摘 要：電場和磁場的關(guān)系非常緊密，按照麥克斯韋的理論，變化的電場引起磁場，同樣變化的磁場也會(huì)引起電場。當(dāng)愛因斯坦的相對論被提出之后，不少人采用狹義相對論來解釋磁場和電場的關(guān)系。但都認(rèn)為電場和磁場是獨(dú)立的存在。本文同樣利用狹義相對論來計(jì)算帶電粒子之間的相對靜止和相對運(yùn)動(dòng)情況下的相互作用力，發(fā)現(xiàn)兩種情況下的相互作用力并不相同，其差值剛好是傳統(tǒng)磁場觀算出的結(jié)果，而這種運(yùn)算過程中沒有考慮相對運(yùn)動(dòng)的帶電粒子所產(chǎn)生的磁場對其運(yùn)動(dòng)的影響。這就說明帶電粒子相對靜止與相對運(yùn)動(dòng)兩種情況下的電場力的差值就是我們所觀察到的磁場力。從而證明了利用單個(gè)電場就可以描述整個(gè)電磁場。

關(guān)鍵詞：電場；磁場；電場力；磁場力；相對論

中圖分類號：O441" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" 文章編號：1673-260X（2024）07-0009-04

1 帶電導(dǎo)線對相對靜止的帶電粒子的作用力

如圖1所示，真空中有一條無限長的直導(dǎo)線ab，離導(dǎo)線垂直距離為y處固定著一個(gè)電荷量為+q，能視為點(diǎn)電荷的帶電粒子p。設(shè)導(dǎo)線上分布著線向密度為？濁的正電荷。則利用庫倫定律運(yùn)算導(dǎo)線對帶電粒子的作用力為如下：

導(dǎo)線上微小長度dx對帶電粒子p的作用力為

dF=" （1.1）

由對稱性可知，它的導(dǎo)線方向上分力之和為零，即

∑dFX=0" （1.2）

垂直于導(dǎo)線方向上

dFy=" （1.3）

其中r=ycscθ·x=-ycotθ

即dx=ycsc2θdθ 由此

Fy=

=

=" （1.4）

2 通電導(dǎo)線對帶電粒子的作用力

如圖2所示，設(shè)足夠長的直導(dǎo)線里同樣分布著線向密度都為？濁的正負(fù)電荷，而且正電荷靜止，負(fù)電荷以不變的速度v向左流動(dòng)產(chǎn)生電流I。離導(dǎo)線垂直距離為y處有一個(gè)電荷量為+q，能視為點(diǎn)電荷的帶電粒子p，平行于導(dǎo)線以速度u向右運(yùn)動(dòng)。則利用庫倫定律和相對論來運(yùn)算導(dǎo)線內(nèi)的正負(fù)電荷對p的作用力為如下[1，2]：

2.1 導(dǎo)線內(nèi)正電荷對p的作用力

相對于導(dǎo)線靜止的坐標(biāo)系中，正電荷的速度為0，所以由狹義相對論的原理得知，設(shè)這些正電荷對p的作用力為F+，F(xiàn)+的特點(diǎn)跟1.1里講的一樣。即

∑dF+X=0

F+y="" （2.1）

2.2 導(dǎo)線內(nèi)負(fù)電荷對p的作用力

以相對于導(dǎo)線靜止的坐標(biāo)系為S，導(dǎo)線上的微長度dx至電荷p的直線距離為r，相對于導(dǎo)線內(nèi)流動(dòng)的負(fù)電荷靜止的坐標(biāo)系為S'，根據(jù)狹義相對論得知

x'= y'=y z'=z=0

u'=

在坐標(biāo)系S'里，設(shè)流動(dòng)的負(fù)電荷對p的作用為F-'，則

dF'-x=

dF'-y=

dF'-z=0

其中

r'=

=

=

=

=

=r

式中θ為直導(dǎo)線與r間的夾角。

由對稱性可知，

∑dF-X=0"" （2.2）

由相對論變換得知，垂直于導(dǎo)線的方向上

F'-y=

即dF'-y=，

可得

dF-y=（1-）dF'-y

=（1-）

=（1-）y （2.3）

因此

F-y=dF-y

=（1-）y

其中：r=ycscθ，x=-ycotθ即

dx=ycsc2θdθ

F-y=y

-y （2.4）

設(shè)F-y1=y

=y（2.5）

令cosθ=tan？覫

因θ∈（0，π），

所以tan？覫∈（-，），

sin？覫∈（-，）

可得

F-y1=

=cos？覫d？覫=（2.6）

設(shè)F-y2=-y

通過相似的運(yùn)算得知

F-y2=

=" （2.7）

由此可知，F(xiàn)-y是由F-y1，F(xiàn)-y2兩部分組成。其中，方程（2.1）和（2.5）可知F-y1與F+y的大小相等，方向相反，所以它們相互抵消，合力為0。因此，F(xiàn)-y2就是通電導(dǎo)線對其附近運(yùn)動(dòng)的帶電粒子的總作用力。

