[摘 要] 開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)在激發(fā)學(xué)生濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等方面發(fā)揮著重要的作用. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷強(qiáng)化自身的模型觀念，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，由此逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，提高學(xué)生的綜合能力和綜合素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模教學(xué);綜合能力;綜合素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要內(nèi)容之一，也是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的有效途徑和重要手段之一，還是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與觀察世界的基本途徑[1]. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型抽象、應(yīng)用等過(guò)程，讓學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過(guò)程中獲得可以持續(xù)學(xué)習(xí)的能力和素養(yǎng)，培養(yǎng)其應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力和創(chuàng)新意識(shí). 在實(shí)際教學(xué)中，教師要提高自身的建模意識(shí)，留出一定的時(shí)間和空間引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型抽象的過(guò)程，以此逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力. 當(dāng)然，模型觀念的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，因此教師要把培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念貫穿教學(xué)的始終，讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)際問題—數(shù)學(xué)問題—數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)結(jié)論—解決問題”等過(guò)程，使學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)模型在解決實(shí)際問題中的價(jià)值，以此建立模型觀念.

強(qiáng)化建模意識(shí)，樹立建模信心

模型觀念的建立不是一蹴而就的，它是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程. 在日常教學(xué)中，教師應(yīng)尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，從一些比較容易尋找模型的題目入手，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)建模的優(yōu)越性，并獲得數(shù)學(xué)建模的成功體驗(yàn)，以此逐步提升數(shù)學(xué)建模意識(shí). 教學(xué)中，教師應(yīng)立足教材，將數(shù)學(xué)建模教學(xué)與現(xiàn)行教材結(jié)合起來(lái)進(jìn)行研究，并將培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實(shí)生活中的問題，并能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

例1 為了做好后期的道橋養(yǎng)護(hù)工作，某路段在一定時(shí)間內(nèi)需要向過(guò)往車輛征收一定費(fèi)用，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：7座及以下（含7座）的小型客車每輛次收費(fèi)5元，7座以上的載客汽車及各類貨車和客貨兩用車每輛次收費(fèi)10元. 已知某日通過(guò)的汽車總數(shù)為3000輛次.

（1）設(shè)該日小型客車通行的輛次為x，總的通行費(fèi)為y元，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）通行車輛中，若大型車輛的數(shù)量介于20%至40%之間，試求一天收費(fèi)總數(shù)的范圍.

解：（1）根據(jù)已知條件可知，大型車輛為（3000-x）輛次，所以y=5x+10（3000-x），即y=30000-5x（0≤x≤3000）;

（2）根據(jù)已知可得大型車輛的數(shù)量為600輛到1200輛，所以1800≤x≤2400，于是可得18000≤y≤21000.

無(wú)論是在教材中，還是在考試中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到此類數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，這些應(yīng)用問題往往以數(shù)學(xué)建模為中心，注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 因此在實(shí)際教學(xué)中，教師要從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，逐步地滲透數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際問題建構(gòu)合適的數(shù)學(xué)模型，以此提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)注主體價(jià)值，培養(yǎng)模型意識(shí)

數(shù)學(xué)教學(xué)的主體是學(xué)生，教學(xué)中教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主體價(jià)值，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，以此讓學(xué)生通過(guò)親身經(jīng)歷提高數(shù)學(xué)建模能力，促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)[2]. 不過(guò)在日常教學(xué)中，部分教師為了完成教學(xué)計(jì)劃，常常先直接將數(shù)學(xué)模型或建9e89e90a8417d590e63e1079e074a55e模方法告知學(xué)生，然后讓學(xué)生套用，這樣忽視學(xué)生思考過(guò)程的教學(xué)將影響學(xué)生模型觀念的發(fā)展. 因此在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師應(yīng)該創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去探索、去提煉、去應(yīng)用，以此讓學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué).

例2 如圖1，小明和小剛同時(shí)從學(xué)校出發(fā)騎行到圖書館，小明以150米/分的速度騎行了一段后，休息了5分鐘，然后以m米/分的速度繼續(xù)行駛，小剛?cè)虅蛩傩旭偅?qǐng)結(jié)合圖象回答如下問題：

（1）請(qǐng)分別求出a，b，m的值;

（2）若小剛的速度為120米/分，試求小明和小剛第二次相遇時(shí)距離終點(diǎn)的距離;

（3）在（2）的條件下，小明第二次出發(fā)，何時(shí)兩人相距100米？

題目給出后，教師先預(yù)留一定的時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后通過(guò)互動(dòng)交流的方式與學(xué)生共同經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的抽象、應(yīng)用等過(guò)程. 教學(xué)片段如下：

師：圖2是小明行駛的路程y（米）與時(shí)間x（分鐘）的變化關(guān)系，從中你能獲得哪些信息？

生1：根據(jù)圖象可知小明前半程的速度為150米/分，后半程的速度為200米/分.

生2：根據(jù)速度、時(shí)間、路程的數(shù)量關(guān)系，可以寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，如OA這一段的解析式為y=150x（0≤x≤10）.

