摘 要：本文以“函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）”的教學(xué)為例，融合真實(shí)情境進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué).通過(guò)自制彈簧振子模型創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，并結(jié)合沙漏輔助實(shí)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷提取信息、形成數(shù)學(xué)問(wèn)題、理解參數(shù)作用、構(gòu)建函數(shù)模型的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；可視化；真實(shí)情境；教學(xué)設(shè)計(jì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》重視真實(shí)情境教學(xué).［1］近年來(lái)情境化試題的比重逐漸增大，要求學(xué)生在真實(shí)情境中主動(dòng)思考并解決實(shí)際問(wèn)題.［2］因此，教師要在課堂中加強(qiáng)真實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)和運(yùn)用.何為真實(shí)情境？如何創(chuàng)設(shè)出真實(shí)情境？筆者以“函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）”的教學(xué)為例，與大家交流.

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

授課對(duì)象來(lái)自四星級(jí)高中重點(diǎn)班的學(xué)生，其思維活躍，課堂發(fā)言積極.

1.2 教材分析

“函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）”是蘇教版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》第7章第3節(jié)的內(nèi)容，是三角函數(shù)基本知識(shí)綜合應(yīng)用的一個(gè)重要函數(shù)模型，也是連接理論知識(shí)和實(shí)際問(wèn)題的橋梁，且在物理和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著不可或缺的作用.

1.3 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì).本節(jié)課旨在從正弦函數(shù)過(guò)渡到更為一般化的三角函數(shù)模型y=Asin（ωx＋φ）.面對(duì)新的函數(shù)模型，學(xué)生理解難度較大，教師應(yīng)借助實(shí)例幫助學(xué)生理解新知，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì).

1.4 教學(xué)目標(biāo)

（1）借助實(shí)例，初步感受函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的必要性.

（2）通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，經(jīng)歷函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）圖象的動(dòng)態(tài)生成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察探索能力.

（3）基于真實(shí)情境，了解A、ω、φ的實(shí)際意義及其對(duì)函數(shù)圖象的影響，感受數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用于生活，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2 設(shè)計(jì)說(shuō)明

2.1 教學(xué)設(shè)計(jì)理念

真實(shí)情境是指蘊(yùn)含著大量信息且未數(shù)學(xué)化的問(wèn)題情境.首先，所選用的情境素材本身必須是真實(shí)的，符合學(xué)生的認(rèn)知水平.其次，基于真實(shí)的情境素材能提出源于現(xiàn)實(shí)需求的真實(shí)問(wèn)題.最后，讓學(xué)生親自動(dòng)手解決問(wèn)題，真正體會(huì)到所學(xué)新知與實(shí)際生活密切相關(guān).

2.2 彈簧振子模型

基于物理實(shí)驗(yàn)的情境本身是真實(shí)的，考慮到學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和現(xiàn)有理解水平，選取彈簧振子作為新知教學(xué)的情境素材，借助操作性實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生參與實(shí)際教學(xué)過(guò)程，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.同時(shí)，為在教學(xué)中達(dá)到對(duì)真實(shí)情境的深度運(yùn)用，本文將概念引入與圖象性質(zhì)進(jìn)行融合，從借助自制彈簧振子模型研究其運(yùn)動(dòng)軌跡，到基于軌跡不同探索參數(shù)對(duì)圖象的影響，最終賦予參數(shù)實(shí)際意義、達(dá)成概念引入和圖象性質(zhì)的融合教學(xué).

實(shí)驗(yàn)器材：彈簧、橡皮筋、卷筒、掛鉤、直尺、一部?jī)?nèi)置phyphox軟件的智能手機(jī).

