摘 要：跨學(xué)科背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多角度發(fā)散性提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，指向?qū)W生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。研究結(jié)合數(shù)學(xué)教育中跨學(xué)科學(xué)習(xí)的學(xué)科意蘊(yùn)，分析留白創(chuàng)造式教學(xué)的內(nèi)涵?；趦?nèi)涵分析，思考留白創(chuàng)造式教學(xué)的深化策略：以數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯為基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科情境，在情境設(shè)計(jì)處留白，凸顯學(xué)科性;整合教材中的閱讀材料，在“問(wèn)題—對(duì)話”處留白與布白;設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，在解決問(wèn)題（方法運(yùn)用）處留白;融合階段性評(píng)價(jià)和過(guò)程性評(píng)價(jià)，在評(píng)價(jià)任務(wù)設(shè)計(jì)處留白，關(guān)注教學(xué)評(píng)一致性，以培育學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)為目標(biāo)指向。

關(guān) 鍵 詞：跨學(xué)科教學(xué);創(chuàng)新意識(shí);留白創(chuàng)造式教學(xué);高中教學(xué);探究式教學(xué)

引用格式：李亞瓊，寧連華，黃賢明.跨學(xué)科視域下數(shù)學(xué)留白創(chuàng)造式教學(xué)的內(nèi)涵與策略[J].教學(xué)與管理，2024（27）：83-87.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱2020課標(biāo)）中提到：高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，從而提升學(xué)科核心素養(yǎng)[1]?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱2022課標(biāo)）提出：創(chuàng)新意識(shí)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，創(chuàng)新意識(shí)主要指主動(dòng)嘗試從日常生活、自然現(xiàn)象或科學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題……勇于探索開(kāi)放性的、非常規(guī)的實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題[2]。這里，“創(chuàng)新”是一種意識(shí)，表現(xiàn)為主動(dòng)去探索、發(fā)現(xiàn)的心理傾向，一種積極的態(tài)度[3]。如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，是數(shù)學(xué)教育研究的重要課題。

跨學(xué)科教學(xué)日益受到教育界的關(guān)注，2022課標(biāo)要求各個(gè)學(xué)科開(kāi)展不低于百分之十課時(shí)的跨學(xué)科學(xué)習(xí)，跨學(xué)科研究的價(jià)值不言而喻。本研究基于跨學(xué)科的學(xué)科意蘊(yùn)，思考留白創(chuàng)造式教學(xué)的內(nèi)涵、關(guān)鍵及深化策略，指向?qū)W生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)教育中跨學(xué)科學(xué)習(xí)的學(xué)科意蘊(yùn)

伴隨著學(xué)科的分化，學(xué)科間呈現(xiàn)出一定的滲透性，其界限慢慢模糊并朝著綜合化方向發(fā)展，跨學(xué)科的現(xiàn)象便應(yīng)運(yùn)而生。1926年，哥倫比亞大學(xué)心理學(xué)家伍德沃思（Woodworth）公開(kāi)使用“跨學(xué)科”（interdisciplinary）一詞。1986年，聯(lián)合國(guó)教科文組織召開(kāi)首次跨學(xué)科會(huì)議，“跨學(xué)科”作為一種思維方式在教育領(lǐng)域得到重視。2005年，美國(guó)發(fā)布《促進(jìn)跨學(xué)科研究》報(bào)告，對(duì)跨學(xué)科概念、本質(zhì)、評(píng)估等問(wèn)題進(jìn)行了分析[4]。自此，“跨學(xué)科”概念得到不斷的豐富與發(fā)展。2022課標(biāo)中“跨學(xué)科”的出現(xiàn)，也凸顯數(shù)學(xué)教育對(duì)跨學(xué)科研究的積極回應(yīng)，于是對(duì)數(shù)學(xué)教育中跨學(xué)科內(nèi)涵的思考顯得尤為重要。

1.數(shù)學(xué)知識(shí)觀是跨學(xué)科的邏輯基礎(chǔ)

