摘"要： 通過(guò)納米尺寸下的純彈性材料環(huán)氧樹(shù)脂和壓電材料PZT-4沿著軸向周期性交替排布，提出了壓電納米聲子晶體梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型.將表面壓電理論與Euler梁理論相結(jié)合，結(jié)合平面波展開(kāi)法，建立了計(jì)算該模型能帶結(jié)構(gòu)的表面效應(yīng)平面波展開(kāi)法.進(jìn)一步地，外加電壓和外加軸力被用來(lái)研究機(jī)電耦合效應(yīng)對(duì)帶隙的影響，殘余面應(yīng)力和材料內(nèi)稟長(zhǎng)度被用來(lái)研究表面效應(yīng)對(duì)帶隙的影響，以及晶胞內(nèi)PZT-4對(duì)環(huán)氧樹(shù)脂的長(zhǎng)度比和高寬比被用來(lái)研究幾何參數(shù)對(duì)帶隙的影響.研究結(jié)果和進(jìn)一步的分析表明，影響規(guī)律對(duì)基于壓電納米聲子晶體梁的納米機(jī)電系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程和主動(dòng)控制將起到積極的推動(dòng)作用.

關(guān)鍵詞： 壓電納米聲子晶體梁；平面波展開(kāi)法；表面效應(yīng)；機(jī)電耦合效應(yīng)

中圖分類(lèi)號(hào)：TB535"""文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A"""""文章編號(hào)：1673-4807（2024）04-025-07

Study on bandgap properties of a piezoelectric phononiccrystal nanobeam with surface effects

QIAN Denghui，LIU Guoqing，ZHANG Zexin，GE Haoran，ZOU Peng

（School of Naval Architecture amp; Ocean Engineering， Jiangsu University of Science and Technology， Zhenjiang 212100， China）

Abstract：The model of piezoelectric phononic crystal nanobeam is proposed by periodically repeating elastic material epoxy and piezoelectric material PZT-4 at nanoscale along the axial direction. The plane wave expansion method with surface effects is derived and formulized by coupling surface piezoelectric theory， Euler beam theory and traditional plane wave expansion method to calculate the corresponding band structures. Moreover， the external electrical voltage and axial force are chosen to investigate the influences of electro-mechanical coupling effects on band gaps. Residual surface stress and material intrinsic length are picked as the influencing parameters related to surface effects. Ratio of the length of PZT-4 to that of epoxy in a unit cell and the height-width ratio are chosen to research the effects of geometric parameters on band gaps. The results and analysis are expected to be helpful in designing piezoelectric nanobeam-based devices.

Key words：piezoelectric phononic crystal nanobeam， plane wave expansion method， surface effect， electro-mechanical coupling effect

作為一種人造周期性復(fù)合彈性結(jié)構(gòu)，近三十年來(lái)，形式各異的聲子晶體以其獨(dú)有的彈性波/聲波帶隙特性吸引了廣大國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者的關(guān)注［1］.針對(duì)工程中比較常用的桿、梁、單板以及雙層板等基本彈性結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)聲子晶體的設(shè)計(jì)思路可以被引入其中從而滿(mǎn)足相應(yīng)的工程需求［2］.此外，基于多物理場(chǎng)耦合下的聲子晶體也獲得了一定的研究，比如壓磁聲子晶體、壓電聲子晶體、磁電彈聲子晶體等［3-4］.其中，壓電聲子晶體基于機(jī)械場(chǎng)和電場(chǎng)之間的相互轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)對(duì)帶隙的有效調(diào)控，并進(jìn)一步基于電場(chǎng)對(duì)帶隙的調(diào)節(jié)規(guī)律實(shí)現(xiàn)對(duì)帶隙的主動(dòng)控制.上述聲子晶體結(jié)構(gòu)均是處于宏觀(guān)尺寸，相應(yīng)帶隙頻段所對(duì)應(yīng)的量級(jí)一般是從赫茲（Hz）到兆赫（MHz）之間.近年來(lái)，隨著納米技術(shù)在各領(lǐng)域的迅猛發(fā)展，開(kāi)始涌現(xiàn)出一批對(duì)納米尺寸的新型聲子晶體結(jié)構(gòu)的研究［5］，這使得所獲帶隙頻段對(duì)應(yīng)的量級(jí)急劇上升到千兆赫（GHz）甚至太兆赫（THz）.綜上所述，若將壓電材料與納米材料相結(jié)合并引入到聲子晶體中構(gòu)成壓電納米聲子晶體結(jié)構(gòu)，將匯聚壓電材料、納米材料以及聲子晶體的優(yōu)良特性為一體，并能通過(guò)各組分之間相互耦合展現(xiàn)出新的物理性能.對(duì)壓電納米聲子晶體結(jié)構(gòu)的深入研究將促進(jìn)新型壓電納米器件的產(chǎn)生，并為納米機(jī)電系統(tǒng)應(yīng)用提供新的可能.

