摘要：隧道圓周面涌水量是隧道工程的重要參數(shù)，以往研究未考慮隧道開挖損傷因素對(duì)滲流場(chǎng)的影響，而隧道施工會(huì)對(duì)圍巖造成一定程度的損傷?？紤]隧道開挖損傷的影響，推導(dǎo)了徑向未注漿、徑向欠注漿及徑向完全注漿3種不同徑向注漿型式下的隧道二維滲流場(chǎng)理論解析解，而后對(duì)隧道滲流場(chǎng)理論解析研究中常用的兩種等代圓方法在矩形隧道中的適用性展開了探討，并對(duì)隧道圓周面涌水量及襯砌外水壓力的徑向注漿參數(shù)展開敏感性分析，最后將隧道二維滲流場(chǎng)理論解析解與數(shù)值解對(duì)比。結(jié)果表明：隧道二維滲流計(jì)算模型能較好地反映隧道圓周面的涌水量；開挖損傷對(duì)隧道圓周面涌水量有著較為顯著的影響，對(duì)初支施作前的影響最大，對(duì)二襯施作后的影響程度最?。划?dāng)徑向注漿相對(duì)滲透系數(shù)k/k達(dá)到100，徑向注漿相對(duì)厚度d達(dá)到1.0倍的隧道內(nèi)徑r時(shí)，繼續(xù)增大k/k或d/r對(duì)降低隧道圓周面涌水量Q和拱頂襯砌外水壓力p的效益將不再明顯。研究成果可為不良地質(zhì)巖層隧道的徑向注漿設(shè)計(jì)提供一定的理論指導(dǎo)。

關(guān) 鍵 詞：隧道二維滲流場(chǎng)；解析解；涌水量；等效周長(zhǎng)法；等效面積法

中圖法分類號(hào)：U451+.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2024.10.026

0 引 言

隧道建設(shè)會(huì)引起圍巖滲流場(chǎng)重新分布，重分布后的滲流場(chǎng)對(duì)隧道和地下水環(huán)境的影響主要集中在襯砌外水壓力、涌水量及地下水位三大方面^［1-3］，研究圍巖滲流場(chǎng)的分布規(guī)律可以為隧道施工提供針對(duì)性的指導(dǎo)意見(jiàn)。目前，研究隧道滲流場(chǎng)的方法主要有理論解析和數(shù)值分析兩種。理論解析通常需要將研究問(wèn)題進(jìn)行理想化，而后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行理論推導(dǎo)，推導(dǎo)過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，但推導(dǎo)出的理論解析解可直接應(yīng)用于隧道工程。數(shù)值分析則是通過(guò)有限元、有限差分等數(shù)值軟件對(duì)隧道進(jìn)行建模和分析，一般適用于復(fù)雜地質(zhì)條件下的隧道工程^［4-6］。

國(guó)內(nèi)學(xué)者王建宇^［7］認(rèn)為大埋深圓形隧道滲流場(chǎng)可以理想化為軸對(duì)稱問(wèn)題，并基于Darcy定律和軸對(duì)稱法推導(dǎo)了襯砌外水壓力和滲流量的理論解。王秀英等^［8-9］建立了研究高水壓隧道涌水量和襯砌外水壓力的簡(jiǎn)化模型，并基于豎井法推導(dǎo)了“堵水限排”隧道的滲流場(chǎng)解析解。杜朝偉等^［10］應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論推導(dǎo)了水下隧道滲流場(chǎng)解析解，并探究了圍巖、注漿圈及襯砌等因素對(duì)隧道涌水量和襯砌外水壓力的影響。蘇凱等^［11］在Goodman理論解析基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了隧道開挖引起地下水位降低的情況，求解得到了地下水位降深和涌水量的解析公式，該解析公式同樣適用于不同隧道半徑、初始地下水頭高度及地下水位線傾斜分布的工況。朱成偉等^［12-13］對(duì)水下隧道滲流場(chǎng)理論解析研究進(jìn)行了總結(jié)，結(jié)合保角變換法和疊加法推導(dǎo)出了水下任意埋深隧道和水下雙線平行隧道的滲流場(chǎng)解析解，并與數(shù)值分析結(jié)果相對(duì)比，驗(yàn)證了理論解析的正確性。郭玉峰等^［14］認(rèn)為水下雙孔隧道滲流場(chǎng)采用單孔隧道滲流場(chǎng)相疊加的求解方式誤差較大，該學(xué)者在保角變換的基礎(chǔ)上對(duì)滲流場(chǎng)進(jìn)行了2～3次迭代后，得到了精度更高的理論解析解。還有部分國(guó)內(nèi)學(xué)者^［15-18］基于保角變換法或鏡像法對(duì)考慮斷層影響的隧道滲流場(chǎng)進(jìn)行了理論解析研究。