從知識(shí)整合的視角提出跨學(xué)科學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者創(chuàng)造性地聯(lián)結(jié)多個(gè)學(xué)科知識(shí)，并基于學(xué)科本質(zhì)進(jìn)行多維整合的過(guò)程[5]。數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的視角看待數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生僅為數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)者和接受者，也是數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者和創(chuàng)造者[6]。結(jié)合數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)知識(shí)觀強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)科學(xué)性與人文性、建構(gòu)性與開(kāi)放性。所以，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要借助跨學(xué)科體驗(yàn)和探究去促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，需要從學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的心理特征入手，揣摩學(xué)生理解知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程。數(shù)智時(shí)代下的數(shù)學(xué)知識(shí)觀，需要凸顯數(shù)學(xué)的人文和科學(xué)的特點(diǎn)、數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)性與發(fā)明性特點(diǎn)及數(shù)學(xué)知識(shí)的開(kāi)放性和模糊性等不確定特征，借助跨學(xué)科載體，引導(dǎo)學(xué)生形成跨學(xué)科思維和創(chuàng)新意識(shí)。

2.跨學(xué)科學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)學(xué)科立場(chǎng)

跨學(xué)科學(xué)習(xí)是整合兩種或者兩種以上學(xué)科特點(diǎn)、學(xué)習(xí)方式或思維方式以解決問(wèn)題，過(guò)程中借助學(xué)科融合、學(xué)科整合助推學(xué)科間相互影響。所以，跨學(xué)科不是解構(gòu)原學(xué)科，而是借助學(xué)科間的相互借鑒與整合，促進(jìn)本學(xué)科知識(shí)的深度理解。海蒂（Heidi）等人認(rèn)為，跨學(xué)科必須要有扎實(shí)的學(xué)科導(dǎo)向[7]。跨學(xué)科學(xué)習(xí)需要基于學(xué)科視角，將知識(shí)置于不同情境下，同時(shí)又要借助其他學(xué)科對(duì)本學(xué)科進(jìn)行批判性反思，從而得到對(duì)本學(xué)科知識(shí)的解構(gòu)和建構(gòu)。

跨學(xué)科視域下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)是基于學(xué)科特點(diǎn)尋找不同學(xué)科思維的融合方式，在學(xué)科間交疊的范圍內(nèi)設(shè)計(jì)“情境—問(wèn)題”;設(shè)計(jì)真實(shí)問(wèn)題情境，消弱學(xué)科間的剛性邊界，關(guān)注知識(shí)聯(lián)結(jié)和遷移運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科間的統(tǒng)整，旨向培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力;在數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)主導(dǎo)其他學(xué)科知識(shí)輔助下，形成教育合力，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)資源，拓展學(xué)生的學(xué)科視野，關(guān)注跨學(xué)科思維的培養(yǎng)。

3.學(xué)科素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)是跨學(xué)科的育人指向

素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)課程聚焦數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，指向批判性思維和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。因此，需要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階及差異化更新理解數(shù)學(xué)教學(xué)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界以及其它學(xué)科的聯(lián)系，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果之外能更多地注重?cái)?shù)學(xué)思考的過(guò)程，從而更好地發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，真正做到將“創(chuàng)新意識(shí)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程之中”[8]。學(xué)生基于已掌握的學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)，逐漸逼近學(xué)科本質(zhì)，在進(jìn)行跨學(xué)科問(wèn)題解決時(shí)，才有可能實(shí)現(xiàn)本學(xué)科知識(shí)與跨學(xué)科知識(shí)的融合及知識(shí)的遷移，此時(shí)跨學(xué)科學(xué)習(xí)才會(huì)發(fā)生?；趯W(xué)科立場(chǎng)的跨學(xué)科學(xué)習(xí)能夠產(chǎn)生深層次的學(xué)習(xí)效果，從而指向培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)。

二、跨學(xué)科視域下數(shù)學(xué)留白創(chuàng)造式教學(xué)的內(nèi)涵與關(guān)鍵

跨學(xué)科視域下，留白創(chuàng)造式教學(xué)在發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的道路上發(fā)揮著獨(dú)特的作用與價(jià)值。研究性教學(xué)、探究式教學(xué)及留白創(chuàng)造式教學(xué)都指向?qū)W生創(chuàng)新意識(shí)及創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。

1.從研究性教學(xué)、探究式教學(xué)到留白創(chuàng)造式教學(xué)

