摘"要： 討論了兩層互不相溶的不可壓粘性流體和無磁擴散的磁流體組成的系統(tǒng)的RT不穩(wěn)定性問題.在拉格朗日坐標系下利用流映射重寫了磁場中的洛倫茲力; 通過在穩(wěn)態(tài)解附近做線性化，得到線性方程組；為了研究流體穩(wěn)定性，利用法向模式解，將問題轉(zhuǎn)換成特征值問題；因為流體具有粘性，用修正的變分法解特征值問題，得到了二維情形下垂直磁場使系統(tǒng)致穩(wěn)的臨界磁場和臨界頻率；當所給磁場大于臨界磁場時，系統(tǒng)穩(wěn)定；當所給磁場小于臨界磁場時，在低頻時，系統(tǒng)仍然穩(wěn)定，但高頻時，系統(tǒng)不穩(wěn)定.

關(guān)鍵詞： 兩相流；瑞利-泰勒不穩(wěn)定性；臨界磁場

中圖分類號：O175"""文獻標志碼：A"""""文章編號：1673-4807（2024）04-115-08

Critical magnetic field of Rayleigh-Taylor instability in two-dimensionalincompressible viscous two-phase flow

MENG Yiping

（School of Science， Jiangsu University of Science and Technology， Zhenjiang 212100， China）

Abstract：The RT instability for two immiscible， incompressible， viscous fluid and magnetic fluid with zero resistivity is discussed. The Lorentz force in the magnetic field is rewritten by flow mapping in the Lagrangian coordinate system. The linear equations are obtained by linearizing near the steady-state solution. In order to study the stability of the fluid， the normal mode solution is used to transform the problem into an eigenvalue problem. Because the fluid is viscous， the modified variational method is used to solve the eigenvalue problem， and the critical magnetic field and critical frequency of the system stabilized by vertical magnetic field in two-dimensional case are obtained. When the given magnetic field is greater than the critical magnetic field， the system is stable; when the given magnetic field is less than the critical magnetic field， the system is still stable at low frequency， but unstable at high frequency.

Key words：two-phase flow， RT instability， critical magnetic field

上重下輕且互不相溶的流體或磁流體組成的兩相流的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性問題有其重要的應用背景，是一個經(jīng)典的重要研究課題.19世紀80年代Rayleigh在研究云層在重力作用下呈現(xiàn)的卷積現(xiàn)象［1］時，從對流體力學方程組的線性分析中發(fā)現(xiàn)，如果對輕重流體交界面做輕微擾動，會出現(xiàn)不穩(wěn)定性.后來，Taylor也獨立發(fā)現(xiàn)了該現(xiàn)象［2］，所以此種不穩(wěn)定性被稱為Rayleigh-Taylor（RT）不穩(wěn)定性.另外，對導電流體，由于磁場通過其誘導的洛倫茲力對擾動的增長有影響，此時也會發(fā)生RT不穩(wěn)定性.這些不穩(wěn)定性不僅是自然界普遍存在的現(xiàn)象，而且廣泛應用于天體物理、大氣海洋科學等科學研究領(lǐng)域中，是研究的熱點問題.對于這些不穩(wěn)定性，在物理機制和數(shù)值模擬方面已有不少研究成果，但是數(shù)學理論仍然很多是未知的.近年來，部分數(shù)學家研究了兩相流均是流體或者磁流體的系統(tǒng).許多學者通過線性化和譜分析方法研究了各種因素（如旋轉(zhuǎn)效應、磁場、粘性以及表面張力） 等對RT不穩(wěn)定性增長的影響.文獻［3］首次研究了磁場對分層不可壓磁流體系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響：對于條形區(qū)域和水平磁場的情形，磁場和流體可以解耦，流體的線性RT問題總是不穩(wěn)定性的.文獻［4］進一步發(fā)現(xiàn)，垂直磁場對RT不穩(wěn)定性具有致穩(wěn)作用.文獻［5］中收集整理了這些結(jié)果.文獻［6］中也得到了當磁場垂直于重力方向，即磁場是水平時，對系統(tǒng)沒有致穩(wěn)作用，此時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.另外，分析了水平磁場的作用，發(fā)現(xiàn)水平磁場加速度的無滑移邊界條件，就能起到和垂直磁場相同的致穩(wěn)作用，并且給出了磁場的閾值［7］.對于流體的兩相流問題，在文獻［8］中得到了不可壓無粘兩相歐拉流的非線性不穩(wěn)定性.對于不可壓帶粘性的兩相流問題，粘性、表面張力和磁場對系統(tǒng)的穩(wěn)定性均有影響［9-15］.對于兩相流是流體和磁流體的耦合這類背景問題，其理論結(jié)果還很少.文中主要對流體和磁流體耦合的兩相流，研究磁場對整個系統(tǒng)的致穩(wěn)作用，得到磁場閾值.