壓電納米聲子晶體結(jié)構(gòu)所展現(xiàn)的帶隙特性及其后續(xù)主動(dòng)控制研究均離不開(kāi)行之有效的帶隙計(jì)算方法.就目前而言，國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中只出現(xiàn)少量對(duì)壓電納米聲子晶體結(jié)構(gòu)的直接性研究.文獻(xiàn)［6］基于非局部理論的傳遞矩陣法，考慮材料的內(nèi)部特征尺寸，對(duì)一維層狀壓電納米聲子晶體結(jié)構(gòu)的平面波模態(tài)進(jìn)行了詳細(xì)的研究.文獻(xiàn)［7］應(yīng)用平面波展開(kāi)法對(duì)多種晶格分布下的不同形狀散射體所構(gòu)成的二維壓電納米聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計(jì)算，并對(duì)相應(yīng)帶隙特性展開(kāi)了研究.但是近年來(lái)，有關(guān)壓電納米結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能和宏觀(guān)聲子晶體的帶隙特性已經(jīng)獲得了一定的研究.

對(duì)于宏觀(guān)尺寸結(jié)構(gòu)，大量實(shí)驗(yàn)和工程案例已經(jīng)證明，經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論可以被成熟有效地用來(lái)研究不同結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能.但是對(duì)于納米量級(jí)結(jié)構(gòu)，已有研究表明大多數(shù)與材料相關(guān)特性以及力學(xué)性能均表現(xiàn)出明顯的尺寸依賴(lài)性，這就導(dǎo)致廣泛應(yīng)用的宏觀(guān)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論難以繼續(xù)適用.但基于此經(jīng)典力學(xué)理論，通過(guò)進(jìn)行修正，學(xué)者們提出了一些高階連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論.其中，比較常用的有：表面彈性理論、非局部彈性理論、偶應(yīng)力彈性理論以及應(yīng)變梯度彈性理論［8-11］等.對(duì)于上述高階連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，目前均開(kāi)展了大量研究，各理論均存在一定的不足及自身的適用性.對(duì)于納米尺度下的梁板結(jié)構(gòu)，表面彈性理論的適用性已被廣泛證明.表面彈性理論是由文獻(xiàn)［12］首次提出，該理論假設(shè)研究對(duì)象是由塊體和表面層兩部分構(gòu)成，并且表面層被假設(shè)為無(wú)厚度的薄膜且無(wú)滑移地粘貼在塊體上.因此，塊體和表面層中的基本方程顯然會(huì)有所區(qū)別.基于此理論，近年來(lái)出現(xiàn)大量關(guān)于表面效應(yīng)對(duì)不同純彈性納米結(jié)構(gòu)的各種力學(xué)特性的影響研究［13］.但對(duì)于壓電納米結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)表面彈性理論不能直接適用.通過(guò)在表面彈性理論中考慮表面壓電和表面介電性能的影響，文獻(xiàn)［14］建立了表面壓電模型.目前，該模型已被廣泛用于研究各類(lèi)壓電納米結(jié)構(gòu)相關(guān)力學(xué)特性.基于Kirchhoff板模型，文獻(xiàn)［15］將表面壓電理論引入到壓電納米板中，并對(duì)該板的振動(dòng)響應(yīng)和機(jī)電耦合特性展開(kāi)研究.基于Timoshenko梁模型和表面壓電模型，文獻(xiàn)［16］對(duì)集中力作用下的壓電納米梁的彎曲撓度和共振頻率進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo).結(jié)果表明表面壓電性和表面殘余應(yīng)力對(duì)壓電納米梁彎曲和振動(dòng)行為的影響非常顯著.基于表面壓電理論，文獻(xiàn)［17］對(duì)纖維増強(qiáng)型壓電納米薄膜在反平面剪切變形下的機(jī)電耦合行為展開(kāi)了研究，并進(jìn)一步討論了表面效應(yīng)和纖維形狀對(duì)材料宏觀(guān)機(jī)電耦合行為的影響機(jī)制.

