賀鑫 梁海華

【摘? 要】? 應(yīng)用意識是義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課標(biāo)所提出的核心素養(yǎng)之一.以相似三角形為例，探討基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的數(shù)學(xué)史融入應(yīng)用課的教學(xué)方法.通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，設(shè)計探究活動等手段，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察分析、自主探索、合作交流、猜想計算等過程，自主建立相似三角形的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到促進(jìn)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、自主構(gòu)建知識、培養(yǎng)應(yīng)用意識的目的.

【關(guān)鍵詞】? 數(shù)學(xué)史；建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論；應(yīng)用意識；相似三角形

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將培養(yǎng)應(yīng)用意識作為課程目標(biāo)之一，強(qiáng)調(diào)需有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題［1］.數(shù)學(xué)史具有深厚的文化底蘊(yùn)，記錄了數(shù)學(xué)在不同歷史時期和文化中的應(yīng)用和發(fā)展.它不僅僅是關(guān)于數(shù)學(xué)知識的歷史，還反映了數(shù)學(xué)家在解決問題時的思維方式和思想方法，幫助人們了解在古代和近現(xiàn)代社會中，數(shù)學(xué)家們?nèi)绾谓鉀Q現(xiàn)實(shí)世界中的各種問題，從而激發(fā)學(xué)生的應(yīng)用意識.通過數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，了解數(shù)學(xué)家們?nèi)绾嗡伎紗栴}、建立模型、提出假設(shè)和驗證從而解決問題，一方面能使學(xué)生更好地理解如何將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于實(shí)際問題，另一方面通過建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、與其他學(xué)科的聯(lián)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成理論聯(lián)系實(shí)際的習(xí)慣，發(fā)展實(shí)踐應(yīng)用能力.國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教育研究工作者在這方面開展了一系列的探索，取得了豐富的研究成果，參見文［2-4］等文獻(xiàn).建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的核心理念是引導(dǎo)學(xué)生主動構(gòu)建自身的知識體系，它與數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)的教學(xué)以幫助學(xué)生自發(fā)構(gòu)建和形成數(shù)學(xué)概念、定理有著相融相促的作用.但據(jù)筆者所知，目前國內(nèi)外結(jié)合建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論來開展數(shù)學(xué)史融入幾何課堂教學(xué)的研究工作并不多見.因此，本文將以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)，選取人教版九年級下冊“相似三角形的應(yīng)用舉例”一課，從應(yīng)用課出發(fā)，以學(xué)生生活經(jīng)驗為背景，融入數(shù)學(xué)史展開教學(xué)，讓學(xué)生在感悟數(shù)學(xué)知識抽象和發(fā)展的過程中，構(gòu)建模型觀念，培養(yǎng)應(yīng)用意識.

1? 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論

由瑞士著名心理學(xué)家皮亞杰和美國教育家布魯納等人提出的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，認(rèn)為學(xué)生本身具備主動學(xué)習(xí)和處理信息的能力，教育者的任務(wù)是提供適當(dāng)?shù)慕逃h(huán)境和機(jī)會，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并引導(dǎo)學(xué)生主動構(gòu)建自己的知識體系.該理論主要有如下幾個觀點(diǎn).（1）知識觀

建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)知識的動態(tài)性，其提出知識并不是問題的最終答案，是在人類進(jìn)步的過程中，不斷改正并出現(xiàn)的新的假設(shè)和解釋.在建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的知識觀中認(rèn)為知識需要針對具體情境再創(chuàng)造，學(xué)習(xí)者會基于自己的經(jīng)驗背景進(jìn)行理解并建構(gòu)屬于自己的知識.

