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        數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的運用

        2024-06-30 13:44:39劉鵬飛
        新課程·上旬 2024年12期
        關(guān)鍵詞:通項數(shù)形公式

        劉鵬飛

        數(shù)學(xué)思想是基于數(shù)學(xué)知識的深度認知,是對數(shù)學(xué)知識的高度概括。教師注重數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的融入,有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),掌握數(shù)學(xué)知識的精髓,促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的靈活運用。本文以“等差數(shù)列”一課的教學(xué)為例,展示數(shù)形結(jié)合思想、歸納推理思想、分類討論思想、函數(shù)思想等數(shù)學(xué)思想的具體運用過程,以供參考。

        一、等差數(shù)列的概念及通項公式推導(dǎo)

        (一)等差數(shù)列的概念

        等差數(shù)列概念的認識與理解是本節(jié)課授課的重點,關(guān)系著后續(xù)教學(xué)活動的推進。教師可以從生活實際出發(fā)創(chuàng)設(shè)不同的情境,一來幫助學(xué)生認識等差數(shù)列與人們生產(chǎn)生活的密切關(guān)系,二來營造一種親切的授課氛圍,促進學(xué)生自動自發(fā)地進行學(xué)習(xí)。尤其創(chuàng)設(shè)圖形情境,指引學(xué)生挖掘圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系,給學(xué)生帶來直觀認識,使其理解等差數(shù)列各項間的數(shù)量關(guān)系,滲透數(shù)形結(jié)合與歸納推理思想。

        情境一:展示成年女鞋的各種尺碼(單位:cm)數(shù)據(jù)。

        25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5,21

        情境二:某小區(qū)2013—2017年的綠化覆蓋率情況(見表1)。

        表1

        情境三:某裝飾圖案按照如圖1所示的規(guī)律排列,各圖中白色正六邊形的個數(shù)分別為6,10,14,….

        圖1

        課堂上,教師拋出問題:觀察三個情境中涉及的數(shù)據(jù)從第二項開始,其與前一項有什么關(guān)系,三組數(shù)據(jù)有哪些共同點?以此引入等差數(shù)列的概念。學(xué)生經(jīng)過觀察、思考發(fā)現(xiàn):三組數(shù)據(jù)從第二項開始,每一項與其前面項之差均是定值。滿足這一特征的數(shù)列為等差數(shù)列,其中的公差常用d表示。

        如此創(chuàng)設(shè)不同情境,由學(xué)生自主分析、探尋數(shù)列特征,得出等差數(shù)列的概念,增添課堂樂趣,加深學(xué)生印象的同時,使學(xué)生更好地體會到數(shù)形結(jié)合思想、歸納推理思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。

        (二)等差數(shù)列的通項公式推導(dǎo)

        等差數(shù)列的通項公式是本節(jié)課教學(xué)的重點。在進行該部分教學(xué)中,教師可以通過歸納推理思想指引學(xué)生自主完成等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo),理解等差數(shù)列通項公式中各字母代表的含義以及推導(dǎo)過程,避免死記硬背,促進活學(xué)活用。

        課堂上,教師可以要求學(xué)生運用a1,a2,a3,…,an-1,an表示具有n項的等差數(shù)列,通過歸納推理探尋項數(shù)與具體項之間的關(guān)系(也即是等差數(shù)列的通項公式)。具體推導(dǎo)過程如下:

        a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d(n≥2)

        將上述各式左右兩邊分別相加得到:

        a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+an-an-1=

        an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d

        這里需要注意,推導(dǎo)過程是在n≥2的條件下進行的,需要檢驗n=1時是否成立。顯然當(dāng)n=1時,a1=a1,即得到n∈N*等差數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d。分析等差數(shù)列通項公式,可以看出其描述的是項數(shù)、公差和首項之間的關(guān)系,只要給出數(shù)列的首項和公差,就能得到數(shù)列中的每一項。

        教學(xué)中,教師通過指引學(xué)生進行等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo),使學(xué)生明晰等差數(shù)列通項公式的由來,通過累加的方法推理出等差數(shù)列的通項公式,有效地鍛煉了學(xué)生的歸納推理能力。