1"預備知識

1.1"歐拉坐標系

考慮Ω=R×（－1，1）上的Navier-Stokes和無磁擴散的MHD耦合系統(tǒng)，形式如下：

t（ρ±u±）+div（ρ±u±u±）+div（S±）=－gρ±e2

th－+div（u－h(huán)－）－div（h－u－）=0

div u±=0

div h±=0（1）

式中：符號+/－分別表示流體的上下部分，上層流體由Navier-Stokes方程組描述，定義在Ω+=R×（0，1）上，下層流體由磁流體方程組描述，定義在Ω－=R×（－1，0）上，ggt;0是重力常數(shù)，e2=（0，1）.

S+=－μ+（SymbolQC@u++SymbolQC@u+T）++P+I

S－=－μ－（SymbolQC@u－+SymbolQC@u－T）++P－I+h－22I－h(huán)－h(huán)－

為應力張量，包含流體和磁場部分；I為單位矩陣；正常數(shù)ρ±和μ±分別為密度和粘性.（u±，p±）（t，·）：Ω±（t）→（R2，R）分別表示流體的速度和壓力；h－（t，·）：Ω－（t）→R為磁場.

現(xiàn)在給出固定邊界的邊界條件和流體交界面的跳躍邊界條件.由于流體是有粘性的，可以假定通過自由交界面的速度是連續(xù)的.而在固定邊界，可以認為是無滑移邊界.因為不考慮表面張力，所以可以假定法向應力通過自由交界面是連續(xù)的.因而，可以給出如下的固定邊界條件：

u+（t，x1，1）=u－（t，x1，－1）=0（2）

自由交界面的跳躍條件為：

u∑（t）=0（3）

Sν∑（t）=0（4）

h－∑（t）=0（5）

式中：Σt=Ω+（t）∩Ω－（t）為上下流體的交界面；ν為自由界面∑（t）的法向；fΣ（t）為f在Σ（t）上的跡；fΣ（t）=f+Σ（t）－f－Σ（t）.

為了完成問題的描述，必須給出初始條件.首先，給出初始界面Σ（0）=Σ0，從而得到Ω±（0），在其上定義初始流速和初始磁場：

（u±，h－）（0，·）：Ω±（0）→（R2，R2）（6）

定義修正的壓力項為：

P+=P++gρ+x2，P－=P－+h－22+gρ－x2，則方程式（1）可以改寫為：

ρ+tu++ρ+u+·SymbolQC@u+－μ+Δu++SymbolQC@p+=0ρ－tu－+ρ－u－·SymbolQC@u－－μ－Δu－+SymbolQC@p－=h－·SymbolQC@h－th－+u－·SymbolQC@h－－h(huán)－·SymbolQC@u－=0

div u÷=div h±－0（7）

跳躍條件為：

［（pI－μ（SymbolQC@u+SymbolQC@uT））ν］∑（t）=g［ρ］x2ν－（h－·ν）h－Σ（t）（8）

1.2"拉格朗日坐標系

歐拉坐標系下自由界面的運動和區(qū)域Ω±（t）的變化帶來了很多數(shù)學上的困難.為此，引入拉格朗日坐標系.定義固定的拉格朗日區(qū)域Ω+=R×（0，1）和Ω－=R×（-1，0），并且假設(shè)存在可逆變換：

η0±：Ω±→Ω±（0）

此變換連續(xù)穿過交界面{x3=0}，使得∑0=η0±{x2=0}，{x2=±1}=η0±{x2=±1}.第一個條件意味著Σ0由η0±中的一個限制在{x2=0}上參數(shù)化.后一個條件是η0±映射上下固定界面到它們自己.定義流映射η±為：

tη±（t，x）=u±（t，η±（t，x））η±（0，x）=η±0（x）（9）

用（t，y）表示歐拉坐標，其中y=η（t，x），（t，x）是拉格朗日坐標.

