年如科

探究式教學(xué)是初中數(shù)學(xué)高效的教學(xué)方式之一，其本質(zhì)是以學(xué)生為中心，以師生互動、生生互動為主要活動方式，將原本的講解課堂變?yōu)閷W(xué)生的主動探究活動，嘗試以學(xué)生思考為主、教師講解為輔助的學(xué)習(xí)方式，逐漸提升初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

【案例內(nèi)容】

人教版八年級下冊“17.1勾股定理”。

【教材分析】

勾股定理是初中幾何板塊內(nèi)容中最重要的定理之一，在七年級以及八年級上冊已經(jīng)接觸過三角形邊角關(guān)系，以及三角形全等的內(nèi)容；本堂課是在已有知識的基礎(chǔ)上，以直角三角形為例，進(jìn)行直角三角形三邊等量關(guān)系的探究。通過本堂課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對直角三角形會有更加深刻的認(rèn)識，對后續(xù)的三角函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)也能產(chǎn)生積極影響。不僅如此，勾股定理在數(shù)學(xué)學(xué)科以及其他學(xué)科，甚至日常生活中也有廣泛應(yīng)用，通過探究式課堂教學(xué)能夠?qū)⒍囝I(lǐng)域的知識銜接起來，幫助學(xué)生深入掌握勾股定理的相關(guān)內(nèi)容，達(dá)到學(xué)以致用的最終目標(biāo)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷三角形三邊衍生正方形面積之間的等量關(guān)系，并表示直角三角形之間的等量關(guān)系，體會轉(zhuǎn)化思想。

2.經(jīng)歷勾股定理證明過程，理解趙爽運(yùn)用“出入相補(bǔ)法”證明勾股定理的思路，體會數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感。

3.掌握勾股定理的運(yùn)用，并能夠解決數(shù)學(xué)問題。

4.能用數(shù)學(xué)語言提出猜想，并通過例題的學(xué)習(xí)學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)。

【教學(xué)方法】

創(chuàng)設(shè)情境引入法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、講練結(jié)合法。

【教學(xué)過程】

一、情境導(dǎo)入

教師：同學(xué)們，上學(xué)期我們已經(jīng)接觸過三角形，了解了三角形的一些性質(zhì)，對直角三角形也有過一些初步的探究，那么誰記得直角三角形的三個角有什么關(guān)系？

預(yù)設(shè)：三個角的和是180°，其中一個角為90°，另外兩個角互余。

教師：非常好，那么你們知道三角形的三條邊關(guān)系也非常有趣嗎？接下來我們以等腰直角三角形為對象，看看它們究竟有什么關(guān)系？（此環(huán)節(jié)，教師還可以繪制關(guān)于三角形知識的思維導(dǎo)圖，從邊和角兩方面對其進(jìn)行知識的梳理，然后在直角三角形處留出相應(yīng)的空白，等待學(xué)生自主探究，在課堂結(jié)束時讓學(xué)生將思維導(dǎo)圖補(bǔ)充完整。）

（設(shè)計意圖：從三角形知識的復(fù)習(xí)入手，通過復(fù)習(xí)直角三角形三個角的關(guān)系，喚醒學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，隨后通過思維導(dǎo)圖展示整個三角形的知識體系，引導(dǎo)學(xué)生明確此板塊知識的上下位關(guān)系，并提出后續(xù)要探討的話題，使學(xué)生明確本堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。）

二、新課講授

（一）故事引導(dǎo)，初步探究

教師借助多媒體教學(xué)工具，將教材中的圖片及文字以講故事的形式呈現(xiàn)出來。

教師：同學(xué)們，在今天的課程學(xué)習(xí)之前，我們先來聽一個小故事：相傳在2500年前，畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時，低頭發(fā)現(xiàn)朋友家的地磚很有趣，于是看著地板陷入了沉思。同學(xué)們來看大屏幕上出現(xiàn)的地磚圖（見教材圖17.1-1），如果你是畢達(dá)哥拉斯，你有什么樣的發(fā)現(xiàn)呢？（為了增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師還可以添加一些畢達(dá)哥拉斯的小故事，引導(dǎo)學(xué)生積極投入。）

