一、教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課以北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第四章“一次函數(shù)”中的“函數(shù)”（第74頁到78頁）為例，通過實例引入常量與變量的概念，進而講解函數(shù)中常量與變量的意義，旨在幫助學(xué)生理解函數(shù)關(guān)系，特別是兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，以及如何從實際問題中抽象出這種關(guān)系。此外，介紹了變量之間的關(guān)系可以用不同的形式（如解析式、圖像、表格等）進行表達，并強調(diào)了在解決實際問題時，自變量的取值范圍應(yīng)根據(jù)實際情況來確定。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.通過實例了解常量、變量的概念，理解函數(shù)中常量、變量的意義。

2.引導(dǎo)學(xué)生通過探究性學(xué)習(xí)，學(xué)會尋找常量、變量，判斷兩個變量之間是否滿足函數(shù)關(guān)系。

3.培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，使其能夠運用函數(shù)模型描述和解決實際問題。

三、教學(xué)重難點

教學(xué)重點：理解函數(shù)中常量、變量的意義，掌握判斷兩個變量之間是否滿足函數(shù)關(guān)系的方法。

教學(xué)難點：將實際問題抽象為函數(shù)模型，確定自變量的取值范圍。

四、教學(xué)過程

師：同學(xué)們，我們生活中常常會遇到很多變化的量，如時間和距離、購買數(shù)量和總價。今天我們將要學(xué)習(xí)一種新的數(shù)學(xué)概念——函數(shù)，來幫助我們更好地理解和描述這些變化關(guān)系。

（設(shè)計意圖：通過簡單的對話引起學(xué)生的好奇心和興趣，為接下來的教學(xué)活動做鋪墊。）

◆活動一：實踐探究，學(xué)習(xí)新知

［探究1］

師：請同學(xué)們看這兩個例題，我們來分析一下其中哪些量是變化的，哪些量是不變的。

（展示例題1和例題2）

例題1：小轎車在高速公路上勻速行駛，速度是恒定的100千米/時，那么哪些是變量，哪些是不變量呢？

A.行駛速度

B.行駛時間

C.行駛路程

例題2：每張電影票的售價為10元，某日共售出x張票，票房收入為y元，其中，_____是常量，_____是變量。

學(xué)生觀察例題，思考。

師：對于第一道例題，小轎車在高速公路上勻速行駛，速度是恒定的100千米/小時，那么哪些是變量，哪些是不變量呢？

生1：時間是變量，因為車可以行駛不同的時間；路程也是變量，因為行駛的時間不同，路程也會不同。而速度是常量，因為它一直是100千米/小時。

師：很好，分析得很到位。那么對于第二道例題呢？

生2：電影票售出的張數(shù)x是變量，因為售票的數(shù)量會變化；票房收入y也是變量，因為隨著售票數(shù)量的增加，收入也會增加。而每張電影票的價格10元是常量，因為它不會變。

師：非常正確！通過這兩道例題，我們可以看出有些量是不變的，我們稱之為常量；而有些量是變化的，我們稱之為變量。在生活中，我們經(jīng)常會遇到這種變量之間的關(guān)系，而函數(shù)就是描述這種關(guān)系的一種工具。

（設(shè)計意圖：通過實際問題的分析，引導(dǎo)學(xué)生理解常量和變量的概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)打下基礎(chǔ)。同時，通過師生的互動對話，鼓勵學(xué)生積極參與課堂討論，提高思維能力和表達能力。）

［探究2］

師：在之前的探究中，我們發(fā)現(xiàn)了時間和路程、電影票數(shù)量和票房收入之間都存在著某種關(guān)系?，F(xiàn)在，請大家思考這兩個問題。

問題1：在上述的問題中，都出現(xiàn)了兩個變量，它們之間有什么聯(lián)系？

問題2：這些變量之間有什么特點？

師：請同學(xué)們分小組討論這兩個問題，并嘗試歸納出你們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

（學(xué)生分組討論，記錄發(fā)現(xiàn)）

小組代表1：我們發(fā)現(xiàn)，在時間和路程的關(guān)系中，當(dāng)時間t確定時，路程s也隨之確定。比如，當(dāng)t=1時，s=100；當(dāng)t=2時，s=200。這說明s和t之間是互相關(guān)聯(lián)、互相影響的。

