【摘 要】運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力。運(yùn)算能力主要體現(xiàn)在三個(gè)方面，其中之一就是能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系。在乘法的運(yùn)算教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)和運(yùn)算所表示的意義，經(jīng)歷算理和算法的探索過(guò)程，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算與數(shù)的組成之間的密切聯(lián)系，感悟運(yùn)算本質(zhì)的一致性，培養(yǎng)運(yùn)算能力和推理意識(shí)等核心素養(yǎng)，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。文章以人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第四單元中“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”筆算乘法為例，探究如何基于單元整體視角下，聚焦運(yùn)算本質(zhì)，提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算本質(zhì) 直觀(guān)表征 運(yùn)算能力 推理意識(shí)

一、課前思考

乘法運(yùn)算的本質(zhì)就是計(jì)數(shù)單位的累加，除了能用口訣直接得到結(jié)果的以外，其他的都是把數(shù)按計(jì)數(shù)單位進(jìn)行拆分，先分別求積，再求和，也就是“先分后合”。同時(shí)，這也是乘法分配律的本質(zhì)所在，如32×13=32×（10+3）=32×10+32×3=（30+2）×10+（30+2）×3=30×10+2×10+30×3+2×3。而不同位數(shù)的筆算乘法，只是豎式中積的層數(shù)不同，方法是完全可以遷移的。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）筆算乘法”可以說(shuō)是整個(gè)乘法運(yùn)算的關(guān)鍵課。學(xué)生在這之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“表內(nèi)乘法”、“多位數(shù)乘一位數(shù)”和“兩位數(shù)乘兩位數(shù)口算乘法”，之后將在四年級(jí)學(xué)習(xí)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”。本課重在讓學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想，將兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)，來(lái)理解算理、遷移算法，同時(shí)又重在建構(gòu)豎式雙層積的模型，為后續(xù)多位數(shù)乘多位數(shù)的學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)自主遷移。

通過(guò)學(xué)生訪(fǎng)談與問(wèn)卷，教師發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生知道算式的結(jié)果，卻不能正確地表征算理和算法，出現(xiàn)了第二層積寫(xiě)錯(cuò)位置的現(xiàn)象，究其原因還是學(xué)生沒(méi)有理解每一步的意義。教材在編寫(xiě)時(shí)，特意加入了點(diǎn)子圖這一直觀(guān)模型，它既能簡(jiǎn)潔形象地表征數(shù)和算式的含義，讓學(xué)生從不同的角度充分地感悟“分”的多樣化及“合”的一致性，又能幫學(xué)生理解算理和豎式計(jì)算方法，感悟到乘法運(yùn)算中根據(jù)計(jì)數(shù)單位拆數(shù)，再將相同計(jì)數(shù)單位累加的本質(zhì)。

因此，本課的教學(xué)目標(biāo)定為：

1.經(jīng)歷自主探究“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）筆算乘法”的過(guò)程，借助點(diǎn)子圖理解算理、掌握算法，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

2.在操作、分類(lèi)、比較、歸納中優(yōu)化算法，培養(yǎng)學(xué)生將新知轉(zhuǎn)化為舊知解決問(wèn)題的遷移類(lèi)推能力。

3.感受知識(shí)與知識(shí)之間、知識(shí)與生活之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生自主遷移的能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

教學(xué)重點(diǎn)：理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握豎式計(jì)算方法。

教學(xué)難點(diǎn)：理解豎式第二步積的位置書(shū)寫(xiě)，體會(huì)乘法運(yùn)算的本質(zhì)。

二、課堂實(shí)踐

（一）情感熏陶，提出問(wèn)題

師：今年的4月23日，是第29個(gè)世界讀書(shū)日，主題是“閱讀推動(dòng)未來(lái)”。我們學(xué)校的讀書(shū)活動(dòng)也如火如荼地開(kāi)展，同學(xué)們讀經(jīng)典、誦美文，都沉浸在了書(shū)香的世界里。

課件視頻播放學(xué)生讀書(shū)活動(dòng)并出示圖片，如圖1。

師：為了豐富圖書(shū)品種，學(xué)校決定購(gòu)買(mǎi)一批圖書(shū)。

根據(jù)這些信息，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生：一共買(mǎi)了多少冊(cè)？

【思考】教師以世界讀書(shū)日為背景，在潛移默化中引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立讀書(shū)意識(shí)。接下來(lái)從學(xué)生真實(shí)的生活問(wèn)題引入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