綜上可知，現(xiàn)今隧道滲流場(chǎng)理論解析求解的方法主要有保角變換法、鏡像法及軸對(duì)稱法3種^［19］。軸對(duì)稱法的原理是將半無(wú)限含水層隧道簡(jiǎn)化為無(wú)限區(qū)域的豎井問(wèn)題進(jìn)行求解，該解析方法僅適用于大埋深隧道，求解過(guò)程較為簡(jiǎn)單^［20］，因此本文采用軸對(duì)稱法推導(dǎo)隧道二維滲流場(chǎng)理論解。在應(yīng)用軸對(duì)稱法對(duì)隧道滲流場(chǎng)進(jìn)行理論研究時(shí)，需要將非圓形隧道視為圓形隧道。馮春暉^［21］應(yīng)用等效周長(zhǎng)法研究了方形隧道襯砌外水壓力及滲流量的軸對(duì)稱解，并與數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證了該等代圓方法的可靠性。羅其奇等^［22］應(yīng)用等效面積法研究了四心圓隧道襯砌荷載及滲流量的解析解，并通過(guò)與相應(yīng)工況下的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證實(shí)了等效面積法在隧道滲流場(chǎng)解析研究中具有良好的適用性。張培森等^［23-24］通過(guò)對(duì)砂巖開展常規(guī)三軸、常規(guī)卸圍壓（W 組）和循環(huán)加卸圍壓下的巖石損傷劣化、滲流特性室內(nèi)試驗(yàn)研究圍巖劣化損傷規(guī)律。羅憶等^［25］通過(guò)COMSOL Multiphysics 軟件建立數(shù)值模型并嵌入應(yīng)力-滲流-損傷耦合方程式研究爆破開挖對(duì)深埋巖溶隧道圍巖損傷及滲流的影響規(guī)律。

現(xiàn)今，國(guó)內(nèi)外有關(guān)隧道二維滲流場(chǎng)的理論解析研究成果已頗為豐富，但大部分研究均未考慮隧道開挖損傷因素對(duì)滲流場(chǎng)的影響，少部分考慮圍巖損傷的研究中，并未對(duì)隧道滲流場(chǎng)理論解析解中等效周長(zhǎng)法和等效面積法展開討論，而等代圓方法的選取將直接影響到理論解析解的精確程度，所以很有必要對(duì)二者的適用工況進(jìn)行系統(tǒng)性研究。為此，本文考慮隧道開挖損傷的影響，推導(dǎo)了徑向未注漿、徑向欠注漿及徑向完全注漿3種不同徑向注漿型式下的隧道二維滲流場(chǎng)理論解析解，而后對(duì)隧道滲流場(chǎng)理論解析研究中常用的兩種等代圓方法在矩形隧道中的適用性展開了探討，并對(duì)隧道圓周面涌水量及襯砌外水壓力的徑向注漿參數(shù)展開敏感性分析，最后將隧道二維滲流場(chǎng)理論解析解與數(shù)值解對(duì)比。

1 隧道二維滲流計(jì)算模型

隧道施工會(huì)對(duì)圍巖造成不同程度的擾動(dòng)損傷，尤其是礦山法，對(duì)圍巖造成的損傷程度更大、范圍更廣，一定程度上加劇地下水資源的流失，所以很有必要對(duì)考慮損傷因素影響下的隧道滲流場(chǎng)進(jìn)行解析研究。由于開挖損傷范圍的不確定性，隧道在進(jìn)行徑向注漿時(shí)難免會(huì)出現(xiàn)注漿不完全的情況，為此本文根據(jù)注漿程度的不同，提出徑向未注漿、徑向欠注漿及徑向完全注漿3類隧道滲流計(jì)算模型，如圖1所示。

為方便應(yīng)用軸對(duì)稱法求解對(duì)隧道滲流場(chǎng)進(jìn)行理論解析研究，需作如下假定：① 隧道縱向水平且橫剖面為圓形；② 圍巖為飽和、均質(zhì)且各向同性的含水層；③ 地下水是穩(wěn)態(tài)滲流且水流服從Darcy定律；④ 地下水是不可壓縮流體且滲流為徑向流動(dòng)；⑤ 隧道水頭及埋深遠(yuǎn)大于隧道尺寸。