關(guān)于創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力培養(yǎng)的問(wèn)題一直是基礎(chǔ)教育關(guān)注的熱點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生在教師指導(dǎo)下，以類似科學(xué)研究的方式獲取知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，便是研究性學(xué)習(xí)。研究性學(xué)習(xí)重視學(xué)習(xí)的過(guò)程性，其成果不一定是有“形”的、量化的（蘊(yùn)含開(kāi)放性、留白式），強(qiáng)調(diào)“創(chuàng)造”不僅僅是行為、能力和方法，更是一種意識(shí)、態(tài)度和觀念[9]。數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要借助數(shù)學(xué)體驗(yàn)和數(shù)學(xué)探究去理解數(shù)學(xué)知識(shí)，需要從學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的心理特征入手，揣摩學(xué)生理解知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程[10]。因此，數(shù)學(xué)探究式教學(xué)更重視學(xué)生自主探究與建構(gòu)知識(shí)。教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)一種包容的、支持性的“學(xué)習(xí)文化”來(lái)呵護(hù)學(xué)生的自主性，教師通過(guò)鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑以及親自參與討論來(lái)引發(fā)認(rèn)知沖突從而促使知識(shí)內(nèi)化，基于認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)將學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)與觀念一致起來(lái)[11]。所以研究性教學(xué)和探究式教學(xué)都強(qiáng)調(diào)學(xué)生的過(guò)程參與式體驗(yàn)，蘊(yùn)含開(kāi)放式的學(xué)習(xí)觀和知識(shí)建構(gòu)觀。

汪曉勤教授基于數(shù)學(xué)史上的留白與創(chuàng)新進(jìn)行研究[12]，以數(shù)學(xué)史為視角對(duì)“留白創(chuàng)造式”教學(xué)進(jìn)行探索[13]。汪教授提及，課堂常見(jiàn)的留白形式有陳述之白、方法之白、論證之白、發(fā)現(xiàn)之白、問(wèn)題之白、超越之白[14]。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是“再創(chuàng)造”的過(guò)程[15]，其強(qiáng)調(diào)學(xué)生在教師留白之后進(jìn)行補(bǔ)白的過(guò)程。課堂教學(xué)中的留白，是指教師基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階及教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)地留出恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間和空間，引發(fā)學(xué)生理解并運(yùn)用、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造知識(shí)的一種教學(xué)理念與教學(xué)策略。

所以，留白創(chuàng)造式教學(xué)是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階及育人目標(biāo)，為學(xué)生學(xué)習(xí)留下充分的思維空間與探究機(jī)會(huì)，基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)引發(fā)認(rèn)知沖突，使得學(xué)生主動(dòng)參與體驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程[16]。基于此，留白創(chuàng)造式教學(xué)更需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的差異化，這本身是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種超越。留白創(chuàng)造式教學(xué)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)階性，指向?qū)W生創(chuàng)造意識(shí)的培養(yǎng)。由此，從研究性教學(xué)、探究式教學(xué)到留白創(chuàng)造式教學(xué)均有共同的價(jià)值指向，即關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階及認(rèn)知起點(diǎn)，遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部邏輯，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)探究的教學(xué)方式，最終指向?qū)W生創(chuàng)新意識(shí)及創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。

2.跨學(xué)科視域下數(shù)學(xué)留白創(chuàng)造式教學(xué)的內(nèi)涵

基于留白創(chuàng)造式教學(xué)的價(jià)值指向，梳理跨學(xué)科視域下留白創(chuàng)造式教學(xué)的內(nèi)涵：以教學(xué)陌生化為前提;把握留白的“度”“時(shí)機(jī)性”和“開(kāi)放性”。

（1）留白創(chuàng)造式教學(xué)的前提：教學(xué)陌生化

如何進(jìn)行留白教學(xué)以至于能激發(fā)創(chuàng)造性，涵養(yǎng)出學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)，這其實(shí)對(duì)教師提出較高的要求。數(shù)字信息化時(shí)代，各種新教學(xué)方式的探索，首先需要考慮的是教師能否做到。懷特海（Alfred North Whitehead）在《教育的目的》中提及，教師要用充滿想象力的方式來(lái)進(jìn)行知識(shí)教授[17]。充滿想象力的教學(xué)應(yīng)指向培養(yǎng)學(xué)生的想象力和學(xué)習(xí)興趣，這便蘊(yùn)含“留白”。教學(xué)不是以一種博學(xué)者的姿態(tài)對(duì)眼中一無(wú)所知者的恩賜[18]，充滿想象力的方式需要教師設(shè)計(jì)情境引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，當(dāng)學(xué)生提出自己的想法時(shí)，教師也應(yīng)重新思考自己原先的想法。教學(xué)中，教師與學(xué)生一起創(chuàng)造條件，讓創(chuàng)新意識(shí)涌現(xiàn)出來(lái)，對(duì)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行批判性干預(yù)[19]，此時(shí)教師需要擁有一種“陌生化”的信念。從教學(xué)論的角度來(lái)看，“陌生化”需要教師調(diào)整教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)思維、思維定式和認(rèn)知局限等弊端，釋放審美疲勞，試圖激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[20]。數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)造性不僅僅是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)，更體現(xiàn)在對(duì)已有的知識(shí)提出質(zhì)疑，解構(gòu)到再構(gòu)的過(guò)程。

