jk， if qlR*jk=0s.t.∑nj=1∑ok=1qlRjk≤λlk∑nj=1∑ok=1qljk， j=1，2，…，n;k=1，2，…，o;l=1，2，…，s.（9）

其中alRk=alRkQ2為需求市場k的意愿回收函數(shù)，λlk為需求市場k產(chǎn)品l的可回收產(chǎn)品比例系數(shù).

所有需求市場同時達(dá)到最優(yōu)的條件等同于以下變式不等式問題的解，即所求（Q2*，ρ*3，γ*4）T∈R2nos+os+os+滿足均衡時，（7）～（9）式對于每個需求市場都必須滿足，且與如下變分不等式問題是等價的，即求解（Q*2，ρ*3，γ*4）T∈R2nos+os+os+滿足

∑sl=1∑nj=1∑ok=1ρl*jk+clRij（qlRjk）－ρl*k－λlkγl4k×qljk－ql*jk+∑sl=1∑ok=1∑nj=1ql*jk－dlkρl*k×ρlk－ρl*k+∑sl=1∑nj=1∑ok=1alRkQ*2+clRjk（qlR*jk）－ρlR*jk+γl*4k×［qlRjk－qlR*jk］+∑sl=1∑ok=1∑nj=1λlkql*jk－qlR*jk×［γl4k－γl*4k］≥0，" " " " " " "Q2，ρ3，γ4T∈R2nos+os+os+.（10）

其中，γl4k為（9）式中約束相關(guān)聯(lián)的拉格朗日乘子，γ4為（10）式中所有拉格朗日乘子的os維行向量.

1.4綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)均衡條件

當(dāng)供應(yīng)鏈中所有決策者同時滿足最優(yōu)條件時，所有決策者的利潤均為最大化，沒有人有改變決策的傾向，此時供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)達(dá)到均衡.根據(jù)變分不等式的相加性原理，將變分不等式（4）、（6）和（10）式相加得到整體的綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)均衡條件即求解 （QN*，Q*1，Q*2，ρ*3，γ*1，γ*2，γ*3，γ*4）T∈Rms+2mns+2nos+os+ms+ns+ns+os+ 滿足

∑sl=1∑nj=1∑mi=1［clij（ql*ij，qlR*ij）q1ij+cjQ*1qlij+ωliblij（ql*ij，qlR*ij）ql*ij+γl*1i－γl*2j］×［qlij－ql*ij］+∑sl=1∑nj=1∑mi=1［fli（qlN*i，∑nj=1qlR*ij）qlRij+clij（ql*ij，qlR*ij）qlij+ωi（ali（qlN*i，∑nj=1qlR*ij）qlR*ij+blij（ql*ij，qlR*ij）qlRij）+cjQ*1qlRij－βlRiγl*1i+γl*3j］×［qlRij－qlRij*］+∑sl=1∑mi=1［ρlN*i+fli（qlN*i，∑nj=1qlR*ij）qlN*i+ωliali（qlN*i，∑nj=1qlR*ij）qlN*i－βlNiγl*1i］×［qlNi－qlN*i］+∑sl=1∑mi=1［βlNiqlN*i+∑nj=1βlRiqlR*ij－∑nj=1ql*ij］×［γl1i－γl*1i］+∑sl=1∑nj=1∑ok=1［γl*2j+cljkql*jk－ρl*k－λlkγl*4k］×qljk－ql*jk+∑sl=1∑nj=1∑ok=1［alRkQ*2+clRjk（qlR*jk）+γl*4k－γl*3j］×［qlRjk－qlR*jk］+∑sl=1∑nj=1［∑mi=1ql*ij－∑ok=1ql*jk］×［γl2j－γl*2j］+∑sl=1∑nj=1［∑ok=1qlR*jk－∑mi=1qlR*ij］×［γl3j－γl*3j］+∑sl=1∑ok=1［∑nj=1ql*jk－dlkρl*k］×ρlk－ρl*k+∑ol=1∑ok=1∑nj=1［λlkql*jk－qlR*jk］×［γl4k－γl*4k］，" " " " " " " " "（QN，Q1，Q2，ρ3，γ1，γ2，γ3，γ4）T∈Rms+2mns+2nos+os+ms+ns+ns+os+.（11）

而模型中設(shè)計的交易價格ρlij、ρlRij、ρljk、ρlRjk均是內(nèi)生變量，它們由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定.

