一、內(nèi)容解析
“球的表面積和體積”屬于“簡單幾何體的表面積與體積”的內(nèi)容?!昂唵螏缀误w的表面積與體積”這部分內(nèi)容涉及圓柱、圓錐、圓臺,還有直棱柱、正棱錐、正棱臺以及球的表面積和體積,需要學(xué)生從度量的角度認(rèn)識常見的空間幾何體。“球的表面積和體積”是這部分的難點,也是核心內(nèi)容,球的表面積與體積計算與圓柱部分一脈相承,但是計算方法更加靈活,這部分知識對學(xué)生數(shù)學(xué)運算、模型認(rèn)知、空間觀念都有非常高的要求。學(xué)生在了解了柱體、錐體、臺體的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系后,要進(jìn)一步認(rèn)識球的表面積和體積,還需要深入感受極限思維,培養(yǎng)邏輯關(guān)聯(lián)意識。
二、問題診斷
“球的表面積和體積”涉及的參數(shù)并不多,學(xué)生對公式記憶的難度也不高,其難點在于球的表面積與體積公式推導(dǎo)過程,即需要學(xué)生在知其然的同時,知其所以然。只有學(xué)生真正理解了參數(shù)的含義,才能對內(nèi)切球、棱切球、外切球有效區(qū)分,所以學(xué)習(xí)這部分知識的一個難點,就是對球體公式的推導(dǎo),其中蘊含了極限的思想,在分割、近似替代、求和、取極限方面學(xué)生理解起來比較困難。所以,在本次課程教學(xué)中,重點是讓學(xué)生在理解棱柱、棱錐知識的基礎(chǔ)上,掌握球的表面積與體積公式求解推導(dǎo)方法,并指導(dǎo)學(xué)生解決一些實際問題,助力學(xué)生突破核心知識點。
三、目標(biāo)分析
“球的表面積和體積”教學(xué)目標(biāo)可簡要概括為讓學(xué)生了解球的表面積和體積公式,運用球的表面積公式及體積公式進(jìn)行計算和解決有關(guān)實際問題;讓學(xué)生準(zhǔn)確理解公式中的各參數(shù)及其含義,對球的表面積與體積公式進(jìn)行結(jié)構(gòu)化理解,培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力和空間想象能力,使其理解公式中蘊含的極限思維,學(xué)會一般性問題的解答方法;在這部分知識學(xué)習(xí)中,學(xué)生要結(jié)合小實驗掌握球體的表面積和體積公式,體會數(shù)學(xué)的美,結(jié)合對球的表面積和體積公式的推導(dǎo)發(fā)展理性思維。這是思維層面的綜合延伸,是核心素養(yǎng)育人的重要體現(xiàn)。
四、教法研究
本單元授課采用線上線下相結(jié)合的方式,對于一些回顧性內(nèi)容,如圓柱的側(cè)面積計算、圓臺的側(cè)面積計算,主要通過線上教學(xué),讓學(xué)生在課前學(xué)習(xí)鞏固,為新課學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。線下課堂以小組合作、實踐探究為主,需要學(xué)生進(jìn)行公式的推導(dǎo),理解參數(shù)的具體含義。同時,教師配合希沃白板及課件呈現(xiàn)內(nèi)容,讓學(xué)生理解球的表面積與體積公式推導(dǎo)。課程教學(xué)的重點是借助直觀教具以及信息技術(shù)交互運用,在學(xué)生主體探究、展示研究成果的前提下,教師進(jìn)行針對性指引,向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)極限思維,發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)。在這部分知識學(xué)習(xí)過程中,對學(xué)生實踐探究有非常高的要求,需要學(xué)生動手制作球的模型進(jìn)行實驗操作,并引導(dǎo)學(xué)生對照視頻進(jìn)行創(chuàng)新探究,在課堂上小組之間、師生之間積極展開討論,以突破核心知識點。
五、教學(xué)過程
(一)情境預(yù)設(shè),主題導(dǎo)入
師:這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)一個新的知識點——球體。在正式學(xué)習(xí)之前,我們先來聽一位數(shù)學(xué)家的演講片段,這位數(shù)學(xué)家名叫丘成桐,他是央視公開課《開講啦》的特邀嘉賓,同時還是清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心主任,清華大學(xué)求真書院院長,北京雁棲湖應(yīng)用數(shù)學(xué)研究院院長。聽一聽丘成桐先生和他的數(shù)學(xué)故事,能夠讓我們知道數(shù)學(xué)的應(yīng)用無處不在,而數(shù)學(xué)之美更吸引著人們不斷去探索。