實(shí)驗(yàn)說(shuō)明： 制作彈簧振子運(yùn)動(dòng)模型所需要的器材簡(jiǎn)單、成本低，易在課堂實(shí)現(xiàn)，但常用的獲取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法（頻閃拍照等）較為復(fù)雜，且不能直觀地向?qū)W生展示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程圖象.［3］本設(shè)計(jì)采用了一款手機(jī)傳感器軟件phyphox.在自制的彈簧振子模型中，將手機(jī)作為彈簧振子，作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可多設(shè)備同步顯示運(yùn)動(dòng)圖象，運(yùn)動(dòng)結(jié)束后軟件可導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù).這種利用手機(jī)進(jìn)行彈簧振子簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)高效、準(zhǔn)確、直觀且成本低廉，具有實(shí)際應(yīng)用和推廣的可行性，適合學(xué)生課外的自主探究，有助于學(xué)生探究興趣和能力的培養(yǎng).

3 教學(xué)過(guò)程

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

問(wèn)題1 我們生活在運(yùn)動(dòng)的世界里，機(jī)械運(yùn)動(dòng)是最常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng).在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中，振動(dòng)很常見(jiàn)，請(qǐng)舉出身邊振動(dòng)的例子.

生1：彈簧振動(dòng).

生2：把鋼尺放在桌邊，露出一部分，用手撥，鋼尺振動(dòng).

生3：醫(yī)生手術(shù)時(shí)，超聲刀的振動(dòng).

生4：說(shuō)話時(shí)，聲帶在振動(dòng).

生5：還有手機(jī)來(lái)電時(shí)會(huì)振動(dòng).

師：振動(dòng)現(xiàn)象比比皆是，與生活密切相關(guān).請(qǐng)大家觀看海洋浮標(biāo)運(yùn)動(dòng)的視頻（如圖1），并思考浮標(biāo)在做何運(yùn)動(dòng)？

生：（齊答）海洋浮標(biāo)在做上下運(yùn)動(dòng).

問(wèn)題2 若將手機(jī)固定在自制的彈簧振子模型上，隨后將手機(jī)從平衡位置拉開(kāi)一段距離后釋放，請(qǐng)大家思考手機(jī)在做何運(yùn)動(dòng)？

生：（齊答）與海洋浮標(biāo)一樣做上下運(yùn)動(dòng).

【設(shè)計(jì)意圖】利用學(xué)生身邊的真實(shí)素材創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，從中抽象出物理模型，基于物理實(shí)驗(yàn)整合多學(xué)科知識(shí)，推動(dòng)學(xué)生對(duì)新知的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

問(wèn)題3 嘗試猜測(cè)手機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并繪制出手機(jī)的振動(dòng)圖象.

生6：上下往復(fù)，最后趨于靜止，所以圖象應(yīng)該只有一段.

生7：可以做實(shí)驗(yàn).

師：下面研究手機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

方式一：直接播放視頻（如圖2）.

方式二：借助手機(jī)軟件呈現(xiàn)振動(dòng)圖象（如圖3）.

方式三：類比沙漏實(shí)驗(yàn)（如圖4），動(dòng)手操作繪制出彈簧振子的振動(dòng)圖象（如圖5）.

操作步驟：兩人合作，先在白紙中央畫(huà)一條直線OO1，使它平行于紙的長(zhǎng)邊，一個(gè)人用手使鉛筆尖在白紙上沿垂直于OO1的方向振動(dòng)（模擬振子運(yùn)動(dòng)），另一個(gè)人沿OO1的方向勻速拖動(dòng)白紙，紙上就畫(huà)出了一條描述筆尖振動(dòng)情況的圖象.

【設(shè)計(jì)意圖】先以視頻形式呈現(xiàn)振動(dòng)軌跡，讓學(xué)生初步感受，再借助實(shí)驗(yàn)裝置及手機(jī)軟件，得到運(yùn)動(dòng)軌跡，最后讓學(xué)生動(dòng)手操作體驗(yàn)，加深對(duì)知識(shí)的理解.

問(wèn)題4 若將彈簧振子（手機(jī)）的振動(dòng)圖象放在坐標(biāo)系中，它與已學(xué)的哪種函數(shù)圖象類似？

生：（齊答）正弦函數(shù).

