[摘 要] 學生在課堂上掌握的數(shù)學知識幾年之后有可能會遺忘，但所獲得的思想方法、思維品質(zhì)、研究方法、數(shù)學精神等會讓學生受益終身. 文章以“相似三角形”的復習教學為例，具體從“創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣”“舊知回顧，切入主題”“問題設計，引發(fā)探究”“梳理總結(jié)，歸納提升”四個環(huán)節(jié)設計教學，并對基于“分類思想”發(fā)展的初中數(shù)學教學談一些思考.

[關鍵詞] 分類;數(shù)學思想;分類討論

分類思想是指根據(jù)知識本質(zhì)屬性的異同點，將研究對象分出不同種類的一種常用的數(shù)學思想，這種思想方法貫穿于學生的整個數(shù)學學習生涯[1]. 當我們遇到一個結(jié)論不唯一的問題時，常會將這個問題分成若干種情況進行逐一討論，最后總結(jié)出結(jié)論，這就是分類討論法的應用. 學生在應用分類思想時，會無形中將復雜的問題簡單化，提高思維的條理性、周密性等. 本文以“相似三角形”的復習教學為例，談一談如何向?qū)W生滲透分類思想.

教學實錄

1. 創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣

課堂伊始，教師帶領學生回顧垃圾分類問題，并要求學生說說家里每天會產(chǎn)生哪些垃圾，這些垃圾該如何分類？

家里常見的垃圾有餐巾紙、礦泉水瓶、果皮、廢舊電池、過期藥品等，可將這些垃圾進行整理分類，分別對應廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾以及其他垃圾類.

師：垃圾分類是常見的生活實例，除此之外還有哪些需要分類的生活實例呢？

學生表示商場、超市的物品擺放，書店的圖書擺放，人的年齡等都是常見的分類類型.

設計意圖 垃圾分類是當前最熱門的社會話題之一. 以此作為情境素材，意在調(diào)動學生對課堂的興趣，強化學生的垃圾分類意識. 讓學生自主說說生活中常見的分類現(xiàn)象，是讓學生將自身的生活經(jīng)驗遷移到課堂中來，感悟分類思想的必要性與重要性，為本節(jié)課的教學奠定基礎.

2. 舊知回顧，切入主題

借助PPT展示圖1，與學生一起回顧相似三角形相關的基礎知識.

設計意圖 相似三角形的知識點比較多，教師以思維導圖的方式展示與之相關的內(nèi)容，一方面幫助學生有條理地回顧舊知，感知分類思想的實用性;另一方面為本節(jié)課的教學夯實知識與方法基礎.

3. 問題設計，引發(fā)探究

問題1 已知△ABC為一塊金屬材料，AD為BC邊上的高，若AD=，BD=3，CD=1，請畫出這塊金屬材料的形狀.

一位學生根據(jù)高位于三角形的內(nèi)部，畫出一個含30°角的直角三角形（如圖2）;也有學生提出還有可能是類似于圖3的三角形，這是建立在“高位于三角形外部”的基礎上得來的.

教師充分肯定了這兩種答案，并強調(diào)：高的位置存在三種情況，即形內(nèi)、形外與形上，形上的情況不存在，那么就要從形內(nèi)與形外兩種情況進行討論.

師：如果我們將這個問題的條件稍做改變，即如圖2，已知AD為△ABC中BC邊上的高，AD 2=BD·CD，則該三角形是什么形狀呢？

生：直角三角形. 理由是根據(jù)三角形相似的判定定理，即兩條邊對應成比例，同時夾角相等的兩個三角形相似.

師：若去掉“如圖2”這個條件，還能確定該三角形一定是直角三角形嗎？

設計意圖 對應關系不明確的情況下，最需要分類討論. 如此設計主要是為了讓學生明確三個問題：①為什么需要分類？存在多種結(jié)論;②如何分類？確定好分類對象與標準后實施分類;③分類有哪些注意事項？不重不漏. 此處除了復習相似三角形的判定定理，還為整節(jié)課提供了圖形素材.

問題2 若想在圖2這塊金屬材料中裁出它的內(nèi)接正方形，使得正方形的頂點都位于△ABC的邊上，求正方形的邊長.