2 隧道二維滲流場(chǎng)解析計(jì)算研究

徑向欠注漿隧道即徑向注漿不完全（r<r<r）的隧道，其滲流模型的軸對(duì)稱化簡(jiǎn)圖如圖2所示。為更好詮釋解析公式的含義，定義n為圍巖滲透系數(shù)k與二襯滲透系數(shù)k之比，簡(jiǎn)稱二襯相對(duì)滲透系數(shù)；n為初支相對(duì)滲透系數(shù)，n為注漿相對(duì)滲透系數(shù)，n為損傷相對(duì)滲透系數(shù)，H為地面至隧道中心的距離，k為初支滲透系數(shù)，k為注漿滲透系數(shù)，k為損傷滲透系數(shù)，k為圍巖滲透系數(shù)，以下分為3個(gè)階段推導(dǎo)徑向欠注漿隧道滲流場(chǎng)解析解。

（1）隧道開挖后，初支、二襯施作前。假設(shè)某研究區(qū)域內(nèi)的滲透系數(shù)為k，則該區(qū)域內(nèi)的水力勢(shì)符號(hào)為h，且r=r處的水力勢(shì)為h^y；現(xiàn)對(duì)隧道開挖后，初支、二襯施作前的隧道涌水量Q及滲流場(chǎng)進(jìn)行理論推導(dǎo)，過(guò)程如下。

在開挖損傷區(qū)域（r ≤ r ≤ r）內(nèi)，由Darcy定律可得Q/2πr=kdh/dr，結(jié)合邊界條件r=r，h=0，求解后可得：

h=Q2πklnrr（1）

在飽和圍巖區(qū)域（r≤r≤ H）內(nèi)，由Darcy定律可得Q/2πr=kdh/dr，結(jié)合邊界條件：r=H，h=H，求解后可得：

h=H-Q2πklnHr（2）

在開挖損傷區(qū)域與飽和圍巖區(qū)域的邊界處（r=r），由水力勢(shì)的連續(xù)性可知h^d=h^d，令A(yù)=nln（r/r）+ln（H/r），結(jié)合式（1）、（2）可得到隧道滲流量的表達(dá)式：

Q=2πHkA（3）

將式（3）代入式（1）、（2）可得到開挖損傷區(qū)域的水力勢(shì)h和飽和圍巖區(qū)域的水力勢(shì)h的表達(dá)式：

h=HnlnrrA

h=Hnlnrr+lnrrA（4）

不考慮開挖損傷時(shí)，即將r=r代入式（4）后，公式退化為式（5），該式與鄭波^［26］推導(dǎo)的理論解析公式一致。

h=HlnHrlnrr（5）

滲流力是孔隙水壓力的梯度，其表達(dá)式為

f=-γ?h?r（6）

結(jié)合式（4）、（6）可得該階段開挖損傷區(qū)域的滲流力f及飽和圍巖區(qū)域的滲流力f的表達(dá)式，由于滲流力表達(dá)式具有較高的一致性，隧道開挖后、初支、二襯施作前各區(qū)域滲流力的通用表達(dá)式如式（7）所示。

f=-γHrAkk（x=d，m）（7）

（2）初支施作后，二襯施作前。初支施作后，研究區(qū)域內(nèi)的水力勢(shì)由h變成h，現(xiàn)對(duì)隧道涌水量Q及滲流場(chǎng)進(jìn)行理論推導(dǎo)，過(guò)程如下。

在初支區(qū)域（r≤r≤r）內(nèi)，由Darcy定律可得Q/2πr=kdh/dr，結(jié)合邊界條件r=r，h=0，求解后可得：

h=Q2πklnrr（8）

在注漿區(qū)域（r≤r≤r）內(nèi)，由Darcy定律可得Q/2πr=kdh/dr，結(jié)合邊界條件r=r，h=h^g，求解后可得：

h=h^g-Q2πklnrr（9）

在開挖損傷區(qū)域（r≤r≤r）內(nèi)，由Darcy定律可得Q/2πr=kdh/dr，結(jié)合邊界條件r=r，h=h^d，求解后可得：

h=h^d-Q2πklnrr（10）

在飽和圍巖區(qū)域（r≤r≤H）內(nèi)，由Darcy定律可得Q/2πr=kdh/dr，結(jié)合邊界條件r=H，h=H，求解后可得：

h=H-Q2πklnHr（11）

在開挖損傷區(qū)域與飽和圍巖區(qū)域的邊界處（r=r），由水力勢(shì)的連續(xù)性可知h^d=h^d，結(jié)合式（10）、（11）可得到開挖損傷區(qū)域水力勢(shì)的表達(dá)式：