師：在物理學(xué)中，若質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖象是一條正弦曲線，我們將這種運(yùn)動(dòng)叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛，高二物理將進(jìn)一步學(xué)習(xí).請(qǐng)問(wèn)該振動(dòng)圖象的橫、縱坐標(biāo)分別代表什么？

生8：橫坐標(biāo)代表時(shí)間，縱坐標(biāo)代表振子偏離平衡位置的距離.

師：前后對(duì)比，思考繪制的圖象是否相同？

生：（齊答）不相同.

師：若圖象不同，則圖象對(duì)應(yīng)的表達(dá)式是什么？

生：函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知與舊知存在差別，自然過(guò)渡到新模型的學(xué)習(xí).

3.2 啟發(fā)探索，構(gòu)建新知

問(wèn)題5 與正弦函數(shù)相比，函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）新增三個(gè)參數(shù)，對(duì)于多參數(shù)問(wèn)題我們?nèi)绾窝芯浚?/p>

生9：可以類比一次函數(shù)y=kx+b，研究k時(shí)固定b不變，研究b時(shí)固定k不變.

師：請(qǐng)結(jié)合繪制圖象的探索過(guò)程思考參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象有何影響？

生10：每個(gè)人控制鉛筆尖上下的幅度不一樣，函數(shù)圖象有高有低.

生11：每個(gè)人繪制圖象的速度也不一樣，圖象有寬有窄.

師：請(qǐng)思考彈簧振子的振動(dòng)圖象是否相同？

學(xué)生活動(dòng)：動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作彈簧振子模型，現(xiàn)場(chǎng)生成振動(dòng)圖象.

生12：圖象有所不同，手機(jī)上下振動(dòng)的最大幅度是可以人為控制的，拉開(kāi)距離初始位置越遠(yuǎn)，松手后振動(dòng)的幅度越大.

實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，學(xué)生所作圖象如圖6、圖7所示.

師：請(qǐng)問(wèn)影響振動(dòng)的是否還有其他因素？

生13：物體的重量.

生14：拉力的大小.

生15：彈簧的性能.

學(xué)生活動(dòng)：驗(yàn)證自己的猜想是否正確.

教師活動(dòng)：借助已有器材帶領(lǐng)大家一同探索生13所說(shuō)的猜想.

將不同質(zhì)量的礦泉水瓶依次掛在相同的彈簧下端，在手機(jī)拉開(kāi)至平衡位置的距離不變的情況下，讓學(xué)生觀察手機(jī)軟件呈現(xiàn)出的振動(dòng)圖象（如圖8、圖9）.

師：觀察圖象，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生13：所掛礦泉水瓶質(zhì)量越大，運(yùn)動(dòng)越慢，圖象越稀疏.

說(shuō)明：此處教師加以引導(dǎo)，思考數(shù)學(xué)本質(zhì)——質(zhì)量越大，上下振動(dòng)回到初始位置，即完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間越長(zhǎng)，借助圖象解釋周期T與角速度ω之間的關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】借助實(shí)驗(yàn)器材促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)模型中參數(shù)實(shí)際意義的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成表1.

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固參數(shù)的實(shí)際意義.對(duì)于φ的理解可加以說(shuō)明，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖象思考初始狀態(tài)的不同.同時(shí)滲透物理實(shí)驗(yàn)需控制變量的思想以此類比研究函數(shù)問(wèn)題，這對(duì)學(xué)生后期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也有幫助.至于相關(guān)的物理常識(shí)可課后查閱資料以實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科學(xué)習(xí).

3.3 數(shù)學(xué)應(yīng)用，鞏固新知

教師活動(dòng)：借助幾何畫(huà)板繪制函數(shù)y=A·sin（ωx＋φ）的圖象（如圖10），帶領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度具體觀察三個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響.

