姚慧麗 劉夢然 王晶囡

摘 要：關(guān)于分數(shù)階隨機微分方程解的性質(zhì)研究是近幾年數(shù)學(xué)界的熱門方向之一。針對Hilbert空間上一類線性分數(shù)階隨機微分方程，研究其均方漸近概周期溫和解的存在性和唯一性，然后將這類線性分數(shù)階隨機微分方程的結(jié)論推廣到對應(yīng)的半線性分數(shù)階隨機微分方程中，利用Banach不動點定理討論這類半線性分數(shù)階隨機微分方程均方漸近概周期溫和解的存在唯一性，再利用Schauder不動點定理討論這類方程在非Lipschitz條件下均方漸近概周期溫和解的存在性。

關(guān)鍵詞：分數(shù)階隨機微分方程；均方漸近概周期解；Banach不動點定理；Schauder不動點定理

DOI：10.15938/j.jhust.2024.01.017

中圖分類號： O1751? 文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2024）01-0150-09

Square-Mean Asymptotically Almost Periodic Solutions for a Class of Fractional Stochastic Differential Equation

YAO Huili， LIU Mengran， WANG Jingnan

（College of Science， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080，China）

Abstract：The study of the properties for fractional stochastic differential equation is one of the hot directions in the field of mathematics over the years For a class of linear fractional stochastic differential equation on Hilbert space， the existence and uniqueness of its square-mean asymptotically almost periodic mild solutions are studied， and then the conclusions of this kind of linear fractional stochastic differential equation are extended to corresponding semi-linear fractional stochastic differential equation The existence and uniqueness of square-mean asymptotically almost periodic mild solutions for this kind of semi-linear fractional stochastic differential equation are discussed by Banach fixed point theorem， and then discuss the existence of square-mean asymptotically almost periodic mild solutions by using Schauder fixed point theorem under non-Lipschitz conditions

Keywords：fractional stochastic differential equation; square-mean asymptotically almost periodic solutions; Banach fixed point theorem; Schauder fixed point theorem

0 引 言

概周期函數(shù)理論是由Bohr H在1925-1926年提出并建立的［1-2］，全體概周期函數(shù)構(gòu)成的空間是周期函數(shù)的完備化空間，因此概周期函數(shù)的有關(guān)理論被廣泛應(yīng)用［3-7］。1941年Fréchet M在概周期函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了漸近概周期函數(shù)的概念［8］，1949年Eberlein W F給出了弱概周期函數(shù)的有關(guān)概念［9］，1992年Zhang C Y教授給出了偽概周期函數(shù)的有關(guān)理論［10］。隨機微分方程是研究現(xiàn)實中隨機過程而建立的一類方程，隨機過程的概周期函數(shù)理論最早是由Slutsky E在1938年建立的［11］，2007年Bezandry P H和Diagana T提出了均方概周期函數(shù)的概念，并將其理論應(yīng)用到隨機微分方程中［12］，繼而曹俊飛等在2011年給出了均方漸近概周期函數(shù)的有關(guān)概念［13］。近年來，有關(guān)分數(shù)階（隨機）微分方程解的問題吸引了越來越多學(xué)者的關(guān)注，分數(shù)階導(dǎo)數(shù)有三種不同的定義，分別為Riemann-Liouville定義、級數(shù)定義（Grunwald-Letnikov定義）以及Caputo定義［14］，2017年Singh V和Pandey D N研究了一類脈沖型分數(shù)階隨機微分方程的加權(quán)偽概周期解的存在唯一性［15］，2020年，Ma X和Shu X B等研究了一類脈沖中立型分數(shù)階隨機微分方程概周期解的存在性［16］，2021年Sun X K和He P對一類分數(shù)階隨機中立型泛函微分方程的p-期望概周期解進行了探討［17］。相比之下，研究分數(shù)階隨機微分方程均方漸近概周期溫和解存在唯一性的文獻較少，因此研究這項內(nèi)容將是一項有意義的工作。

本文將對一類線性分數(shù)階隨機微分方程

RLDαtx（t）=Ax（t）+f（t）+γ（t）dW（t）dt［RLDα-1tx（t）］t=0=x0（1）

均方漸近概周期溫和解的存在唯一性進行討論。

另外，將線性分數(shù)階隨機微分方程的部分結(jié)論推廣到對應(yīng)的半線性分數(shù)階隨機微分方程上，研究一類半線性分數(shù)階隨機微分方程

