以某高中高三部分學(xué)生為研究對象，基本初等函數(shù)為測試內(nèi)容，結(jié)合調(diào)查問卷、教師訪談等方法對學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力進(jìn)行調(diào)查，在結(jié)果分析后了解了高三學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力現(xiàn)狀，并提出培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的有效策略，包括強化課本基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)、加強題目多元變化訓(xùn)練、改變學(xué)生的運算習(xí)慣。

一、運算能力概述

（一）運算能力的定義

《中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)論》明確指出，運算能力是基于基本的運算法則，按照相關(guān)解題步驟去推理運算并解決問題的能力，是分析題目取得結(jié)果的重要條件，快速運算能力的表現(xiàn)就是學(xué)生能夠通過簡潔、方便的方法和途徑解決問題。從運算能力結(jié)構(gòu)上來看，主要包括準(zhǔn)確程度、快慢程度、簡便程度和合理程度四個判定運算能力水平的要素，能夠為理科學(xué)生運算提供相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)。

（二）運算能力水平劃分

參照數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，將高三學(xué)生數(shù)學(xué)運算水平劃分為五個層次。

第一層次，學(xué)生對運算對象不清晰，對于運算對象的基本概念不夠理解。第二層次，學(xué)生對運算對象和基本概念有一個清晰的印象，能夠有效掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識。第三層次，學(xué)生對運算對象和基本概念都有明確的印象。第四層次，學(xué)生對運算對象和基本概念都有明確的印象，能夠有效應(yīng)用運算思維和程序。第五層次，學(xué)生對運算對象和基本概念都有明確的印象，在綜合性較強的題目中能夠?qū)ο嚓P(guān)知識進(jìn)行靈活運用。

二、研究設(shè)計

本文以四川省樂山市外國語學(xué)校高中理科生為研究對象，抽取男女生各100人，以初等函數(shù)為主題，通過實地調(diào)查和設(shè)計運算題目的方式，研究高三理科生數(shù)學(xué)運算水平。運算題目一共十道，共一百分，通過試卷發(fā)放、回收、整理、分析數(shù)據(jù)的過程，了解高三理科學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。

（一）主題確定

筆者在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，以基本初等函數(shù)題目為載體，對高三理科學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力進(jìn)行考查。筆者選取了人教A版高中數(shù)學(xué)必修一的指數(shù)、對數(shù)和冪函數(shù)等相關(guān)知識，要求學(xué)生對函數(shù)的概念和意義進(jìn)行明確，能夠掌握基本的運算思路和方法，并體現(xiàn)在數(shù)學(xué)運算能力水平上。

（二）題目的設(shè)計

對于運算能力試卷題目的設(shè)計，筆者結(jié)合數(shù)學(xué)教材和題目的難度，共設(shè)計十道題，涵蓋數(shù)學(xué)運算能力水平的五個層次，旨在通過分?jǐn)?shù)對學(xué)生的運算能力水平進(jìn)行分析。

第一題和第二題，均對相關(guān)函數(shù)的概念進(jìn)行考查；第三題和第四題，分別對函數(shù)運算性質(zhì)和指數(shù)與對數(shù)關(guān)系基本運算進(jìn)行考查。第五題和第六題，分別對指數(shù)公式變形求解和對數(shù)運算性質(zhì)進(jìn)行考查。第七題和第八題，分別對平方差公式和對數(shù)運算性質(zhì)與二次函數(shù)性質(zhì)的運算能力進(jìn)行考查。第九題和第十題，分別對對數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和冪函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行考查。設(shè)計題目如下：

1.當(dāng)對數(shù)log（x-1）（5+4x）有意義時，則需滿足的條件有 .（填正確的序號）

（1）x-1≠0 （2）x-1>0且x-1≠1

（3）5+4x>0 （4）5+4x∈R

2.函數(shù)（m2+2m-2）x（m-1）+n+1是冪函數(shù)，則需滿足的條件有 .（填正確的序號）

（1）m2+2m-2=1 （2）m2+2m-2≠0

（3）n+1∈R （4）n+1=0 （5）m-1≠0

3.比較下列數(shù)的大小，填“>，=，<”號.

（1）1.012.7 1.013.5

（2）0.75-0.1 0.750.1

（3）In0.5 In0.6

（4）log1.51.6 log1.51.4

4.若alog45=1，求5a+5-a的值.

5.設(shè)2a=5b=m，且+=2，求m的值.

6.已知x=lnπ，y=log52，z=e-，則π，y，z有怎樣的大小關(guān)系？請說明理由。

7.求函數(shù)f（x）=log2·log（2x）的最小值.

8.求函數(shù)f（x）=（log0.5x）2-2log0.5x+3的單調(diào)區(qū)間.