（二）自主探索，嘗試解決

1.表征原型，理解算式本質(zhì)

師：要解決這個(gè)問(wèn)題怎么列式？

生：14×12。

師：為什么用乘法呢？

生：因?yàn)槊刻讜?shū)有14冊(cè)，有12套，也就是求12個(gè)14是多少，用乘法比較簡(jiǎn)便。

師：你對(duì)乘法的意義理解得真好。如果我們用一個(gè)圓點(diǎn)來(lái)表示一冊(cè)書(shū)，那這一行就是14冊(cè)，有12行，要求一共有多少冊(cè)，也就是要求12個(gè)14的和。

課件動(dòng)態(tài)演示，如圖2。

（師板書(shū)：14×12）

【思考】數(shù)的運(yùn)算要基于理解數(shù)的結(jié)構(gòu)和運(yùn)算的意義，教師借用點(diǎn)子圖幫助學(xué)生理解14×12的本質(zhì)是求14個(gè)12的和是多少或者是12個(gè)14的和是多少，直觀(guān)表達(dá)乘法的意義，為后續(xù)揭示乘法運(yùn)算本質(zhì)埋下伏筆。

2.勾連舊知，感悟轉(zhuǎn)化思想

師：這是一道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式。結(jié)合我們之前學(xué)習(xí)多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的經(jīng)驗(yàn)，用什么方法來(lái)幫助我們解決這個(gè)新問(wèn)題？

生1：我覺(jué)得可以用轉(zhuǎn)化的方法，把其中的一個(gè)兩位數(shù)拆分成一位數(shù)加一位數(shù)，再來(lái)算。

生2：也可以轉(zhuǎn)化成整十?dāng)?shù)加一位數(shù)。

【思考】轉(zhuǎn)化思想在乘法運(yùn)算中有著至關(guān)重要的作用，通過(guò)喚醒學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，將“先分后合”的方法遷移到兩位數(shù)乘兩位數(shù)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

3.直觀(guān)操作，探究算法多樣

師：從舊知識(shí)中想到了解決新問(wèn)題的方法，真了不起?，F(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考，試著用橫式寫(xiě)出計(jì)算方法，并用點(diǎn)子圖把自己的方法表示出來(lái)，再和小組成員說(shuō)一說(shuō)自己的想法。

課件出示探究要求，如圖3。

探究單

1.想一想：14×12應(yīng)該怎么計(jì)算？

2.寫(xiě)一寫(xiě)：把想法用橫式表示出來(lái)。

3.圈一圈：試著用點(diǎn)子圖表示出自己的想法。

4.說(shuō)一說(shuō)：和同桌說(shuō)一說(shuō)自己的想法。

計(jì)算方法：

學(xué)生自主探究，組內(nèi)交流，教師巡視指導(dǎo)并收集作品。

生1：我把12分成了2個(gè)6。上面圈的部分表示6個(gè)14，下面也有6個(gè)14，都可以用14×6=84來(lái)計(jì)算，再把兩個(gè)部分合起來(lái)，可以用84+84=168，也可以直接用乘法84×2=168。

展示學(xué)生作品1，如圖4。

生2：我把12平均分成了3個(gè)4。先算14×4=56，表示每份點(diǎn)子圖都是56，一共有3個(gè)56，直接用乘法56×3=168。

展示學(xué)生作品2，如圖5。

生3：我把12分成2和10。先算14×2=28，表示2個(gè)14，也就是上面這2行點(diǎn)子圖的數(shù)量。再算14×10=140，表示10個(gè)14，就是下面10行點(diǎn)子圖的數(shù)量。最后算28+140=168，表示一共有12個(gè)14。

展示學(xué)生作品3，如圖6。

生4：我是把每行的14拆成了10和4。先算左邊的12個(gè)10，12×10=120，再算右邊的12個(gè)4，12×4=48，最后合起來(lái)120+48=168，也算出了14×12的結(jié)果。

展示學(xué)生作品4，如圖7。

師：同學(xué)們不僅找到了這么多的計(jì)算方法，還能通過(guò)點(diǎn)子圖說(shuō)明其中的道理，真是了不起。

【思考】通過(guò)橫式寫(xiě)一寫(xiě)、點(diǎn)子圖圈一圈、小組說(shuō)一說(shuō)等系列活動(dòng)，放手讓學(xué)生從不同的角度充分地感悟“分”的多樣化，達(dá)到了橫式表征、圖形表征、語(yǔ)言表征的一致性，在數(shù)形結(jié)合中幫助學(xué)生直觀(guān)充分地理解“先分后合”的算理。