定義拉格朗日坐標系下的未知量為：

（v±，b－，q±）（t，x）=（u±，h－，p±）（t，η±（t，x）），（t，x）∈R+×Ω（10）

定義矩陣A，AT=（Dη）－1，則在拉格朗日坐標下，演化方程為：

tηi±=vi±ρ+tvi++Ajk+kTij+=0ρ－tvi－+Ajk－kTij－=bj－Ajk－kbi－tbi－=bj－Ajk－kvi－Ajk±kvj±=0，Ajk－kbj－=0（11）

方程組中的流體部分的應力張量T（v，q）為：

Tij±=qIij±－μ（Aij±kvi±+Aij±kvj±）（12）

式中：Iij±為單位矩陣中的第i行，j列元素，同時用了愛因斯坦約定和.

定義f=f±， ［［f］］=f+{x2=0}－f－{x2=0}，所以拉格朗日坐標系下的跳躍條件為：

［［v］］=0bj－ηj－=0［［Tijnj］］=g［ρ］η2ni－bi－（bj－ηj）（13）

式中：n=Ae2Ae2{x2=0}是∑（t）的單位法向量.

非滑移邊界條件為：

v+（t，x，－1）=v－（t，x，1）=0（14）

1.3"問題的簡化

為了消去式（11）中的b－，從而將式（11）變?yōu)閹Я饔成渥鳛閺娖软椀腘avier-stokes方程組.

將Ail－作用于（11）的第4個方程，得到：

Ail－tbi－=Ail－bj－Ajk－kvi－=Ail－bj－Ajk－t（kηi－）=

－bi－tAil－

所以，有 t（Ail－bi－）=0，即：

Ail－bi－=Ail，0－bi，0－（15）

bi－=lηi－Ajl，0－bj，0－（16）

式中，上標“0”表示初值.

注意到J的幾何性質(zhì)：

J=J0， k（JAik－）=0（17）

應用Aik－k到式（16），得到：

Aik－kbi－=JJ0Aik－k（lηi－Ajl，0－bj，0－）=

1J0k（JAik－lηi－Ajl，0－bj，0－）=

1J0k（J0Aik，0－bj，0－）=Aik，0－kbj，0－（18）

現(xiàn)在驗證 bj－nj=0.

bj－nj=tηj－Akl，0－bk，0－Ajd－A－e2=Akd，0－bk，0－A－e2=bj，0－nj（19）

如果假設(shè)初值滿足相容性條件：

Ajk，0－kbj，0－=0， bj，0－nj=0（20）

則從式（18）、（19），有：

Ajk－kbj－=0， bj－nj∑=0.

為了簡化計算，可假設(shè)：

Aml，0－bm，0－=Bl（21）

式中，B=（B1，B2）是常向量.

現(xiàn)在可以重寫洛倫茲項為：

bj－Ajk－kbi－=

lηjAml，0－bm，0－Ajk－k（rηi－Asr，0－bs，0－）=

Aml，0－bm，0－l（rηi－Br）=BlBrlrηi－（22）

現(xiàn)在可以將式（11）寫成帶流映射η引入的強迫項的Navier-Stokes方程組：

tηi±=vi±ρ+tvI++Ajk+kTij+=0ρ－tvI－+Ajk－kTij－=BlBrlrηi－Ajk±kvj±=0（23）

式中，磁場B視為向量參數(shù)，而跳躍條件式（13）變?yōu)椋?/p>

［［v］］=0，［［Tijnj］］=g［ρ］η2ni－BlBrlηi－rηj－nj（24）

最后，加上邊界條件式（14）.

1.4"穩(wěn)態(tài)解附近的線性化

顯然，系統(tǒng)式（23、24）有穩(wěn)態(tài)解v=0，η=Id，q=常數(shù)，且接觸面η（{x2=0}）={x2=0}，所以n=e2，A=I.