9.已知函數(shù)f（x）=-2x2+4x-1，定義域為［m，n］，且m>0，值域為，求m，n的值.

10.已知函數(shù)f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）為偶函數(shù)，且f（3）<f（5）.

（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；

（2）若y=loga［f（x）-ax］（a>0且a≠1）在區(qū)間［2，3］上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值集合.

（三）分?jǐn)?shù)評定和數(shù)據(jù)收集

整套試卷題目滿分為100分，每道題目分?jǐn)?shù)10分，按照每20分劃分?jǐn)?shù)學(xué)運算能力水平層次，對學(xué)生運算能力水平進(jìn)行判定。0～20分為第一層次運算水平，21～40分為第二層次以此類推，81～100分為第五層次。在本研究中，共同發(fā)放了100份試卷，有效回收試卷100份，回收率百分之百。

數(shù)據(jù)顯示，第一，大部分高三理科生數(shù)學(xué)能力水平位于40～80分，平均值在70分左右；第二，高三理科女生比男生得分略高，說明女生運算能力較高于男生，需要教師著重分析男女學(xué)生的思維差異，選用不同的教學(xué)方法展開學(xué)習(xí)，推動學(xué)生的共同進(jìn)步；第三，部分學(xué)生位于40分以下，處于第一、二層次的運算能力水平，需要教師對該部分學(xué)生加以重視引導(dǎo)。

（四）學(xué)生運算錯誤分析

通過試卷的調(diào)查顯示，高三理科學(xué)生數(shù)學(xué)運算水平基本處于第三、第四層次的水平，整體水平較高。但在閱卷過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生常常出現(xiàn)的相關(guān)錯誤，并對其進(jìn)行了歸納總結(jié)。第一，部分學(xué)生對函數(shù)運算基本概念理解不清晰，對于指數(shù)冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念有所混淆。部分學(xué)生沒有對函數(shù)的概念進(jìn)行清晰的認(rèn)知，大多數(shù)都是靠死記硬背，對該部分的問題沒有引起足夠的重視。第二，部分學(xué)生驗算過程中沒有形成良好的習(xí)慣，對問題的結(jié)果不能做出準(zhǔn)確的判斷。第三，部分學(xué)生在解答過程中出現(xiàn)粗心大意的情況，沒有發(fā)現(xiàn)隱含條件，導(dǎo)致運算流程較為復(fù)雜。第四，部分學(xué)生思維沒有跳出教材給定的解題思路的局限性，不能根據(jù)題意解答問題。

三、提升高三理科生數(shù)學(xué)運算能力水平的策略

（一）強化課本基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)運算要求學(xué)生根據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題，這需要學(xué)生充分把握數(shù)學(xué)概念、公式與法則，在熟練把握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行快速、精準(zhǔn)運算。

首先，創(chuàng)新數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識教學(xué)方法。在講解定理、公式、法則等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識時，教師要摒棄“灌輸式”“演示式”的傳統(tǒng)教學(xué)方法，結(jié)合現(xiàn)實生活創(chuàng)設(shè)真實生動的數(shù)學(xué)情境，通過呈現(xiàn)推理過程幫助學(xué)生深入理解相關(guān)概念、法則、公式等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，使學(xué)生在充分理解的基礎(chǔ)上實現(xiàn)舉一反三，切實依托數(shù)學(xué)運算能力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐能力。如在函數(shù)應(yīng)用教學(xué)過程中，教師可以緊密圍繞日常生活中的問題建立函數(shù)模型，引導(dǎo)學(xué)生自主歸納幾種生活問題的共同點和不同之處，并在合作探究學(xué)習(xí)中推理函數(shù)的相關(guān)概念，通過將學(xué)習(xí)主動權(quán)交給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)與探究興趣，加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解和運用。

其次，要堅持“以生為本”的教學(xué)理念，充分尊重學(xué)生的主體地位。在基礎(chǔ)知識記憶中，教師要尊重高三學(xué)生的階段特點和學(xué)習(xí)規(guī)律，設(shè)計“以生為本”的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，支持學(xué)生在自主、合作與探究學(xué)習(xí)中完成數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的內(nèi)化整合、實踐應(yīng)用與遷移創(chuàng)新，幫助學(xué)生準(zhǔn)確快速地記憶相關(guān)概念，提升學(xué)生思維的邏輯性、辯證性與創(chuàng)新性，使學(xué)生在探索知識的過程中理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的基本內(nèi)涵。比如，在三角函數(shù)的課堂教學(xué)中，教師可以利用“奇變偶不變，符號看象限”和“一正，二定，三相等”等不等式相關(guān)口訣，幫助學(xué)生快速記憶做題方法，并以此為基礎(chǔ)理論推導(dǎo)其他相關(guān)知識的口訣方法。在復(fù)習(xí)相關(guān)知識的過程中，教師可以用圖表的方法讓學(xué)生進(jìn)行對比學(xué)習(xí)。再如，在函數(shù)復(fù)習(xí)中，教師可以運用圖表加深學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的辨析與記憶，將指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)相關(guān)概念與圖解制作成表格，使學(xué)生通過對比與辨析加強記憶，避免知識點的混淆。