h=H-Q2πklnHr-Q2πklnrr（12）

在注漿區(qū)域與開挖損傷區(qū)域的邊界處（r=r），由水力勢(shì)的連續(xù)性可知h^g=h^g，結(jié)合式（9）、（12）可得到注漿區(qū)域水力勢(shì)的表達(dá)式：

h=H-Q2πklnHr-Q2πklnrr-Q2πklnrr（13）

在初支區(qū)域與注漿區(qū)域的邊界處（r=r），由水力勢(shì)的連續(xù)性可知h²=h²，令A(yù)=n ln（r/r）+nln（r/r）+n ln（r/r）+ln（H/r），結(jié)合式（8）、（13）可得到隧道涌水量的表達(dá)式：

Q=2πHkA（14）

（3）二襯施作后。在二襯施作后，研究區(qū)域內(nèi)的水力勢(shì)由h變成h，現(xiàn)對(duì)隧道涌水量Q、等效襯砌滲透系數(shù)k及滲流場(chǎng)進(jìn)行理論推導(dǎo)，過(guò)程如下。

在二襯區(qū)域（r≤r≤r）內(nèi)，由Darcy定律可得Q/2πr=kdh/dr，結(jié)合邊界條件r=r，h=0，求解后可得：

h=Q2πklnrr（15）

在初支區(qū)域（r≤r≤r）內(nèi)，由Darcy定律可得Q/2πr=kdh/dr，結(jié)合邊界條件r=r，h=h²，求解后可得：

h=h²-Q2πklnrr（16）

在注漿區(qū)域（r≤r≤r）內(nèi)，由Darcy定律可得Q/2πr=kdh/dr，結(jié)合邊界條件r=r，h=h^g，求解后可得：

h=h^g-Q2πklnrr（17）

在開挖損傷區(qū)域（r≤r≤r）內(nèi)，由Darcy定律可得Q/2πr=kdh/dr，結(jié)合邊界條件r=r，h=h^g，求解后可得：

h=h^d-Q2πklnrr（18）

在飽和圍巖區(qū)域（r≤r≤H）內(nèi)，由Darcy定律可得Q/2πr=kdh/dr，結(jié)合邊界條件：r=H，h=H，求解后可得：

h=H-Q2πklnHr（19）

在開挖損傷區(qū)域與飽和圍巖區(qū)域的邊界處（r=r），由水力勢(shì)的連續(xù)性可知h^d=h^d，結(jié)合式（18）、（19）可得到開挖損傷區(qū)域水力勢(shì)的表達(dá)式：

h=H-Q2πklnHr-Q2πklnrr（20）

在注漿區(qū)域與開挖損傷區(qū)域的邊界處（r=r），由水力勢(shì)的連續(xù)性可知h^g=h^g，結(jié)合式（17）、（20）可得到注漿區(qū)域水力勢(shì)的表達(dá)式：

h=H-Q2πklnHr-Q2πklnrr-Q2πklnrr（21）

在初支區(qū)域與注漿區(qū)域的邊界處（r=r），由水力勢(shì)的連續(xù)性可知h²=h²，結(jié)合式（16）、（21）可得到初支區(qū)域水力勢(shì)的表達(dá)式：

h=H-Q2πklnHr-Q2πklnrr-

Q2πklnrr-Q2πklnrr（22）

在二襯區(qū)域與初支區(qū)域的邊界處（r=r），由水力勢(shì)的連續(xù)性可知：h¹=h¹，令A(yù)=n ln（r/r）+n ln（r/r）+n ln（r/r）+n ln（r/r）+ln（H/r），結(jié)合式（15）、（22）可得隧道涌水量的表達(dá)式：

Q=2πHkA（23）

由式（23）可得二襯滲透系數(shù)的表達(dá)式：

k=12πHQ-Aklnrr（24）

前述部分推導(dǎo)了徑向欠注漿隧道滲流場(chǎng)解析解，徑向未注漿隧道和徑向完全注漿隧道的滲流場(chǎng)理論解析解的推導(dǎo)過(guò)程與徑向欠注漿隧道相同，徑向欠注漿隧道不考慮注漿區(qū)域的存在。因此，只需令欠注漿隧道滲流場(chǎng)解析解A中的r=r，即可退化為未注漿隧道下的滲流場(chǎng)解析解。徑向完全注漿隧道不考慮開挖損傷區(qū)域的存在，因此只需令欠注漿隧道滲流場(chǎng)解析解A中的r=r，即可退化為完全注漿隧道下的滲流場(chǎng)解析解。