通過以上運(yùn)算得知，通電導(dǎo)線對其附近平行方向上運(yùn)動(dòng)的帶電粒子的作用力大小為

F==，" （2.8）

方向與帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向相互垂直。這個(gè)結(jié)論與傳統(tǒng)的磁場觀得出的結(jié)論是完全一致的。而且整個(gè)運(yùn)算過程中沒有考慮電流所產(chǎn)生的“磁場”的影響，而只計(jì)算相互運(yùn)動(dòng)的帶電粒子之間“電相互作用”的相對論效應(yīng)。

因此可知，可以用相對論效應(yīng)來表達(dá)電流對運(yùn)動(dòng)的帶電粒子的作用力。也可以令

c2=，B=（u0為磁導(dǎo)率，B為磁感強(qiáng)度），而把此公式F==簡化寫成

F=quB（洛倫茲力）" （2.9）

這就說明，利用相對論效應(yīng)來表達(dá)電流對帶電粒子產(chǎn)生的作用力（相對運(yùn)動(dòng)的帶電粒子之間的相互作用力）與傳統(tǒng)的磁場觀來運(yùn)算是等效的，都能得出同一個(gè)結(jié)果。

3 相對運(yùn)動(dòng)的帶電粒子之間的相互作用

與1，2節(jié)中所講的同理，可以推導(dǎo)出任意相對運(yùn)動(dòng)的帶電粒子之間的相互作用力。如圖3所示，設(shè)有兩個(gè)電量分別為q0和q的帶電粒子，q以恒定的速度v相對慣性坐標(biāo)系S中沿x軸運(yùn)動(dòng)，在t=0時(shí)刻經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。電荷q0以速度u相對S系運(yùn)動(dòng)。設(shè)相對q靜止的參考系為S'，在t=t'=0時(shí)刻其原點(diǎn)與S系的原點(diǎn)重合。那么不考慮相對運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的磁效應(yīng)情況下兩個(gè)電荷之間的相互作用力的結(jié)果為[3]

F=Fxi+Fyj+Fzk

={r+[（yuy+zuz）i

-uxyj-uxzk]}" （3.1）

其中r為S系中兩個(gè)電荷之間的距離，θ為r與v之間的夾角。

上式也可以寫成

F={r+u×（v×r）]（3.2）

這個(gè)力由兩個(gè)部分組成，它的前半部分就是通常說的“電場力”，而后半部分則是“磁場力”。而且這個(gè)結(jié)果跟目前的“電場”觀和“磁場”觀的結(jié)論完全吻合。但是它的推導(dǎo)過程其實(shí)跟“磁場”沒什么關(guān)聯(lián)，只是兩個(gè)電荷之間產(chǎn)生的庫倫力的相對運(yùn)動(dòng)情況下的相對論效應(yīng)罷了。很顯然，相對論效應(yīng)來處理此類問題是可行的。

4 一個(gè)震動(dòng)的帶電粒子對其它帶電粒子的作用力

費(fèi)恩曼的物理講義中提到，任意方式運(yùn)動(dòng)的電荷所產(chǎn)生的場的方程為[4]

E=[+（）+er']" （4.1）

其中er'為產(chǎn)生相互作用的兩個(gè)點(diǎn)電荷之間連線r'方向的單位矢量。因?yàn)閳龅膫鞑ザ舆t的原因，t時(shí)刻產(chǎn)生的相互作用是取決于在t-時(shí)刻的兩個(gè)帶電粒子之間的距離，加上一個(gè)撇是為了說明方程里用的距離是延遲距離而不是t時(shí)刻的兩個(gè)粒子之間實(shí)際距離。

就是說，相互運(yùn)動(dòng)的帶電粒子之間的相互作用力（場源電荷q對電荷量為q0的帶電粒子的作用力）由兩部分組成

F=q0E+q0u×（er'×E）" （4.2）

這個(gè)方程也說明，我們完全可以用一個(gè)不包含B量的方程來計(jì)算帶電粒子之間的相互作用。就是說，可以用E來替代B后進(jìn)行計(jì)算。E和B分別為電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，它們都代表著單位電荷所受的力的情況，它們的變化特點(diǎn)就代表著相互作用的變化特點(diǎn)。多數(shù)文獻(xiàn)都用場強(qiáng)來談?wù)搱龅姆植己蛡鞑デ闆r，但最終目的都是為了表達(dá)電荷對電荷的作用力。本論文著重談?wù)搸щ娏Ｗ又g的相互作用，所以直接用了相互作用力F的方程。

方程（4.1）的右側(cè)第三項(xiàng)是最關(guān)鍵的，因?yàn)橹挥羞@一項(xiàng)將是跟距離成反比的，而其它兩項(xiàng)都是距離的平方成反比。所以，遠(yuǎn)距離而言，只有第三項(xiàng)是有效的。這一項(xiàng)里er'就是電荷在t-時(shí)刻的加速度垂直于r'方向的投影。它是從麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來的。