對(duì)于宏觀(guān)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算方法的研究，目前比較成熟的有平面波展開(kāi)（PWE）法［1］、傳遞矩陣（TM）法［18］、有限元（FE）法［19］等.針對(duì)不同類(lèi)型的聲子晶體結(jié)構(gòu)，上述方法均有其各自的適用范圍.由于本項(xiàng)目在帶隙計(jì)算這一環(huán)節(jié)是基于平面波展開(kāi)法而展開(kāi)的，所以這里對(duì)該方法稍做詳細(xì)介紹.平面波展開(kāi)法是基于聲子晶體特有的結(jié)構(gòu)周期性，將密度、彈性常數(shù)等結(jié)構(gòu)參數(shù)以及位移場(chǎng)以空間傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行展開(kāi)并截?cái)?，再與Bloch定理相結(jié)合，從而將能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算化為廣義特征值問(wèn)題的求解.研究表明，平面波展開(kāi)法對(duì)于只包含固體或流體的聲子晶體具有非常好的適用性［20］.通過(guò)進(jìn)一步結(jié)合超胞技術(shù)并考慮空間傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的平移對(duì)稱(chēng)性，該方法同樣可被應(yīng)用于帶有缺陷的聲子晶體［21］.平面波展開(kāi)法最常被詬病的問(wèn)題便是收斂性，對(duì)于組元結(jié)構(gòu)參數(shù)相差較大的聲子晶體，一般可以采用改進(jìn)平面波展開(kāi)法來(lái)提高收斂效果［22］.但是，平面波展開(kāi)法對(duì)由固體和流體（或流體）混合而成的聲子晶體不具備適用性［1］.

在眾多科研人員對(duì)壓電納米結(jié)構(gòu)以及聲子晶體結(jié)構(gòu)的研究基礎(chǔ)上，文中通過(guò)在壓電納米梁中引入聲子晶體設(shè)計(jì)思路從而構(gòu)成壓電納米聲子晶體梁結(jié)構(gòu).結(jié)合表征壓電納米梁的表面壓電理論以及計(jì)算聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的平面波展開(kāi)法，從而提出兼具機(jī)電耦合效應(yīng)、表面效應(yīng)的壓電納米聲子晶體梁結(jié)構(gòu)帶隙計(jì)算方法，并建立該結(jié)構(gòu)所特有的帶隙特性.

1"模型和方法

如圖1，矩形截面壓電納米聲子晶體梁結(jié)構(gòu)由壓電材料PZT-4和彈性材料環(huán)氧樹(shù)脂周期交替構(gòu)成.以軸向?yàn)閤軸，寬度方向?yàn)閥軸以及高度方向?yàn)閦軸建立笛卡爾坐標(biāo)系，如圖所示.其中，施加在PZT-4上的外加電場(chǎng)為V，外加軸向力為P0.一個(gè)晶胞內(nèi)的PZT-4和環(huán)氧樹(shù)脂長(zhǎng)度分別為a1和a2，因此晶格常數(shù)為a=a1+a2.對(duì)于截面，寬度和高度分別為b和h.此外，材料之間的界面效應(yīng)忽略不計(jì)，且考慮表面效應(yīng)存在于納米梁的表面，這就導(dǎo)致梁被分為塊體和表面層兩部分.