現(xiàn)在將式（23、24）在上述穩(wěn)態(tài)解附近線性化，得到線性化的方程組為：

tη±=v±

ρ+tv++SymbolQC@q+－μ+Δu+=0

ρ－tv－+SymbolQC@q+－μ－Δu－－BlBr2lrη－=0

div v±=0（25）

相應的跳躍條件和固定邊界條件為：

［［v］］=0

［［－μ（Dv+DvT）+qI］］e2=

g［ρ］η2e2－B2Bllη－nj（26）

v－（t，x1，－1）=v+（t，x1，1）=0（27）

文中的目的是研究磁場在RT問題中的影響機制，所以假定流體上重下輕，也就是：

ρ+gt;ρ－［ρ］gt;0

1.5"法向模式解

在研究流體穩(wěn)定性時，一個標準的做法是研究線性化問題的法向模式解. 為此，對某個λgt;0，假定解有如下形式：

v±（t，x）=eλtw±（x）

q±（t，x）=eλtq±（x）

η±（t，x）=eλtη±（x）（28）

將式（28）代入式（25～27），消去η±，得到方程組：

λρ+w++SymbolQC@q+－μ+Δw+=0

λρ－w－+SymbolQC@q－－μ－Δw－-

1λBlBs2lsw－=0

div w±=0（29）

相應的邊界條件為：

［［w］］=0（30）

［［－μ（Dw+DwT）+q～I］］e2=1λg［ρ］w2e2－1λB2Bssw－（31）

w－（t，x1，－1）=w+（t，x1，1）=0（32）

為了得到增長模式的解，對w，q～關(guān)于x1作傅里葉變換. 定義新的未知函數(shù)φ±，θ±，ψ±，π±：（－1，1）→R為：

φ±（x2）=iw^1±（ξ，x2）

ψ±（x2）=iw^2±（ξ，x2）

π±（x2）=q^（ξ，x2）

考慮垂直磁場B=（0，B），則φ±，ψ±，π±滿足如下常微分方程組和邊界條件：

λρ+φ+－ξπ++μ+ξ2φ+－μ+φ″+=0

λρ+ψ++π′++μ+ξ2ψ+－μ+ψ″+=0

λ2ρ－φ－－λξπ－+λμ－ξ2φ－-

λμ－φ″－－B2φ″－=0

λ2ρ－ψ－+λπ′－+λμ－ξ2ψ－-

λμ－ψ″－－B2ψ″－=0ξφ±+ψ′±=0（33）

跳躍條件為：

［［φ］］=0，［［ψ］］=0

［［λμ（φ′－ξψ）］］=B2φ′－［［－2λμψ′+λπ］］="g［ρ］ψ（0）－B2ψ，－（0）（34）

固定邊界條件為：

φ－（－1）=φ+（1）=ψ－（－1）=ψ+（1）=0（35）

從式（33）的第2、4個方程消去π±，得：

（λρ++μ+ξ2）（ψ″+－ξ2ψ+）=μ+（ψ+－ξ2ψ″+）λ（λρ－+μ－ξ2+Bξ2）（ψ″+－ξ2ψ－）=λμ－（ψ－－ξ2ψ″－）（36）

跳躍和固定邊界條件為：

［［ψ］］=［［ψ′］］=0［［λμ（ψ″+ξ2ψ］］=B2ψ″－（0）［［λμ（ψ－3ξ2ψ′）］］=［［λ2ρψ′］］+"g［ρ］ξ2ψ－（0）+B2ψ－（0）－B2ξ2ψ′－（0）（37）

ψ－（－1）=ψ+（－1）=ψ′－（－1）=ψ′+（－1）（38）

2"主要結(jié)果

在陳述主要結(jié)果之前，先給出幾個定義. 定義：

B2c：=supψ∈H10（－1，0）g［ρ］ψ2（0）∫0－1|ψ′－|2dy（39）

為臨界磁場，僅和g，ρ有關(guān).

當|B|lt;|B|c時，定義臨界頻率為：

（|ξ|v）2：=infψ∈H20（－1，0）B2∫0－1ψ″－2dyg［ρ］ψ2（0）－B2∫0－1ψ′－2dy （40）

定理2.1：設(shè)B=（0，B），

（i） 若B≥Bc，則對任意的ξ∈R，λgt;0時，方程組（36～38）無非平凡解.

（ii） 若Blt;Bc，則當ξ≤ξv， λgt;0時，方程組（36～38）無非平凡解.

（iii） 若Blt;Bc，ξgt;ξv，則存在ψ=ψ（ξ，x2），λ（ξ）gt;0是方程組（36～38）的解.而且，ψ，λ關(guān)于ξ是偶函數(shù)，ψ在（－1，0）和（0，1）上光滑，且ψ（ξ，0）≠0.