最后，要充分利用課前和課后時間。在課堂開始前，教師要借助誦讀、提問、游戲等形式引導(dǎo)學(xué)生回顧上課所學(xué)的知識、公式，加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的印象，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在課堂教學(xué)結(jié)束后，教師應(yīng)通過加強訓(xùn)練的方式幫助學(xué)生鞏固理解相關(guān)知識，多做一些形式不同的概念題目，讓學(xué)生在練題刷題的過程中，加強對基礎(chǔ)知識的掌握。

（二）加強題目多元變化訓(xùn)練

在課堂教學(xué)過程中，教師要通過題目的多元化訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生做題的基本技巧，借助一題多解、一題多變和多題一解等方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生對問題的分析歸納能力。

首先，要引導(dǎo)學(xué)生展開一題多解的相關(guān)訓(xùn)練。教師要運用同一類題目，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考分析，運用不同的思維方式和運算方法得出多元化的解題方式。在每一章節(jié)教學(xué)結(jié)束之后，教師可以自主設(shè)計應(yīng)用性和代表性較強的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生展開思維的訓(xùn)練，從而掌握一道題目的不同解決方法。

其次，要引導(dǎo)學(xué)生展開一題多變的訓(xùn)練。一方面，教師要設(shè)計條件不變的題目，引導(dǎo)學(xué)生通過條件來推出結(jié)論，加深理解二者之間的聯(lián)系。另一方面，教師引導(dǎo)學(xué)生通過條件改變對一類題目進(jìn)行新的推論，幫助學(xué)生認(rèn)識條件對于問題結(jié)果所產(chǎn)生的影響。在復(fù)習(xí)教學(xué)的過程中，教師多設(shè)計一題多變的題目，運用不同知識之間的相互聯(lián)系，幫助學(xué)生發(fā)散思維，深入思考探究問題，提高學(xué)生問題分析能力。

最后，開展多題一解訓(xùn)練。同一類型的題目從表面上看解法條件和結(jié)論都不相同，但解題思路和主要步驟基本相同。教師要明確某一類型的題目解題技巧和方法的共同之處，就同一類型題目要做好習(xí)題分類，幫助學(xué)生加強訓(xùn)練，提高學(xué)生的運算能力。比如在導(dǎo)數(shù)的教學(xué)過程中，對最值極值、單調(diào)性等不同類型的問題進(jìn)行歸納總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題方法和步驟的相似性，有效轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維觀念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算水平。

（三）改變學(xué)生的運算習(xí)慣

在高三理科生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，部分學(xué)生存在不良的運算習(xí)慣，這些習(xí)慣嚴(yán)重阻礙了學(xué)生運算能力水平的提升。因此，教師要加強對這些問題的重視，找尋問題存在的原因，并提出合理的解決方案。

一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)認(rèn)真真做好每一道題，讓學(xué)生體驗解題的全過程。在這一過程中，教師要以提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題過程，運用問題激勵、任務(wù)驅(qū)動的方法引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)，促使學(xué)生在問題分析及解決中掌握以前漏缺的相關(guān)知識點，做到查漏補缺。

另一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生對所有知識秉持高度重視，不能存在僥幸心理，不僅要抓重點考點，也要對其他知識有所把握，只有這樣才能在考場中胸有成竹，無所畏懼。對于較為困難和不擅長的題目，教師更應(yīng)該激勵學(xué)生加以克服，引導(dǎo)學(xué)生深入分析問題、解決問題，并通過錯題本加以復(fù)習(xí)，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。

此外，教師還要引導(dǎo)學(xué)生充分利用草稿紙，將自己的思路進(jìn)行梳理，養(yǎng)成良好的卷面習(xí)慣，幫助學(xué)生在運算過程中理清邏輯思維，提高運算能力。

綜上所述，當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生的運算能力提出了更高的要求。教師要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)思維，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力為目標(biāo)，根據(jù)高三理科生的階段特點與學(xué)習(xí)規(guī)律，創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)理念與方法，以促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)提質(zhì)增效。在這一過程中，教師不應(yīng)以成績衡量學(xué)生，要引導(dǎo)學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)運算的基本理念、方法、技能以及規(guī)律等，課堂中因材施教，啟發(fā)誘導(dǎo)，重點關(guān)注解題過程，注重學(xué)生的性別思維差異，推動高三學(xué)生運算水平的整體提升。

（作者單位：四川省樂山市外國語學(xué)校）

編輯：曾彥慧