4.對(duì)比辨析，優(yōu)化計(jì)算方法

師：對(duì)比這4種方法，它們有什么相同和不同之處嗎？

生：它們都用到了“先分后合”的方法。作品1和作品2是把12平均分，作品3和作品4是把其中一個(gè)數(shù)分成了一個(gè)整十?dāng)?shù)和一個(gè)一位數(shù)。

師：為什么要先分后合呢？

生：通過(guò)分一分，我們可以把兩位數(shù)乘兩位數(shù)，轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的兩位數(shù)乘一位數(shù)或是乘整十?dāng)?shù)這樣的舊知識(shí)。

師：說(shuō)得真好！帶著轉(zhuǎn)化的思想去學(xué)習(xí)，我們可以輕松地解決很多的新問(wèn)題。在這些方法中，你最喜歡哪種方法？為什么？

生1：我最喜歡作品1表示的方法，14×6=84，84+84=168，平均分兩份，容易口算。

生2：我不太同意你的看法。如果是13×23，這兩個(gè)數(shù)都沒(méi)有辦法平均分得到整數(shù)。

師：發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題了嗎？（生點(diǎn)頭）

生3：我喜歡作品3表示的方法，14×2+4×10= 168。因?yàn)閮晌粩?shù)乘整十?dāng)?shù)非常容易口算，更重要的是任何一個(gè)兩位數(shù)，我們都可以把它拆成一個(gè)整十?dāng)?shù)和一個(gè)一位數(shù)。

生4：我也喜歡作品3表示的方法和作品4表示的方法。多位數(shù)乘一位數(shù)，我們是根據(jù)計(jì)數(shù)單位把數(shù)進(jìn)行拆分，所以我覺(jué)得兩位數(shù)乘兩位數(shù)應(yīng)該也是這樣。

師：在同學(xué)們的辯論中，我們清楚地看到了，根據(jù)計(jì)數(shù)單位把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)來(lái)計(jì)算，是一種基本的計(jì)算方法，它與筆算也有著重要的聯(lián)系。

【思考】通過(guò)關(guān)鍵問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)比辨析不同算法的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)數(shù)單位的角度去理解運(yùn)算的意義，打通了學(xué)生對(duì)數(shù)的意義與運(yùn)算一致性的理解，發(fā)展了學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識(shí)，為建構(gòu)豎式模型奠定基礎(chǔ)。

5.圖式結(jié)合，建構(gòu)豎式模型

師：現(xiàn)在，你能試著用豎式來(lái)計(jì)算14×12嗎？在學(xué)習(xí)單上寫(xiě)一寫(xiě)。

學(xué)生自主完成，教師巡視收集典型作品展示，如圖8。

方法一（1號(hào)） 方法二（2號(hào)）

師：對(duì)比這些方法，你覺(jué)得哪種方法能夠清楚地表示出計(jì)算的過(guò)程呢？

生：我覺(jué)得是2號(hào)作品，它這里有兩層，能看得出先算了2×14=28，再算10×14=140，最后再算28+140=168。

師：（問(wèn)1號(hào)作品學(xué)生）你覺(jué)得呢？

生1：確實(shí)比我的更清楚，能看出每一步是怎么計(jì)算的。

師：那我們請(qǐng)2號(hào)作品的創(chuàng)作者，結(jié)合點(diǎn)子圖來(lái)說(shuō)說(shuō)自己的計(jì)算過(guò)程。

生2：我把12分成10和2，第一步算點(diǎn)子圖的上面這個(gè)部分，14×2=28，把積寫(xiě)在第一層；第二步算點(diǎn)子圖的下面這個(gè)部分，14×10=140，把積寫(xiě)在第二層，最后把兩層的積加起來(lái)是168。

生3：老師，我還有發(fā)現(xiàn)。我們?cè)谟?jì)算時(shí)，做了4個(gè)乘法，第一個(gè)是2乘4得8；第2個(gè)是2乘1得2，但這里的1表示一個(gè)10，所以是20；第三個(gè)是1乘4得4，1表示一個(gè)十，所以是40，4寫(xiě)在十位上；最后一個(gè)是1乘1得1，這兩個(gè)1都表示一個(gè)十，所以是100，1要寫(xiě)在百位上。