RLDαtx（t）=Ax（t）+f（t，B1x（a1（t）））+?γ（t，B2x（a2（t）））dW（t）dt［RLDα-1tx（t）］t=0=x0（2）

均方漸近概周期溫和解的存在唯一性。

其中RLDαtx（t）是對x（t）的Riemann-Liouvilleα階導(dǎo)數(shù)，t∈R+，0<α<1。H是一個可分的Hilbert空間，A∶D（A）L2（P，H）→L2（P，H）是一個稠密的閉扇形線性算子，Bi是L2（P，H）→L2（P，H）的有界線性算子，設(shè)w=maxi=1，2{||Bi||L（H）}。（W（t））t∈R+是定義在過濾概率空間（Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t，P）的雙邊一維標準的布朗運動，F(xiàn)t=σ{w（u）－w（v）;u，v≤t}是由布朗運動（W（t））t∈R+生成的自然過濾。f，γ，a1，a2是滿足之后一些條件的連續(xù)函數(shù)。

1 預(yù)備知識

本文（Ω，F(xiàn)，P）表示完備的概率空間，（H，‖·‖H，〈·，·〉H）和（K，‖·‖K，〈·，·〉K）是兩個可分的Hilbert空間，L2（P，H）是使E‖x‖2H=∫Ω‖x‖2dP<∞成立的所有H值隨機變量x構(gòu)成的空間，對于x∈L2（P，H），有‖x‖2=（∫Ω‖x‖2dP）1/2，且L2（P，H）以‖·‖2為范數(shù)構(gòu)成Hilbert空間。定義L（K，H）是K到H全體有界線性算子構(gòu)成的空間，它以‖·‖L（K，H）為范數(shù)，當K=H時，L（K，H）由L（H）來表示。

定義1［17］ 設(shè)一個稠密的閉線性算子A∶D（A）L2（P，H）→L2（P，H）是扇形的，是指滿足以下條件：存在常數(shù)ζ∈R，θ∈（0，π2），以及M>0，有

1）Sθ，ζ={λ∈C∶λ≠ζ，|arg（λ－ζ）|>θ}ρ（A）；

2）對每個λ∈Sθ，ζ，‖R（λ，A）‖L（H）≤M|λ－ζ|；

其中ρ（A）表示A的預(yù)解子集，R（λ，A）表示A的預(yù)解算子。

定義2［17］ 函數(shù)f∈L1（［a，b］，R）的α階Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義為

aD－αtf（t）=1Γ（α）∫ta（t－s）α－1f（s）ds

其中α>0，Γ是gamma函數(shù)，a，b可以?。藓?∞。

定義3［18］ 函數(shù)f∈Cn－1（［a，b］，R）且f（n）∈L1（［a，b］，R）的α階Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)（n－1<α

RLaDαtf（t）=1Γ（n－α）dndtn∫taf（s）（t－s）α+1－nds

定義4［19］ 設(shè)f∶R→L2（P，H）是一個隨機過程，如果存在M>0，使得E‖f（t）‖2H≤M，那么稱f是隨機有界的。

定義5［19］ 設(shè)f∶R→L2（P，H）是一個隨機過程，對一切s∈R，如果limt→sE‖f（t）－f（s）‖2H=0，那么稱f是隨機連續(xù)的。

定義6［20］ 隨機過程f（t）∈SMC0（R，L2（P，H）），是指f（t）∈SBC（R，L2（P，H））且limt→∞E‖f（t）‖2H=0。SBC（R，L2（P，H））表示所有隨機有界且連續(xù)過程的集合。

定義7［20］ R的一個子集P在R上是相對稠密的，是指存在一個數(shù)l>0，使得

［t，t+l］∩P≠?（t∈R）

定義8［20］ 設(shè)f∶R→L2（P，H）是一個連續(xù)的隨機過程，若對于任意ε>0，存在一個l（ε）>0，在任意長度為l（ε）的區(qū)間內(nèi)都至少包含一個τ，使得

E‖f（t+τ）－f（t）‖2H<ε（t∈R）

則稱f是均方概周期的。均方概周期隨機過程的全體構(gòu)成的集合記為AP（R，L2（P，H））。

定義9［20］ 一個隨機連續(xù)過程f∶R→L2（P，H）是均方漸近概周期的，是指它能被分解成f=g+φ，其中g(shù)∈AP（R，L2（P，H）），φ∈SMC0（R，L2（P，H））。所有均方漸近概周期隨機過程構(gòu)成的集合記為AAP（R，L2（P，H））。

易知AAP（R，L2（P，H））SBC（R，L2（P，H））。

結(jié)合定義6、7、8和9，得到均方漸近概周期函數(shù)的一個等價定義：設(shè)一個連續(xù)的隨機過程f∶R→L2（P，H）是均方漸近概周期的，是指對于任意的ε>0，存在R的一個相對稠密子集Pε和有界子集Cε，使得

E‖f（t+τ）－f（t）‖2H<ε（τ∈Pε，t，t+τ∈R＼Cε）

引理1［20］ AAP（R，L2（P，H））在‖f‖∞=supt∈R‖f（t）‖2=supt∈R（E‖f（t）‖2H）1/2范數(shù)下構(gòu)成Banach空間。