3 非圓形隧道等代圓方法

3.1 等效周長(zhǎng)法

等效周長(zhǎng)法原理：基于“周長(zhǎng)相等”的原則將非圓形隧道等效為圓形隧道，可以保證等效前后隧道圓周的有效滲水路徑不變，其等代圓半徑r的表達(dá)式為

r=l2π（25）

式中：r為基于等效周長(zhǎng)法的等效圓半徑，m；l為非圓形隧道周長(zhǎng)，m。

假定矩形隧道的長(zhǎng)度為a，寬度為b，則矩形隧道周長(zhǎng)為l=2（a+b），面積為S=ab。由式（25）可知，基于等效周長(zhǎng)法的等代圓半徑為

r=a+bπ（26）

其等代圓面積為

S=（a+b）²π（27）

根據(jù)數(shù)學(xué)不等式對(duì)式（27）進(jìn)行如下變換：

S=（a+b）²π≥4abπ=4πS（28）

由于4/π>1，所以基于等效周長(zhǎng)法求解的等代圓面積恒大于矩形隧道面積，這說(shuō)明基于等效周長(zhǎng)法求解的開挖面涌水量恒大于矩形隧道的開挖面涌水量，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，式（28）中的等號(hào)成立，即當(dāng)矩形隧道為方形隧道時(shí)，應(yīng)用等效周長(zhǎng)法的誤差最小。

3.2 等效面積法

等效面積法原理：相較于等效周長(zhǎng)法，等效面積法更側(cè)重于等效前后隧道橫剖面的有效滲水面積不變，其等代圓半徑r的表達(dá)式為

r=Sπ（29）

式中：r為基于等效面積法的等效圓半徑，m；S為非圓形隧道面積，m²。

由式（29）可知，基于等效面積法的等代圓半徑為

r=abπ（30）

其等代圓周長(zhǎng)為

l=2πab（31）

根據(jù)數(shù)學(xué)不等式對(duì)式（31）進(jìn)行如下變換：

l=2πab≤π（a+b）=π2l（32）

由于π/2<1，所以基于等效面積法的等代圓周長(zhǎng)恒小于矩形隧道周長(zhǎng)，這說(shuō)明基于等效面積法求解的圓周面涌水量恒小于矩形隧道的圓周面涌水量，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，式（32）中的等號(hào)成立；即當(dāng)矩形隧道為方形隧道時(shí)，應(yīng)用等效面積法的誤差最小。

3.3 等代圓方法適用性探究

在應(yīng)用理論公式對(duì)矩形隧道等代圓方法的探討中可知，不論是等效周長(zhǎng)法還是等效面積法，當(dāng)且僅當(dāng)a=b（即矩形隧道為方形隧道）時(shí)，等代圓的誤差最小。圖3為方形隧道及其等代圓隧道簡(jiǎn)圖。以地下水的滲流面作為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合式（28）、（32）可以得到不同隧道涌水量之間的關(guān)系。圓周面涌水量：方形隧道≈基于等效周長(zhǎng)法的等代圓隧道>基于等效面積法的等代圓隧道。開挖面涌水量：方形隧道≈基于等效面積法的等代圓隧道<基于等效周長(zhǎng)法的等代圓隧道。隧道總涌水量為圓周面涌水量與開挖面涌水量之和。為了更準(zhǔn)確地應(yīng)用理論解析公式預(yù)測(cè)隧道總涌水量，對(duì)非圓形隧道圓周面涌水量進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，應(yīng)用等效周長(zhǎng)法更為合適；而對(duì)非圓形隧道開挖面涌水量進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，應(yīng)用等效面積法更為合理，可見(jiàn)兩種等代圓方法在理論解析研究中各有優(yōu)劣。