        二、等差數(shù)列與一次函數(shù)

        從函數(shù)視角來看,數(shù)列是特殊的函數(shù)。那么等差數(shù)列是怎樣的一個函數(shù)呢?為了探尋等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,教師可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)視角對等差數(shù)列的通項公式加以審視與探尋,借助函數(shù)思想加深學(xué)生對等差數(shù)列通項公式的認識。

        教師在課堂上展示兩個等差數(shù)列的通項公式:①an=3n-2;②an=-2n+9,要求學(xué)生聯(lián)系所學(xué)的一次函數(shù)知識,畫出其圖象。學(xué)生分析可知:①對應(yīng)的一次函數(shù)為:y=3x-2,②對應(yīng)的一次函數(shù)為y=-2x+9,只不過n表示順序取值為正整數(shù),而x的取值為R。①②對應(yīng)的圖象如圖2所示:

        ① ?????????②

        圖2

        對于等差數(shù)列的通項公式:an=a1+(n-1)d可以寫成an=dn+(a1-d),將n看成x,an看成y,對照一次函數(shù)性質(zhì)可以得出:公差d的符號決定等差數(shù)列的增減,a1和d的大小關(guān)系決定了對應(yīng)函數(shù)圖象和y軸的交點是在x軸上方還是下方。其中在討論等差數(shù)列通項公式性質(zhì)時,需要對d進行分類討論,具體如表2所示。

        表2

        教師在教學(xué)中要求學(xué)生聯(lián)系所學(xué),從函數(shù)視角 分析等差數(shù)列的通項公式,使其認識到等差數(shù)列是特殊的一次函數(shù),只不過對應(yīng)一次函數(shù)n的取值為正整數(shù)。如此教學(xué),能幫助學(xué)生建立新舊知識的聯(lián)系,使其對等差數(shù)列的認識提升到函數(shù)的高度,為以后解決等差數(shù)列問題提供思考的方向。

        三、等差數(shù)列的前n項和及其與二次函數(shù)的關(guān)系

        (一)等差數(shù)列的前n項和

        在實際生產(chǎn)生活中,人們往往需要計算等差數(shù)列前n項和是多少。教師在教學(xué)中可以提出“等差數(shù)列的前n項和是否有固定的計算方式”這一問題,指引學(xué)生先通過數(shù)形結(jié)合建立對等差數(shù)列前n項和的初步印象,而后借助歸納推理進行探究,使其感受到數(shù)學(xué)思想在學(xué)習(xí)中的妙用。

        1.數(shù)形結(jié)合思想

        人們接觸事物往往先進行感性認識。在等差數(shù)列的前n項和教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合角度進行判斷,更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。以等差數(shù)列1,2,3,4,…,n為例,要求該數(shù)列的前n項和,可以向?qū)W生展示圖3,給予學(xué)生思路上的引導(dǎo)。

        圖3

        學(xué)生可以將等差數(shù)列的每一項看作圓柱體的個數(shù),共有n層圓柱體按照圖中方式堆放在一起。想求Sn=a1+a2+…+an的值,學(xué)生可以將圖形倒置后和原圖形放在一起,就可以直觀地看到每一層圓柱體的數(shù)量相等,共有n層,由此猜想等差數(shù)列的前n項和為Sn=。

        教師運用數(shù)形結(jié)合思想給學(xué)生帶來對等差數(shù)列前n項和的初步、直觀認識,調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)自信。

        2.歸納推理思想

        為更好地證明上述猜想,教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生通過歸納推理,推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項和公式。推理過程如下:

        Sn=a1+a2+…+an-1+an①,Sn=an+an-1+…+a2+a1②

        ①+②得到:

        2Sn=,于是問題就落腳在了如何證明a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…上。分開來看,由等差數(shù)列通項公式可得:

        a2+an-1=(a1+d)+(an-d)=a1+an;

        a3+an-2=(a1+2d)+(an-2d)=a1+an;

        a4+an-3=(a1+3d)+(an-3d)=a1+an;

        ...