師：把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成了4個(gè)表內(nèi)乘法，再根據(jù)計(jì)數(shù)單位寫(xiě)在相應(yīng)的數(shù)位上。你能這么深入地理解，真是太棒了！為了讓同學(xué)們看得更明白，你能在點(diǎn)子圖上把這四個(gè)部分分別圈出來(lái)嗎？

學(xué)生圈寫(xiě)，如圖9。

師：謝謝你用圖讓我們清楚地看到了過(guò)程。老師還收集到了一幅作品，我想請(qǐng)作者來(lái)說(shuō)說(shuō)自己的想法（指學(xué)生作品錯(cuò)誤處，圖10）。

生5：（不好意思）我也是先算14×2=28，在算14×10=140時(shí)，我把它直接想成14×1=14，寫(xiě)積的時(shí)候沒(méi)有對(duì)齊數(shù)位，就發(fā)現(xiàn)自己錯(cuò)了。

師：很善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。那要提醒大家注意什么？

生5：就是計(jì)算第二步的時(shí)候，要記住這個(gè)1表示的是1個(gè)十，1個(gè)十乘4個(gè)一，得到的是4個(gè)10，這個(gè)4要寫(xiě)在十位上。1個(gè)10乘1個(gè)10得到的是1個(gè)百，這個(gè)1要寫(xiě)在百位上，也就是說(shuō)乘出來(lái)是什么單位，就要寫(xiě)到什么數(shù)位上。

師：針對(duì)他修改后的寫(xiě)法，大家有沒(méi)有什么疑問(wèn)的地方？

生6：140的個(gè)位上沒(méi)有寫(xiě)0，可以嗎？

生5：我覺(jué)得個(gè)位上的0寫(xiě)不寫(xiě)都不會(huì)影響結(jié)果，因?yàn)?寫(xiě)在百位上了，4寫(xiě)在了十位上，借助數(shù)的位置我們可以清楚地看出這是14個(gè)10。

生7：加號(hào)也可以省略不寫(xiě)嗎？

生5：數(shù)學(xué)不是講究簡(jiǎn)潔美嗎？除法中的減號(hào)可以省略不寫(xiě)，那乘法中的加號(hào)也可以省略不寫(xiě)吧！

師：在同學(xué)們的一問(wèn)一答中，我們的知識(shí)不斷地完善。正如同學(xué)們所說(shuō)的那樣，我們?cè)诠P算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，第二個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)乘第一個(gè)乘數(shù)的積，個(gè)位上的0可以省略不寫(xiě)，但數(shù)位一定要對(duì)齊。我們一起把這個(gè)過(guò)程寫(xiě)一下，你們說(shuō)，我來(lái)寫(xiě)。

教師板書(shū)學(xué)生計(jì)算過(guò)程。

師：觀(guān)察豎式計(jì)算、橫式計(jì)算和相應(yīng)的點(diǎn)子圖（手指板書(shū)），它們之間有什么關(guān)聯(lián)？和同桌交流交流。（圖11）

學(xué)生同桌交流，教師巡視，學(xué)生匯報(bào)。

生：它們表示的意思相同，算法也是一樣的，都是把12分成10和2，先算兩個(gè)乘法，最后算加法。

師：說(shuō)得真好。筆算其實(shí)就是把3道口算綜合在一個(gè)豎式中，這樣計(jì)算就更加簡(jiǎn)便了。結(jié)合到例題，誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)每一步分別表示的是什么意思？

生：14乘2表示的是兩套書(shū)的冊(cè)數(shù)是28，14乘10表示的是10套書(shū)的冊(cè)數(shù)是140，28加140表示是的12套書(shū)的冊(cè)數(shù)是168。

【思考】在學(xué)生借助點(diǎn)子圖充分理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理后，順勢(shì)讓學(xué)生嘗試創(chuàng)造出體現(xiàn)計(jì)算過(guò)程的豎式。再借助點(diǎn)子圖，讓學(xué)生將豎式計(jì)算中的每一步與圖形同步表征，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)兩層積位置的理解。通過(guò)對(duì)比點(diǎn)子圖、橫式與豎式三者之間的關(guān)聯(lián)，將抽象的數(shù)與直觀(guān)的形緊密結(jié)合，幫助學(xué)生形象地建構(gòu)起兩位數(shù)乘兩位數(shù)形象的豎式模型。