（2）留白教學(xué)的創(chuàng)造性體現(xiàn)在：“度”“時(shí)機(jī)性”和“開(kāi)放性”

留白教學(xué)指向培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和學(xué)科素養(yǎng)，其創(chuàng)造性應(yīng)體現(xiàn)在：留白與布白的度的把握;留白與補(bǔ)白的時(shí)機(jī)性;留白教學(xué)情境設(shè)置的開(kāi)放性。課堂教學(xué)中的留白與布白是指教師留給學(xué)生思考的空間和余地，這個(gè)需要把握留白的程度（深淺度），教師應(yīng)在知識(shí)發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)處進(jìn)行留白。真正的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造是在接受前人的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的[21]，學(xué)生的學(xué)習(xí)不可能是不著邊際的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，極端的“開(kāi)放性學(xué)習(xí)”“自由式學(xué)習(xí)”并不能提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。留白蘊(yùn)含引發(fā)學(xué)生主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)和揭秘，其通過(guò)巧妙地留白，期待學(xué)生去補(bǔ)白，同時(shí)也蘊(yùn)涵新的留白。留白是設(shè)置沖突的過(guò)程，補(bǔ)白是走向和諧的過(guò)程，同時(shí)也暗藏新的留白，在沖突與和諧中，產(chǎn)生教學(xué)和學(xué)習(xí)價(jià)值，這便蘊(yùn)含時(shí)機(jī)性。這個(gè)時(shí)機(jī)便是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程。這個(gè)時(shí)機(jī)應(yīng)循著數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)科邏輯和學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階去把握。教學(xué)中的留白蘊(yùn)含一種關(guān)系性存在，其需要通過(guò)開(kāi)放性創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，引出問(wèn)題，為留白創(chuàng)造合適的“場(chǎng)域”，才可以不斷地激發(fā)學(xué)生的想象力和知識(shí)遷移能力。

3.跨學(xué)科視域下數(shù)學(xué)留白創(chuàng)造式教學(xué)的關(guān)鍵

跨學(xué)科視域下的留白教學(xué)需要關(guān)注，基于數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯在跨學(xué)科情境設(shè)計(jì)處留白;在“問(wèn)題—對(duì)話”處留白;在解決問(wèn)題（方法運(yùn)用）處留白;在評(píng)價(jià)任務(wù)設(shè)計(jì)處留白。

（1）在情境設(shè)計(jì)處留白

跨學(xué)科視域下，教師需要基于學(xué)生已有的學(xué)科或跨學(xué)科基礎(chǔ)，設(shè)置跨學(xué)科情境，在能產(chǎn)生學(xué)生疑惑處設(shè)置留白，學(xué)生需要基于疑惑進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，從而提出問(wèn)題，這一過(guò)程便蘊(yùn)含思考和創(chuàng)新。教師創(chuàng)造機(jī)會(huì)為學(xué)生留下“情境與問(wèn)題表達(dá)之白”。比如，從數(shù)學(xué)的學(xué)科視角來(lái)看，中國(guó)古代的“三分損益法”與畢氏的“五度相生律”有什么異同。在音樂(lè)與數(shù)學(xué)的學(xué)科交叉處設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生深度思考：為什么要用十二平均律來(lái)構(gòu)成音階[22]。在恰當(dāng)處引導(dǎo)學(xué)生用等比數(shù)列、連分?jǐn)?shù)等知識(shí)來(lái)解釋，也可以結(jié)合數(shù)學(xué)、音樂(lè)知識(shí)做進(jìn)一步的融合思考，讓學(xué)生借助音樂(lè)的情境加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的再理解。據(jù)《史記·律書》中記載，中國(guó)古代對(duì)音階的確定比畢達(dá)哥拉斯要早至少幾百年。數(shù)學(xué)教學(xué)中，汲取跨學(xué)科思想素材，同時(shí)也可滲透數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化，以此不僅培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，還可以形塑學(xué)生的文化自信。