        由此得到:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)

        則Sn=,其中將an=a1+(n-1)d代入可得到另一種形式為:Sn=na1+d。

        如此通過歸納推理,推導(dǎo)出了等差數(shù)列前n項和的計算公式。教學(xué)中,學(xué)生參與整個推導(dǎo)過程,從結(jié)合圖形的感性認識到歸納推理的理性認識,這符合學(xué)生的認知規(guī)律,能夠加深學(xué)生對等差數(shù)列前n項和的認識與理解。

        (二)等差數(shù)列前n項和與二次函數(shù)的關(guān)系

        在學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生時常會遇到求等差數(shù)列前幾項和的最大值和最小值問題。部分學(xué)生因未能很好地建立等差數(shù)列前n項和與函數(shù)之間的關(guān)系,而容易出錯。為幫助學(xué)生更好地破解相關(guān)問題,教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運用函數(shù)思想探索等差數(shù)列前n項和與二次函數(shù)的關(guān)系。

        教學(xué)中,要求學(xué)生將n看作自變量,對Sn=na1+d進行整理,化成二次函數(shù)形式,得到Sn=na1+d=n2+(a1-)n。其中當(dāng)d<0時,對應(yīng)的二次函數(shù)圖象開口向下,對稱軸為直線n′=-+。在討論其在何處取得最大值時,需要結(jié)合對稱軸的具體位置加以分析。當(dāng)d>0時,對應(yīng)的二次函數(shù)圖象開口向上,Sn存在最小值,對稱軸為直線n′=-+。當(dāng)d=0,等差數(shù)列為常數(shù)列,則Sn=na1。

        為了使學(xué)生對上述內(nèi)容有更清晰的認識,并能靈活運用,教師應(yīng)在課堂上做好相關(guān)例題的剖析。

        例.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a4=1,S5=10,求Sn取得最大值時對應(yīng)的n值。

        該題是課本上的一道練習(xí)題,學(xué)生運用函數(shù)思想能夠很快得出結(jié)果。課堂上,教師可以讓學(xué)生思考“看到求Sn的最大值能夠想到哪些知識”。事實上,n的取值是正整數(shù),意味著Sn表達式對應(yīng)的二次函數(shù)圖象是開口向下的,即d<0。由a4=1,S5=10容易求得a1=4,d=-1,則-+=4,表示Sn取得最大值時對應(yīng)的n值是4或5。再如以下習(xí)題:

        例.等差數(shù)列{an}中,a1=20,公差d=-,令bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。

        該題與上一道習(xí)題的不同之處是,數(shù)列{an}中存在為負數(shù)的項,要求Sn,需要先確定該數(shù)列在第幾項出現(xiàn)負數(shù)。由等差數(shù)列的通項公式可得an=a1+(n-1)d=20+(n-1)×(-)=-n+,令an>0,容易解得n<9,數(shù)列的第8項為正數(shù),第9項為0,第10項為負數(shù)。學(xué)生根據(jù)n的不同進行分類討論,即,當(dāng)n≤9時,Sn=n2+(a1-)n=-n2+n;當(dāng)n>9時,Sn=S9-(a10+a11+…+an)=90-=n2-n+180。

        教師通過該習(xí)題的講解使學(xué)生認識到,運用等差數(shù)列前n項和公式進行解題時需要具體問題具體分析,尤其需要根據(jù)實際情況進行分類討論,在分類討論思想的指引下能更為全面地思考問題。

        四、總結(jié)

        等差數(shù)列是高中數(shù)學(xué)非常重要的數(shù)列類型,相關(guān)知識較為抽象。教學(xué)中,教師應(yīng)通過滲透數(shù)學(xué)思想,指引學(xué)生參與相關(guān)結(jié)論的推導(dǎo)過程,如此學(xué)生既能加深對所學(xué)知識的印象,又能掌握學(xué)習(xí)的技能,在遇到等差數(shù)列相關(guān)習(xí)題時能迅速地找到突破口,真正地做到“授之以魚”,更要“授之以漁”。

        (作者單位:甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣文萃中學(xué))

        編輯:陳鮮艷

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