（三）鞏固應(yīng)用，拓展深化

1.做一做

學(xué)生獨(dú)立完成（圖12），代表板演反饋，集體訂正。

2.算一算，填一填

學(xué)校舉行讀書(shū)節(jié)成果匯報(bào)展示，圖13是三年級(jí)全體學(xué)生的列隊(duì)圖。

三年級(jí)一共有多少名學(xué)生？

生獨(dú)立計(jì)算后，反饋交流發(fā)現(xiàn)豎式中的每一步都可以在圖中表示出來(lái)。

3.介紹面積圖和鋪地錦

師：通過(guò)點(diǎn)子圖和表格，我們直觀(guān)形象地理解了乘法運(yùn)算“分與合”的算理。除了這些方法，我們的古人還會(huì)用這樣的面積圖和“鋪地錦”的方法來(lái)計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，我們古人把這種方法叫作鋪地錦。見(jiàn)圖14。大家看看，它是怎么做的？

生：它也把數(shù)按計(jì)數(shù)單位拆分開(kāi)，分別計(jì)算有幾個(gè)一，幾個(gè)十和幾個(gè)百。

師：是的，看來(lái)同學(xué)們對(duì)乘法有了非常深的感悟。

【思考】通過(guò)基本筆算、點(diǎn)子圖說(shuō)理練習(xí)和數(shù)學(xué)文化的拓展，學(xué)生再次清晰了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，強(qiáng)化了“幾個(gè)幾和幾個(gè)幾相乘得幾個(gè)幾”的算理。

（四）梳理總結(jié)，類(lèi)推遷移

師：誰(shuí)再說(shuō)一說(shuō)這節(jié)課有什么樣的收獲？

學(xué)生匯報(bào)。

師：對(duì)比兩位數(shù)乘兩位數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)，它們之間有什么相同和不同之處？

遷移：根據(jù)這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，這樣的三位數(shù)乘兩位數(shù)213×32怎么計(jì)算？學(xué)生課后探究。

【思考】教師通過(guò)往前看多位數(shù)乘一位數(shù)，往后看三位數(shù)乘兩位數(shù)，凸顯了乘法運(yùn)算本質(zhì)算理的理解，突出了知識(shí)的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清知識(shí)本質(zhì)，遷移類(lèi)推來(lái)解決新問(wèn)題，進(jìn)而培養(yǎng)了學(xué)生的推理意識(shí)，提高了運(yùn)算能力。

三、課后思考

小學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，不能盲目地認(rèn)為熟能生巧，而要站在學(xué)生的立場(chǎng)，從單元整體視角的高度，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷有形有思的探究過(guò)程，體會(huì)運(yùn)算本質(zhì)及運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)，這樣才能對(duì)運(yùn)算進(jìn)行融通理解，形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

一要關(guān)注知識(shí)的本質(zhì)理解，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)。計(jì)數(shù)單位是任何運(yùn)算教學(xué)的核心概念，教師在教學(xué)時(shí)要充分研究數(shù)和運(yùn)算的意義，從計(jì)數(shù)單位的角度去引導(dǎo)學(xué)生理解“法”與“理”。在本課教學(xué)時(shí)，結(jié)合三年級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)，教師充分借助點(diǎn)子圖，讓學(xué)生經(jīng)歷了14×12的意義表征、算法多樣化的探究、以圖說(shuō)算理、豎式建模與第二層積的位置理解、橫豎式和點(diǎn)子圖的對(duì)比等活動(dòng)，讓學(xué)生理解了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的本質(zhì)是把數(shù)拆分，分別進(jìn)行幾個(gè)幾、幾十個(gè)幾、幾百個(gè)幾累加的過(guò)程，也就是計(jì)數(shù)單位的累加，連通了“位”與“值”，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)了乘法運(yùn)算的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)。

二要注重知識(shí)的前后關(guān)聯(lián)，感悟運(yùn)算的一致性。史寧中教授說(shuō)，培養(yǎng)運(yùn)算能力，就是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)從已知到未知。教學(xué)中，通過(guò)喚醒學(xué)生已有的兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，感悟到“轉(zhuǎn)化”思想的重要性。課堂小結(jié)處，教師讓學(xué)生回顧兩位數(shù)乘兩位數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)的同與不同之處，再拓展多位數(shù)乘多位數(shù)，為學(xué)生不斷打通乘法運(yùn)算之間的壁壘，找尋到知識(shí)的關(guān)聯(lián)之處和生長(zhǎng)之源，使學(xué)生深切地感悟到運(yùn)算的一致性，推動(dòng)了學(xué)生運(yùn)算能力和推理意識(shí)等核心素養(yǎng)的發(fā)展。