問題式（36～38）不滿足變分結(jié)構(gòu)，為了使用變分法，定義u=su（sgt;0是任意參數(shù)）， 去掉λ的線性依賴性，得到一族修正的問題：

－λ2ρ+（|ξ|2ψ+－ψ″+）=sμ（|ξ|4ψ+－2|ξ|2ψ″++ψ+）-

λ2ρ－（|ξ|2ψ－－ψ″－）=sμ（ξ4ψ－－2|ξ|2ψ″－+ψ－）+B2（ψ－－|ξ|2ψ″－）（41）

跳躍條件為：

［［ψ］］=［［ψ′］］=0（42）

［［sμ（ψ″+|ξ|2ψ］］=B2ψ″（0）（43）

［［sμ（ψ－3|ξ|2ψ′）］］=［［λ2ρψ′］］+B2ψ（0）+g［ρ］|ξ|2ψ（0）－B2|ξ|2ψ′（0） （44）

邊界條件為：

ψ－（－1）=ψ+（1）=ψ－′（－1）=ψ+′（1）=0（45）

對固定的sgt;0，式（41～45）是關(guān)于－λ2的標準特征值問題，從而可以用變分法求解.

定義能量：

E（ψ）=12（∫1－1sμ（4|ξ|2|ψ′|2+（|ξ|2ψ+ψ″）2）dx2+

B2∫0－1（|ψ″|2+|ξ|2|ψ′|2）dx2－g［ρ］|ξ|2|ψ2（0）（46）

J（ψ）=12∫1－1ρ|ξ|2ψ2+（ψ′）2dx2（47）

則E（ψ）、J（ψ）在H20（（－1，1））上有定義. 定義：

X=ψ∈H20（－1，1）J（ψ）=1（48）

目標是找到最小的－λ2，使得：

－λ2（ξ）=α（ξ）：=infψ∈XE（ψ）（49）

引理2.2：（i） 對任意固定的ξ≠0和sgt;0，E在Χ上能取到下確界.

（ii） 若ψ是最小化子，且－λ2=α：=E（ψ），則（ψ，λ2）滿足方程組式（41），并且滿足跳躍條件-（44）和邊界條件式（45）.而且，當限制在（－1，0）或（0，1）時，ψ是光滑的.

證明：（i）對任意ψ∈Χ，

E（ψ）≥－12gξ2［ρ］ψ2（0）≥

－12gξ2［ρ］∫10ψ′+2dx2≥

－g［ρ］ρ+ξ2（50）

所以，E在Χ上有下界.

設(shè)ψn∈Χ是最小化序列，則E（ψn）有界.式（41、45）暗含ψn在H20（（－1，1））上有界，所以存在ψ∈H20（（－1，1）），使得：

ψn弱ψ 在H20（（－1，1））上，

ψn強ψ 在C1（（－1，1））上.

由強收斂定理知，ψ∈Χ.所以，進一步，由下半連續(xù)性和強收斂定理，可以得到

E（ψ）≤lim infn→∞ E（ψn）=infΧ E

所以E在Χ上能取到下確界.

（ii） 設(shè)ψ是最小化子，式（49）等價于：

－λ2=infψ∈H20E（ψ）J（ψ）（51）

任意τ∈R，ψ0∈H20（（－1，1）），定義：

ψ（τ）=ψ+τψ0

則由式（51），可得：

E（ψ（τ））+λ2J（ψ（τ））≥0

令I(lǐng)（τ）=E（ψ（τ））+λ2J（ψ（τ），則對任意τ∈R，I（τ）≥0，I（0）=0，所以I′（0）=0.

由式（46、47），直接計算，可得：

∫1－1sμ［4|ξ|2ψ′ψ′0+（|ξ|2ψ+ψ″）（|ξ|2ψ0+ψ″0）dx2+

B2∫0－1（ψ″－ψ″0，－+ξ2ψ′－ψ′0，－）dx2－g［ρ］|ξ|2ψ（0）ψ0（0）+

λ2∫1－1ρ（|ξ|2ψψ0+ψ′ψ′0）dx2=0（52）

進一步，假設(shè)ψ0在（－1，0）和（0，1）上有緊支集，則由上式知ψ±在弱意義下滿足（41），標準的脫靴法可以證明：任意k≥0，ψ+∈Hk（（0，1）），ψ－∈Hk（（－1，0））. 所以，當限制在（－1，0）或（0，1）時，ψ是光滑的.