注1 若f∶R→L2（P，H）是均方漸近概周期的，則f在t∈R上一致連續(xù)。

定義10［20］ 設(shè)Z為L2（P，H）中任意緊子集，稱隨機過程f（t，x）∈SMC0（R×L2（P，H），L2（P，H）），是指f（t，x）∈SBC（R×L2（P，H），L2（P，H））且一致地對x∈Z滿足limt→∞E‖f（t，x）‖2H=0。SBC（R×L2（P，H），L2（P，H））表示所有隨機有界且連續(xù)過程構(gòu)成的集合。

定義11［20］ 如果對于任意的ε>0和L2（P，H）的任意緊子集Z，存在一個l（ε，Z）>0，在任意長度為l（ε，Z）的區(qū)間內(nèi)都至少包含一個τ，使得

E‖f（t+τ，x）－f（t，x）‖2H<ε （t∈R，x∈Z）

那么聯(lián)合連續(xù)過程f∶R×L2（P，H）→L2（P，H）關(guān)于t∈R一致地對x∈Z是均方概周期的。均方概周期隨機過程的全體構(gòu)成的集合記為AP（R×L2（P，H），L2（P，H））。

定義12［20］ 一個聯(lián)合連續(xù)過程f∶R×L2（P，H）→L2（P，H）關(guān)于t∈R一致x∈Z（Z是L2（P，H）的任意緊子集）對是均方漸近概周期的，如果它能被分解成f=g+φ，其中g(shù)∈AP（R×L2（P，H），L2（P，H）），φ∈SMC0（R×L2（P，H），L2（P，H））。所有均方漸近概周期隨機過程構(gòu)成的集合記為AAP（R×L2（P，H），L2（P，H））。

易知AAP（R×L2（P，H），L2（P，H））SBC（R×L2（P，H），L2（P，H））。

結(jié)合定義10、11和12，得到二元均方漸近概周期函數(shù)的一個等價定義：設(shè)一個聯(lián)合連續(xù)過程f∶R×L2（P，H）→L2（P，H）關(guān)于t∈R一致地對x∈Z（Z為L2（P，H）的任意緊子集）是均方漸近概周期的，是指對于任意的ε>0，存在R的一個相對稠密子集Pε和有界子集Cε，使得

E‖f（t+τ，x）－f（t，x）‖2H<ε（τ∈Pε，t，t+τ∈R＼Cε，x∈Z）

引理2［20］ AAP（R×L2（P，H），L2（P，H））在‖f‖∞=supt∈R‖f（t，x）‖2=supt∈R（E‖f（t，x）‖2H）1/2范數(shù)下構(gòu)成Banach空間。

注2 若f∶R×L2（P，H）→L2（P，H）是均方漸近概周期的，則f在R×Z（Z是L2（P，H）的任意緊子集）上一致連續(xù)。

引理3 如果f∶R×L2（P，H）→L2（P，H），（t，x）→f（t，x），關(guān)于t∈R且一致對x∈Z（Z為L2（P，H）的任意緊子集）是均方漸近概周期的，那么對任意x（t）∈AAP（R，L2（P，H）），f（t，x（t））是均方漸近概周期的。

證明：由于f是均方漸近概周期的，根據(jù)均方漸近概周期函數(shù)的等價定義知，對于任意的ε>0，存在一個相對稠密子集P（1）ε和有界子集C（1）ε，使得

E‖f（t+τ1，x）－f（t，x）‖2H<ε（τ1∈P（1）ε，t，t+τ1∈R＼C（1）ε）

同理x也是均方漸近概周期的，于是存在一個相對稠密子集P（2）ε和有界子集C（2）ε，使得

E‖x（t+τ2）－x（t）‖2H<ε（τ2∈P（2）ε，t，t+τ2∈R＼C（2）ε）

又知f在R×Z上一致連續(xù)，對上述的ε>0，存在δ（ε）>0，當x′、x″∈Z以及E‖x′－x″‖2H<δ（ε）時，有E‖f（t，x′）－f（t，x″）‖2H<ε成立。于是對上述的ε和δ（ε），存在一個相對稠密子集Pε=P（1）ε∩P（2）ε和有界子集Cε=C（1）ε∪C（2）ε，當E‖x（t+τ）－x（t）‖2H<δ（ε），其中τ∈Pε，t、t+τ∈R＼Cε，有

E||f（t+τ，x（t+τ））－f（t，x（t））||2H=E||f（t+τ，x（t+τ））－f（t+τ，x（t））+f（t+τ，x（t））－f（t，x（t））||2H≤2E||f（t+τ，x（t+τ））－f（t+τ，x（t））||2H+2E||f（t+τ，x（t））－f（t，x（t））||2H<2ε+2ε=4ε故f（t，x（t））∈AAP（R，L2（P，H））