（2）在“問(wèn)題—對(duì)話”處留白

數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知特點(diǎn)，將學(xué)習(xí)主體因素和問(wèn)題情境因素納入教學(xué)中設(shè)計(jì)對(duì)話和問(wèn)題，教師通過(guò)提問(wèn)（對(duì)話）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷個(gè)體經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷“感官—表象—抽象”，產(chǎn)生沖突和疑惑，繼而提出問(wèn)題、解決問(wèn)題[23]。在問(wèn)題導(dǎo)引下，經(jīng)歷跨學(xué)科探究的感悟體驗(yàn)。真正的思考，是基于學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)[24]。根據(jù)留白探究的層次和程度，教師設(shè)計(jì)“問(wèn)題—對(duì)話”的問(wèn)題鏈及引導(dǎo)語(yǔ)，這是需要關(guān)注的。在“問(wèn)題—對(duì)話”中引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生疑惑，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題。所以，具有留白性的“問(wèn)題—對(duì)話”是培養(yǎng)批判性思維和創(chuàng)新意識(shí)的載體。教師需要基于學(xué)生的差異去設(shè)計(jì)對(duì)話，引起學(xué)生的好奇心和求知欲，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生疑惑嘗試進(jìn)行問(wèn)題抽象，在解決問(wèn)題的過(guò)程中探索知識(shí)，形成思考?！皢?wèn)題—對(duì)話”的作用是引導(dǎo)學(xué)生在情境（學(xué)習(xí)材料）和實(shí)踐之間建立某種一致性，從而促進(jìn)學(xué)生理解，形成理性思維自覺(jué)。

（3）在探究方法運(yùn)用處留白

留白探究過(guò)程中，教師需要關(guān)注非預(yù)設(shè)的解決策略的出現(xiàn)，在教學(xué)可控范圍內(nèi)，允許學(xué)生自由發(fā)揮對(duì)問(wèn)題的解決策略的呈現(xiàn)，盡量避免“滑過(guò)現(xiàn)象”的發(fā)生。探究過(guò)程是一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展的過(guò)程，其具有不確定性、開(kāi)放性和延伸性，教師需要尊重探究過(guò)程的“自組織性”[25]。解決問(wèn)題的方法也蘊(yùn)含創(chuàng)新性，所以方法運(yùn)用處留白也是留白創(chuàng)造式教學(xué)的重要形式。對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，不同時(shí)空的數(shù)學(xué)家會(huì)采用不同的方法去論證或驗(yàn)證。比如，勾股定理有多種證明方法，趙爽弦圖法、梯形證明法、歐幾里得證明法等，也可以利用Mamikon定理去證明。雖然知識(shí)（定理的內(nèi)容）是客觀存在的，但對(duì)知識(shí)的再驗(yàn)證（方法）具有創(chuàng)造性和研究?jī)r(jià)值。

（4）在評(píng)價(jià)任務(wù)設(shè)計(jì)處留白

基于教學(xué)評(píng)的一致性，評(píng)價(jià)任務(wù)的設(shè)計(jì)及評(píng)價(jià)方式的運(yùn)用也應(yīng)具有開(kāi)放性。教學(xué)設(shè)計(jì)中，將評(píng)價(jià)任務(wù)以一個(gè)或多個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題呈現(xiàn)，以激起學(xué)生的認(rèn)知沖突，“迫使”學(xué)生以研究者的姿態(tài)參與、猜測(cè)和探索，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，這便是條件開(kāi)放、結(jié)論不限定的“留白自由式”探究，這樣的過(guò)程便會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、批判性思維、創(chuàng)造性思維等，當(dāng)然，設(shè)計(jì)系統(tǒng)而又科學(xué)的具有探究?jī)r(jià)值的留白式評(píng)價(jià)任務(wù)是教學(xué)的關(guān)鍵。特別地，探究出什么樣的結(jié)論不是最重要的，學(xué)習(xí)者在一定程度上的過(guò)程參與體驗(yàn)是留白式教學(xué)的創(chuàng)造性體現(xiàn)。