4 隧道開挖損傷及徑向注漿相關(guān)分析

4.1 開挖損傷對(duì)隧道圓周面涌水量的影響

為探究隧道各施工階段中開挖損傷因素對(duì)圓周面涌水量的影響，本節(jié)以隧道為例，基于前文的涌水量理論解析公式，對(duì)考慮開挖損傷和不考慮開挖損傷兩種工況下的涌水量進(jìn)行對(duì)比分析。算例參數(shù)如表1所列。隧道各施工階段的涌水量對(duì)比情況如圖4所示。圖4中隧道開挖后、初支施作前為施工階段（一），隧道初支施作后、二襯施作前為施工階段（二），隧道二襯施作后為施工階段（三）。從圖4中可知，相較于不考慮開挖損傷影響的工況，考慮開挖損傷影響的隧道涌水量會(huì)有一定幅度的上升，且增幅隨著施工的進(jìn)行而逐漸減小，施工階段（一）的增幅為15.25%，施工階段（二）的增幅為8.04%，施工階段（三）的增幅為2.66%，這說(shuō)明開挖損傷對(duì)隧道開挖后、初支施作前的影響程度最大，隧道初支施作后、二襯施作前的影響程度次之，隧道二襯施作后的影響程度最小。通過(guò)以上分析可知，開挖損傷對(duì)隧道圓周面涌水量有著較為顯著的影響，所以隧道滲流場(chǎng)理論解析研究很有必要考慮開挖損傷因素的影響。

4.2 徑向注漿相對(duì)滲透系數(shù)對(duì)滲流場(chǎng)的影響

注漿圈滲透性的強(qiáng)弱是影響隧道滲流場(chǎng)的主要因素之一。為探究徑向注漿滲透系數(shù)對(duì)隧道圓周面涌水量及襯砌外水壓力的影響規(guī)律，本節(jié)以徑向完全注漿隧道為例，應(yīng)用二維滲流場(chǎng)理論解析解分析了不同徑向注漿相對(duì)滲透系數(shù)下隧道圓周面涌水量及襯砌外水壓力的分布特征，并結(jié)合數(shù)值分析結(jié)果驗(yàn)證了理論解析解的正確性。采用ABAQUS數(shù)值分析軟件建立徑向完全注漿隧道的二維滲流模型，考慮到滲流的影響范圍較大，模型寬度取300 m、高度取200 m，使用CEP4P孔壓實(shí)體單元對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行劃分，并對(duì)隧道周圍12 m區(qū)域的網(wǎng)格進(jìn)行局部加密，數(shù)值模型如圖5所示。模型的力學(xué)邊界條件：約束模型左右兩側(cè)的水平向位移，約束模型底部的豎向及水平向位移。模型的滲流邊界條件：模型頂部為初始地下水位線，固定孔壓為零；固定模型左右兩側(cè)的孔壓，其孔壓大小隨深度線性變化；模型底部為不透水邊界；襯砌內(nèi)邊界為滲水邊界，孔壓為零。模型材料包括圍巖、注漿圈、初支及二襯，其中圍巖、注漿圈和初支采用Mohr-Coulomb本構(gòu)模型，二襯采用彈性本構(gòu)模型，模型材料參數(shù)如表2所列。不同徑向注漿相對(duì)滲透系數(shù)下，通過(guò)理論解析、數(shù)值分析得到的隧道圓周面涌水量及拱頂襯砌外水壓力的變化曲線如圖6所示。

通過(guò)對(duì)比圖6中理論解析解和數(shù)值解的大小可知：誤差百分比隨徑向注漿相對(duì)滲透系數(shù)的增大而減小，隧道圓周面涌水量Q的最大誤差百分比為3.60%，最小誤差百分比僅為1.00%；而襯砌外水壓力p的最大誤差百分比為4.15%，最小誤差百分比為2.17%；以上理論解析解和數(shù)值解的最大誤差百分比均小于5%，可見(jiàn)該理論解析解在預(yù)測(cè)隧道圓周面涌水量及襯砌外水壓力方面具備良好的適用性。另外，從圖6中還可以發(fā)現(xiàn)：隧道圓周面涌水量Q和拱頂襯砌外水壓力p均隨徑向注漿相對(duì)滲透系數(shù)k/k的增大而減小，且Q～k/k曲線和p～k/k曲線在前期變化較為明顯，而后期則逐漸趨于平緩。當(dāng)k/k由1增至25時(shí)，Q由7.63 （m³·d^-1）/m降低至3.15 （m³·d^-1）/m，降幅為58.72%，而p則由669.70 kPa降低至300.08 kPa，降幅為55.19%，這說(shuō)明徑向注漿對(duì)降低隧道圓周面涌水量和襯砌外水壓力均有極為顯著的作用；而當(dāng)k/k≥100時(shí)，Q～k/k曲線和p～k/k曲線則逐步趨于平緩，繼續(xù)增大k/k對(duì)降低Q和p的效益已不再明顯，可見(jiàn)徑向注漿滲透系數(shù)并非越小越好，無(wú)限制降低徑向注漿滲透系數(shù)只會(huì)無(wú)謂增加建造成本。通過(guò)以上分析可知，當(dāng)注漿材料滲透系數(shù)為圍巖滲透系數(shù)的0.01倍時(shí)，既能有效降低隧道圓周面涌水量和襯砌外水壓力的大小，又能降低施工難度和成本。

