一、APOS理論概述

APOS術(shù)語是由Action，Process，Object和Schema這四個(gè)英語單詞的首字母組合而成，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了一個(gè)分階段的認(rèn)知發(fā)展框架，該理論將學(xué)習(xí)過程分為以下四個(gè)關(guān)鍵階段。

（一）操作階段

在操作階段，教師會(huì)帶領(lǐng)學(xué)生利用既有經(jīng)驗(yàn)初步構(gòu)建基本概念，即通過具體的實(shí)踐活動(dòng)，從數(shù)學(xué)的視角探索并揭示內(nèi)在的規(guī)律。

（二）過程階段

過程階段的主要方法是通過重復(fù)操作實(shí)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)化。這一階段涉及將外部的動(dòng)作和操作轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的心理思維，通過不斷的實(shí)踐和反思，幫助學(xué)習(xí)者提煉出概念的核心特征。

（三）對象階段

在對象階段，教師會(huì)帶領(lǐng)學(xué)生整合概念的形成過程，將概念的抽象定義、屬性和性質(zhì)一體化，幫助學(xué)生建立概念屬性與性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對概念的理解。

（四）圖式階段

簡而言之，圖式階段要求個(gè)體在學(xué)習(xí)過程中逐步構(gòu)建獨(dú)特的認(rèn)知框架。根據(jù)APOS理論，學(xué)生在經(jīng)歷了前三個(gè)階段的學(xué)習(xí)后，會(huì)對自己既有的概念圖式進(jìn)行整合，進(jìn)而創(chuàng)造出全新的圖式。

二、基于APOS理論的三角函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）教材分析

高中數(shù)學(xué)新人教A版必修一第五章第二節(jié)的內(nèi)容中引入了第四個(gè)特殊函數(shù)模型——三角函數(shù)。三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，主要描述了事物的周期性運(yùn)動(dòng)和變化。在本章節(jié)的教學(xué)中，師生共同探討了諸多內(nèi)容。具體包括通過單位圓和終邊來定義三角函數(shù)，明確三角函數(shù)的基本概念；如何在坐標(biāo)軸各象限中表示三角函數(shù)符號(hào)；“公式一”的內(nèi)容。這一節(jié)的內(nèi)容對初中階段所學(xué)的銳角三角函數(shù)進(jìn)行了拓展，同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，承前啟后，為全書的核心概念奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）學(xué)情分析

高一年級的學(xué)生已經(jīng)接觸過銳角三角函數(shù)知識(shí)，大部分學(xué)生都能說出基本的銳角三角函數(shù)值，還能運(yùn)用函數(shù)準(zhǔn)確描述邊角關(guān)系。但初中知識(shí)只局限于固定值銳角，學(xué)生對任意角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)仍然較為模糊。此外，學(xué)生在初中階段通常采用靜態(tài)方法掌握定義，在轉(zhuǎn)向高中階段的動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)時(shí)往往存在理解能力不足的情況。因此在教學(xué)過程中，教師要針對上述問題運(yùn)用相應(yīng)的教學(xué)方法，輔助學(xué)生克服困難，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的熱情。

（三）教學(xué)目標(biāo)

1.掌握三角函數(shù)概念的多種表現(xiàn)形式，通過單位圓和終邊定義法準(zhǔn)確描述三角函數(shù)的特性，揭示它們的核心本質(zhì)。

2.從實(shí)際情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生明確單位圓定義法和終邊定義的內(nèi)容，逐步過渡到數(shù)學(xué)圖象的繪制，最終實(shí)現(xiàn)對三角函數(shù)概念與性質(zhì)的深入理解；激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)研究中探索未知的興趣，提升其解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的能力，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的邏輯思維和應(yīng)用價(jià)值。

3.引導(dǎo)學(xué)生從具體的情境中提煉出抽象的數(shù)學(xué)概念，讓他們在探究過程看到數(shù)學(xué)背后的普遍規(guī)律和深層邏輯；培養(yǎng)學(xué)生敢于深入未知、追求精確、堅(jiān)持不懈的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，塑造其勇于創(chuàng)新的意識(shí)。

（四）教學(xué)重難點(diǎn)

深入解析如何利用單位圓輔助理解三角函數(shù)的概念。

（五）教學(xué)過程

1.操作階段

教師：同學(xué)們，誰坐過摩天輪？

學(xué)生：我坐過！/我還沒有機(jī)會(huì)坐。

教師：那么，那些曾翱翔于摩天輪之巔的同學(xué)，能否分享一下你們的體驗(yàn)？

學(xué)生：摩天就是一個(gè)特別大的圓盤，圓盤邊緣懸掛著一圈精致的座艙。摩天輪啟動(dòng)的時(shí)候，座艙就會(huì)隨著圓盤的旋轉(zhuǎn)而上升，座艙里的人不僅能感受高空的刺激，還能盡情欣賞四周的風(fēng)景，體驗(yàn)一種獨(dú)特的旋轉(zhuǎn)與視覺盛宴相結(jié)合的旅程。