接著播放丘成桐先生的演講《因為數(shù)學(xué)》片段。其中涉及很多非常重要的科學(xué)家,還講到了數(shù)學(xué)與科學(xué)界的一些重要發(fā)展。譬如高斯和黎曼對電磁學(xué)深入研究發(fā)展了數(shù)學(xué)理論,并重點提到了黎曼球面,還有“莫比烏斯變換”這一概念。丘成桐先生的演講,可以讓學(xué)生認(rèn)識到人類對科學(xué)技術(shù)探索的每一次突破,也伴隨著數(shù)學(xué)發(fā)展的一次大跳躍。同時,一般球面在現(xiàn)代工業(yè)以及腫瘤學(xué)研究領(lǐng)域都發(fā)揮了十分重要的作用。
(設(shè)計意圖:結(jié)合數(shù)學(xué)家精彩的演講引出課程主題,可以有效吸引學(xué)生的目光,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。)
師:今天我們就研究簡單的球面知識,下面我們來看兩個問題。
問題1:用相同厚度,相同顏色的顏料,分別給乒乓球、籃球涂色,哪種球需要用到的顏料更多?請說一說為什么。
生:籃球需要用到的顏料更多,因為籃球表面積遠(yuǎn)比乒乓球大,所以需要用到的顏料較多。
問題2:如果要給足球和一個小皮球打氣,假設(shè)球內(nèi)氣壓相同,忽略內(nèi)部材料的厚度,那么哪個球需要充入的氣體較多?
學(xué)生結(jié)合自身的生活經(jīng)驗,很容易想到足球需要充入的氣體更多。
教師繼續(xù)引導(dǎo):球體沒有底面,也無法伸展成像棱柱、棱錐一樣的平面圖形,那么兩個不同的球體表面積究竟相差多少呢?大小又是何種關(guān)系,應(yīng)該如何來表述呢?這節(jié)課我們將圍繞這一問題展開探究。
(設(shè)計意圖:從直觀上學(xué)生能發(fā)現(xiàn)不同的球體,其表面積和體積都會有差別,而從直觀印象向具體數(shù)據(jù)比對有效分析,就要讓學(xué)生掌握球體表面積和體積計算的公式。)
(二)理實結(jié)合,實踐探究
教師讓學(xué)生拿出在課前制作的球體道具,想一想如何用最簡單的方式測出球的體積。很快,學(xué)生想到了物理課堂上所學(xué)的方法,利用排開水的體積來測量球體的體積。學(xué)生以小組為單位進(jìn)行探究,看看兩個不同的球體排開水的體積有何差別,它們之間的差別主要由哪個因素來決定。
結(jié)合平面圖形部分所學(xué)圓的相關(guān)知識,學(xué)生很容易就能聯(lián)想到球體的體積差異決定球體的半徑。那么,球體的半徑和球體體積之間究竟有什么樣的函數(shù)關(guān)系,需要學(xué)生進(jìn)一步來探究。這時候教師拿出提前為學(xué)生準(zhǔn)備的細(xì)沙,讓學(xué)生以小組為單位,針對一組底面半徑和高均為R的圓柱、圓錐、半球進(jìn)行體積變化規(guī)律的探索。各個小組反復(fù)嘗試,最終得到:圓錐容納的沙量+半球容納的沙量=圓柱容納的沙量。套入學(xué)生前期所學(xué)的圓柱、圓錐體積推導(dǎo)公式,讓學(xué)生試著算一下,半球的體積應(yīng)該如何表示,得到結(jié)果如下:
V半球=V柱-V圓錐=πR2·R-πR2·R=πR2·R
V球=πR3
(設(shè)計意圖:將空間關(guān)系向數(shù)據(jù)運算有效轉(zhuǎn)變,可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維,并為下一步理論證明奠定良好基礎(chǔ)。)
理論證明部分,需要借助學(xué)生前期所學(xué)的平面幾何的相關(guān)知識,在球體證明中有效運用。將半球面用相互平行的線段平分成n份,讓學(xué)生求解每一份的體積,最終累加得到球體體積公式。在這部分計算過程中,涉及球面分割,還有近似替代求和與取極限的重要數(shù)學(xué)思想。整個推導(dǎo)過程難度不大,重在讓學(xué)生理解極限思想,并應(yīng)用到球體體積公式推導(dǎo)中。
突破了球的體積這一難點知識后,教師可進(jìn)一步追問球的表面積和球的體積之間有什么樣的關(guān)系。
