摘 要：涉及含參不等式恒成立的綜合問題，是新高考數(shù)學(xué)試卷中的一類熱點與難點.本文結(jié)合一道含參不等式恒成立問題，通過不等式的恒等變形，應(yīng)用常規(guī)思維進(jìn)行對應(yīng)同構(gòu)，挖掘問題內(nèi)涵，應(yīng)用“巧技妙法”發(fā)散思維與巧妙應(yīng)用，剖析解題的技巧與策略，旨在引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：不等式；恒成立；同構(gòu)；函數(shù)

含參不等式恒成立的問題，可以很好地融合數(shù)學(xué)的“四基”與“四能”，是高考數(shù)學(xué)命題中比較常見的一類基本題型，常考常新，變化多端，難度較大.解決此類問題比較常見的思維方式就是同構(gòu)函數(shù)法，必要性探路法或特殊值法等.1 問題呈現(xiàn)（2024屆浙江省臺州市高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題第14題）已知關(guān)于x的不等式lnx+1≤axeax-12恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________.

此題以含參不等式恒成立為問題場景，借助參數(shù)取值范圍的求解來設(shè)置與應(yīng)用，巧妙地將函數(shù)與方程、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識加以交匯與融合.

突破此類問題的通性通法就是巧妙同構(gòu)，借助同構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來合理變形與轉(zhuǎn)化.解決問題的巧技妙法就是必要性探路或特殊值法等，解題時學(xué)生先通過合理的必要性或特殊值來確定結(jié)果，再根據(jù)情況加以驗證與證明.2 問題破解

4.1 技巧歸納，規(guī)律總結(jié)

在解決此類同時涉及指數(shù)函數(shù)ex與對數(shù)函數(shù)lnx的相關(guān)“指對”混合不等式恒成立問題時，常規(guī)方法就是恒等變形，靈活運(yùn)用對數(shù)恒等式加以轉(zhuǎn)化，尋找同型或共性，給巧妙同構(gòu)函數(shù)創(chuàng)造條件，也是解決此類問題的一種“通性通法”.

突破此類問題的“巧技妙法”就是必要性探路法或特殊值法等，學(xué)生通過合理的必要性探路或特殊值來確定結(jié)果，雖然不具有嚴(yán)謹(jǐn)性，但極具解題效益.在具體解題過程中，學(xué)生可以根據(jù)考試場景再加以必要的嚴(yán)謹(jǐn)性驗證與證明，保證答案的準(zhǔn)確性.

4.2 思維拓展，能力提升

在破解一些涉及函數(shù)或方程、代數(shù)式、不等式等問題時，教師幫助學(xué)生創(chuàng)新數(shù)學(xué)意識，開拓數(shù)學(xué)思維，結(jié)合題設(shè)條件中的關(guān)系式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，借助慧眼識別、尋找、挖掘其中的同型或共性，合理同構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)共性，巧妙轉(zhuǎn)化問題，借助函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、周期性、奇偶性以及最值）等來轉(zhuǎn)化與解決，將一些比較復(fù)雜的相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為基本的函數(shù)問題來處理.在解題過程中，學(xué)生不斷增強(qiáng)創(chuàng)新意識、同構(gòu)意識與創(chuàng)新應(yīng)用，實現(xiàn)知識交匯，形成數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).