（2）學(xué)習(xí)觀

建構(gòu)主義在學(xué)習(xí)觀上強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的主動建構(gòu)性、社會互動性和情境性三方面.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為知識是不可能脫離活動情境而孤立存在的，學(xué)習(xí)是在一定的社會文化情境下，通過人際間的協(xié)作活動而實(shí)現(xiàn)的意義建構(gòu)過程，因此“情境”“協(xié)作”“會話”“意義建構(gòu)”是學(xué)習(xí)環(huán)境中的四大要素或四大屬性［5］.（3）學(xué)生觀

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)關(guān)注學(xué)習(xí)者本身已有的知識經(jīng)驗結(jié)構(gòu)，認(rèn)為學(xué)習(xí)者應(yīng)該處于主體地位，在學(xué)習(xí)新信息、解決新問題時都需建立在已有的知識經(jīng)驗上.因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師需將新知識建立在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗上，引導(dǎo)學(xué)生生長出新的知識經(jīng)驗，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).（4）教師觀

建構(gòu)主義認(rèn)為教師是學(xué)生知識建構(gòu)過程的幫助者、引導(dǎo)者、合作者.教學(xué)不是教師簡單的轉(zhuǎn)移和傳遞知識，而是教師在師生共同的活動中，為學(xué)生理解提供階梯，幫助學(xué)生形成分析、解決問題的思路，創(chuàng)造良好的、富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生“正確構(gòu)建”“高效構(gòu)建”.

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)教學(xué)是在學(xué)習(xí)者本身的內(nèi)在知識結(jié)構(gòu)上，幫助他們將外部的客觀事物內(nèi)化成其內(nèi)在的知識結(jié)構(gòu).其指出學(xué)習(xí)者應(yīng)處于主體地位，即教學(xué)是促使學(xué)習(xí)者成為主動、積極的知識建構(gòu)者，逐漸建構(gòu)自身的知識結(jié)構(gòu)［6］.因此，教師應(yīng)在教學(xué)中創(chuàng)造符合學(xué)生知識經(jīng)驗的課堂情境，讓學(xué)生自主建構(gòu)知識體系.而數(shù)學(xué)史知識的融入能幫助教師根據(jù)歷史情境及數(shù)學(xué)家的思想方法更好地建立課堂情境，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決問題的內(nèi)驅(qū)力.

2? 教學(xué)設(shè)計與實(shí)施

2.1? 設(shè)計理念

根據(jù)建構(gòu)主義的基本觀點(diǎn)，教師需從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，設(shè)計豐富的情境，開展教學(xué)設(shè)計和活動.故本節(jié)課首先通過復(fù)習(xí)相似三角形的判定定理與性質(zhì)，為學(xué)生解決問題提供知識基礎(chǔ).再設(shè)置3個歷史情境，激發(fā)學(xué)生的主觀能動性.情境1：結(jié)合教材上泰勒斯測金字塔高度問題，豐富其歷史背景引導(dǎo)學(xué)生分析探究；情境2：以教材所呈現(xiàn)的測河流寬度問題為基礎(chǔ)，結(jié)合歷史故事設(shè)計問題，進(jìn)行重構(gòu)；情境3：以《九章算術(shù)》中的勾股容方內(nèi)容創(chuàng)建問題情境.通過情境問題的提出、探究過程，促使學(xué)生理解和掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)深度探究的思想與能力，提煉建立相似三角形模型的核心方法，促使學(xué)生逐步形成核心素養(yǎng).

2.2? 教學(xué)過程

2.2.1? 復(fù)習(xí)舊知，奠定基礎(chǔ)

教師提問：判定兩個三角形相似有哪些方法？相似三角形有哪些性質(zhì)？

出示操作題

操作1：畫一畫，在圖1中任意做△DEF∽△BAC.

操作2：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在邊AB，AC上，請你添加一個條件，使△ABC∽△ADE，并說明理由.

2.2.2? 模型初建，思維發(fā)散

情境1? 泰勒斯測金字塔高度

教師播放視頻——神秘的金字塔：介紹泰勒斯及其利用木桿測出金字塔高度的故事.提問：泰勒斯僅利用一根木桿就測出金字塔的高度，他是如何做到的呢？

學(xué)生1：太陽是平行光線，照射在金字塔上會形成影子，在某個地方放一個木桿，也會形成影子，同一時刻物體和影子的高度比是一樣的，所以只要測出金字塔的影子長度、木桿高度以及影長，利用相似比就可以求出金字塔的高度.

教師：非常棒，這就是聰明的泰勒斯的做法，借助平行光線與金字塔以及木桿所成的夾角相等，從而構(gòu)建相似三角形，借助對應(yīng)邊成比例，即可求出金字塔的高度.隨即播放視頻：完整講解泰勒斯的做法，以多媒體展示求解過程.