4.3 徑向注漿相對(duì)厚度對(duì)滲流場(chǎng)的影響

此外，徑向注漿厚度也是影響隧道滲流場(chǎng)的主要因素之一，為探究徑向注漿厚度對(duì)隧道圓周面涌水量及襯砌外水壓力的影響規(guī)律，應(yīng)用二維滲流場(chǎng)理論解析解分析了不同徑向注漿相對(duì)厚度下隧道圓周面涌水量及襯砌外水壓力的分布特征，并結(jié)合數(shù)值分析結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了理論解析解的正確性。數(shù)值模型及邊界條件參考前文，不同注漿相對(duì)厚度下的材料參數(shù)如表3所列。不同徑向注漿相對(duì)厚度下，通過(guò)理論解析、數(shù)值分析得到的隧道圓周面涌水量及拱頂襯砌外水壓力的變化曲線如圖7所示。

通過(guò)對(duì)比圖7中理論解析解和數(shù)值解的大小可知：誤差百分比隨徑向注漿相對(duì)厚度的增大而減小，隧道圓周面涌水量Q的最大誤差百分比為3.67%，最小誤差百分比僅為0.94%；而襯砌外水壓力p的最大誤差百分比為4.70%，最小誤差百分比為2.02%；以上理論解析解和數(shù)值解的最大誤差百分比均小于5%，進(jìn)一步驗(yàn)證了該理論解析解在不同徑向注漿型式下的正確性及適用性。另外，從圖7中還可以發(fā)現(xiàn)：隧道圓周面涌水量Q和拱頂襯砌外水壓力p均隨徑向注漿相對(duì)厚度d/r的增大而減小，且Q～d/r曲線和p～d/r曲線在前期變化較為明顯，而后期則逐漸趨于平緩。當(dāng)d/r由0增至0.2時(shí)，Q由7.63 （m³·d^-1）/m降低至3.59 （m³·d^-1）/m，降幅為52.95%，而p則由669.70 kPa降低至315.08 kPa，降幅為52.95%，同樣可以說(shuō)明徑向注漿對(duì)降低隧道圓周面涌水量和襯砌外水壓力均有極為顯著的作用；而當(dāng)d/r≥1.0時(shí)，Q～d/r曲線和p～d/r曲線逐步趨于平緩，繼續(xù)增大d/r對(duì)降低Q和p的效益已不再明顯，可見(jiàn)徑向注漿厚度并非越大越好，無(wú)限制增大徑向注漿厚度只會(huì)造成施工材料的浪費(fèi)。通過(guò)以上分析可知，當(dāng)注漿厚度d達(dá)到隧道內(nèi)徑r的1.0倍時(shí)，既可有效降低隧道圓周面涌水量和襯砌外水壓力的大小，又可避免施工材料的浪費(fèi)。

4.4 損傷厚度對(duì)開挖面涌水量的影響

為探究開挖損傷厚度對(duì)開挖面涌水量的影響，本節(jié)基于前文推導(dǎo)的開挖面涌水量理論解析公式，分析了損傷厚度d為1，2，3，4，5 m時(shí)，開挖面涌水量Q隨損傷相對(duì)滲透系數(shù)k/k的變化規(guī)律，如圖8所示。圖中Q^d-d為損傷相對(duì)滲透系數(shù)k/k及損傷厚度d下的開挖面涌水量，Q為不考慮開挖損傷影響的開挖面涌水量，n^d-d為Q^d-d與Q之比。從圖中可知，開挖面涌水量隨損傷相對(duì)滲透系數(shù)的增大而減小，且隨著損傷厚度的增大，開挖面涌水量隨損傷相對(duì)滲透系數(shù)的變化越為敏感。當(dāng)k/k=1時(shí)，即不考慮開挖損傷的影響，此時(shí)開挖面涌水量Q=651.44 （m³·d^-1）/m；當(dāng)k/k=0.1時(shí)，隨著損傷厚度d由1 m增至5 m，開挖面涌水量比n也由1.24逐步增至2.15，所以在隧道滲流場(chǎng)解析研究中很有必要考慮開挖損傷的影響。