這時候,教師引導(dǎo)學(xué)生借助前面錐體的面積求解公式,將球體想象為無數(shù)個錐體緊密排布在一起,所形成無數(shù)個半徑為R的錐體緊密排布在一起,組成一個組合球體,這些錐體所有底面積相加即得到球的表面積。再次應(yīng)用極限思維,即得到球的表面積:
S球=4πR2
這兩個公式,既類似又相互關(guān)聯(lián),可以反復(fù)推導(dǎo)。教師可讓學(xué)生在小組內(nèi)部想一想,如果將半徑為R的球面橫向切為n份,每份等高,并將每份看作一個圓臺,讓學(xué)生想一想,從上到下這些圓臺的側(cè)面積之和為多少?同樣應(yīng)用極限思維可以得到球的表面積,而最終這個值所得結(jié)果乘以2就是整個球體的表面積,進(jìn)一步驗證前期表面積公式推導(dǎo)的方法。
(設(shè)計意圖:讓學(xué)生用兩種方法來推導(dǎo),進(jìn)一步驗證所得結(jié)論,也能增強(qiáng)學(xué)生對極限思想的理解。)
(三)當(dāng)堂學(xué)習(xí),加深理解
在掌握了球體表面積和體積公式后,教師可直接給出題目,讓學(xué)生求解。
(1)已知球體半徑R=5厘米,求它的體積和表面積。
(2)已知球的表面積為64π,求它的體積。
(3)已知球的體積為π,求它的表面積。
(4)已知一種浮標(biāo)由兩個半球和圓柱黏合而成(見圖1),已知半球的直徑為0.3米,圓柱的高為0.6米?,F(xiàn)需在該浮標(biāo)外層涂防水材料,如果每平方米需0.5千克涂料,那么給1000個這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要用多少千克涂料?
在學(xué)生完成上述幾道題目后,教師進(jìn)一步引出問題,讓學(xué)生對這部分知識理解實現(xiàn)螺旋上升。
教師在大屏幕上出示三個球(見圖2),第一個正切于正方體的各個面,第二個正切于正方體的各側(cè)棱,第三個過正方體的各頂點,請學(xué)生對比這三個球,分別確定球體的半徑、體積和表面積是多少。
(設(shè)計意圖:通過對三個球的特點進(jìn)行分析,求解三個球的表面積和體積之比,可以讓學(xué)生理解幾何體的結(jié)構(gòu)特征,并進(jìn)一步理清其內(nèi)切球、棱切球、外切球與半徑之間的關(guān)系。)
類題訓(xùn)練還可以讓學(xué)生計算下面的問題:圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑(見圖3),求解球與圓柱的體積之比。
這樣就將這部分所學(xué)內(nèi)容前后串聯(lián),可以讓學(xué)生進(jìn)一步熟練公式,并對簡單幾何體和球的半徑關(guān)系、體積關(guān)系有效捋清。
總之,鑒于這節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了解圓柱、圓錐、圓臺、直棱柱、正棱錐基礎(chǔ)上進(jìn)行的綜合性教學(xué),所以這部分需結(jié)合實踐操作,讓學(xué)生學(xué)會推算球的體積,再用極限思想來證明體積計算的方式,進(jìn)一步與平面幾何部分相關(guān)聯(lián),讓學(xué)生理解球的表面積計算。這部分反復(fù)用到極限思想,還涉及了數(shù)與形的綜合轉(zhuǎn)化,最后再結(jié)合例題進(jìn)行拓展延伸,讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維實現(xiàn)螺旋上升,并對一般性規(guī)律進(jìn)行總結(jié)。對正四面體內(nèi)切球與棱切球、外切球分析,其難點在于確定球的半徑,可將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。在這類問題解決過程中,要求學(xué)生仔細(xì)審題,對其中的一些隱含條件、等量關(guān)系有效挖掘。所以在這部分學(xué)習(xí)中,對學(xué)生直觀感知、實踐操作、識辨理解、度量計算都有非常高的要求。教師要引導(dǎo)學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合意識,學(xué)會用代數(shù)的方法解決幾何問題,實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。
(作者單位:山東省濱州市陽信縣第二實驗中學(xué))
編輯:曾彥慧
作者簡介:楊龍飛(1971—),男,漢族,山東濱州人,碩士,現(xiàn)職稱:中小學(xué)一級,研究方向:高中數(shù)學(xué)。