借助頻率分布直方圖，可以估計(jì)總體的數(shù)字特征，從而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行有效分析。

一、利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)

在頻率分布直方圖中，平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（組中值）與相應(yīng)頻率（小矩形的面積）的乘積之和。

例1 某校對(duì)100名高一學(xué)生的某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五組，得到如圖1所示的頻率分布直方圖。

（1）求圖中a 的值。

（2）估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)。

解：（1）在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1，所以a×10+0.02×10+0.035×10+0.025×10+a×10=1，解得a=0.01。

（2）結(jié)合頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.01×10=75.5。

名師點(diǎn)睛：在頻率分布直方圖中，各組的頻率是各個(gè)小矩形的面積= （頻率／組距）×組距，特別注意平均數(shù)的計(jì)算公式為各組“組中值”乘以相應(yīng)的頻率再求和。

二、利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)

眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，在頻率分布直方圖中，眾數(shù)的估計(jì)值等于最高的小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（即組中值）。

例2 某校對(duì)參加高校綜合評(píng)價(jià)測(cè)試的學(xué)生進(jìn)行模擬訓(xùn)練，從中抽出N 名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖2所示。

已知成績?cè)趨^(qū)間[90，100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為2，則x 的值為____，N 的值為____，平均分為____，眾數(shù)為____。

解：由頻率分布直方圖可得，0.005×10+10x+0.02×10+0.03×10+0.025×10+0.005×10=1，解得x=0.015。

已知成績?cè)趨^(qū)間[90，100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為2，由2／N=0.005×10，解得N =40。

結(jié)合頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均分為45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72。

由頻率分布直方圖可知，[70，80）這一組對(duì)應(yīng)的小矩形最高，其底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（組中值）為70+80／2 =75，所以眾數(shù)為75。

名師點(diǎn)睛：在頻率分布直方圖中，“組中值”是需要特別重視的數(shù)據(jù)。

三、利用頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)及百分位數(shù)

在頻率分布直方圖中，中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的頻率分布直方圖的面積相等。一般地，一組數(shù)據(jù)的第p 百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值。中位數(shù)相當(dāng)于是第50百分位數(shù)。百分位數(shù)的估計(jì)值左邊和右邊的直方圖的面積成比例。

例3 （多選題）為了慶祝偉大的中華人民共和國成立75周年，某校開展了“愛祖國、跟黨走”的知識(shí)答題競(jìng)賽，若參賽學(xué)生的成績都在50分至100分之間，現(xiàn)隨機(jī)抽取了400名學(xué)生的成績，進(jìn)行適當(dāng)分組后，畫出如圖3所示的頻率分布直方圖，則（ ）。

A.在被抽取的學(xué)生中，成績?cè)趨^(qū)間[80，90）內(nèi)的學(xué)生有120人

B.圖中x 的值為0.05

C.估計(jì)全校學(xué)生成績的中位數(shù)約為86.7

D.估計(jì)全校學(xué)生成績的70%分位數(shù)為92.5

解：由題意可知，成績?cè)趨^(qū)間[80，90）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為400×0.03×10=120，A 正確。由（0.005+0.01+0.015+x+0.03）×10=1，解得x=0.04，B 錯(cuò)誤。前3組的頻率之和為（0.005+0.01+0.015）×10=0.3lt;0.5，前4 組的頻率之和為（0.005+0.01+0.015+0.03）×10=0.6gt;0.5，可知中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為a，則（0.005+0.01+0.015）×10+0.03×（a-80）=0.5，解得a≈86.7，C 正確。低于90分的頻率為1-0.4=0.6，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為n，則n-90／100-90=0.7-0.6／0.4 ，解得n=92.5（或者，樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)=90+（0.7-0.6／0.4）×10=92.5），D正確。應(yīng)選ACD。

名師點(diǎn)睛：在頻率分布直方圖中，求百分位數(shù)（或中位數(shù)）的關(guān)鍵是找到定比分點(diǎn)，通過分析部分小矩形的面積之和，確定分點(diǎn)所在的小矩形，然后利用這個(gè)小矩形具體的比例值求得百分位數(shù)（或中位數(shù)）。

感悟與提高

（多選題）某校在開展的“體育節(jié)”活動(dòng)中，為了解學(xué)生對(duì)“體育節(jié)”的滿意程度，組織學(xué)生給活動(dòng)打分（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分），發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)均在[40，100]內(nèi)。從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為300的樣本，將這些數(shù)據(jù)分成6組并作出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形（如圖4所示），則下列說法中正確的是（ ）。

A.樣本中分?jǐn)?shù)落在[60，70）的頻數(shù)為60

B.樣本的眾數(shù)為75分

C.樣本的平均數(shù)為73.5分

D.樣本的第80百分位數(shù)為85分

提示：對(duì)于A，由頻率分布直方圖得第三組的頻數(shù)為300× [1- （0.005+0.015+0.03+0.025+0.01）×10]=300×0.15=45，A 錯(cuò)誤。對(duì)于B，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)為70+80／2 =75（分），B正確。對(duì)于C，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)為x=45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.015×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.01×10=73.5（分），C 正確。對(duì)于D，[40，80）的頻率為1-（0.025+0.01）×10=0.65，[80，90）的頻率為0.025×10=0.25，所以根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的第80 百分位數(shù)為80+（0.8-0.65／0.25 ）×10=86（分），D錯(cuò)誤。應(yīng)選BC。

作者單位：浙江省杭州余杭第二高級(jí)中學(xué)

（責(zé)任編輯 郭正華）