參數(shù)變化對(duì)正弦型函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）

圖象的影響

A=2.00 A f（x）=Asinx

ω=2.00ωg（x）=Asin（ωx）

φ=3.00φh（x）=Asin（ωx+φ）

【設(shè)計(jì)意圖】從具體到抽象，帶領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度理解三個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

練習(xí) 分別找到函數(shù)解析式所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)圖象（如圖11、圖12、圖13、圖14）.

（1）y=5sin2πt-π2.

（2）y=32sin3πt-π2.

（3）y=3sin3πt-π2.

（4）y=5sin3πt＋π2.

【設(shè)計(jì)意圖】回歸真實(shí)情境，鞏固所學(xué)新知，促進(jìn)學(xué)生對(duì)不同參數(shù)各自功能的理解.

3.4 總結(jié)升華，暢所欲言

師：本節(jié)課我們認(rèn)識(shí)了函數(shù)y=Asin（ωx＋φ），了解參數(shù)A、ω、φ的實(shí)際意義及其對(duì)函數(shù)圖象的影響.請(qǐng)大家談一談，經(jīng)過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有何收獲？

生16：函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）是刻畫(huà)振動(dòng)模型的有力工具.

生17：以后對(duì)多因素影響的問(wèn)題探究時(shí)，要學(xué)會(huì)控制變量進(jìn)行研究.

……

師：課后請(qǐng)思考函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）是否有其他的應(yīng)用價(jià)值，振動(dòng)模型是否過(guò)于單一.

【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生養(yǎng)成回顧新知的習(xí)慣，并激發(fā)學(xué)生對(duì)新知在其他領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行思考，為后續(xù)新知在實(shí)際生活中的應(yīng)用做好鋪墊.

4 教學(xué)反思

4.1 真實(shí)情境容易讓學(xué)生入境

成功的教學(xué)所需要的不是強(qiáng)制，而是激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣.真實(shí)的教學(xué)情境必須適合學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，將知識(shí)融于學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)或易于理解的情境之中，以激起學(xué)生的探究欲望.教學(xué)實(shí)踐表明，聚焦學(xué)生實(shí)際生活的真實(shí)素材創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，基于“可視化”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)圖象的探究過(guò)程，通過(guò)直觀體驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)操作等方式調(diào)動(dòng)學(xué)生的多感官參與，不僅能充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的潛能，還能使之獲得真實(shí)的情感體驗(yàn)，主動(dòng)入境.同時(shí)，學(xué)生積極主動(dòng)思考基于真實(shí)情境引發(fā)的問(wèn)題，了解知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用背景，經(jīng)歷知識(shí)的再生成過(guò)程，能更深入地理解所學(xué)知識(shí)的實(shí)際價(jià)值，培養(yǎng)自主探究、主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.因此，創(chuàng)設(shè)的情境越真實(shí)，越能激發(fā)學(xué)生的興趣去發(fā)現(xiàn)和探討問(wèn)題.

4.2 教師要善于創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境

新課改提倡高中數(shù)學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).盡管真實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)很不容易，但是對(duì)教學(xué)卻非常有效.教師要善于創(chuàng)設(shè)真實(shí)的教學(xué)情境，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和學(xué)習(xí)興趣，給學(xué)生提供一個(gè)“真實(shí)”且“共情”的課堂環(huán)境，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.具體來(lái)說(shuō)，教師應(yīng)認(rèn)真研讀教材，借助網(wǎng)絡(luò)資源、相關(guān)視頻等，挖掘與數(shù)學(xué)相關(guān)的實(shí)際背景，實(shí)現(xiàn)所學(xué)內(nèi)容與情境素材的深度融合，創(chuàng)設(shè)出真實(shí)的情境.同時(shí)，善于以多元化的問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，讓學(xué)生基于真實(shí)情境自主探索并加以解決，最終幫助學(xué)生進(jìn)行學(xué)科知識(shí)的靈活遷移與運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生在真實(shí)情境中解決問(wèn)題的能力，并認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義.

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