三、跨學(xué)科視域下數(shù)學(xué)留白創(chuàng)造式教學(xué)的深化策略

創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)關(guān)鍵在于提高學(xué)生應(yīng)對(duì)真實(shí)情境下“實(shí)踐—感悟—反思”的過(guò)程，以跨學(xué)科為視角，鼓勵(lì)學(xué)生多角度發(fā)散性提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，課堂留白是創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)的良好載體。

1.創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科情境，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科性

跨學(xué)科視域下，數(shù)學(xué)課程與教學(xué)不應(yīng)囿于學(xué)科邊界，需要重視學(xué)科內(nèi)部知識(shí)、外部情境或知識(shí)交叉融合。通過(guò)跨界整合知識(shí)，設(shè)置情境留白，實(shí)現(xiàn)學(xué)科思維上的融通，引導(dǎo)學(xué)生從多元視角分析問(wèn)題。例如，以化學(xué)知識(shí)為背景設(shè)計(jì)情境，英國(guó)科學(xué)家克羅托、美國(guó)科學(xué)家斯莫利和柯?tīng)栍?985年發(fā)現(xiàn)了足球烯，足球烯的分子具有60個(gè)頂點(diǎn)，即碳60（C60），基于這樣的情境可以開(kāi)放性提出一些可探

討的問(wèn)題，可以基于數(shù)學(xué)方法解決相關(guān)化學(xué)問(wèn)題;

化學(xué)學(xué)科中，常用pH表示溶液的酸堿性，而pH是

由c（H+）（即溶液中的H+的濃度）決定的，pH=7和pH=8的兩種溶液，它們的c（H+）有什么關(guān)系？以這樣的問(wèn)題情境設(shè)置留白，引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)與什么知識(shí)有關(guān)？（對(duì)數(shù)，還有呢？）基于化學(xué)知識(shí)的理解抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的跨學(xué)科思維以及創(chuàng)新意識(shí)。

2.整合教材中的閱讀材料，預(yù)設(shè)留白與布白

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注意結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律慢慢滲透數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的交叉，勇于打破傳統(tǒng)的學(xué)科限制，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)觀念，注意加強(qiáng)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，通過(guò)不同學(xué)科的相互作用形成知識(shí)的整合。教師可以整合教材中的閱讀材料，基于跨學(xué)科視角，預(yù)設(shè)留白與布白。

例如，北師大版選擇性必修第一冊(cè)高中數(shù)學(xué)教材中關(guān)于“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)”，材料中預(yù)設(shè)生活中拋物面的一些應(yīng)用，如手電筒、探照燈等，基于此抽象出拋物面的光學(xué)性質(zhì)：根據(jù)物理中光的鏡面反射性質(zhì)提煉橢圓和雙曲線獨(dú)特的光學(xué)性質(zhì)，由此思考圓錐曲線有一個(gè)共同的光學(xué)性質(zhì)——焦點(diǎn)。結(jié)合物理學(xué)科的光學(xué)概念理解，加深對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)理解，由此繼續(xù)思考如何利用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)進(jìn)行設(shè)計(jì)應(yīng)用等。

在人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)中，關(guān)于“人工智能中的貝葉斯公式”的拓展閱讀引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到人工智能作為交叉學(xué)科，融合了信息技術(shù)、數(shù)學(xué)、哲學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域的知識(shí)，特別地，數(shù)學(xué)在其中起到很重要的作用，比如，貝葉斯公式就被廣泛運(yùn)用于人工智能的分類算法中。貝葉斯公式是如何被運(yùn)用的？在垃圾郵件過(guò)濾、圖像識(shí)別等人工智能應(yīng)用場(chǎng)景中，貝葉斯公式也能發(fā)揮重要作用，還有條件概率的知識(shí)在語(yǔ)音識(shí)別、機(jī)器學(xué)習(xí)中也是不可缺少的。學(xué)生在此處充滿期待，也對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生敬畏和興趣，這樣的留白會(huì)激起學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣。