師生活動：在教師的引導下，學生以合作交流的方式進行分類討論，著重關注分類對象與標準. 經(jīng)討論，學生一致認為滿足條件要求的正方形存在兩類情況，即兩個頂點位于斜邊（或兩直角邊）上（圖4）以及一個頂點與點A重合（圖5）.

設計意圖 本題屬于因方案的不確定而需要分類討論的問題，學生通過對問題的分析，考慮頂點落于不同位置的情況，同時，這兩個結(jié)論圖形也是常用的基本圖形，可進一步強化學生對相似三角形的性質(zhì)“對應高的比等于相似比”的理解.

巡視發(fā)現(xiàn)，有一部分學生利用“30°角的三角函數(shù)值”解決了本題，這種方法也值得贊揚，其實三角函數(shù)的本質(zhì)就是相似三角形.

問題3 如圖6，將等腰直角三角形EFD（教師提供）與含30°角的Rt△ABC各剪一刀，使得原三角形變成兩個三角形，讓Rt△ABC變成的兩個三角形與△EFD分成的兩個三角形分別相似.

師生活動：四人小組合作，確定分類標準與依據(jù)，各組派一名代表展示討論結(jié)果. 將直角三角形一分為二，分割線必然會經(jīng)過三角形中的一個頂點，故存在三種情況;將等腰直角三角形一分為二，因為有兩個頂角的度數(shù)一樣，因此存在兩種情況.

設計意圖 這兩個三角形的角度均具有特殊性，屬于特殊的三角形，且恰巧構(gòu)成一副三角板. 因為解決本題的方案具有不唯一性與不確定性，所以需要分類討論. 設計此題，不僅完善了學生對相似三角形判定定理“兩個角對應相等的兩個三角形相似”的理解，還讓學生進一步感悟了嚴格分類討論的重要性.

問題4 如圖7，點D為上述Rt△ABC中AC邊上的一點，已知CD的長為，若過點D將原三角形一分為二，讓剪下的三角形與原三角形相似，求新三角形與原三角形的相似比.

如圖8所示，不同的剪法可形成不一樣的情況，在分類時可分別考慮與AB邊以及與BC邊相交的不同情況，所獲得的相似三角形各不一樣，相似比也不一樣.

問題5 若點D位于三角形邊上非頂點的任意位置，過點D剪下的新三角形與△ABC相似的情況有哪些？

師生活動：給予學生充足的時間與空間進行思考與交流，必要時進行適當點撥，將學生所展示的結(jié)論借助幾何畫板的演示功能進行解析：

方法1：如圖9，若點D位于AC上，則存在四種剪法滿足題設要求.

方法2：如圖10，若點D的位置在BC邊上，則存在三種剪法.

方法3：若點D的位置在AB邊上，則有如下兩種情況：①如圖11，若AD≤，則存在四種剪法;②如圖12，若<AD<2，則存在三種剪法.

設計意圖 本題為典型的相似三角形問題，在中考中常有出現(xiàn)，對學生思維有較高要求. 循序漸進的問題設計，意在為學生的思維搭建“腳手架”，讓學生由淺入深地感知分類討論思想方法. 本題將學生的思維推向了高潮，鑒于問題難度較大，教師在適當時刻要給予點撥與引導，讓學生自主進入分類討論的狀態(tài).

4. 梳理總結(jié)，歸納提升

再一次帶領學生梳理相似三角形的相關知識，展示圖1，帶領學生在總結(jié)回顧中建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)，對相似三角形形成系統(tǒng)性的認識. 同時，總結(jié)本節(jié)課涉及的分類討論思想，與學生一起說說在哪些地方用到了分類討論？分類依據(jù)與標準怎么確定？有什么特別值得注意的地方，等等.

設計意圖 思維導圖的再次展示，意在完善學生的認知結(jié)構(gòu);分類討論相關內(nèi)容的思考，是促進學生進行教學反思與反省的過程，學生在一個個問題的提示下進行分析與思考，不僅進一步完善了對知識重點與難點的認識，而且自主提煉了分類討論思想，這種思想將伴隨學生的一生，是提升數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎.

教學思考

1. 方法為載體，關注復習成效

復習教學與新授課有較大區(qū)別，新授課是將一個個知識點化整為零，進行逐個突破;復習教學需要將一個個零散的知識點聚集到一起化零為整，形成知識體系，為綜合應用做鋪墊. 因此，復習教學首先要將基礎知識羅列到一起，通過一定的方法將它們整理、歸納，便于學生記憶、理解與應用，這是提升學生解題能力關鍵性的一步，也是提高復習成效的重要舉措[2].