預(yù)設(shè)：學(xué)生1：奶奶家的地板磚也是這種正方形的，每塊方磚被分成了四個小三角形。

學(xué)生2：我發(fā)現(xiàn)，四個小三角形是一模一樣的。

學(xué)生3：我發(fā)現(xiàn)兩個相鄰的三角形可以組成一個直角三角形，而且還是等腰直角三角形。

教師：同學(xué)們觀察得非常細(xì)致，每塊方磚都分成了四個完全一樣的小三角形，然后兩個三角形能夠拼成一個等腰直角三角形，我們用正方形彩紙折紙的時候是不是有過這樣的經(jīng)歷呢？你還有什么發(fā)現(xiàn)呢？

學(xué)生4：我發(fā)現(xiàn)相鄰的相同顏色的三角形還可以組成一個小正方形……

（此時教師將上述兩組對話中學(xué)生發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象用不同的顏色標(biāo)注出來，然后繼續(xù)提問）

教師：非常棒，那么這組圖形之間又有一個什么圖形呢？（出示教材圖17.1-2）

學(xué)生：它們中間夾了一個小的等腰直角三角形。

教師：接下來，以小組為單位來分析一下，上面三種顏色的圖形之間有什么關(guān)系嗎？

學(xué)生以小組為單位，通過小組合作觀察圖片，對三種顏色圖形的邊長進(jìn)行推測：

關(guān)系1：兩個藍(lán)色正方形的面積之和等于紅色正方形也就是一塊方磚的面積。

關(guān)系2：藍(lán)色正方形的邊長等于中間黃色等腰直角三角形的直角邊邊長。

關(guān)系3：紅色正方形的邊長等于中間黃色等腰直角三角形的斜邊邊長。

通過小組合作，學(xué)生對三種顏色圖形的關(guān)系有了初步了解，但是沒有學(xué)生想到將兩者結(jié)合起來研究三邊關(guān)系，此時教師可以繼續(xù)追問：

教師：同學(xué)們表述得非常棒，那有沒有想過將這兩個結(jié)論合并起來呢？來嘗試一下吧！

隨后，學(xué)生以小組為單位，對三組圖形的面積關(guān)系進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：兩個藍(lán)色小正方形的面積和等于一個紅色大正方形的面積。

教師：你們能不能用數(shù)學(xué)化的語言表達(dá)出來呢？

預(yù)設(shè)：以等腰直角三角形兩直角邊為邊的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的大正方形的面積。

教師：換句話說就是“等腰直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”。這就是勾股定理的雛形。

（設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)是初步探究環(huán)節(jié)，以師生互動探究為主，以畢達(dá)哥拉斯故事為引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生參與課堂活動的興趣。整個活動以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，充分培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察、思考、表達(dá)現(xiàn)實世界。）

（二）研討分析，深入探究

教師：同學(xué)們，剛剛我們發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形三邊之間的關(guān)系，那么你們覺得其他直角三角形的三邊關(guān)系符合這一規(guī)律嗎？（提出本環(huán)節(jié)需要探討的中心問題，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究。）

學(xué)生以小組為單位，可以先進(jìn)行結(jié)論的猜測，如有的小組認(rèn)為符合，有的小組認(rèn)為不符合，根據(jù)自己猜測的結(jié)果進(jìn)行后續(xù)探究。

問題：（出示圖1，小正方形的邊長為單位1）你能計算出大正方形C的面積嗎？

學(xué)生觀察圖形，結(jié)合自己現(xiàn)階段掌握的面積計算方法，思考并計算正方形A、B、C的面積，如割補(bǔ)法等。學(xué)生探究如下：

步驟一：SA=3×3=9，SB=4×4=16

步驟二：正方形C不能用邊長乘以邊長的計算方法，但是我們可以按照其四個頂點的位置將它補(bǔ)充為一個新的正方形，然后利用計算面積。新正方形的面積為7×7=49，然后再減去周圍四個小三角形的面積：3×4÷2×4=24，最終得出正方形C的面積為25。