由式（4）、（6）可知若ρl*ij，ρlR*ijgt;0，則

ρl*ij=clij（ql*ij，qlR*ij）qlij+ωliblij（ql*ij，qlR*ij）qlij+γl*1i=γl*2j－clj（Q*1）qlij，

ρlR*ij=βlRiγl*1i－fli（qlN*i，qlR*ij）qlRij－clij（ql*ij，qlR*ij）qlij－ωli（ali（qlN*i，qlR*ij）qlR*ij+blij（ql*ij，qlR*ij）qlRij）

=cjql*ij，qlR*ijqlRij+γl*3j.

由式（6）、（11）可知，若ρl*jk，ρlR*jkgt;0，則

ρl*jk=γl*2j=ρl*k－cljk（ql*jk）+λlkγl*4k，

ρlR*jk=γl*3j=alRk（Q*2）+clRjk（qlR*jk）+γl*4k.

此外由式（7）、（9）式結(jié)合（11）式可以得到γl*4k=0.

為了便于在后續(xù)章節(jié)中參考，變分不等式（11）可以以標(biāo)準(zhǔn)變分不等式形式重寫如下：尋找x*∈K滿足

〈F（x*），x－x*〉≥0，x∈K（12）

其中，K∈Rms+2mns+2nos+os+os+ms+ns+ns+os+.

2綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)解的通有穩(wěn)定性

文獻(xiàn)［8］中證明了當(dāng)可行集K是緊凸集，且F（x）在K上連續(xù)，則變分不等式問題F（x）至少有一個解.基于可行集K是緊凸集與F（x）在K上連續(xù)的假設(shè)，用M表示綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)解存在的問題集合，記Γ為M中的綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題，由上節(jié)可知每一個閉環(huán)綠色供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題都對應(yīng)這一個變分函數(shù)F，記為：Γ={F}.對Γ1，Γ2∈A，Γ1={F1}，Γ2=

{F2}.對?！蔒，用S（Γ）表示閉環(huán)綠色供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題Γ的解集.于是，S定義了從M到2K的集值映射.定義：

d（Γ1，Γ2）=［ms·max（maxx∈K（Γ1{f li（x）}-Γ2{f li（x）}2）i=1，…，m;l=1，…，s;

+ms·max（maxx∈K（Γ1{ωliali（x）}-Γ2{ωliali（x）}2）i=1，…，m;l=1，…，s;

+mns·max（maxx∈K（Γ1{clij（x）}-Γ2{clij（x）}2）i=1，…，m;j=1，…，n;l=1，…，s;

+mns·max（maxx∈K（Γ1{ωliblij（x）}-Γ2{ωliblij（x）}2）i=1，…，m;j=1，…，n;l=1，…，s;

+n·max（maxx∈K（Γ1{cj（x）}-Γ2{cj（x）}2）j=1，…，n;

+nos·max（maxx∈K（Γ1{cljk（x）}-Γ2{cljk（x）}2）j=1，…，n;k=1，…，o;l=1，…，s;

+nos·max（maxx∈K（Γ1{clRjk（x）}-Γ2{clRjk（x）}2）j=1，…，n;k=1，…，o;l=1，…，s;

+os·max（maxx∈K（Γ1{dlk（x）}-Γ2{dlk（x）}2）k=1，…，o;l=1，…，s;

+os·max（maxx∈K（Γ1{dlRk（x）}-Γ2{dlRk（x）}2）k=1，…，o;l=1，…，s;］１２

h（S（Γ1），S（Γ2））=min{rgt;0：S（Γ1）U（S（Γ2），r），S（Γ2）U（S（Γ1），r）}

其中，h是定義于K上的hausdorff度量，容易驗(yàn)證：d，h都是一個距離.

下面先給出證明閉環(huán)綠色供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題通有穩(wěn)定性是本質(zhì)的過程中有關(guān)的定義以及引理.