生3：結(jié)合函數(shù)圖象也可以得到函數(shù)解析式，設(shè)正比例函數(shù)y=kx，且函數(shù)過(guò)點(diǎn)（10，1500），利用待定系數(shù)法也可以求得函數(shù)解析式為y=150x.

師：很好，兩位同學(xué)分別從數(shù)和形兩個(gè)角度得到了線段OA的解析式，利用以上方法，你能求出線段BC的解析式嗎？

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生分別用不同的方法求線段BC的解析式，很快學(xué)生就有了答案.

生4：我是用兩種方法求的，不過(guò)得到的最終結(jié)果卻不一樣，搞不懂問題出在了哪里. （許多學(xué)生點(diǎn)頭，表示和生4遇到了同樣的問題）

師：請(qǐng)先分別說(shuō)說(shuō)你的求解過(guò)程.

生4：從數(shù)的角度，利用速度、時(shí)間、路程的數(shù)量關(guān)系得y=200x（15≤x≤22.5）;從形的角度，設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，函數(shù)圖象過(guò)（15，1500）和（22.5，3000）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)解析式為y=200x-1500.

師：?jiǎn)栴}到底出在了哪里呢？為什么利用兩種方法得到的答案會(huì)有所不同呢？你認(rèn)為哪個(gè)結(jié)果才是正確的？

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生思考、交流.

生5：y=200x（15≤x≤22.5）是不對(duì)的，結(jié)合圖2可以看出，該函數(shù)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以它不是正比例函數(shù).

生6：也可以利用特殊點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，點(diǎn)（15，1500）顯然不在函數(shù)y=200x的圖象上，所以y=200x不對(duì)，不過(guò)我不知道如何解釋不對(duì)的原因.

師：具體應(yīng)該如何解釋呢？如果將以上函數(shù)圖象轉(zhuǎn)換為線段示意圖，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生重新繪制線段示意圖，教師展示學(xué)生操作結(jié)果（如圖3）. 結(jié)合圖3，學(xué)生得到如下關(guān)系式：y=1500+200（x-15）=200x-1500. 這樣結(jié)合線段示意圖，學(xué)生恍然大悟，只有在BC段的速度才是200米/分，其所對(duì)應(yīng)的時(shí)間為（x-15）分.

這樣通過(guò)互動(dòng)交流，不僅找到了問題的癥結(jié)，而且可以規(guī)范分段函數(shù)解析式的標(biāo)準(zhǔn)書寫格式，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

師：剛剛我們分析了小明的騎行路徑，得到了相應(yīng)的函數(shù)解析式，現(xiàn)在分析小剛的騎行路徑，看看你又有什么發(fā)現(xiàn).

在解決這一問題的過(guò)程中，教師先讓學(xué)生在圖2的基礎(chǔ)上畫出小剛的騎行路徑（如圖4），以此通過(guò)動(dòng)手操作，讓學(xué)生進(jìn)一步感知其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，提煉相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而為后續(xù)問題的解決奠定基礎(chǔ).

生7：若小剛的騎行速度為120米/分，則可以求出線段OD解析式為y=120x（0≤x≤25）.

生8：不妨令兩次相遇時(shí)的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，根據(jù)已知易求得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，它們分別為E（12.5，1500）和F（18.75，2250）.

師：現(xiàn)在回到原題中的問題（2）和問題（3），結(jié)合圖形，說(shuō)說(shuō)你的結(jié)論.

生9：對(duì)于第2個(gè)問題，兩人第二次相遇在點(diǎn)F處，此時(shí)距圖書館的距離就是3000-y=3000-2250=750米.

師：很好，問題（3）呢？

生10：結(jié)合圖象可知，從小明第二次出發(fā)到小明到圖書館前，兩人相距100米會(huì)有兩種情形，第一種情形是小剛在小明前面100米，第二種情形是小明在小剛前面100米. 也就是說(shuō)，兩者之間的距離之差為100米.

師：很好，具體該如何表達(dá)呢？

生11：第一種情形可以表示為y-y=100，即120x-（200x-1500）=100，解得x=17.5;第二種情形可以表示為y-y=100，即（200x-1500）-120x=100，解得x=20.

生12：也可以合并起來(lái)寫，即

y

-y=100.

師：是否存在第三種情況呢？

在教師的追問下，學(xué)生繼續(xù)思考，發(fā)現(xiàn)當(dāng)小明到達(dá)時(shí)，小剛到達(dá)前，還存在兩者的距離是100米的情形，即3000-120x=100，解得x=24.

在以上過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決相關(guān)的問題，讓學(xué)生充分感知一次函數(shù)模型在解決實(shí)際問題中的優(yōu)越性，不斷強(qiáng)化學(xué)生的模型觀念，提高學(xué)生分析和解決問題的能力. 另外，教師提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生主動(dòng)交流、主動(dòng)建構(gòu)，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與課堂的積極性和主動(dòng)性，促進(jìn)了學(xué)生思維能力的發(fā)展.