小組代表2：在電影票數(shù)量和票房收入的關(guān)系中，也存在類似的規(guī)律。當(dāng)電影票數(shù)量x確定時，票房收入y也隨之確定。這說明x和y之間也是互相關(guān)聯(lián)的。

教師小結(jié)：很好！同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了這些變量之間的一個重要特點。那就是，在兩個變量中，當(dāng)其中一個變量為定值時，另一個變量就有一個唯一的值與它相對應(yīng)。這就是函數(shù)的基本特征。

（設(shè)計意圖：在本次函數(shù)概念的教學(xué)活動中，教師采用了問題引申和小組合作討論的方式，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索和合作交流，深入理解函數(shù)的本質(zhì)。教師通過引導(dǎo)學(xué)生歸納變量間的相互關(guān)系，幫助學(xué)生逐步把握函數(shù)的基本特征，從而為其后續(xù)深入探究函數(shù)的性質(zhì)和圖像奠定堅實的基礎(chǔ)。）

◆活動二：開放訓(xùn)練，體現(xiàn)應(yīng)用

師：同學(xué)們，我們之前討論了變量之間的關(guān)系，并了解到這種關(guān)系可以用不同的方式來表示。現(xiàn)在，讓我們來看一個實際生活中的例子，汽車油箱中的油量隨著行駛的路程而變化。

例題：汽車油箱中有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛路程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1 L/km。請找出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并確定x的取值范圍。

師：首先，我們來看如何表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系。同學(xué)們能嘗試寫出一個表示這種關(guān)系的式子嗎？

生1：我覺得應(yīng)該是y=50-0.1x，因為油箱初始有50 L油，每行駛1 km耗油0.1 L。

師：非常好！這個式子正確地表達了y與x之間的關(guān)系。那么，接下來我們要考慮x的取值范圍。同學(xué)們覺得x可以取哪些值呢？

生2：x應(yīng)該不能取負數(shù)，因為路程不可能是負的。而且，當(dāng)x=500時，y=0，所以x的取值范圍應(yīng)該是0到500之間。

師：非常棒！你不僅考慮了x的實際意義，還結(jié)合了函數(shù)關(guān)系式來確定x的取值范圍。確實，x的取值范圍是0≤x≤500。

（設(shè)計意圖：通過講解例題和師生互動對話的形式，教師引導(dǎo)學(xué)生初步理解變量間的關(guān)系可用解析式表達，深化對變量和常量的認識。同時，借助實際問題的應(yīng)用，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的問題解決和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，還規(guī)范了他們的語言表達和書寫習(xí)慣。）

◆活動三：課堂檢測，鞏固提升

師：我們來看這道題：小明決定每天攢1元錢去幫助需要幫助的人，并且他現(xiàn)在已經(jīng)存了3元。同學(xué)們，請根據(jù)這個情境，找出存錢總數(shù)y與天數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系。

生：函數(shù)關(guān)系式是y=x+4。因為小明每天攢1元，所以x天后，他會攢x元，加上原有的3元，總數(shù)應(yīng)該是x+3+1=x+4元。但是這里有個問題，如果x從0開始算的話，那么第一天他應(yīng)該有3元，所以函數(shù)關(guān)系式應(yīng)該是y=x+3才對。

師：很好，你發(fā)現(xiàn)了問題并進行了修正。確實，函數(shù)關(guān)系式應(yīng)該是y=x+3，其中x表示從第一天開始算起的天數(shù)。那么，當(dāng)天數(shù)x越大，存錢總數(shù)y會怎樣變化呢？

生：隨著天數(shù)x的增加，存錢總數(shù)y也會相應(yīng)增加。

師：現(xiàn)在我們來看另一道題目：每天值日的同學(xué)要整理粉筆盒，班級原來有4盒粉筆，老師們每周用1盒。同學(xué)們能找出剩余的粉筆盒數(shù)y與所用星期x之間的函數(shù)關(guān)系嗎？

生：函數(shù)關(guān)系式是y=4-x。因為每周用1盒，所以x周后剩下的粉筆盒數(shù)就是4-x盒。

師：非常好！你準確地找出了函數(shù)關(guān)系式。那么，當(dāng)星期數(shù)x越大，剩余的粉筆盒數(shù)y會怎樣變化呢？

生：隨著星期數(shù)x的增加，剩余的粉筆盒數(shù)y會逐漸減少。

師：好，現(xiàn)在我們來看最后一道題目：小明家與姥姥家距離為2千米，他從家以每分鐘0.3千米的速度騎車去姥姥家。你們能寫出他距姥姥家的距離y與時間x之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？