定義1對Γ∈M，S（Γ）為Γ的解集，若對x∈S（Γ）任意的開鄰域O（x）∈K，存在Γ在M中的開鄰域V，只要?！洹蔞，有S（?！洌蒓（x）≠成立，則x稱為Γ的一個本質(zhì)解.若Γ所有解都是本質(zhì)的，則Γ稱為是本質(zhì)的.根據(jù)上述定義，容易得到如下結(jié)論：Γ是本質(zhì)的當(dāng)且僅當(dāng)其解映射S在Γ處是下半連續(xù)的.

定義2X的可數(shù)個開集的交集稱為X的Gδ集，若拓?fù)淇臻gX中任意可數(shù)個稠密開集的交仍是X中的稠密子集，則稱X是一個Baire空間.

引理1若X是完備的度量空間，則必是Baire空間［9］.

引理2若X，Y是兩個Hausdorff拓?fù)淇臻g，且Y是緊空間，如果集值映射G：X→2Y是閉的，集值映射F：X→2Y是上半連續(xù)具緊值的，對x∈X，G（x）∩F（x）≠，則集值映射G（x）∩F（x）在X上是上半連續(xù)的且具緊值.［10］

引理3 （Fort定理）［11］若X是hausdorff拓?fù)淇臻g，Y是度量空間，集值映射S：X→2Y是一個上半連續(xù)集值映射，則存在X的一個剩余集Q，使x∈Q，S在x是下半連續(xù)的，從而連續(xù).

定理1（B，ρ）是完備的度量空間.其中，B={F：F為單值映射，且F在K上連續(xù)，ρ（F1，F(xiàn)2）=maxx∈K|F1（x）－F2（x）|.

證明：設(shè)Fn是（B，ρ）中的任意Cauchy序列，即對εgt;0，存在正整數(shù)N（ε），只要m，n≥N（ε），就有ρ（Fm，F(xiàn)n）lt;ε，固定x∈K，則Fn（x）是R空間中的Cauchy序列，存在F（x）0，使得

|Fn（x）－F0（x）|→0，（n→+ SymboleB@

），

并且d（Fn，F(xiàn)0）→ε，（n→+ SymboleB@

）.下證：F（x）0在K上是連續(xù)的.

對εgt;0，存在正整數(shù)N（ε），只要n≥N（ε），對x∈K都有

|Fn（x）－F0（x）|lt;ε3

特別的有

|FN+1（x）－F0（x）|lt;ε3，

x∈K因?yàn)镕N+1在x處是連續(xù)的，對上述ε，存在δgt;0，只要||x′－x||2lt;δ，就有|FN+1（x′）－FN+1（x）|lt;ε3，

因此有：

|F0（x′）－F0（x）|=|F0（x′）－FN+1（x′）+FN+1（x′）－FN+1（x）+FN+1（x）－F0（x）|

≤|F0（x′）－FN+1（x′）|+|FN+1（x′）－FN+1（x）|+|FN+1（x）－F0（x）|lt;ε，

即F0在K上是連續(xù)的.所以，F(xiàn)0∈B，（B，ρ）是完備的度量空間.

證畢.

定理2（M，d）是一個完備的度量空間.

證明：設(shè)Γn={Fn}是M中任意的Cauchy序列，即εgt;0，存在正整數(shù)N，只要n，m≥N就有d（Γn，Γm）lt;ε，因此得到

x∈K，有ρ（Fn（x），F(xiàn)m（x））lt;ε

{Fn（x）}是（B，h）空間中的Cauchy序列，由定理1得，存在K上連續(xù)的單值映射F0使ρ（Fn（x），F(xiàn)0（x））→0，（n→+∞）記Γ0={F0}，此時有Γ0∈M.即（M，d）是一個完備的度量空間.

證畢.

定理3解映射S：M→2k上半連續(xù)且具緊值.

證明：不妨構(gòu)建一個集值映射：對x∈K，T（x）=K.顯然，集值映射T是上半連續(xù)具緊值的，且T（x）∩S（x）=S（x）.由引理2知，只需要證明S的上圖graph（S）在M×K上是閉的即可，其中

graph（S）={（Γ，x）∈M×K：x∈S（Γ）}

設(shè)（Γn，xn）是graph（S）中的任意序列，滿足：（Γn，xn）→（Γ0，x0）∈M×K，其中Γn=（Fn），xn∈S（Γn），需證：x0∈S（F0），即y∈K，使〈F（x0），y－x0〉≥0.