假設(shè)寬度b和高度h遠(yuǎn)小于晶格常數(shù)a，根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，軸向應(yīng)變?chǔ)舩與位移w（x，t）之間的關(guān)系可以寫(xiě)為：

εx=-z2w（x，t）x2（1）

假設(shè)電場(chǎng)Ez僅僅存在于z向，跟電勢(shì)φ之間的關(guān)系可以表示為：

Ez=-φz（2）

對(duì)于PZT-4的塊體部分，機(jī)電耦合本構(gòu)方程可以寫(xiě)為：

σx=c11εx-e31Ez（3）

Dz=e31εx+κ33Ez（4）

式中：σx為軸向應(yīng)力；Dz為z向電位移；c11、e31和κ33分別為彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù).

對(duì)于PZT-4的表面層部分，本構(gòu)方程可以寫(xiě)為［12］：

σsx=σ0x+cs11εsx-es31Esz（5）

Dsz=D0z（6）

式中：σsx和εsx分別為表面應(yīng)力和表面應(yīng)變；Dsz和Esz分別為表面電位移和表面電場(chǎng)；σ0x和D0z分別為殘余表面應(yīng)力和殘余表面電位移；cs11和es31分別為表面彈性常量和表面壓電常量.

忽略自由電荷，由高斯定律可得：

Dzz=0（7）

由式（1、2、4、7），并且考慮電場(chǎng)邊界條件φ-h2=0和φh2=V，可以求得電勢(shì)為：

φ=-e312κ332w（x，t）x2z2-h24+Vhz+V2（8）

將式（2、8）代入到（3、5）中，PZT-4塊體和表面層中的軸應(yīng)力可以由彎曲位移分別表示為：

σx=e31Vh-c11+e231κ33z2w（x，t）x2（9）

σsx=σ0x+es31Vh-cs11+es31e31κ33z2w（x，t）x2（10）

對(duì)于環(huán)氧樹(shù)脂的塊體部分，彈性本構(gòu)方程可以寫(xiě)為：

σx=Eεx（11）

式中，E為彈性模量.

對(duì)于環(huán)氧樹(shù)脂的表面層部分，本構(gòu)方程可以寫(xiě)為：

σsx=σ0x+Esεsx（12）

式中，Es為表面彈性模量.

將公式（1）代入到（11、12），環(huán)氧樹(shù)脂塊體和表面層中的軸應(yīng)力可以由彎曲位移分別表示為：

σx=-Ez2w（x，t）x2（13）

σsx=σ0x-Esz2w（x，t）x2（14）

所有的表面層參數(shù)跟體塊相應(yīng)參數(shù)具有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

pslspb（15）

式中：ps和pb分別為表面層和塊體中相應(yīng)參數(shù)；ls為材料內(nèi)稟長(zhǎng)度.

根據(jù)廣義Young-Laplace方程以及一系列公式推導(dǎo)［8］，考慮表面效應(yīng)的納米梁振動(dòng)控制方程可以寫(xiě)為：

2Mx2-P2w（x，t）x2-x∫STxzdS-∫STzdS=

-ρA2w（x，t）t2（16）

式中：M=-∫AσxzdA和P=P0+∫AσxdA分別為彎矩和軸力；Tx=σsxx和Tz=σsxRc分別為表面應(yīng)力引起的牽引力跳躍；Rc為曲率半徑，并且Tz僅僅作用于梁的頂面和底面；S和A分別為截面的周長(zhǎng)和面積；ρ為材料密度.

將式（9，10）代入到式（16）中，并且考慮振動(dòng)為簡(jiǎn)諧的，最終考慮表面效應(yīng)的壓電納米梁振動(dòng)控制方程可以用彎曲位移表示為：

2x2bh312c+bh22+h36cs2w（x）x2-

2bσ0x+2bes31Vh+be31V2w（x）x2=ω2ρ1Aw（x）（17）

式中：c=c11+e231/κ33，cs=cs11+es31e31/κ33；ρ1為PZT-4的密度.