3.設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，在探究關(guān)鍵處留白

弗萊雷認(rèn)為尊重學(xué)生當(dāng)前的知識(shí)，是要把這一尊重延伸到產(chǎn)生這些經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的文化背景中，因?yàn)檎沁@種文化造就了不同的個(gè)體[26]。留白的作用是引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題和實(shí)踐之間建立某種聯(lián)系，從而促進(jìn)學(xué)生理解，形成理性思維自覺(jué)。所以，教師需要基于學(xué)生的差異去設(shè)計(jì)留白，引起學(xué)生的好奇心和求知欲，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生疑惑嘗試進(jìn)行問(wèn)題抽象，在解決問(wèn)題的過(guò)程中探索知識(shí)形成思考，其中結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，便是一個(gè)很好的載體。

例如，在生物學(xué)中，人有單眼皮與雙眼皮之分，這是由對(duì)應(yīng)的基因決定的。顯性基因記為B，隱性基因記為b，其總是成對(duì)出現(xiàn)（如BB，Bb，bB，bb）。人的卷舌與平舌同人的單雙眼一樣，也是由遺傳父母的基因決定的，查找相關(guān)資料并提出問(wèn)題，請(qǐng)你的同伴一起來(lái)回答。原問(wèn)題也預(yù)設(shè)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)求概率，若學(xué)生寫出樣本空間為{BB，Bb，bb}，此時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生思考：有的學(xué)生寫出的樣本空間為{BB，Bb，bB，bb}，也有學(xué)生寫出的樣本空間為{BB，Bb，bb}，哪個(gè)更合適？因?yàn)楣诺涓判偷那疤崾恰盎臼录堑瓤赡艿摹?，而這樣的留白會(huì)引發(fā)認(rèn)知沖突，在學(xué)生思考關(guān)鍵處設(shè)計(jì)留白，有助于學(xué)生深度學(xué)習(xí)，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)隱藏信息的理解，有助于知識(shí)的遷移和學(xué)科素養(yǎng)的形成。

4.設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)任務(wù)，關(guān)注“教—學(xué)—評(píng)”一致

2020課標(biāo)關(guān)注學(xué)生“四基”的落實(shí)和“四能”的培養(yǎng)，以促進(jìn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的形成和發(fā)展。所以跨學(xué)科視域下，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程，關(guān)注評(píng)價(jià)的調(diào)節(jié)作用，優(yōu)化結(jié)果評(píng)價(jià)、滲透過(guò)程評(píng)價(jià)、融合增值評(píng)價(jià)，以形成“教—學(xué)”“教—評(píng)”“學(xué)—評(píng)”的閉環(huán)。

例如在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理時(shí)，可以設(shè)計(jì)通過(guò)查閱資料或網(wǎng)絡(luò)查找有關(guān)數(shù)學(xué)史材料，了解賈憲用“楊輝三角”進(jìn)行高次開(kāi)方的方法，并給出實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明，將有關(guān)材料整理成小論文，然后與其他同學(xué)進(jìn)行交流。在借助美術(shù)學(xué)科進(jìn)行跨界融合時(shí)，利用建筑外形中的懸鏈線，可以引導(dǎo)有能力的學(xué)生運(yùn)用微積分推導(dǎo)懸鏈線的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而關(guān)注相關(guān)知識(shí)的變式與推廣。這些過(guò)程可以拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)眼界，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和跨學(xué)科學(xué)習(xí)能力。基于數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯，以拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)視角為階段性目標(biāo)?；陔A段性評(píng)價(jià)和留白式評(píng)價(jià)以培育學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)為最終指向，這些留白式評(píng)價(jià)任務(wù)貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)中，能促進(jìn)教學(xué)評(píng)的一致性。

當(dāng)然，數(shù)字信息化時(shí)代，也需要借助信息技術(shù)助推留白教學(xué)的創(chuàng)造性實(shí)現(xiàn)，找準(zhǔn)信息技術(shù)與教學(xué)內(nèi)容的切入點(diǎn)，設(shè)計(jì)探究性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。例如技術(shù)賦能在跨學(xué)科融合中也具有重要的價(jià)值，學(xué)生使用高級(jí)計(jì)算語(yǔ)言可進(jìn)行算法開(kāi)發(fā)、數(shù)學(xué)建模、仿真等，應(yīng)用數(shù)據(jù)可視化進(jìn)行通用的圖象處理功能，學(xué)生運(yùn)用軟件作圖，可以沉浸于文化的滲透及獲得個(gè)性化體驗(yàn)，從動(dòng)態(tài)和體驗(yàn)的視角促進(jìn)學(xué)生跨學(xué)科思維和創(chuàng)造性思維的發(fā)展。