反證法，如果上述結(jié)論不成立，則存在y0∈K，有〈F（x0），y0－x0〉lt;0.因?yàn)棣→Γ0，那么就存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N時，有：〈F（xn），y0－xn〉lt;0，這與xn∈S（Γn）矛盾.

所以x0∈S（Γ0）.解映射S是上半連續(xù)且具緊值.

證畢.

下面結(jié)合Fort定理建立綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題解的通有穩(wěn)定性結(jié)果.

定理4M中存在稠密剩余集Q，滿足：?！蔘，Γ是本質(zhì)的.

證明：由引理1和定理2，知M是Baire空間.再結(jié)合定理3和引理3（Fort定理），結(jié)論得證.

證畢.

3結(jié)束語

并非所有的綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題都是本質(zhì)的，但是在Baire分類的意義下，大多數(shù)的綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題是本質(zhì)的.進(jìn)而在綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題空間，存在稠密子集，使得該稠密子集的解映射是連續(xù)的.而解映射的連續(xù)性說明了當(dāng)兩個綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題的距離十分近時，兩個問題必定有一對解之間的距離也很近.事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)生活中的決策問題很容易出現(xiàn)擾動.在經(jīng)濟(jì)中的擾動可能來自于信息的不完備或者天氣、溫度等大自然因素，在工業(yè)中的擾動可能來自于測量儀器出現(xiàn)了誤差.對于本文，當(dāng)一個綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題是本質(zhì)的，則各成本、利潤、需求函數(shù)的擾動其對解的影響微小，可以對決策做出微小調(diào)整就可使系統(tǒng)維持均衡.但當(dāng)一個綠色閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)問題不是本質(zhì)的，則各成本、利潤、需求函數(shù)的擾動對解的影響巨大，需要對決策做出重大的改變才能使系統(tǒng)維持均衡狀態(tài).

［參考文獻(xiàn)］

［1］HANDFIELD R B，WALTON S V，GOIZUETA R C，et al.Green supply chain：best practice from the furniture industry［J］.Annual Meeting of the Decision Sciences Institute，1996，3：1295-1297.

［2］FLEISCHMANN M，KRIKKE H R，DEKKER R，et al.A Characterisation of logistics networks for product recovery［J］.Omega，2000，28：653-666.

［3］李進(jìn)，朱道立.模糊環(huán)境下低碳閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計多目標(biāo)規(guī)劃模型與算法［J］.計算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2018，24（2）：494-504.

［4］REDDY K N，KUMAR A，BALLANTYNE E E F.A three-phase heuristic approach for reverselogistics network design incorporating carbon footprint［J］.International Joumal of Production Research，2019，57（19）：6090-6114.

［5］顧秋陽，琚春華，吳功興.考慮碳排放量與數(shù)量折扣的閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計與多目標(biāo)決策優(yōu)化研究［J］.控制理論與應(yīng)用，2021，38（3）：349-363.

［6］楊玉香，張寶友，孟麗君，等.基于環(huán)境責(zé)任的閉環(huán)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)多準(zhǔn)則決策均衡問題［J］.系統(tǒng)管理學(xué)報，2014，23（1）：13-20.

［7］HAMMOND D，BEULLENS P.Closed-loop supply chain network equilibrium under legislat ion［J］.European Journal of Operational Research，2007，183：895-908.

［8］ANNA N.Network economics：A variational inequality approach［M］.USA：University of Massachusetts，1993：3-17.

［9］林志.非線性均衡理論及其研究［M］.重慶：重慶出版社，2016：21.

［10］AUBIN J P，EKELAND I.Applied nonlinear analysis［M］.New York：john Wiley amp; Sons，1984：110-111.

［11］FORT M K.Points of continuity of semicontinuous functions［J］.Publications Mathe maticae Debrecen，1951，2：100-102.

［責(zé)任編輯仲圓］