一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課以含有多未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題為情境，讓學(xué)生經(jīng)歷“分析問(wèn)題→設(shè)出合適未知數(shù)→根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程組→解方程→檢驗(yàn)方程的解”這一過(guò)程，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，并用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

二、學(xué)情分析

學(xué)生在七年級(jí)上冊(cè)已經(jīng)學(xué)過(guò)了一元一次方程。對(duì)于方程有了初步的了解，有了一定的知識(shí)儲(chǔ)備，本節(jié)課給學(xué)生搭建“腳手架”的同時(shí)，將知識(shí)進(jìn)一步升級(jí)，從一元一次方程過(guò)渡為二元一次方程。通過(guò)類(lèi)比學(xué)習(xí)，學(xué)生可將二元一次方程組的內(nèi)容填充進(jìn)已有的知識(shí)框架中，也為九年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)一元二次方程打下基礎(chǔ)。學(xué)生在分析實(shí)際問(wèn)題時(shí)，會(huì)優(yōu)先選擇已經(jīng)學(xué)過(guò)的一元一次方程。因此，問(wèn)題情境的設(shè)置要有針對(duì)性，有區(qū)別度，讓學(xué)生體會(huì)到有些問(wèn)題一元一次方程比較簡(jiǎn)單。但是有些問(wèn)題用一元一次方程解決不了時(shí)，可以用二元一次方程解決。另外，在解二元一次方程組的過(guò)程中學(xué)生會(huì)遇到很多問(wèn)題，為什么要向一元一次方程轉(zhuǎn)化、為什么可以轉(zhuǎn)化、如何轉(zhuǎn)化。這里需要教師引導(dǎo)學(xué)生理解兩個(gè)方程中的同一未知數(shù)表示的是實(shí)際問(wèn)題中的同一意義，進(jìn)一步體會(huì)消元、化歸思想。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)具體問(wèn)題情境，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)源自生活，并將用來(lái)解決生活中的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于學(xué)生快速進(jìn)入學(xué)習(xí)情境，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性和思維具體形象性的關(guān)系。

2.通過(guò)類(lèi)比一元一次方程，了解二元一次方程及其相關(guān)概念。

3.通過(guò)對(duì)比和實(shí)際操作能了解解二元一次方程組的關(guān)鍵是消元，基本目標(biāo)是化歸，最終轉(zhuǎn)化為x=a，y=b。根據(jù)二元一次方程組的特征選擇合適的方法解簡(jiǎn)單的二元一次方程組。

4.回歸實(shí)際問(wèn)題，能通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題，并強(qiáng)化檢驗(yàn)習(xí)慣。

5.給學(xué)生搭建起學(xué)習(xí)方程的路徑，為八年級(jí)學(xué)習(xí)分式方程打下基礎(chǔ)。

■

圖1

四、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知

情境1：今年的中國(guó)大學(xué)生籃球聯(lián)賽正在如火如荼地舉行?；仡櫲ツ甑目倹Q賽，廣東工業(yè)大學(xué)對(duì)戰(zhàn)清華大學(xué)的比賽在網(wǎng)上掀起熱浪。（插入視頻比賽的精彩瞬間）。已知籃球比賽每場(chǎng)都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場(chǎng)得2分，負(fù)1場(chǎng)得1分。某隊(duì)在10場(chǎng)比賽中得到16分。那么這個(gè)隊(duì)的勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？（只列式，不解答）

師生活動(dòng)：教師播放視頻，引發(fā)學(xué)生興趣，并展示問(wèn)題讓學(xué)生嘗試解決，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并用來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生獨(dú)立完成。有些學(xué)生可能會(huì)遇到困難。教師嘗試引入工具表格，幫助學(xué)生分析題目。

表1

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學(xué)生完成后，分享結(jié)果。若有學(xué)生用了二元一次方程組，則提供出來(lái)一起分享。若沒(méi)有則需要追問(wèn)：若直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，我們應(yīng)怎樣設(shè)？怎樣列方程更加容易呢？