下證滿足跳躍條件和邊界條件.

因為ψ∈H20（（－1，1）），所以式（42、45）自動滿足.證明式（43、44）.對式（52）分部積分得：

∫1－1sμ［|ξ|4ψ－2|ξ|2ψ+ψ）ψ0dx2+B2∫0－1（ψ－－|ξ|2ψ″－）ψ0，－dx2－

［［sμ（3|ξ|2ψ′－ψ）］］ψ0（0）+B2（|ξ|2ψ′－（0）－ψ－（0））ψ0（0）－（［［sμ（|ξ|2ψ+ψ″）］］－B2ψ″（0））ψ′0（0）=

－λ2∫1－1ρ（|ξ|2ψ－ψ″）ψ0dx2+（［［λ2ρψ′］］+g［ρ］|ξ|2ψ（0））ψ0（0）（53）

由于ψ0的任意性，式（53）可以推出式（43）和式（43）. 引理2.2得到了證明.

為了得到增長模式的解，需要考慮E（ψ）的符號. 為此，將E（ψ）寫成：

E（ψ）=|ξ|2E0（ψ）+sE1（ψ）（54）

其中：

E0（ψ）=12∫0－1B2（|ψ′－|2+"|ψ″－|2|ξ|2）dx2－12g［ρ］ψ2（0）（55）

E1（ψ）=12∫1－1μ［4|ξ|2|ψ′|2+（|ξ|2ψ+ψ″）2］dx2（56）

由于sgt;0，且可以任意小，E1（ψ）gt;0，所以E（ψ）的符號主要由E0（ψ）的符號決定.E0（ψ）的符號與臨界磁場和臨界頻率有關(guān)，所以先考慮臨界磁場和臨界頻率的性質(zhì).

性質(zhì)2.3：（i） 式（39）中的上確界可以取到；

（ii） 對固定的B，|B|lt;|B|c，（40）中的下確界一定能取到，且當0lt;|B|lt;|B|c時，|ξ|v關(guān)于B連續(xù)、遞減，且有

lim|B|→0|ξ|v=0，lim|B|→|B|c|ξ|v=∞

證明：（i） 式（39）等價于在g［ρ］ψ2（0）=1的限制下，

1|B|2c=infψ∈H10（（－1，0））∫0－1ψ′－|2dx2（57）

顯然，式（57）中的積分有下界.

設(shè)ψn是最小化序列，則ψn在H10（（－1，0））上有界. 因而，在H10（（－1，0））上，ψn弱ψ.又因為H10緊嵌入到C0，所以ψn（0）→ψ（0）.由這些收斂性和式（57）中的弱半連續(xù)性，ψ是式（57）中的最小化子.

（ii） "式（40）可以改寫為：

|ξ|2v=infψ∈CB2∫0－1|ψ″－|2dx2（58）

其中：

C=ψ∈H20（－1，0）g［ρ］ψ2（0）－B2∫0－1|ψ′－|2dy=1

設(shè)ψn∈C是最小化序列，則由（58）知，ψ″n在L2中有界. 龐加萊不等式暗含著ψn在H20中有界.從而在H20中，存在ψ，使得ψn弱ψ成立. 又因為H20緊嵌入到C1，所以在H1中，ψn強ψ，ψn（0）強ψ（0）. 由這些收斂性和弱半連續(xù)性，有：

B2∫0－1|ψ″－|2dx2≤lim supn→∞ B2∫0－1|ψ″n，－|2dx2=

infψ∈CB2∫0－1|ψ″－|2dx2

由強收斂定理，ψ∈C，且ψ是（40）的最小化子.由式（39、40）的表達式可知：

lim|B|→0|ξ|v=0，lim|B|→|B|c|ξ|v=∞

現(xiàn)在可以判別E0（ψ）的符號了.