類(lèi)似地，將式（13、14）代入到式（16）中，可以得到考慮表面效應(yīng)的彈性納米梁振動(dòng)控制方程：

2x2bh312E+bh22+h36Es2w（x）x2-2bσ0x2w（x）x2=ω2ρ2Aw（x）（18）

式中，ρ2為環(huán)氧樹(shù)脂的密度.

定義：

m1（x）=bh312c+bh22+h36cs（19）

n1（x）=2bσ0x+2bes31Vh+be31V（20）

p1（x）=ρ1A（21）

m2（x）=bh312E+bh22+h36Es（22）

n2（x）=2bσ0x（23）

p2（x）=ρ2A（24）

此外，應(yīng)用m（x），n（x）和p（x）分別為（m1（x），m2（x）），（n1（x），n2（x））和（p1（x），p2（x）），式（17、18）可以統(tǒng)一寫(xiě)為：

2x2m（x）2w（x）x2-n（x）2w（x）x2=ω2p（x）w（x）（25）

由于壓電納米聲子晶體梁在軸向的材料周期性，m（x），n（x）和p（x）可以展開(kāi)成空間傅里葉級(jí)數(shù)形式：

ξ（x）=∑Gξ（G）eiGx（26）

其中，

ξ（G）=ξ2f+ξ1（1-f）""G=0

（ξ2-ξ1）ψ（G）G≠0（27）

式中：ξ（x）被用來(lái)統(tǒng)一表示m（x），n（x）和p（x）；ξ1和ξ2分別為PZT-4的相應(yīng)參數(shù)；f=a2/a表示環(huán)氧樹(shù)脂的填充率.此外，ψ（G）=fsin（Ga2/2）/（Ga2/2），且G為一維倒格矢.

根據(jù)Bloch定理和結(jié)構(gòu)的周期性，w（x）可以表示為：

w（x）=∑G′wk（G′）ei（k+G′）x（28）

式中，k為不可約Brillouin區(qū)的邊界上的Bloch波矢.

將公式（26，28）代入到式（25）中，并且考慮倒格矢的個(gè)數(shù)為N，則可以得到：

（MG+NG-ω2PG）×（w（G））=0（29）

其中，

（MG）ij=（k+Gi）2m（Gi-Gj）（k+Gj）2（30）

（NG）ij=n（Gi-Gj）（k+Gj）2（31）

（PG）ij=p（Gi-Gj）（32）

式（29）表示一個(gè)關(guān)于ω2的廣義特征值問(wèn)題.通過(guò)求解每一個(gè)Bloch波矢下的該方程，可以最終得到該壓電納米聲子晶體梁的表面效應(yīng)能帶結(jié)構(gòu).PZT-4和環(huán)氧樹(shù)脂的塊體參數(shù)如表1［13］，且相應(yīng)的表面層參數(shù)可以通過(guò)式（15）求得.

表1"PZT-4和環(huán)氧樹(shù)脂的塊體參數(shù)

Table 1"Bulk material parameters of PZT-4 and epoxy

材料ρ/（kg·m-3）E/GPac11/GPae31/（C·m-2）κ33/（C·V-1·m-1）

PZT-47 500—132-4.17.124×10-8

環(huán)氧樹(shù)脂1 1804.35———

2"結(jié)果和分析

2.1"能帶結(jié)構(gòu)

圖2為考慮表面效應(yīng)的壓電納米聲子晶體梁能帶結(jié)構(gòu).計(jì)算過(guò)程中，所有材料參數(shù)如表1.幾何參數(shù)：a1=a2=50 nm，b=h=10 nm；表面層參數(shù)：σ0x=1 N·m-1，ls=1 nm.此外，外加電壓：V=0.2 V，外加軸向力為：P0=1×10-8 N.為了滿(mǎn)足收斂性需求，選用N=2×50+1個(gè)平面波數(shù).從圖中可以看出，20 GHz以下可以打開(kāi)好幾條完整帶隙.在這里，前兩階帶隙被選用研究其帶隙特性，分別是1.71～2.09 GHz（帶寬0.38 GHz）以及4.99～10.41 GHz（帶寬5.42 GHz）.

