[摘 要] 中考對幾何面積的考查方式較為多樣，注重考查知識關(guān)聯(lián)、面積模型、轉(zhuǎn)化分析技巧，涉及了反比例函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、動態(tài)幾何等內(nèi)容. 研究者立足2023年江蘇省各市的中考面積問題，深入探索剖析，總結(jié)知識與模型并提出相應的教學建議.

[關(guān)鍵詞] 面積;幾何;綜合;模型;函數(shù)

面積是幾何圖形的重要屬性，是幾何探究的重要內(nèi)容，中考實際考查時形式多樣，常從綜合角度命制考題，考查面積公式、模型構(gòu)建、知識融合處理等內(nèi)容. 問題常涉及三角形、矩形、曲線以及動態(tài)幾何等內(nèi)容. 下面結(jié)合考題具體探究，總結(jié)知識內(nèi)容.

實例探究

1. 動態(tài)融合，面積比值

考題1：（2023年揚州市中考卷第18題）如圖1所示，已知正方形ABCD的邊長為1，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將正方形沿著EF翻折，點B恰好落在CD邊上的點B′處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3 ∶ 5，那么線段FC的長為________.

命題分析：本題目為以矩形折疊為背景構(gòu)建的面積比值問題，設定了兩四邊形的面積比值，求解線段長，屬于動點幾何面積問題. 問題有兩大特點：一是涉及了折疊，需要理解折疊過程，充分利用折疊特性;二是設定了面積比值條件，需要分別構(gòu)建面積模型，進而轉(zhuǎn)化為線段條件.

過程解析：如圖2所示，連接BB′，過點F作FH⊥AD于點H.

因為正方形ABCD的邊長為1，四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3 ∶ 5，所以S=×1=. 設CF=x，則DH=x，BF=1-x，從而可得S=（AE+BF）×AB=，即（AE+1-x）×1=，可解得AE=x-，于是可得DE=1-AE=-x，EH=ED-HD=-x-x=-2x.

根據(jù)其中的折疊特性可知BB′⊥EF，則∠1+∠2=∠BGF=90°. 又知∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3. 結(jié)合FH=BC=1，∠EHF=∠C，從而可證△EHF≌△B′CB（ASA），于是可得EH=B′C=-2x. 在Rt△B′FC中，由勾股定理可得B′F 2=B′C 2+CF 2，代入線段長可得（1-x）2=x2+

-2x2，解得x=，即線段FC的長為.

解后評析：上述為動態(tài)幾何面積問題，求解線段時經(jīng)過了兩個階段，階段一，構(gòu)建面積模型，設定參數(shù)轉(zhuǎn)化面積比值條件;階段二，常規(guī)幾何分析，把握折疊特性，提取三角形特殊關(guān)系，利用幾何性質(zhì)定理構(gòu)建方程求解線段長. 整個解析過程涉及了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定等.

2. 雙曲線融合，幾何意義轉(zhuǎn)化

考題2：（2023年連云港市中考卷第15題）如圖3，矩形OABC的頂點A在反比例函數(shù)y=（x<0）的圖象上，頂點B，C在第一象限，對角線AC∥x軸，交y軸于點D. 若矩形OABC的面積是6，cos∠OAC=，則k=______.

命題分析：本題目是以反比例函數(shù)為背景命題的面積問題，其中涉及了矩形面積、三角形函數(shù)等知識，求解反比例函數(shù)的特征參數(shù)k的值. 問題有兩大特點，一是設定矩形面積值，顯然可結(jié)合反比例函數(shù)k的幾何意義模型;二是設定三角函數(shù)值，主要考查的是三角函數(shù)的模型構(gòu)建.

過程解析：已知cos∠OAC=，則在Rt△AOC中，有cos∠OAC===，可設AD=2a，則AO=3a，所以AC=a.