解：如圖3，因為太陽光是平行光線，

所以∠ABO=∠EDF.

因為∠AOB=∠DFE=90°，

所以△BAO∽△DEF.

因為相似三角形對應(yīng)邊成比例，

所以BOFD=OAEF，

所以BO=OA·FDEF=201×23=134m.圖3

教師追問：是否還有其他的模型構(gòu)建方式？

學(xué)生2：將木桿立在金字塔的影子的中間，使得木桿的影子頂端與金字塔的影子頂端重合，也可以構(gòu)建相似三角形.（學(xué)生上臺畫圖展示，如圖4）

教師：非常好，其實(shí)我們這兩種方法的原理都是通過太陽光線構(gòu)建相似三角形模型，通過對應(yīng)邊成比例求未知邊的長，只是構(gòu)建方法不一樣.

2.2.3? 改變模型，解決問題

情境2? 拿破侖測河寬

教師：拿破侖·波拿巴（1769—1821），19世紀(jì)法國偉大的軍事家、政治家，法蘭西第一帝國的締造者.1805年，法國拿破侖與德軍在萊茵河畔激戰(zhàn)，如圖5所示，拿破侖位于萊茵河南岸A處，德軍在萊茵河北岸B處，因不知道河寬，法軍大炮很難瞄準(zhǔn)敵兵營.假設(shè)AB垂直于河流，你能利用相似三角形的相關(guān)知識幫助拿破侖解決問題嗎？

學(xué)生3：連接AB，交河流邊界于點(diǎn)D，從點(diǎn)A作合適長度的線段AC平行于河流邊界，再連接BC，交河流邊界于點(diǎn)E，可以得出△BDE∽△BAC，只要測出AC，AD，DE的長度就可以求出AB的長度了.（上臺展示畫圖，如圖6所示）

教師：很好，大家已經(jīng)可以從依據(jù)已有的外部條件構(gòu)造相似三角形提升到自己創(chuàng)造條件來構(gòu)造相似三角形解決問題了.若DA=45m，AC=90m，DE=60m，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算AB間的距離.

學(xué)生4：

解：因為DE∥AC，

所以△BDE∽△BAC，

所以BDBA=DEAC，

即BA-ADBA=DEAC，BA-45BA=6090，

BA×60=（BA-45）×90，

解得BA=135.

因此，BA間的距離為135m.

2.2.4? 形式多變，變式探究

情境3? 勾股容方問題

教師提問：漢代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》勾股章中設(shè)題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何.”答曰三步十七分步之九.術(shù)曰：“并勾、股為法，勾股相乘為實(shí)，實(shí)如法而一，得方一步．”你知道這是怎么求出來的嗎？請同學(xué)們畫出圖象，嘗試解決［7］.

分析問題：現(xiàn)有一直角三角形，勾（短直角邊）長為5，股（長直角邊）長為12，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少？

教師提問：如果在Rt△ABC中要做一個最大的正方形，你有幾種做法？學(xué)生小組討論，合作探究，展示兩種不同做法，計算正方形邊長，進(jìn)行對比.

學(xué)生5：以兩條直角邊做正方形的邊長，可作出圖7所示的正方形DBFE，利用△ADE與△ABC相似即可求出正方形邊長.（上臺板演證明過程）

解：因為∠A=∠A，∠ADE=∠B，圖7

所以△ADE∽△ABC，

所以ADAB=DEBC.

設(shè)BD=DE=x，則AD=12-x，

所以12-x12=x5，

所以x=6017.

學(xué)生6：也可以以斜邊中的一部分為正方形的邊長.（用數(shù)學(xué)語言板書證明過程如下，如圖8）

解：由題意與圖形可知圖8

△GBK∽△KOC∽△ABC，

所以GKAC=BKBC，OKAB=CKAC.

設(shè)GK=OK=x，

所以x13=BK5，x12=CK13，

所以BK=5x13，CK=13x12，

而BK+CK=BC=5，

所以5x13+13x12=5，

所以x=780229.

教師總結(jié)：通過計算可知6017＞780229，所以方法1的面積更大.現(xiàn)在同學(xué)們已經(jīng)能夠針對問題構(gòu)建不同的相似三角形模型來解決問題了，這是非常大的進(jìn)步.