5 結(jié) 論

本文首先應(yīng)用軸對(duì)稱法推導(dǎo)了徑向未注漿、徑向欠注漿及徑向完全注漿3種不同徑向注漿型式下隧道及水下隧道的二維滲流場(chǎng)理論解析解；而后對(duì)隧道滲流場(chǎng)理論解析研究中常用的兩種等代圓方法在矩形隧道中的適用性展開了探討，并對(duì)隧道圓周面涌水量及襯砌外水壓力的徑向注漿參數(shù)展開敏感性分析；最后通過(guò)對(duì)比理論解析解和數(shù)值解，得到以下結(jié)論：

（1）基于等效周長(zhǎng)法求解的開挖面涌水量恒大于矩形隧道的開挖面涌水量，基于等效面積法求解的圓周面涌水量恒小于矩形隧道的圓周面涌水量，等效周長(zhǎng)法更適用于預(yù)測(cè)非圓形隧道圓周面的涌水量，而等效面積法則更適用于預(yù)測(cè)非圓形隧道開挖面的涌水量。

（2）開挖損傷對(duì)隧道圓周面涌水量有著較為顯著的影響，開挖損傷對(duì)隧道開挖后、初支施作前的影響程度最大，對(duì)隧道二襯施作后的影響程度最小，研究隧道滲流場(chǎng)理論解時(shí)很有必要考慮開挖損傷因素的影響。

（3）推導(dǎo)了考慮損傷效應(yīng)的隧道二維滲流場(chǎng)解析解，并將其與同等工況下ABAQUS數(shù)值分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)理論解析解和數(shù)值解具有較高的吻合度，證明了本文推導(dǎo)的隧道二維滲流場(chǎng)解析解的適用性和可靠性。

（4）徑向注漿參數(shù)存在一個(gè)相對(duì)合理的值，可以使隧道圓周面涌水量Q及襯砌外水壓力p降低至合理區(qū)間范圍內(nèi)。在算例研究中，當(dāng)徑向注漿相對(duì)滲透系數(shù)k/k達(dá)到100，徑向注漿相對(duì)厚度d達(dá)到1.0倍的隧道內(nèi)徑r時(shí)，繼續(xù)增大k/k或d/r對(duì)降低Q及p的效益將不再明顯。

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（編輯：黃文晉）

Analytical solution of seepage field and prediction of water inflow in

tunnels considering damage effectsGAO Qicheng¹，JIANG Qiwu² CHEN Zhijie^2，3，LAI Pengan²

（1.Zhengzhou Railway Vocational and Technical College，Zhengzhou 451460，China； 2.College of Civil Engineering，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou 350108，China; 3.East China Survey and Design Institute （Fujian） Co.，Ltd.，F(xiàn)uzhou 350007，China）

Abstract： The water inflow along the circumferential surface of a tunnel is an important parameter in tunnel engineering.Previous research did not consider the impact of excavation-induced damage on the seepage field，while tunnel construction can cause a certain degree of damage to surrounding rock.Therefore，this study took into account the influence of tunnel excavation-induced damage，and derived theoretical analytical solutions for two-dimensional seepage fields in tunnels under three different radial grouting conditions：no radial grouting，partial radial grouting，and full radial grouting.Subsequently，we explored the applicability of two commonly used equivalent circle methods in rectangular tunnels for analyzing theoretical solutions to tunnel seepage fields.Sensitivity analysis was conducted on the radial grouting parameters responding to tunnel circumferential water inflow and external lining water pressure.Finally，a comparison was made between the theoretical analytical solutions and numerical solutions for tunnel seepage fields.The results indicated that the two-dimensional seepage calculation model for tunnels can effectively reflect the water inflow along the circumferential surface of the tunnel.Excavation-induced damage had a significant impact on the tunnel's circumferential water inflow，with the greatest effect before initial support construction and the least effect after secondary lining construction.When the relatPfqnwSBS+vkENQ28B5JTfWKsZFAmcIDpJSq7FfI55MI=ive permeability coefficient k/k for radial grouting reached 100 and the relative thickness d for radial grouting reaches 1.0 times the tunnel's inner diameter r，further increasing k/k or d/r will not significantly reduce the circumferential seepage flow rate Q and the outer water pressure p，but will only increase construction costs unnecessarily.The findings of this study can offer certain theoretical guidance for radial grouting design of tunnels situated in adverse geological strata.

Key words： two-dimensional seepage field of tunnels；analytical solution；water inflow；equivalent perimeter method；equivalent area method