引理2.4"（i） 若|B|≥|B|c，則對任意ψ，有E0（ψ）≥0，而且

E0（ψ）≥12∫0－1［（|B|2－|B|2c）|ψ′－|2+

|B|2（ψ″－）2|ξ|2］dx2（59）

（ii） 若|B|lt;|B|c，且|ξ|lt;|ξ|v，則對任意ψ，均有E0（ψ）≥0；若|B|lt;|B|c，且|ξ|gt;|ξ|v，則存在ψ，使得E0（ψ）lt;0；

（iii） 若存在ψ，使得E0（ψ）lt;0，則|B|lt;|B|c，|ξ|gt;|ξ|v，且ψ（0）≠0.

證明：（i） 由式（39）知，對任意ψ∈H10（（－1，0）），|B|2c∫0－1|ψ′－|2dx2≥g［ρ］ψ2（0）.

所以，當|B|≥|B|c時，E0（ψ）≥0，且

E0（ψ）≥12∫0－1［（|B|2－|B|2c）|ψ′－|2+

|B|2（ψ″－）2|ξ|2］dx2

（ii） 固定B，使得|B|lt;|B|c，由定義式（40），若|ξ|lt;|ξ|v，則：

∫0－1B2［|ξ|2|ψ′－|2+|ψ″－|2］dx2≥g|ξ|2［ρ］ψ2（0）

所以，對任意ψ，均有E0（ψ）≥0；

當|ξ|gt;|ξ|v時，存在ψ∈H10（（－1，0）），使∫0－1B2［|ξ|2|ψ′－|2+|ψ″－|2］dx2lt;g|ξ|2［ρ］ψ2（0）

此時，E0（ψ）lt;0；

（iii） 若存在ψ，使得E0（ψ）lt;0，則由（i）和（ii）的第一部分知，|B|lt;|B|c且|ξ|gt;|ξ|v.又因為式（55）中的第一個積分非負，只有ψ（0）≠0，才能保證E0（ψ）lt;0.

有了引理2.5中E0（ψ）的符號，可以證明E（ψ）的符號.注意到式（49），下面的引理給出α（s）的符號.

引理2.5"（i）若|B|≥|B|c或者|B|lt;|B|c，且|ξ|lt;|ξ|v，則對任意s，α（s）≥0；

（ii） 若|B|lt;|B|c且|ξ|gt;|ξ|v，則存在s0=s0（ρ±，μ±，g，|B|，|ξ|）gt;0，當s∈（0，s0）時，α（s）lt;0.

證明：（i） 由引理2.5的（i）（ii），顯然成立；

（ii） 由引理2.5的（iii）知，當|B|lt;|B|c且|ξ|gt;|ξ|v時，存在ψ，E0（ψ）lt;0，所以

E（ψ）=|ξ|2E0（ψ）+sE1（ψ）≤E0（ψ）+sC

其中C=C（ρ±，μ±，g，|B|，|ξ|）是常數(shù).所以，存在s0=s0（ρ±，μ±，g，|B|，|ξ|）gt;0，當

s∈（0，s0）時，E（ψ）lt;0，從而

α（s）：=infψ∈ΧE（ψ）≤E（ψ）lt;0

注：引理2.6證明了定理2.1的（i）和（ii）.

引理2.6：α（s）具有以下性質(zhì)：

（i） α（s）在（0，+∞）上關(guān)于s嚴格單增；

（ii） α（s）∈C0，1loc（0，∞）∩C0（0，∞）；

（iii） 對任意bgt;|ξ|v，存在正常數(shù)c0，c1，與ρ±，μ±，g，|B|有關(guān)，且

α（s）≤－c0+sc1（60）

（iv） 存在c2=c2（ρ±，g）gt;0，

c3=c3（ρ±，g，μ±，B）gt;0，使得：

α（s）≥－c2ξ+sc3（61）

證明：（i）任意0lt;s1lt;s2lt;+∞，由α（s）的定義和引理2.3，可以得到：

α（s1）=E（s1，ψs1）≤E（s1，ψs2）=

|ξ|2E0（ψs2）+s1E1（ψs2）≤

|ξ|2E0（ψs2）+s2E1（ψs2）=

E（s2，ψs2）=α（s2）（62）

下證當s1≠s2時，α（s1）≠α（s2）.