因為矩形OABC的面積是6，AC是對角線，所以△AOC的面積為3，即AO×OC=3，所以OC==. 在Rt△AOC中，由勾股定理可得AC 2=AO2+OC 2，代入線段長有

a2=（3a）2+

2，即a2=，可解得a2=. 在Rt△AOC中，由勾股定理可求得DO==a. 因為對角線AC∥x軸，則AD⊥OD，結(jié)合反比例函數(shù)k的幾何意義模型可得

k

=2S△AOD=2a×a=2a2 =2×=. 由于反比例函數(shù)的圖象位于坐標系的第二象限，故k=-.

解后評析：上述反比例函數(shù)k的求解中涉及了面積模型的構(gòu)建，具體構(gòu)建時要充分利用對應的幾何意義，利用k的幾何意義進行面積轉(zhuǎn)化. k的幾何意義模型較多，與圖形定點的位置有著緊密的關(guān)聯(lián)，探究時需要重點關(guān)注.

3. 拋物線融合，綜合構(gòu)建

考題3：（2023年蘇州市中考卷第27題）如圖4，二次函數(shù)y=x2-6x+8的圖象與x軸分別交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），直線l是對稱軸. 點P在函數(shù)圖象上，其橫坐標大于4，連接PA，PB，過點P作PM⊥l，垂足為M，以點M為圓心，作半徑為r的圓，PT與☉M相切，切點為T.

（1）求點A，B的坐標;

（2）若以☉M的切線長PT為邊長的正方形的面積與△PAB的面積相等，且☉M不經(jīng)過點（3，2），求PM長的取值范圍.

命題分析：本題目為拋物線綜合題，融合了拋物線、圓、三角形等，涉及了相交、相切、垂直等特殊關(guān)系. 第（2）問為核心之問，設定正方形與三角形的面積相等，屬于典型的幾何面積問題，解析突破則需要把握圖形特征，分別構(gòu)建面積模型.

過程解析：（1）令y=0，則有x2-6x+8=0，解得x=2或x=4，所以點A（2，0），B（4，0）.

（2）拋物線過點A（2，0），B（4，0），所以拋物線的對稱軸為直線x=3，可設P（m，m2-6m+8）. 因為PM⊥l，則點M的坐標可表示為（3，m2-6m+8）.

如圖5所示，連接MT，可推得MT⊥PT，則PT 2=PM 2-MT 2=（m-3）2-r 2，所以以切線PT為邊長的正方形的面積可表示為（m-3）2-r 2.

過點P作PH⊥x軸，垂足為H，則△PAB的面積可表示為S△PAB=AB·PH=m2-6m+8，根據(jù)等面積關(guān)系可得（m-3）2-r2=m2-6m+8. 因為r>0，所以r=1. 假設☉M過點N（3，2），則有以下兩種情形：

情形一：如圖6-（a）所示，當點M在點N的上方時，即M（3，3），所以m2-6m+8=3，可解得m=5或m=1. 因為m>4，所以m=5. 此時，PM=m-3=2.

情形二：如圖6-（b）所示，當點M在點N的下方時，即M（3，1），所以 m2-6m+8=1，可解得m=3±. 因為m>4，所以m=3+. 此時，PM=m-3=.

綜上可知，當☉M不經(jīng)過點（3，2）時，1<PM<或<PM<2或PM>2.

解后評析：上述為拋物線綜合題，核心之問涉及了等面積條件，故探究時分別構(gòu)建面積模型，將面積條件轉(zhuǎn)化為參數(shù)值條件. 該問題中三角形面積模型的構(gòu)建方式較為特殊，高和底具有水平、豎直的特點，可直接構(gòu)建. 對于具有斜線特點的三角形面積模型，可以借助鉛錘模型構(gòu)建.

透視考點，模型探索

幾何面積是中考的重要考點，實際考查時有多種方式，涉及了常規(guī)幾何折疊、與反比例函數(shù)融合、與拋物線融合. 其中，后兩種融合方式對學生的解析能力有著較高的要求，學生需要掌握對應背景問題中面積模型構(gòu)建與轉(zhuǎn)化的策略. 下面具體總結(jié)探索.