2 主要結(jié)果

2.1 線性分數(shù)階隨機微分方程

定義13 如果隨機過程（x（t））t∈R+滿足下列積分方程（3），那么（x（t））t∈R+稱為線性分數(shù)階隨機微分方程（1）的溫和解。

x（t）=Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s）ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s）dW（s）（3）

其中Sα（t）=tα－1Eα，α（Atα），0<α<1，Eα，β（z）是Mittag-Leffler函數(shù)，Eα，β（z）=∑∞k=0zkΓ（αk+β）。

為了主要結(jié)果的證明，給出以下假設(shè)：

（H1）對于Sα（t），如果A是關(guān)于某個M>0，0≤θ<π（1－α2）的ω<0型扇形算子，那么存在C>0，使得‖Sα（t）‖L（H）≤CM1+|ω|tα≤CM。

（H2）函數(shù)f∶R+→L2（P，H）和函數(shù)γ∶R+→L2（P，H）關(guān)于t∈R+是均方漸近概周期的。

定理1 如果假設(shè)（H1）、（H2）成立，那么線性分數(shù)階隨機微分方程（1）在R+上存在唯一的均方漸近概周期溫和解。

證明：式（3）中x（t）是方程（1）的溫和解，首先證明式（3）是均方漸近概周期的。由（H2）知f=g+φ，γ=η+β，其中g(shù)，η∈AP（R，L2（P，H））以及φ，β∈SMC0（R+，L2（P，H）），有

x（t）=Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s）ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s）dW（s）=

［∫t－∞Sα（t－s）g（s）ds+∫t－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）］+

［Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）φ（s）ds+

∫t0Sα（t－s）β（s）dW（s）－∫0－∞Sα（t－s）g（s）ds－

∫0－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）］=F（t）+Φ（t）

為了證明x（t）是均方漸近概周期的，需要證明F（t）∈AP（R，L2（P，H））以及Φ（t）∈SMC0（R+，L2（P，H）），以下證明將被分為兩個步驟。

步驟1：已知g，η∈AP（R，L2（P，H）），因此對任意的ε>0，存在共同的l（ε）>0，在任意長度為

l（ε）的區(qū)間內(nèi)都至少包含一個τ，使得E‖g（s+τ）－g（s）‖2H<ε，E‖η（s+τ）－η（s）‖2H<ε成立。對于∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds，作變量替換，令t－s=μ，得到∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds=∫+∞0CM1+|ω|μαdμ=CM|ω|－1/απαsin（π/α），記積分∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds=I1。

∫t－∞（11+|ω|（t－s）α）2ds<∫t－∞11+|ω|（t－s）αds=I1CM，于是∫t－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds也是收斂的，記積分∫t－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds=I2。

應(yīng)用Holder不等式、It等距性質(zhì)，注意到W是一個雙邊標準的布朗運動，令W～（σ）=W（σ+τ）－W（τ），則W～也是一個雙邊標準的一維布朗運動，且與W同分布，作σ=s－τ，并結(jié)合假設(shè)條件（H1），對上述的ε和τ，得到：

E‖F(xiàn)（t+τ）－F（t）‖2H=

E‖∫t+τ－∞Sα（t+τ－s）g（s）ds+∫t+τ－∞Sα（t+τ－

s）η（s）dW（s）－∫t－∞Sα（t－s）g（s）ds－

∫t－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）‖2H≤

2E‖∫t－∞Sα（t－s）（g（s+τ）－g（s））ds‖2H+

2E‖∫t－∞Sα（t－s）（η（s+τ）－η（s））dW～（s）‖2H≤

2∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αE‖g（s+

τ）－g（s）‖2Hds+2∫t－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖η（s+τ）－

η（s）‖2Hds≤2I21ε+2I2ε

于是得

F（t）∈AP（R，L2（P，H））（4）

步驟2：根據(jù)假設(shè)（H1）知，得到：

limt→+∞E‖Sα（t）x0‖2H≤limt→+∞（CM1+|ω|tα）2E‖x0‖2H=0

因此有

Sα（t）x0∈SMC0（R+，L2（P，H））（5）

由假設(shè)（H2）知，φ∈SMC0（R+，L2（P，H）），因此對任意的ε>0，存在N1>0，當t>N1時，有E‖φ（t）‖2H<ε。由‖Sα（t）‖L（H）≤CM1+|ω|tα→0（t→+∞），存在N2>0，當t>N2時，‖Sα（t）‖L（H）≤ε。又因為φ（t）有界，設(shè)supt∈R+E‖φ（t）‖2H≤L1成立。另外∫tN1CM1+|ω|（t－s）αds≤∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds=I1。