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)熱點(diǎn)視頻導(dǎo)入新課，能夠快速吸引學(xué)生的注意力，啟動(dòng)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生興趣。通過(guò)追問(wèn)引入今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，并讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)比。工具表格可幫助學(xué)生分析題目中的數(shù)量關(guān)系，以便學(xué)生在遇到復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)也能夠熟練使用表格分析問(wèn)題。）

情境2：因籃球比賽火遍網(wǎng)絡(luò)，你所創(chuàng)業(yè)開(kāi)設(shè)的球衣工廠訂單暴增。某工廠加工球衣需經(jīng)兩道工序，第一道工序每人每天可完成900件。第二道工序：每人每天可以完成1200件，現(xiàn)有7位工人參加兩道工序，應(yīng)怎樣安排人力才能使每天第一道工序、第二道工序所完成的件數(shù)相等？（只列式，不解答）

師生活動(dòng)：教師展示問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，啟動(dòng)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生對(duì)新知學(xué)習(xí)的熱情，拉近學(xué)生與新知的距離。學(xué)生獨(dú)立完成，列出方程。教師關(guān)注學(xué)生完成情況，個(gè)別有困難的學(xué)生指導(dǎo)如何利用工具表格分析數(shù)量關(guān)系，并請(qǐng)學(xué)生用黑板展示答案。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)讓學(xué)生當(dāng)“小老板”，激發(fā)學(xué)生的興趣，并體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。通過(guò)分享答案，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與信心。）

情境3：球衣制作工廠有兩種技術(shù)工人。兩個(gè)一級(jí)工人和五個(gè)二級(jí)工人同時(shí)工作兩小時(shí)共制作球衣360件。三個(gè)一級(jí)技術(shù)工人和兩個(gè)二級(jí)技術(shù)工人同時(shí)工作五小時(shí)可制作800件球衣。問(wèn)每個(gè)一級(jí)技術(shù)工人和二級(jí)技術(shù)工人每小時(shí)平均各可以制作多少件球衣？（只列式，不解答）

師生活動(dòng)：學(xué)生充分讀題，可以適當(dāng)討論。學(xué)生嘗試解答后，對(duì)于有困難的學(xué)生，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注有兩個(gè)未知數(shù)、兩個(gè)等量關(guān)系。學(xué)生依據(jù)發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系建立方程組，并用黑板展示。對(duì)于這道題目而言，學(xué)生通過(guò)解題能夠發(fā)現(xiàn)用一元一次方程沒(méi)辦法解決。教師適時(shí)總結(jié)：“不能用一元一次方程解決的問(wèn)題，我們也可以設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列兩個(gè)方程解決。隨著未知量的增加，未知關(guān)系的復(fù)雜化，一元一次方程不能解決問(wèn)題了，我們可以通過(guò)設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列兩個(gè)方程來(lái)解決問(wèn)題?！?/p>

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)列出方程發(fā)現(xiàn)，這個(gè)實(shí)際問(wèn)題只能通過(guò)設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列兩個(gè)方程來(lái)解決。學(xué)生通過(guò)對(duì)比逐步發(fā)現(xiàn)，有些問(wèn)題通過(guò)二元一次方程組解決更加簡(jiǎn)單，還有一些問(wèn)題必須通過(guò)二元一次方程組才能解決問(wèn)題。）

（二）前銜后連，類(lèi)比生成

任務(wù)一：觀察上述我們得到的算式，他們有何共同特點(diǎn)，類(lèi)比我們學(xué)過(guò)的一元一次方程，得出上述式子的特征，并給它們?nèi)€(gè)名字，下個(gè)定義。

師生活動(dòng)：學(xué)生一起回憶一元一次方程的定義，分享學(xué)生的觀察結(jié)論，找到關(guān)鍵點(diǎn)，將其規(guī)范化得出二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫作二元一次方程。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)類(lèi)比讓學(xué)生通過(guò)觀察、分析、總結(jié)二元一次方程的特征，并得出二元一次方程的定義，體會(huì)從特殊到一般的歸納過(guò)程。這一過(guò)程讓學(xué)生找到新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，體會(huì)新舊知識(shí)之間的銜接，感受知識(shí)的不斷升級(jí)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，并將新知識(shí)納入自己已經(jīng)有的知識(shí)框架中，有助于學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)，有助于知識(shí)的整體性發(fā)展。）