1. 借助幾何意義建模

對于反比例函數(shù)中與特征參數(shù)k相關(guān)的面積問題，模型構(gòu)建時要深刻理解其幾何意義，掌握利用幾何意義進行面積轉(zhuǎn)化的策略.

（1）幾何意義釋義

常規(guī)情況中，在反比例函數(shù)圖象上任選一點，向兩坐標軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成矩形的面積為k，如圖7-（a）;而所圍成三角形的面積為，如圖7-（b）.

（2）特殊轉(zhuǎn)化探索

如圖8所示，直線AB與反比例函數(shù)y=（k≠0）交于A，B兩點，與x軸、y軸的交點分別為C，D，對于該模型中的面積關(guān)系推導可以借用幾何意義，如下：

過點A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則根據(jù)k的幾何意義可得S=S，而S+S=S+S，所以有S=S.

2. 借助鉛垂模型建模

對于拋物線中一般三角形的面積問題，可以借助鉛垂模型來構(gòu)建，進而將面積問題轉(zhuǎn)化為與點坐標相關(guān)的一般代數(shù)問題.

對于圖9所示的平面直角坐標系中的△ABC，其面積可以表示為S△ABC=，其中A，B兩點之間的水平距離稱為“水平寬”，過點C作x軸的垂線與AB交于點D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”.

若設定點A（x，y），B（x，y），C（x，y），D（x，y），將點坐標代入其中，可進一步將△ABC的面積表示為=，具體求解時可結(jié)合線段條件靈活變化該模型公式.

教學反思，備考建議

幾何面積作為中考重要考點，其考查方式較為多樣，綜合性強，教學探究中需要對其考查方式進行梳理，總結(jié)解題模型，生成相應的解題策略. 下面結(jié)合教學實踐提出幾點備考建議.

1. 總結(jié)考查方式，探索命題特點

幾何面積考查方式較多，常見一般幾何面積、與曲線相結(jié)合、融合動態(tài)幾何、涉及三角函數(shù)等. 具體探究中建議立足近幾年的中考真題開展考查方式的探索，可分為兩個階段：階段一，對問題類型進行分類，包括常規(guī)面積求解、面積比值轉(zhuǎn)化、面積最值分析等;階段二，探索命題構(gòu)建特點，分析探討所涉及的知識內(nèi)容，剖析問題本質(zhì)，深度挖掘問題的考查重點，包括知識、方法、思路構(gòu)建等. 教師在教學引導中要精選真題，全面覆蓋考點，指導學生深刻理解問題的命制思路.

2. 總結(jié)破解方法，探索模型構(gòu)建

面積問題的破解方式不一，針對不同類型的問題需要選用對應的方法策略，構(gòu)建合理的面積問題模型. 常規(guī)問題可直接借助面積公式求解，但對于涉及雙曲線、拋物線的面積問題，則借助模型構(gòu)建解題更為簡捷. 以上述總結(jié)的知識內(nèi)容為例，反比例函數(shù)面積問題中建議利用k的幾何意義，直接將面積問題轉(zhuǎn)化為與k相關(guān)的代數(shù)問題，拋物線面積問題中建議借助鉛垂模型，將問題轉(zhuǎn)化為推導點坐標或相關(guān)線段長. 教學時教師要注意模型構(gòu)建過程的講解，指導學生掌握構(gòu)建技巧，使學生理解模型內(nèi)容和應用策略.

3. 思想方法教學，提升綜合素養(yǎng)

幾何面積問題的破解過程中會涉及眾多的思想方法，最為常見的有數(shù)形結(jié)合、模型構(gòu)建、化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等. 教學指導中建議立足考題，引導學生體驗解題過程，感悟其中的思想方法，深刻理解其精髓內(nèi)涵. 在此基礎上進行思想方法使用策略的指導，包括問題解析、模型構(gòu)建、條件轉(zhuǎn)化、問題討論等. 教師要注意培養(yǎng)學生的解析思維，關(guān)注解題探索中學生的思維變化，適時引導，逐步培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提升綜合能力.