教師：那么圖中三個正方形的面積有什么關(guān)系呢？它們是否和畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的關(guān)系一樣呢？是否具有與等腰直角三角形三邊為邊長的正方形面積同樣的等量關(guān)系呢？

學(xué)生：SA+SB=SC，具有與等腰直角三角形三邊為邊長的正方形面積同樣的等量關(guān)系。

此時如果學(xué)生能提出疑問：網(wǎng)格中的三角形可以代表所有的三角形嗎？學(xué)生就可以按照這個思路繼續(xù)深入探討，如果不能，教師提出問題：那你們覺得剛剛老師給出的圖形能不能代表所有直角三角形的情況呢？一般直角三角形符合嗎？（教師繼續(xù)出示教材中的圖片。）

教師：假設(shè)現(xiàn)在直角三角形三邊為a、b、c，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2是否成立呢？（在引導(dǎo)學(xué)生問題探究中，教師可以根據(jù)學(xué)生探討的過程給出分層支持。）

支持一——擺放圖形：結(jié)合上述三角形三邊關(guān)系，擺放兩個邊長分別為a和b的正方形，其中一邊重合（見圖2），引導(dǎo)學(xué)生計算出這兩個圖形的面積。

學(xué)生根據(jù)教師的提出擺放出兩個正方形，然后根據(jù)面積公式計算出兩個正方形的面積為a2和b2。

支持二——分割圖形：引導(dǎo)學(xué)生在兩個正方形中切割出兩個直角三角形，確保切割出的三角形一個頂點重合，然后得出邊長c，隨后證明左右兩個三角形全等，以及以B點為兩條c邊的夾角為直角（見圖3）。

學(xué)生根據(jù)教師給出的支持性問題，在底邊上找到符合要求的B點，然后通過做輔助線的方式，借助三角形全等以及其他相關(guān)知識驗證教師提出的問題，最終用含有ab的式子表示所有數(shù)量關(guān)系。

支持三——重新拼接組合：如何找到大正方形的另一組鄰邊，即找到以直角三角形斜邊為邊長的正方形？

學(xué)生根據(jù)教師的支持，小組合作借助前兩個環(huán)節(jié)探究所得的圖形進(jìn)行切割、拼剪，然后展示自己小組得出的成果。

此時教師可以追問：為什么按這種方式拼出的四邊形是正方形？你能說明理由嗎？（預(yù)設(shè)：學(xué)生通過直角三角形兩個銳角互余等知識點說明新得出的四邊形是正方形。）

支持四：那么你能證明新得出的邊長為c的正方形和原來圖形的面積沒有變化嗎？

學(xué)生整理上述三個環(huán)節(jié)得出含有ab的算式，然后進(jìn)行計算、分析，最終證明：a2+b2=c2。

（設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)師生探究活動中，教師運(yùn)用類比思想引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行探討，這是數(shù)學(xué)研究從特殊到一般的過程。在四個步驟的支持中，教師搭建腳手架，一步步引導(dǎo)學(xué)生在質(zhì)疑、思考、分析、探討過程中，自然、合理地發(fā)現(xiàn)知識前后之間的聯(lián)系，從而體會“出入相補(bǔ)法”的原理。）

【教學(xué)反思】

探究式教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的教學(xué)方法之一，以往數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師始終認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、探究能力較弱，并沒有嘗試將整堂課全部教給學(xué)生，此次以學(xué)生為主體的課堂探究學(xué)習(xí)嘗試中，教師作為主導(dǎo)者，適時提出問題，搭建學(xué)生小組合作觀察、思考、探究的“腳手架”，既保證了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，又確保了整堂課按照教師設(shè)計的思路進(jìn)行。此外，在整個課堂中學(xué)生小組合作占據(jù)主體地位，小組內(nèi)的交流、思考、合作活動相對較多，學(xué)生能夠?qū)⑴c三角形相關(guān)的知識系統(tǒng)串聯(lián)起來，也有利于自身知識體系的搭建，為后續(xù)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（作者單位：甘肅省康樂縣上灣民族中學(xué)）

編輯：陳鮮艷