追問(wèn)：剛剛的實(shí)際問(wèn)題中包含兩個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足的條件，即x，y需要同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程。我們將它們用大括號(hào)合在一起就得到了方程組。那么二元一次方程組的概念你可以嘗試總結(jié)一下嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生自由發(fā)言，互相啟發(fā)，不斷補(bǔ)充完善，教師最后總結(jié)，規(guī)范二元一次方程組的定義：方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組。

任務(wù)達(dá)標(biāo)：下列各方程組中，是二元一次方程組的是（ ）

（1）x+y=1y=-2 （2）xy=1x+y=2 （3）x=-1■=3

（4）x+y=1y-z=0 （5）x=12y=8

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考做出選擇，并說(shuō)明理由。

任務(wù)二：類(lèi)比探究，辨析概念。

1.將滿(mǎn)足實(shí)際意義并滿(mǎn)足方程x+y=10的x，y的值填入表2中。

表2

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2.將滿(mǎn)足實(shí)際意義并滿(mǎn)足方程2x+y=16的x，y的值填入表3中。

表3

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師生活動(dòng)：類(lèi)比一元一次方程的解得出二元一次方程組的解的概念，即使二元一次方程兩邊值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解。

追問(wèn)：二元一次方程的解有幾組？

追問(wèn)：觀察x+y=10和2x+y=16的解，我們有何發(fā)現(xiàn)？

有一組解x=６y=４是相同的。它既滿(mǎn)足x+y=10又滿(mǎn)足2x+y=16。我們把它稱(chēng)為二元一次方程組x+y=102x+y=16 的解。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)比表格體會(huì)二元一次方程組的解是這兩個(gè)方程的公共解，同時(shí)提高學(xué)生的細(xì)心觀察和大膽分析的能力。）

追問(wèn)：我們只能通過(guò)列表格的方法找二元一次方程組的解嗎？

在解決剛剛的實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，我們既可以用一元一次方程解決，又可以用二元一次方程組解決。那么對(duì)比觀察我們得到的這兩種方程，它們有什么關(guān)系？從中你能得到什么啟發(fā)嗎？

2x+（10-x）=16 x+y=102x+y=16

900x=1200（7-x） x+y=7900x=1200y

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后小組討論。大部分學(xué)生能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程之間的聯(lián)系，對(duì)于一元一次方程中括號(hào)里的內(nèi)容，我們可以用二元一次方程組里的一個(gè)方程變形得到。例如，2x+（10-x）=16中的10-x可以由方程組中的x+y=10得到。我們將變形后的y=10-x代入第二個(gè)方程中就得到了一元一次方程。

追問(wèn)：通過(guò)將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，我們是否達(dá)到了解方程組的目的？你能?chē)L試解出x，y的值嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、完成解題過(guò)程。教師巡視過(guò)程，并拋出問(wèn)題，解出x后怎樣得到y(tǒng)的值？學(xué)生思考并嘗試并得到答案，將x值代入y=10-x中。

追問(wèn)：1.我們把y=10-x代入x+y=10中可以解出x的值嗎？試試看。

學(xué)生通過(guò)思考或者嘗試發(fā)現(xiàn)不可以。

2.我們?yōu)槭裁纯梢詫+y=10變形為y=10-x并帶入2x+y=16中？

3.在方程組的兩個(gè)方程中x和y是否表達(dá)實(shí)際問(wèn)題中的同一意義？

4.我們進(jìn)行上述轉(zhuǎn)化的目的是什么？

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解兩個(gè)方程組中的x都表示勝場(chǎng)數(shù)，y都表示負(fù)場(chǎng)數(shù)。兩個(gè)x表示的意義相同。因此我們能夠通過(guò)變形帶入，從而將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。而進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的是進(jìn)行消元，而消元的目的則是將未知轉(zhuǎn)化為已知，達(dá)到解方程的目的，讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)代入消元法的關(guān)鍵。）