應(yīng)用假設(shè)條件（H1）、（H2）和Hlder不等式，對上述的ε>0，存在N=N1+N2>0，當t>N，得到：

E‖∫t0Sα（t－s）φ（s）ds‖2H≤

2E‖∫N10Sα（t－s）φ（s）ds‖2H+

2E‖∫tN1Sα（t－s）φ（s）ds‖2H≤

2∫N10CM1+|ω|（t－s）αds∫N10CM1+|ω|（t－s）αE‖φ（s）‖2Hds+

2∫tN1CM1+|ω|（t－s）αds∫tN1CM1+|ω|（t－s）αE‖φ（s）‖2Hds≤

2N21ε2L1+2I21ε

于是limt→+∞E‖∫t0Sα（t－s）φ（s）ds‖2H=0，可得

∫t0Sα（t－s）φ（s）ds∈SMC0（R+，L2（P，H））（6）

以下證明∫t0Sα（t－s）β（s）dW（s）∈SMC0（R+，L2（P，H））。由假設(shè)（H2）知，β∈SMC0（R+，L2（P，H）），因此對任意的ε>0，存在N3>0，當t>N3時，E‖β（t）‖2H<ε。因為β（t）有界，設(shè)supt∈R+E‖β（t）‖2H≤L2。另外∫tN3（CM1+|ω|（t－s）α）2ds<∫t－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds=I2。

結(jié)合‖Sα（t）‖L（H）分析過程，應(yīng)用假設(shè)條件（H1）、（H2）和It等距性質(zhì)，對上述的ε>0，存在T=N2+N3>0，當t>T時，有

E‖∫t0Sα（t－s）β（s）dW（s）‖2H≤

2E‖∫N30Sα（t－s）β（s）dW（s）‖2H+

2E‖∫tN3Sα（t－s）β（s）dW（s）‖2H≤

2∫N30（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖β（s）‖2Hds+

2∫tN3（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖β（s）‖2Hds≤

2N3ε2L2+2I2ε

于是limt→+∞E‖∫t0Sα（t－s）β（s）dW（s）‖2H=0，得

∫t0Sα（t－s）β（s）dW（s）∈SMC0（R+，L2（P，H））（7）

現(xiàn)在證明∫0－∞Sα（t－s）g（s）ds∈SMC0（R+，L2（P，

H）），∫0－∞CM1+|ω|（t－s）αds≤∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds=I1，于是∫0－∞CM1+|ω|（t－s）αds是收斂的，根據(jù)收斂的定義，對任意ε>0，存在G1>0，當N4>G1時，有∫－N4－∞CM1+|ω|（t－s）αds<ε，又因為g（t）有界，可設(shè)supt∈RE‖g（t）‖2H≤L3成立，結(jié)合‖Sα（t）‖L（H）分析過程，對上述的ε>0，存在N2>0，當t>N2時，可得：

E‖∫0－∞Sα（t－s）g（s）ds‖2H≤

2E‖∫－N4－∞Sα（t－s）g（s）ds‖2H+

2E‖∫0－N4Sα（t－s）g（s）ds‖2H≤

2∫－N4－∞CM1+|ω|（t－s）αds∫－N4－∞CM1+|ω|（t－s）α

E‖g（s）‖2Hds+

2∫0－N4CM1+|ω|（t－s）αds∫0－N4CM1+|ω|（t－s）α

E‖g（s）‖2Hds≤2ε2L3+2N24ε2L3

于是得

∫0－∞Sα（t－s）g（s）ds∈SMC0（R+，L2（P，H））（8）

最后證明∫0－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）∈SMC0（R+，L2（P，H）），對于積分∫0－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds，有∫0－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds≤∫t－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds=I2，于是∫0－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds收斂，根據(jù)收斂的定義，對任意的ε>0，存在G2>0，當N5>G2時，有∫－N5－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds<ε，另外存在N2>0，當t>N2時，有‖Sα（t）‖L（H）≤ε。又因為η（t）有界，設(shè)supt∈RE‖η（t）‖2H≤L4成立，那么應(yīng)用假設(shè)條件（H1）、（H2）和It等距性質(zhì)，對上述的ε>0，存在N2>0，當t>N2時，可以得到：

E‖∫0－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）‖2H≤

2E‖∫－N5－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）‖2H+

2E‖∫0－N5Sα（t－s）η（s）dW（s）‖2H≤

2∫－N5－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖η（s）‖2Hds+

2∫0－N5（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖η（s）‖2Hds≤

2εL4+2N5ε2L4

于是得

∫0－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）∈SMC0（R+，L2（P，H））（9）

結(jié)合式（5）、（6）、（7）、（8）、（9）可得到Φ（t）∈SMC0（R+，L2（P，H）），再結(jié)合文中式（4），得F（t）+Φ（t）∈AAP（R+，L2（P，H）），由溫和解的定義知x（t）是線性分數(shù)階隨機微分方程（1）的均方漸近概周期溫和解。