2.2.5? 總結(jié)要點(diǎn)，結(jié)構(gòu)形成

教師：同學(xué)們，在剛剛的三個情境問題中，我們都是通過構(gòu)建相似三角形來解決問題的，那能否總結(jié)相似三角形模型構(gòu)建的步驟和要點(diǎn)呢？

師生共同梳理：

①梳理題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

②尋找模型中能夠證明三角形相似的條件，列出相似比求解.

③圖形與幾何的計算問題，需要先經(jīng)過證明，再進(jìn)行計算.

④將解決的數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題，還原中注意反思模型實(shí)踐時可能存在的問題與解決辦法［8］.

2.2.6? 應(yīng)用練習(xí)，加深理解

①測學(xué)校旗桿高度.

②測學(xué)校后方河流寬度.

3? 結(jié)論與啟示

著名數(shù)學(xué)家克萊因指出：“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南.”本文以數(shù)學(xué)史為主線，以建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，創(chuàng)設(shè)相關(guān)情境問題，引領(lǐng)學(xué)生站在前人的肩膀上，在生活中、在自然中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)應(yīng)用意識.筆者認(rèn)為，在實(shí)施基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論下的數(shù)學(xué)史融入中學(xué)課堂教學(xué)時，采用以下三個策略，將會收到良好的效果.

3.1? 立足教材，挖掘歷史背景創(chuàng)設(shè)情境

教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.在教學(xué)中我們應(yīng)深度解讀教材，挖掘數(shù)學(xué)知識現(xiàn)實(shí)背景.隨著新課改的逐漸推進(jìn)，教材中不斷融入更豐富的實(shí)際生活情境，更為生動地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，旨在突顯數(shù)學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用性，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用的深刻認(rèn)識，進(jìn)一步體現(xiàn)其實(shí)用性與價值.本文以教材內(nèi)容為基礎(chǔ)，融入數(shù)學(xué)史，創(chuàng)設(shè)簡明生動的生活情境，從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，把生活與知識聯(lián)系起來，并運(yùn)用知識解決生活中的數(shù)學(xué)問題，將學(xué)生為了“考試”而學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變到因為“數(shù)學(xué)有用”而學(xué)習(xí)，才是培養(yǎng)應(yīng)用意識的最終目的.

3.2? 加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，提升應(yīng)用意識

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑，主要指通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的過程［8］.本節(jié)課根據(jù)歷史背景來引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建相似三角形模型解決問題，讓學(xué)生掌握前人構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型和其中蘊(yùn)含的思想方法，使學(xué)生能更好地運(yùn)用相關(guān)模型解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題.數(shù)學(xué)建模為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于體驗數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價值和作用.在教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，更要引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際生活中去，形成解決實(shí)際問題的有效策略，適應(yīng)社會發(fā)展的需要，強(qiáng)化應(yīng)用意識.

3.3? 思維碰撞，自主迸發(fā)應(yīng)用意識

數(shù)學(xué)課堂應(yīng)是積極思考、思維碰撞的平臺.教師在創(chuàng)造和諧輕松學(xué)習(xí)氛圍的同時，應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生的主動性，促使他們積極主動地學(xué)習(xí)，使創(chuàng)造潛力能夠以最大限度發(fā)揮.通過數(shù)學(xué)史的融入，讓課堂上不止有師生之間、生生之間的思維碰撞，更激發(fā)了學(xué)生與偉大數(shù)學(xué)家之間的思維交流，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題，自主迸發(fā)應(yīng)用意識.

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中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

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作者簡介? 賀鑫（1997—），女，碩士研究生；主要研究數(shù)學(xué)課程教學(xué)論；

梁海華（1979—），男，博士，教授，學(xué)校第六屆教學(xué)名師;現(xiàn)為中國數(shù)學(xué)會奇異攝動專委會委員、廣東省工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會常務(wù)理事;作為負(fù)責(zé)人承擔(dān)了3項國家項目、3項省部級項目的研究工作，以第一或通訊作者在國內(nèi)外權(quán)威期刊上發(fā)表數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)研究論文40多篇，教學(xué)改革研究論文10篇；獲得廣東省自然科學(xué)獎二等獎，廣東技術(shù)師范大學(xué)教學(xué)成果獎一等獎.