5.我們能將x的值代入2x+y=16中求y嗎？哪種運(yùn)算更加簡(jiǎn)便？

6.對(duì)于x+y=102x+y=16，你能寫(xiě)出求解過(guò)程嗎？你可以總結(jié)一下這個(gè)步驟嗎？

學(xué)生總結(jié)：（1）變形。（2）代入。（3）解一元一次方程。（4）將解代入簡(jiǎn)單方程求另一個(gè)未知數(shù)。

（設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)代入消元法求解二元一次方程組的步驟是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，是一個(gè)從特殊到一般的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程有利于學(xué)生知識(shí)的系統(tǒng)化，提高學(xué)生的計(jì)算能力。學(xué)生完成解題后，教師可以利用投影等方式規(guī)范學(xué)生的解題過(guò)程。）

追問(wèn)：你認(rèn)為我們?cè)诮馍厦鎯蓚€(gè)方程的過(guò)程中最關(guān)鍵的是哪一步？

學(xué)生自由發(fā)言，互相啟發(fā)，明確最關(guān)鍵的一步是代入。

教師總結(jié)：通過(guò)將10-x代入2x+y=16，我們將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，目的是將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決。減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，使多元方程轉(zhuǎn)化為一元方程再求解。我們把這一過(guò)程叫做“消元”。把這種解方程的方法叫做代入法解方程。

任務(wù)達(dá)標(biāo)：用代入法解方程組

x+y=7900x=1200y x-y=33x-8y=14

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解方程組，教師邀請(qǐng)兩位學(xué)生上講臺(tái)解題。教師在巡視過(guò)程中時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的解題情況，盡量做到及時(shí)批改。學(xué)生做完，教師基本可以批完，并糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤。對(duì)于部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，教師可以通過(guò)小組互助的方法來(lái)幫助。

（三）知識(shí)建構(gòu)，指向未來(lái)

到這里我們已經(jīng)能夠順利解決我們開(kāi)始遇到的兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題。還有第三個(gè)問(wèn)題我們沒(méi)有解決，你能?chē)L試用我們剛剛學(xué)過(guò)的內(nèi)容解一下這個(gè)問(wèn)題的答案嗎？

學(xué)生獨(dú)立解題，發(fā)現(xiàn)能夠解出答案，但是解題過(guò)程比較復(fù)雜。

追問(wèn)：為什么不好解？

學(xué)生能很快反應(yīng)與x，y的系數(shù)有關(guān)。我們前面解的方程x或y的系數(shù)為1。因此很容易轉(zhuǎn)化帶入。

追問(wèn)：回顧我們這節(jié)課的學(xué)習(xí)，結(jié)合我們學(xué)過(guò)的一元一次方程，你能總結(jié)一下我們本節(jié)課的學(xué)習(xí)路徑嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生自由發(fā)言，互相啟發(fā)，互相補(bǔ)充完善，構(gòu)建這節(jié)課的知識(shí)框架和學(xué)習(xí)路徑。教師總結(jié)：“我們從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)設(shè)未知數(shù)，列出方程，在一元一次方程的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了二元一次方程和二元一次方程組。然后類(lèi)比一元一次方程的解，我們知道了什么是二元一次方程組的解。并通過(guò)對(duì)比分析得出解二元一次方程組的方法——代入消元法。這個(gè)二元一次方程組的解也就是我們開(kāi)頭實(shí)際問(wèn)題的答案。帶領(lǐng)學(xué)生回顧，我們?cè)趯W(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)，是不是也是遵循這個(gè)路徑進(jìn)行一步步的學(xué)習(xí)。同樣，我們以后學(xué)習(xí)分式方程和一元二次方程也將遵循這個(gè)路徑，形成一個(gè)完整的閉環(huán)?！?/p>

（四）分層作業(yè)，積累經(jīng)驗(yàn)

▲基礎(chǔ)作業(yè)

1.代入法解方程。

x+2y=5y=2x x-y=13x+y=7

2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何?！蹦憧梢杂枚淮畏匠探M來(lái)表示題目中的數(shù)量關(guān)系嗎？試找出問(wèn)題的解。

3.若方程3xm-2+5y2n-m是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m= ，n= 。

▲拓展作業(yè)

1.若方程（m+2）x■+（n+3）y■=3是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m= ，n= 。

2.代入法解方程。

x+y+z=12x+2y+5z=22x=4y

（作者單位：鄒平經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

編輯：張俐麗