因此，距離比震動(dòng)振幅遠(yuǎn)大的地方，（4.1）寫成

E=er'

cB=er'×E"" （4.3）

兩個(gè)粒子的相對速度不太大的情況下，粒子就不會(huì)從始點(diǎn)移動(dòng)太大距離，遠(yuǎn)距離而言可以不考慮距離的變化而只考慮垂直于連線的橫向運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的影響。設(shè)橫向運(yùn)動(dòng)的距離為x，這時(shí)er'就等于er'的x分量變化的加速度。而它就是的變化的加速度。所以（4.3）就變成

E=

cB=er'×E" （4.4）

這個(gè)場對電荷q0的作用力為

F=+U×（er'×ax）" （4.5）

（4.5）右側(cè)第一項(xiàng)表明，一個(gè)周期性運(yùn)動(dòng)的電荷對其它電荷產(chǎn)生同樣周期性變化的作用力，而第二項(xiàng)則表明，如果受力電荷在第一項(xiàng)所產(chǎn)生的周期性力的作用下隨它做周期性運(yùn)動(dòng)的話同時(shí)受到一個(gè)r'方向的作用力，這可能正是所謂光壓的產(chǎn)生原由。

5 磁性物質(zhì)產(chǎn)生的“磁場”問題

關(guān)于磁性物質(zhì)產(chǎn)生的磁場問題安培提出了“原子電流”的想法，但這跟現(xiàn)代普遍接受的電子云學(xué)說有沖突，所以目前只能稱之為假說。現(xiàn)代量子力學(xué)的解讀認(rèn)為電子的自旋引發(fā)了物質(zhì)的磁性。這種觀念認(rèn)為，組成物體的電子都有自旋，而如果某種物質(zhì)的多部分電子的自旋方向一致的時(shí)候，這種物質(zhì)的表面產(chǎn)生等效的電流，這種物質(zhì)就會(huì)表現(xiàn)出磁性[5]。不管哪一種說法，最終的解釋還是沒有離開電流這個(gè)概念。既然離不開電流，那么以上的算法同樣成立。

6 結(jié)論

式（2.4），（3.1），（4.5）都由兩部分組成，其中（2.4）的第二項(xiàng)是電子的運(yùn)動(dòng)所致，（3.1）的第二項(xiàng)是電荷的相對運(yùn)動(dòng)所致，而（4.5）本身就是（4.1）的第一條方程第三項(xiàng)和第二條方程的綜合，也是因?yàn)橄鄬\(yùn)動(dòng)而形成的。

總之，在觀察者的參考系（本論文中的S系）里，相互作用的兩個(gè)帶電粒子都有運(yùn)動(dòng)的情況下，它們之間除了庫倫力外還要產(chǎn)生另一部分力，通過以上的論證可以知道，這些力是由相對運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的相互作用在時(shí)間上的延遲所導(dǎo)致的。（4.5）又由兩部分組成，它是因?yàn)閳鲈措姾稍谟^察者的參考系里有加速運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，這就說明，在觀察者的參考系里相互作用的兩個(gè)電荷之間有相對加速度的情況下，它們之間的延遲效應(yīng)由更為復(fù)雜的兩部分組成。

通過以上計(jì)算可知，表述電流對帶電粒子的作用力和相對運(yùn)動(dòng)的電荷之間的相互作用力的時(shí)候，利用相對論效應(yīng)來表達(dá)和傳統(tǒng)的“電場”觀和“磁場”觀來表達(dá)是完全吻合的。這就說明，利用相對論效應(yīng)計(jì)算處理問題具有準(zhǔn)確性和普遍性。因此，帶電粒子因?yàn)橄鄬\(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的這個(gè)力用“磁現(xiàn)象”而不是“磁場力”來描述更為貼切。而所有有關(guān)“磁現(xiàn)象”的問題都可以用相對論效應(yīng)來表達(dá)。盡管這樣有點(diǎn)復(fù)雜，但理論上是成立的。也就是說，利用單一電場可以描述所有有關(guān)磁的問題。

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參考文獻(xiàn)：

〔1〕賈起民，鄭永令，陳暨耀，等.電磁學(xué)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2001.295-320.

〔2〕趙凱華，陳熙謀，等.電子學(xué)（上冊）[M].北京：高等教育出版社，1985.434-451.

〔3〕賈起民，鄭永令，陳暨耀，等.電磁學(xué)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2001.310-312.

〔4〕R.P.Feynman， R.B.Leighton， M.Sands，等著.鄭永令，華宏鳴，吳子儀，等譯.費(fèi)恩曼物理學(xué)講義（新千年版）（第2卷）[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2013.275.

〔5〕R.P.Feynman， R.B.Leighton， M.Sands，等著.鄭永令，華宏鳴，吳子儀，等譯.費(fèi)恩曼物理學(xué)講義（新千年版）（第2卷）[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2013.489-492.

收稿日期：2024-03-17

通信作者：蘇日塔拉圖，博士，赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院講師，主要從事數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。郵箱：srtlt888@163.com。