教師：說得太棒了，現(xiàn)在我們來看一看PPT上的摩天輪，小明和他的朋友們一起乘坐摩天輪，小明和同學(xué)的位置會(huì)隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)而變化，那我們該怎樣用數(shù)學(xué)語言表示這一現(xiàn)象呢？

教師引導(dǎo)：可能有的同學(xué)覺得無從下手，那么大家能不能從這個(gè)圓入手來解決我剛才提出的問題呢？

學(xué)生：將摩天輪看作一個(gè)單位圓，支撐摩天輪的中軸就是圓心，小明和他的同學(xué)們就是在單位圓上勻速移動(dòng)的一個(gè)點(diǎn)。

（教師出示PPT，見圖1）

教師：非常棒，你的想法正是現(xiàn)實(shí)事物與理論知識(shí)交織的例證。如果我們把點(diǎn)A視作起點(diǎn)，那么點(diǎn)P便代表小明當(dāng)前的位置。那我們該如何準(zhǔn)確地描述小明的位置變化呢？怎么構(gòu)建函數(shù)模型來刻畫這種變化呢？

學(xué)生：我們可以在這個(gè)圓形軌跡上建立一個(gè)坐標(biāo)系，以圓心作為原點(diǎn)，OA線段則位于坐標(biāo)系的x軸正半軸上。此時(shí)，OP與OA之間的夾角便成了一個(gè)關(guān)鍵因素，它能夠精確地表示小明的位置。我們可以利用這個(gè)夾角的大小來構(gòu)建一個(gè)函數(shù)模型，從而描述小明的位置變化。

教師：非常好，現(xiàn)在我們來總結(jié)一下，用更準(zhǔn)確的語言將這個(gè)坐標(biāo)軸表示出來。首先將OA的長度設(shè)定為單位1，點(diǎn)A的坐標(biāo)則為（1，0），小明的位置則呈逆時(shí)針勻速變化，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)用（x，y）來表示。此時(shí)射線OA起始于x軸的非負(fù)半軸，圍繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α后，最終抵達(dá)點(diǎn)P。

2.過程階段

（學(xué)生小組討論，教師在教室巡視）

學(xué)生選取代表回答問題。

（學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立計(jì)算，教師點(diǎn)名展示）

教師：這個(gè)點(diǎn)是唯一的嗎？

學(xué)生：是的。

教師：假設(shè)我們?nèi)芜x一個(gè)角，觀察點(diǎn)P的坐標(biāo)及其終邊OP，你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？

學(xué)生：無論是銳角還是任意角，其正弦、余弦和正切值都可以通過該角終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值來定義。

3.對象階段

教師：現(xiàn)在請同學(xué)們結(jié)合課本內(nèi)容進(jìn)行小組討論，用自己的話說一說三角函數(shù)的定義。

（學(xué)生討論，教師點(diǎn)撥，學(xué)生表述定義）

（學(xué)生討論并作圖，見圖2）

學(xué)生：a1和b1是相等的。

教師：在討論的過程中大家有什么發(fā)現(xiàn)嗎？求角α值的必備條件是什么？

學(xué)生：要確定角α的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于找出該角終邊和單位圓相交的點(diǎn)的坐標(biāo)。

4.圖式階段

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算。

教師：說一說你們的計(jì)算過程。

5.課堂總結(jié)

教師：我們來回顧一下本節(jié)課的內(nèi)容。

學(xué)生：我們在單位圓和直角坐標(biāo)系中進(jìn)行探究，利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來揭示三角函數(shù)的基本特征。這些特征包括正弦、余弦和正切函數(shù)的周期性、對稱性以及它們在各個(gè)象限中的符號(hào)。

教師：單位圓上的點(diǎn)與相應(yīng)的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系呢？

學(xué)生：角α的終邊與單位圓相交時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），其中x是點(diǎn)P在x軸上的投影，y是點(diǎn)P在y軸上的投影。根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)，我們可以計(jì)算出sinα、cosα和tanα的值。

教師：沒錯(cuò)，通過這些探究，我們可以總結(jié)和歸納出三角函數(shù)的基本概念。sinα可以被定義為角的終邊與單位圓相交時(shí)，y軸上的投影與半徑的比值。同樣，cosα可以被定義為x軸上的投影與半徑的比值，而tanα則可以被定義為y軸上的投影與x軸上的投影的比值。學(xué)習(xí)這些概念之后，我們可以通過正反例辨析來加深對三角函數(shù)的理解。最后，我們將聯(lián)系新學(xué)到的知識(shí)與已有知識(shí)，構(gòu)建一個(gè)完整的知識(shí)體系。這意味著我們將三角函數(shù)的概念與代數(shù)、幾何和其他數(shù)學(xué)分支的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來，以便更全面地理解和應(yīng)用這些概念。這種方式可以確保我們的理解是深入、全面的，并且能夠適應(yīng)不同的問題和情境。