生：函數(shù)關(guān)系式是y=2-0.3x。因為他每分鐘騎0.3千米，所以x分鐘后他騎行的距離是0.3x千米?？偩嚯x是2千米，所以他距離姥姥家的剩余路程就是2-0.3x千米。

師：非常棒！那么，當(dāng)時間x越大，與姥姥家的距離y會怎樣變化呢？

生：隨著時間x的增加，與姥姥家的距離y會逐漸減少。當(dāng)他騎行足夠長的時間后，y會變成0，表示他已經(jīng)到達了姥姥家。但是實際上，當(dāng)他到達姥姥家后就不會再騎行了，所以y不會小于0。因此，在實際情境中，我們應(yīng)該考慮y≥0的情況。

師：很好。確實，在實際情境中，我們需要考慮實際情況對函數(shù)取值范圍的限制。

（設(shè)計意圖：通過這三道例題的練習(xí)，進一步鞏固函數(shù)關(guān)系式的建立和對函數(shù)性質(zhì)的理解。）

◆活動四：課堂小結(jié)，畫龍點睛

師：同學(xué)們，這節(jié)課的內(nèi)容已經(jīng)基本講完了。現(xiàn)在我們來進行課堂小結(jié)，回顧一下今天學(xué)到的知識。首先，我們來講講常量和變量。

生1：常量和變量就是在某個過程中不變和變化的量。

師：對，非常準確。常量和變量是普遍存在的，它們只是一個過程中存在的兩個量。我們在解決問題的時候，要根據(jù)實際情況來區(qū)分它們。

師：接下來，我們談?wù)労瘮?shù)。判斷兩個變量之間是否為函數(shù)關(guān)系，我們需要看哪兩個方面呢？

生2：一方面是看一個變量的數(shù)值是否隨著另一個變量的數(shù)值的改變而改變；另一方面是自變量的每一個確定的值，函數(shù)都有且只有一個值與之對應(yīng)。

師：很好，你總結(jié)得很到位。這就是我們判斷兩個變量是否為函數(shù)關(guān)系的兩個關(guān)鍵點。

師：最后，我們來說說自變量的取值范圍。確定自變量的取值范圍時，我們需要考慮什么？

生3：我們不僅要考慮函數(shù)關(guān)系式有意義，還要確保實際問題在這個取值范圍內(nèi)是有意義的。

師：對，非常正確。這堂課，我們一起學(xué)習(xí)了常量和變量、函數(shù)關(guān)系以及自變量的取值范圍等知識點。希望大家能夠把這些知識點牢記在心，并運用到實際問題中。同時，大家要積極分享自己的學(xué)習(xí)心得和體會，這樣可以幫助大家更好地理解和掌握這些知識。

（設(shè)計意圖：在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師作為引導(dǎo)者，通過提問的方式引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課的知識點進行回顧和總結(jié)。同時，通過鼓勵學(xué)生分享學(xué)習(xí)心得和體會，進一步加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，提高學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。）

五、教學(xué)反思

在本次教學(xué)活動中，我采用了問題引申和小組合作討論的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索和合作交流，深入理解函數(shù)的本質(zhì)。同時，我通過實際問題的應(yīng)用，培養(yǎng)了學(xué)生的問題解決能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。在教學(xué)過程中，我注重引導(dǎo)學(xué)生歸納變量間的相互關(guān)系，幫助學(xué)生逐步把握函數(shù)的基本特征。然而，我也發(fā)現(xiàn)了一些不足之處，如部分學(xué)生對函數(shù)模型的建立仍存在困難，需要我在后續(xù)教學(xué)中加強引導(dǎo)和訓(xùn)練。此外，我應(yīng)更加注重學(xué)生的個體差異，因材施教，確保每個學(xué)生都能掌握函數(shù)的基本概念和應(yīng)用方法。

（作者單位：深圳市寶安區(qū)實驗學(xué)校〈集團〉海樂實驗學(xué)校）

編輯：張俐麗