在日常教學(xué)中，教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)模型思想的滲透，使學(xué)生逐漸由“知識(shí)型”向“能力型”轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題，不斷發(fā)展和完善學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活地應(yīng)用相應(yīng)的模型解決問題，促進(jìn)學(xué)生多方面素質(zhì)的提升.

經(jīng)歷建模過(guò)程，掌握建模方法

數(shù)學(xué)建模既是一種數(shù)學(xué)思想方法，也是學(xué)生解決實(shí)際問題的重要工具. 數(shù)學(xué)建模的目的不僅僅是解決幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問題或者獲得幾個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，更重要的是通過(guò)經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化和思維的升華. 在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，由此通過(guò)親身經(jīng)歷逐漸掌握數(shù)學(xué)建模的方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通.

例3 如圖5，直線l表示一條小河，一個(gè)少年騎馬從點(diǎn)A出發(fā)到小河飲水，飲水后返回位于點(diǎn)B的家中，你能為少年規(guī)劃一條路徑，使得他所走的路程最短嗎？

在解決這一問題的過(guò)程中，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生思考、交流，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型的建立、詮釋、拓展、應(yīng)用等過(guò)程，逐步培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念.

師：你能否將以上問題進(jìn)一步簡(jiǎn)化呢？

生1：已知直線l的同側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)A，B，請(qǐng)?jiān)谥本€l上確定一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小.

師：這樣的點(diǎn)P在何位置呢？你能利用幾何方法加以證明嗎？

生2：如圖6，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求. 為了進(jìn)一步驗(yàn)證，不妨在直線l上任取一點(diǎn)P′，連接AP′，A′P′，BP′. 因?yàn)锳，A′關(guān)于直線l對(duì)稱，所以AP′=A′P′，AP=A′P，于是有AP′+P′B=A′P′+P′B，AP+PB=A′P+PB=A′B. 在△A′P′B中，A′P′+P′B>A′B，由此可證得點(diǎn)P即為所求，此時(shí)PA+PB的值最小.

師：非常好！現(xiàn)在我們換個(gè)問題. 如圖7，在直線m，n的內(nèi)側(cè)有兩點(diǎn)A，B，若分別在直線m，n上任取兩點(diǎn)C，D，使得AC+CD+DB的值最小，你能找到滿足條件的兩點(diǎn)嗎？

師：求滿足條件的一個(gè)點(diǎn)現(xiàn)在變?yōu)榱藘蓚€(gè)點(diǎn)，我們?cè)撊绾螌ふ夷兀?/p>

問題給出后，學(xué)生積極思考，主動(dòng)操作，很快就有了答案.

生3：作點(diǎn)A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于直線n的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，A′B′與直線m，n的交點(diǎn)即為所求.

師：如果在圖5的基礎(chǔ)上變一變，將直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)A，B改為直線異側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，且兩個(gè)定點(diǎn)到直線l的距離不相等，如何在直線l上求一點(diǎn)P，使PA-PB的值最大呢？

教師話音剛落，學(xué)生就已經(jīng)開始積極操作了.

生4：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，并延長(zhǎng)AB′使之與直線l交于點(diǎn)P，此時(shí)PA-PB的值最大.

答案給出后，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)一步驗(yàn)證，從而加深學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)、方法的理解. 在此基礎(chǔ)上，教師又給出一些相關(guān)的題目進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，以此加深學(xué)生對(duì)“將軍飲馬”這一重要數(shù)學(xué)模型的理解，讓學(xué)生在變化的圖形中感受不變的原理，提高舉一反三的能力.

此模型為著名的“將軍飲馬”問題，其主要研究?jī)蓷l不在同一直線上的線段和的最小值問題. 在研究這一問題時(shí)，主要就是通過(guò)變換將兩條不在同一條直線上的線段集中在同一條線段上，從而利用“兩點(diǎn)之間線段最短”這一原理來(lái)解決問題. 該模型在生產(chǎn)生活中有著重要的應(yīng)用，因此教師應(yīng)提供充足的時(shí)間讓學(xué)生經(jīng)歷抽象、驗(yàn)證、拓展、應(yīng)用等環(huán)節(jié)，從而讓學(xué)生獲得全面且深刻的理解，使學(xué)生可以靈活應(yīng)用該模型解決現(xiàn)實(shí)問題.

圖形是千變?nèi)f化的，方法是多種多樣的，但若能拋開這些表象的內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，則不難發(fā)現(xiàn)許多題目都有著相似的背景和解題思想，因此教師要重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些相似內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，以此逐步培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生敏銳的洞察力和想象力. 隨著模型觀念的不斷強(qiáng)化，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也變得更加簡(jiǎn)單化、有序化，有利于他們優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)和發(fā)展思維能力.

總之，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)該全方位地理解教學(xué)內(nèi)容，逐步提高自身的建模意識(shí)，并做好建模教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)，始終貫徹“以師為主導(dǎo)、以生為主體”的教學(xué)理念，針對(duì)不同的知識(shí)點(diǎn)選擇不同的數(shù)學(xué)模型，充分發(fā)揮學(xué)生的主體價(jià)值，提高學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模的積極性，逐步培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

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