再證唯一性，假設(shè)y（t）是方程（1）另一個均方漸近概周期溫和解，令z（t）=x（t）－y（t），當t=0時，有z（0）=x（0）－y（0），滿足RLDαtz（t）=Az（t），根據(jù)溫和解定義及假設(shè)（H1）知，z（t）=Sα（t）z（0），有‖z（t）‖H≤CM1+|ω|tα‖z（0）‖H，當t→+∞時，z（t）≡0使上述不等式成立，于是有x（t）=y（t），證明了線性分數(shù)階隨機微分方程（1）存在唯一的均方漸近概周期溫和解。

2.2 半線性分數(shù)階隨機微分方程

接下來，將線性分數(shù)階隨機微分方程的結(jié)論推廣到對應(yīng)的半線性分數(shù)階隨機微分方程上，類比方程（1）的溫和解，方程（2）的溫和解可以表示為

x（t）=Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）（10）

對于方程（2），假設(shè)以下條件成立：

（H3）函數(shù)f∶R+×L2（P，H）→L2（P，H）和函數(shù)γ∶R+×L2（P，H）→L2（P，H）關(guān)于t∈R+一致地對x∈Z（Z是L2（P，H）的任意緊子集）是均方漸近概周期的。

（H4）函數(shù)f和γ關(guān)于x∈Z（Z是L2（P，H）任意緊子集）一致地對t∈R+滿足Lipschitz條件，存在正數(shù)Lf，Lγ，滿足E‖f（t，x）－f（t，y）‖2H≤LfE‖x－y‖2H及E‖γ（t，x）－γ（t，y）‖2H≤LγE‖x－y‖2H。

（H5）函數(shù)a1（R+）=R+，a2（R+）=R+且a1∶R+→L2（P，H）和a2∶R+→L2（P，H）關(guān)于t∈R+是均方漸近概周期的。

（H6）設(shè)有界集KL2（P，H），函數(shù)f和γ在K上關(guān)于x一致對t∈R+一致連續(xù)。

作算子P∶x（t）→Px（t），令

Px（t）=Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）

首先利用Banach不動點定理在Lipschitz條件下證明方程（2）存在唯一的均方漸近概周期溫和解。

定理2 如果（H1）、（H3）、（H4）、（H5）成立，當2w2（I21Lf+I2Lγ）<1時，那么半線性分數(shù)階隨機微分方程（2）在R+上存在唯一的均方漸近概周期溫和解。

證明：先證f（t，B1x（a1（t）））與γ（t，B2x（a2（t）））是均方漸近概周期的。任取x（t）∈AAP（R+，L2（P，H）），由x的一致連續(xù)性可知，對任意的ε>0，存在δ（ε）>0，當t1、t2∈R+，E‖t1－t2‖2H<δ（ε）時，使得E‖x（t1）－x（t2）‖2H<ε。

已知a1是均方漸近概周期的，于是存在一個相對稠密子集P′ε和有界子集C′ε，使得

E‖a1（t+τ）－a1（t）‖2H<ε

（τ∈P′ε，t，t+τ∈R+＼C′ε）

由假設(shè)（H5）知，對上述的δ（ε）、P′ε和C′ε，當E‖a1（t+τ）－a1（t）‖2H<δ（ε），τ∈P′ε，t、t+τ∈R+＼C′ε，有E‖x（a1（t+τ））－x（a1（t））‖2H<ε，故x（a1（t））∈AAP（R+，L2（P，H）），同理也可得x（a2（t））∈AAP（R+，L2（P，H））。

易知B1x（a1（t））與B2x（a2（t））也是均方漸近概周期的。根據(jù)引理3和假設(shè)（H3），f（t，B1x（a1（t）））與γ（t，B2x（a2（t）））是均方漸近概周期的，可得Px（t）是均方漸近概周期的，則算子P是定義在AAP（R+，L2（P，H））到AAP（R+，L2（P，H））的自映射。

下面證明P是一個壓縮映射。事實上，對任意的x（t），y（t）∈AAP（R+，L2（P，H）），得到：

E‖Px（t）－Py（t）‖2H≤

2E‖∫t0Sα（t－s）［f（s，B1x（a1（s）））－

f（s，B1y（a1（s）））］ds‖2H+2E‖∫t0Sα（t－

s）［γ（s，B2x（a2（s）））－γ（s，B2y（a2（s）））］dW（s）‖2H

應(yīng)用假設(shè)（H1）、（H4）和Hlder不等式，其中

∫t0CM1+|ω|（t－s）αds≤∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds=I1。

2E‖∫t0Sα（t－s）［f（s，B1x（a1（s）））－f（s，B1y（a1（s）））］

ds‖2H≤

2∫t0CM1+|ω|（t－s）αds∫t0CM1+|ω|（t－s）α×

E‖f（s，B1x（a1（s）））－f（s，B1y（a1（s）））‖2Hds≤

2∫t0CM1+|ω|（t－s）αds∫t0CM1+|ω|（t－s）αLf×

E‖B1x（a1（s））－B1y（a1（s））‖2Hds≤

2w2LfI21E‖x（a1（s））－y（a1（s））‖2H≤

2w2LfI21supt∈R+E‖x（t）－y（t）‖2H

應(yīng)用假設(shè)（H1）、（H4）和It等距性質(zhì)，其中

∫t0（CM1+|ω|（t－s）α）2ds<∫t－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds=I2。