本節(jié)課，教師在帶領學生回顧舊知環(huán)節(jié)就將所有知識點以清晰的思維導圖形式進行呈現(xiàn)，一方面節(jié)約了學生逐個回憶的時間成本，另一方面為接下來知識的應用奠定基礎. “分類討論”是突破相似三角形相關問題的關鍵，究竟該怎樣分類？這是教學的重點與難點. 教師結(jié)合學情與知識特點設計了環(huán)環(huán)相扣的問題，讓學生不由自主地進入獨立思考與合作交流的狀態(tài)，并應用合理的方法進行分類討論，取得了較好的復習成效.

2. 問題為基礎，促進思維發(fā)展

問題是推動課堂前進的動力，尤其是由淺入深的問題串，能簡化高度復雜或綜合性問題的難度，讓學生在低起點、密臺階的問題引導下逐步啟發(fā)思維、突破難點[3]. 本節(jié)課，學生在一個個問題的啟發(fā)下，感知圖形的變化、延伸，體會分類討論思想的應用，整個教學設計存在兩條平行線索：

線索1：含30°角的Rt△ABC貫穿始終

問題1就成功地將學生的目光吸引到圖2，隨著教學的逐漸深入，問題變得越發(fā)復雜，但萬變不離其宗，每一個問題都緊緊圍繞該三角形而展開. 在分類討論思想的輔助下，學生每解決一個問題，就復習了相似三角形的判定定理與性質(zhì). 整個復習過程中，每一個問題的設計都很巧妙，探究活動的開展成功點燃了學生的學習熱情，課堂氛圍民主、開放，學生在探索三角形時積累了豐富的活動經(jīng)驗.

線索2：各種形式的分類討論

相似三角形的探索是實施分類討論的絕佳媒介. 本節(jié)課，教師帶領學生從“無圖—有圖”“一個分類對象—多個分類對象”“靜態(tài)圖—動態(tài)圖”三個維度進行分類討論，讓學生充分感知分類的必要性與重要性，學生在應用過程中對分類方法、依據(jù)、標準以及注意事項等形成了深刻印象，從真正意義上感知了分類討論的內(nèi)涵與本質(zhì).

3. 思想為指導，推廣單元設計

復習教學綜合程度高，一般需將思想方法與知識有機地融合在一起，實施單元化的教學，這是完善學生認知結(jié)構(gòu)的過程，也是幫助學生提煉與應用數(shù)學思想方法，實現(xiàn)思想方法內(nèi)化與遷移的過程. 不論是章節(jié)復習課教學，還是中考綜合性的復習教學，都離不開數(shù)學思想方法的指導.

就分類討論思想而言，既可用于等腰三角形單元，又可用于圓的單元，還可應用在幾何動態(tài)問題中等. 不論用在哪個專題或單元中，其關鍵都是要關注學生對知識本質(zhì)的理解以及對思想方法的領悟程度，這是發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)關鍵性的一步. 當然，這也對教師的專業(yè)水平與教學能力提出了更高要求，教師自己首先要對知識結(jié)構(gòu)有明確的認識，同時要具備較好的反思與應變能力，這樣才能做好課堂引導工作.

總之，分類思想是一種重要的數(shù)學思想方法. 發(fā)展學生的分類思想，不僅能進一步開發(fā)學生的智力與非智力水平，完善學生的認知結(jié)構(gòu)，還能提升學生解決綜合性問題的技巧，促進學生獲得終身可持續(xù)性發(fā)展的學習能力.

參考文獻：

[1]邵光華，章建躍. 數(shù)學概念的分類、特征及其教學探討[J]. 課程·教材·教法，2009，29（7）：47-51.

[2]吳增生. 整體建構(gòu)核心素養(yǎng)導向下的總復習教學策略體系[J]. 中國數(shù)學教育，2019（Z3）：3-11，37.

[3]鄭毓信. 數(shù)學教學中的“問題引領”與“問題驅(qū)動”：“中國數(shù)學教學‘問題特色’”系列研究（2）[J]. 小學數(shù)學教師，2018（3）：4-8.