為了進(jìn)一步揭示帶隙和通帶頻段所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)性質(zhì)，圖3給出了不同帶隙和通帶頻段下的相應(yīng)有限結(jié)構(gòu)振型.此處，選用了4個(gè)頻率，分別為4，8，12、16 GHz.從圖2可以看出，4、12 GHz分別落在第二和第三條通帶頻段內(nèi)，8 GHz和16 GHz分別落在第二和第三階帶隙頻段內(nèi).此外，有限結(jié)構(gòu)基于聲子晶體晶胞，共選用了5個(gè)周期.材料和幾何參數(shù)與圖2一致，激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)分別選擇梁的兩端.從圖3可以看出，當(dāng)頻率落在通帶頻段內(nèi)，振動(dòng)可以無(wú)阻礙地沿著梁向前傳播.但是，當(dāng)頻率落在帶隙頻段內(nèi)，振動(dòng)會(huì)迅速衰減而無(wú)法進(jìn)一步向前傳播.基于壓電納米聲子晶體梁的通帶和帶隙特性，以及通帶和帶隙頻段均處于GHz量級(jí)，該結(jié)構(gòu)在超高頻諧振器、濾波器等聲學(xué)和振動(dòng)器件上擁有非常廣闊的應(yīng)用前景.

2.2"機(jī)電耦合效應(yīng)對(duì)帶隙的影響

電壓V對(duì)前兩階帶隙的起始頻率fs和帶隙寬度f(wàn)w的影響如圖4（a）.算例中除了V以外其余參數(shù)均與圖2中一致，且V的區(qū)間從-50～50 V.對(duì)于前兩階帶隙的變化規(guī)律相似.均是隨著電壓的變大，起始頻率一直在降低直到為0，而帶隙寬度先減后增再減小，最終也是趨于0.因此，為了滿(mǎn)足工程上對(duì)帶隙一定寬度的需求，電壓要盡量避免太大且在峰值對(duì)應(yīng)電壓附近調(diào)節(jié).

圖4（b）給出了外加軸力P0對(duì)前兩階帶隙的起始頻率fs和帶隙寬度f(wàn)w的影響.除了P0以外其余參數(shù)均與圖2一致，且P0的區(qū)間從-20×10-8 N到10×10-8 N.如圖，外加軸力P0對(duì)前兩階帶隙的影響是類(lèi)似的，且恰好跟電壓V相反.隨著P0的增加，起始頻率從0開(kāi)始一直增加，而帶隙寬度從0開(kāi)始先增后減再增加.所以，為了達(dá)到一定的帶隙寬度，外加軸力要盡量避免太小且在峰值附近調(diào)節(jié).

此外，從圖4中可以看出，參數(shù)對(duì)帶隙起始頻率的影響較為規(guī)律，而對(duì)帶隙寬度的影響存在突變.這是因?yàn)閹秾挾仁怯蓭督刂诡l率和起始頻率之差求得，而隨著參數(shù)的變化，帶隙起始和截止頻率所在能帶往往會(huì)發(fā)生變化.

2.3"表面效應(yīng)對(duì)帶隙的影響

表面效應(yīng)主要由殘余面應(yīng)力σ0x和材料內(nèi)稟長(zhǎng)度ls來(lái)表征.σ0x對(duì)前兩階帶隙的起始頻率fs和帶隙寬度f(wàn)w的影響如圖5（a）.除σ0x以外所有參數(shù)均與圖2一致，且σ0x的區(qū)間為0.1 N·m-1到1 N·m-1，這歸因于典型的殘余面應(yīng)力就是在該區(qū)間取值［8］.對(duì)于前兩階的起始頻率和帶隙寬度，均是隨著殘余面應(yīng)力的增加而增加.但σ0x對(duì)第二階帶隙的寬度影響很小，幾乎可以認(rèn)為保持不變.