總之，跨學(xué)科視域下的留白創(chuàng)造式教學(xué)不僅強(qiáng)調(diào)知識(shí)建構(gòu)，更強(qiáng)調(diào)學(xué)科素養(yǎng)與創(chuàng)新意識(shí)的相融共生;不僅關(guān)注跨學(xué)科領(lǐng)域的融合，更關(guān)注跨學(xué)科思維方式的養(yǎng)成。其尊重學(xué)生的思想自由，提升師生的生命智慧[27]。跨學(xué)科視域下，對(duì)留白創(chuàng)造式教學(xué)的再思考，有助于探索課堂創(chuàng)新教學(xué)模式，有助于挖掘?qū)W生潛能，指向培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：2-3.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：11.

[3] 黃翔.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的十個(gè)核心概念[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（04）：16-19.

[4] 孫寬寧.學(xué)科課程跨學(xué)科實(shí)施的學(xué)理與路徑[J].課程·教材·教法，2023，43（07）：4-10.

[5] 陳丹，崔亞雪，李洪修.跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的實(shí)踐屬性及其路徑選擇[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（基礎(chǔ)教育版），2023，24（04）：1-6.

[6][10][23] 李亞瓊，寧連華.數(shù)學(xué)知識(shí)觀視角下學(xué)習(xí)進(jìn)階的再審視[J].課程·教材·教法，2023，43（07）：111-117.

[7] Jacobs，H.H.Borland，J.H.The Interdisciplinary Concept Model：Th-

eory and Practice[J].Gifted Child Quarterly，1986（04）：159-163.

[8] 章勤瓊，譚莉，Max Stephens.澳大利亞數(shù)學(xué)課堂中的個(gè)性化教學(xué)及啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（06）：49-52.

[9] 張肇豐.試論研究性學(xué)習(xí)[J].課程·教材·教法，2000，20（06）：42-45.

[11] 任長(zhǎng)松.探究式學(xué)習(xí)：學(xué)生知識(shí)的自主建構(gòu)——從兩個(gè)探究案例引發(fā)的思考[J].課程·教材·教法，2004，24（01）：37-42.

[12] 汪曉勤.數(shù)學(xué)史上的留白與創(chuàng)新[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2023（04）：1-4.

[13] 汪曉勤，鄒佳晨，王華.數(shù)學(xué)史與留白創(chuàng)造式教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62（03）：1-6.

[14][16][27] 王華，汪曉勤.中小學(xué)數(shù)學(xué)“留白創(chuàng)造式”教學(xué)：理論、實(shí)踐與案例[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2022：2，2，219.

[15] 弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海：上海教育出版社，1995：110-111.

[17] 懷特海，A.N.教育的目的[M].莊蓮平，王立中，譯.上海：文匯出版社，2012：125.

[18][19][24] 保羅·弗萊雷.被壓迫者教育學(xué)[M].顧建新，趙友華，何曙榮，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2001：23，29，28-29.

[20] 杜啟達(dá)，李如密.教學(xué)陌生化的形態(tài)、意蘊(yùn)及實(shí)現(xiàn)策略[J].現(xiàn)代大學(xué)教育，2023，39（01）：1-7+111.

[21] 馮忠良.教育心理學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2000：39.

[22] 黃翔，童莉，宋亦然.當(dāng)數(shù)學(xué)與音樂(lè)在課程中相遇：“目標(biāo)”“內(nèi)容”與“教學(xué)”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（06）：6-10.

[25] 徐文彬.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)（中學(xué)卷：1979-2009）[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2013：401-402.

[26] 張琨.論弗萊雷對(duì)話教育中的哲學(xué)思想與民主實(shí)踐思想[J].外國(guó)教育研究，2005（07）：6-9+33.

[作者：李亞瓊（1983-），女，安徽巢湖人，江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，副教授，碩士生導(dǎo)師，博士;寧連華（1966-），男，江蘇豐縣人，南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，教授，博士生導(dǎo)師;黃賢明（1999-），男，江蘇蘇州人，蘇州高新區(qū)景山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校，中學(xué)二級(jí)教師。]

【責(zé)任編輯 王澤華】