2E‖∫t0Sα（t－s）［γ（s，B2x（a2（s）））－γ（s，B2y（a2（s）））］

dW（s）‖2H≤2∫t0（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖γ（s，B2x（a2（s）））－

γ（s，B2y（a2（s）））‖2Hds≤2∫t0（CM1+|ω|（t－s）α）2Lγ

E‖B2x（a2（s））－B2y（a2（s））‖2Hds≤

2w2I2LγE‖x（a2（s））－y（a2（s））‖2H≤

2w2I2Lγsupt∈R+E‖x（t）－y（t）‖2H

令L0=2w2（LfI21+I2Lγ），因此有‖Px（t）－Py（t）‖22≤L0supt∈R+‖x（t）－y（t）‖22，supt∈R+‖x（t）－y（t）‖22≤（supt∈R+‖x（t）－y（t）‖2）2，可得‖Px（t）－Py（t）‖2≤L0supt∈R+‖x（t）－y（t）‖2，從而得‖Px（t）－Py（t）‖∞≤L0‖x（t）－y（t）‖∞。由L0<1，知L0<1，因此P是一個壓縮映射，根據(jù)Banach不動點理，可知存在唯一的不動點x，使得Px=x。即

x（t）=Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s，B2x（a1（s）））dW（s）

是半線性分數(shù)階隨機微分方程（2）的唯一均方漸近概周期溫和解。

盡管Banach不動點證明了方程（2）均方漸近概周期溫和解的唯一性，但是其中的Lipschitz條件和2w2（I21Lf+I2Lγ）<1的條件較難實現(xiàn)，因此下面結(jié)合Schauder不動點定理［21］，在非Lipschitz條件下討論方程（2）均方漸近概周期溫和解的存在性。

定理3 假設(shè)（H1）、（H3）、（H5）、（H6）成立，則半線性分數(shù)階隨機微分方程（2）在R+上（至少）存在一個均方漸近概周期溫和解。

證明：根據(jù)引理3和假設(shè)（H3）、（H5）知，f（t，B1x（a1（t）））與γ（t，B2x（a2（t）））是均方漸近概周期的，可知Px（t）是均方漸近概周期的，則算子P是定義在AAP（R+，L2（P，H））到AAP（R+，L2（P，H））的自映射。

先證P是連續(xù)的，即（Px）（t）在AAP（R+，L2（P，H））上關(guān)于x是連續(xù)的。

設(shè)序列{xn}AAP（R+，L2（P，H））在R+上是一致收斂的，得到‖xn－x‖∞→0（n→∞），x∈AAP（R+，L2（P，H））且‖B1xn－B1x‖∞→0（n→∞），存在有界子集KAAP（R+，L2（P，H）），使得B1xn（t）、B1x（t）K。由（H6）知f是在K上是一致連續(xù)的，因此對任意的ε>0，存在δ（ε）>0，對任意x，y∈K，當E‖x－y‖2H<δ（ε）時，有E‖f（t，x）－f（t，y）‖2H<ε。對上述δ（ε），存在N′>0，當n>N′且E‖B1xn（a1（t））－B1x（a1（t））‖2H<δ（ε）時，有E‖f（t，B1xn（a1（t）））－f（t，B1x（a1（t）））‖2H<ε成立，對函數(shù)γ（s，B2x（a2（s）））的分析同理，可得