圖5（b）給出了材料內(nèi)稟長(zhǎng)度ls對(duì)前兩階帶隙的起始頻率fs和帶隙寬度f(wàn)w的影響.除ls以外所有參數(shù)均與圖2一致，且ls的區(qū)間為0～1 nm.對(duì)于第一階帶隙的起始頻率以及第二階帶隙的起始頻率和帶隙寬度，均是隨著材料內(nèi)稟長(zhǎng)度的增加而增加.但是，隨著材料內(nèi)稟長(zhǎng)度的增加，第一階帶隙的寬度反而一直減小.

2.4"幾何參數(shù)對(duì)帶隙的影響

為了研究幾何參數(shù)對(duì)帶隙的影響，晶胞內(nèi)PZT-4和環(huán)氧樹(shù)脂的長(zhǎng)度比a1/a2和高寬比h/b被選作影響因子.圖6（a）和（b）分別給出了a1/a2和h/b對(duì)前兩階帶隙的起始頻率fs和帶隙寬度f(wàn)w的影響.對(duì)于起始頻率，兩階帶隙的影響規(guī)律類(lèi)似：隨著a1/a2的增加，均是逐漸降低至0；隨著h/b的增加，起始頻率呈現(xiàn)出先增加后降低再增加的趨勢(shì).但是對(duì)于帶隙寬度，隨著a1/a2的增加，第一階和第二階帶隙分別經(jīng)歷一個(gè)和兩個(gè)峰值之后逐漸降至0；隨著h/b的增加，兩階帶隙均是經(jīng)歷一個(gè)峰值之后再逐漸增大.

因此，在設(shè)計(jì)壓電納米聲子晶體梁的過(guò)程中，帶寬峰值所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度比和高寬比可以被選用以達(dá)到使得帶隙盡可能寬的目的.

3"結(jié)論

通過(guò)無(wú)限周期重復(fù)壓電材料和彈性材料構(gòu)造了一個(gè)壓電聲子晶體梁模型.基于表面彈性理論、Euler梁理論和平面波展開(kāi)法，計(jì)算了該模型的能帶結(jié)構(gòu).基于能帶結(jié)構(gòu)圖和振型圖分析，當(dāng)頻率落在通帶頻段內(nèi)，振動(dòng)可以無(wú)阻礙地沿著梁向前傳播.但是，當(dāng)頻率落在帶隙頻段內(nèi)，振動(dòng)會(huì)迅速衰減而無(wú)法進(jìn)一步向前傳播.因此，該結(jié)構(gòu)在超高頻聲學(xué)和振動(dòng)器件領(lǐng)域擁有廣闊前景.此外，從機(jī)電耦合效應(yīng)、表面效應(yīng)和幾何參數(shù)3個(gè)角度分析了帶隙的影響規(guī)律.

（1） 隨著外加電壓的增大或者外加軸向力的減小，第一階和第二階帶隙均是起始頻率逐漸降低至零，而帶隙寬度先減后增再減小，最終趨于零；

（2） 隨著殘余面應(yīng)力的增加，兩階帶隙起始頻率和帶隙寬度均增加；而隨著材料內(nèi)稟長(zhǎng)度的增加，第一階帶隙的起始頻率以及第二階帶隙的起始頻率和帶隙寬度均增加，而第二階帶隙的寬度減小.

（3） 隨著晶胞內(nèi)PZT-4和環(huán)氧樹(shù)脂長(zhǎng)度比的增加，第一階和第二階帶隙起始頻率均逐漸降低至零，而帶隙寬度分別經(jīng)歷一個(gè)和兩個(gè)峰值之后逐漸降至零；隨著高寬比的增加，兩階帶隙起始頻率和帶隙寬度均呈現(xiàn)出先增加后降低再增加的趨勢(shì).

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