假設(shè)s1lt;s2，α（s1）=α（s2），式（62）暗含著

s1E1（ψs2）=s2E1（ψs2），從而E1（ψs2）=0，

ψs2=0，與ψs2∈X矛盾，所以α（s1）≠α（s2），從而α（s）在（0，+∞）上關(guān)于s嚴格單增；

（ii） 固定［a，b］（0，+∞），ψ0∈X. 由E的分解知，E關(guān)于s單增. 由引理2.3，任意s∈（0，+∞），存在ψs∈X，使得：

E（s，ψs）=infψ∈XE（s，ψ）=α（s）

對任意s∈［a，b］，

E（b，ψ0）≥E（s，ψ0）≥E（s，ψs）≥sE1（ψs）－g［ρ］ρ+|ξ|2

所以，存在K=K（a，b，ψ0，g，|ξ|）gt;0，

sups∈［a，b］E1（ψs）≤K. 任給s1，s2∈［a，b］，

α（s1）=E（s1，ψs1）≤E（s1，ψs2）

因為E（s1，ψs2）=E（s2，ψs2）+（s1－s2）E1（ψs2）=

α（s2）+（s1－s2）E1（ψs2）

所以 α（s1）≤α（s2）+Ks1－s2.

同理，α（s2）≤α（s1）+Ks1－s2.

所以，結(jié)合上面兩式，有：

|α（s1）－α（s2）|≤Ks1－s2

所以α（s）∈C0，1loc（0，∞）.

（iii） 固定bgt;|ξ|v，由引理2.5中的（iii），存在ψb，E0（ψb）lt;0，所以取：

c0=－E0（ψb）gt;0

又由E的分解式，有：

E（ψb）≤－c0+sc1

其中c1gt;0為常數(shù).最終，得到：

α（s）≤E（ψb）≤－c0+sc1.

（iv） 對任意ψ∈X，

－12|ξ|2g［ρ］ψ2（0）≥－12|ξ|g［ρ］（∫10|ξ||ψ+|2dx2）12（∫10|ψ′+|2dx2）12≥－c2|ξ|

其中c2=c2（g，ρ±）gt;0.

因為E0（ψ）中的其它項非負，E1（ψ）≥0，

所以

α（s）≥－c2|ξ|+sinfψ∈XE1（ψ）=－c2|ξ|+sc3

定義開集S為：

S=α－1（（－∞，0））（0，∞）

由引理2.6知，S非空，所以可以定義：

λ（s）=－α（s），s∈S. 現(xiàn)在可以證明修正問題式（41～45）的解的存在性.

性質(zhì)2.7： 對任意s∈S，問題式（41～45）存在解ψs（ξ，x2），λ=λ（ξ，s）gt;0.而且，ψs，λ關(guān)于ξ是偶函數(shù)，解在（－1，0）和（0，1）上光滑，且ψs（ξ，0）≠0.

證明：令ψs（ξ，x2）是引理2.2中所建立的最小化子. 對任意s∈S，令

λ2（ξ，s）=－α（ξ，s）

則ψs（ξ，x2），λ（ξ，s）是問題式（41～45）的解.

用不動點定理來證明，存在s∈S，s=λ（ξ，s）.

引理2.8：存在唯一的s∈S，使得λ（ξ，s）=－α（ξ，s）gt;0，且s=λ（ξ，s）.

證明：由引理2.6知，存在s0gt;0，使得

S=α－1（（－∞，0））=（0，s0）

在S上定義λ（ξ，s）=－α（ξ，s）.

再定義Φ：（0，s0）→（0，∞）

Φ（s）=sλ（ξ，s）

因為α（s）在（0，s0）上嚴格單增，所以Φ（s）在（0，s0）上嚴格單增.

又因為lims→0Φ（s）=0，lims→s0Φ（s）=+∞，所以存在唯一的s∈（0，s0），使得Φ（s）=1，即s=λ（ξ，s）.

定理2.1的證明：結(jié)合引理2.8、2.9和2.6，定理2.1得證.

3"結(jié)論

（1） 上重下輕的二維不可壓粘性流體和磁流體組成的系統(tǒng)，垂直磁場有致穩(wěn)效果.

（2） 當所給磁場大于臨界磁場時，系統(tǒng)穩(wěn)定.

（3） 當所給磁場小于臨界磁場，但是在低頻時，也就是頻率小于臨界頻率時，系統(tǒng)仍然穩(wěn)定.

（4） 當所給磁場小于臨界磁場，頻率大于臨界頻率時，系統(tǒng)具有RT不穩(wěn)定性.

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（責任編輯：貢洪殿）