E‖（Pxn）（t）－（Px）（t）‖2H=

E‖∫t0Sα（t－s）f（s，B1xn（a1（s）））ds－

∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s，B2xn（a2（s）））dW（s）－

∫t0Sα（t－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）‖2H≤

2E‖∫t0Sα（t－s）（f（s，B1xn（a1（s）））－

f（s，B1x（a1（s））））ds‖2H+

2E‖∫t0Sα（t－s）（γ（s，B2xn（a2（s）））－

γ（s，B2x（a2（s））））dW（s）‖2H≤

2∫t0CM1+|ω|（t－s）αds∫t0CM1+|ω|（t－s）α×

E‖f（s，B1xn（a1（s）））ds－f（s，B1x（a1（s）））‖2Hds+

2∫t0（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖γ（s，B2xn（a2（s）））－

γ（s，B2x（a2（s）））ds‖2Hds≤

2I21E‖f（s，B1xn（a1（s）））－f（s，B1x（a1（s）））‖2H+

2I2E‖γ（s，B2xn（a2（s）））－γ（s，B2x（a2（s）））‖2H≤

2I21ε+2I2ε

所以算子P是連續(xù)的。

接下來設(shè)supt∈R+f（t，B1x（a1（t）））=Mf以及supt∈R+γ（t，B2x（a2（t）））=Mγ，令Bξ={x∈AAP（R+，L2（P，H））∶‖x‖∞≤ξ}，其中ξ=3（CM）2E‖x0‖2H+3I21Mf+3I2Mγ<+∞，顯然Bξ是AAP（R+，L2（P，H））上的有界閉凸集，為了證明有界集經(jīng)算子P作用之后的像集是有界集，只需證明P（Bξ）Bξ，具體過程如下：

E||（Px）（t）||2H=

E‖Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）‖2H≤

3E‖Sα（t）x0‖2H+3E‖∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））

ds‖2H+3E‖∫t0Sα（t－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）‖2H≤

3（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖x0‖2H+3∫t0CM1+|ω|（t－s）αds×

∫t0CM1+|ω|（t－s）αE‖f（s，B1x（a1（s）））‖2Hds+

3∫t0（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖γ（s，B2x（a2（s）））‖2Hds≤

3（CM）2E‖x0‖2H+3I21Mf+3I2Mγ=ξ

故包含關(guān)系P（Bξ）Bξ成立，由此結(jié)果也可得知{Px∶x∈Bξ}是范數(shù)一致有界的。

根據(jù)Arzela-Ascoli定理［22］，現(xiàn)在還需證明{Px∶x∈Bξ}是等度連續(xù)的。對任意的t1、t2≥0，假設(shè)t1

E‖（Px）（t2）－（Px）（t1）‖2H=

E‖Sα（t2）x0+∫t20Sα（t2－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t20Sα（t2－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）－

Sα（t1）x0－∫t10Sα（t1－s）f（s，B1x（a1（s）））ds－

∫t10Sα（t1－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）‖2H

其中第一項為

3E‖Sα（t2）x0－Sα（t1）x0‖2H≤

3E‖tα－12Eα，α（Atα2）－tα－11Eα，α（Atα1）‖2HE‖x0‖2H=

3t2α－22E‖Eα，α（Atα2）－（t1t2）α－1Eα，α（Atα1）‖2HE‖x0‖2H≤

3t2α－22E‖Eα，α（Atα2）－Eα，α（Atα1）‖2HE‖x0‖2H≤

3t2α－22E‖AE′α，α（Atα2）‖2H（tα2－tα1）2E‖x0‖2H

第二項分析如下：

3E‖∫t20Sα（t2－s）f（s，B1x（a1（s）））ds－

∫t10Sα（t1－s）f（s，B1x（a1（s）））ds‖2H=

3E‖∫t20Sα（s）f（t2－s，B1x（a1（t2－s）））ds－

∫t10Sα（s）f（t1－s，B1x（a1（t1－s）））ds‖2H≤

6E‖∫t10Sα（s）［f（t2－s，B1x（a1（t2－s）））－

f（t1－s，B1x（a1（t1－s）））］ds‖2H+

6E‖∫t2t1Sα（s）f（t2－s，B1x（a1（t2－s）））ds‖2H

最后一項為

3E‖∫t20Sα（t2－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）－

∫t10Sα（t1－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）‖2H≤

3E‖∫t20Sα（s）γ（t2－s，B2x（a2（t2－s）））dW（s）－

∫t10Sα（s）γ（t1－s，B2x（a2（t1－s）））dW（s）‖2H≤

6E‖∫t10Sα（s）［γ（t2－s，B2x（a2（t2－s）））－

γ（t1－s，B2x（a2（t1－s）））］dW（s）‖2H+

6E‖∫t2t1Sα（s）γ（t2－s，B2x（a2（t2－s）））ds‖2H

當t2→t1，E‖（Px）（t2）－（Px）（t1）‖2H→0，于是{Px∶x∈Bξ}關(guān)于t右等度連續(xù)，同理可以證明{Px∶x∈Bξ}關(guān)于t左等度連續(xù)，得到{Px∶x∈Bξ}關(guān)于t等度連續(xù)。綜上，P是一個全連續(xù)算子。

根據(jù)Schauder不動點定理，（至少）存在一個不動點x，使得Px=x。即

x（t）=Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t0Sα（t－s））γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）

是半線性分數(shù)階隨機微分方程（2）的均方漸近概周期溫和解。

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（編輯：溫澤宇）

基金項目： 國家自然科學(xué)基金（11801122）.

作者簡介：劉夢然（1999—），女，碩士研究生；

王晶囡（1978—），女，博士，副教授.

通信作者：姚慧麗（1970—），女，博士，教授，E-mail：2963629242@qq.com.