摘? ?要：?jiǎn)螖[模型在整個(gè)下落過(guò)程中不具有嚴(yán)格的等時(shí)性，其振動(dòng)周期與擺角有關(guān)；而豎直面內(nèi)的旋輪線模型則具有嚴(yán)密的等時(shí)性。分析發(fā)現(xiàn)，單擺只有在小角度條件下才能近似看成等時(shí)擺，從而與旋輪線模型等效。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)螖[；旋輪線；等時(shí)性；數(shù)學(xué)推理

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2024）5-0069-4

單擺，又名圓周擺，其往復(fù)擺動(dòng)過(guò)程中具有“等時(shí)性”特征。但其前提條件往往容易被學(xué)生忽略；亦或?qū)W生雖知道小角度擺動(dòng)條件下單擺可以近似看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，具有等時(shí)性的特點(diǎn)，但學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的理解往往僅停留在表面，對(duì)其沒(méi)有深入研究。造成此類(lèi)現(xiàn)象的原因可能是一線教師在進(jìn)行單擺具有“等時(shí)性”（僅與擺長(zhǎng)和當(dāng)?shù)刂亓铀俣扔嘘P(guān)，與振幅無(wú)關(guān)）特點(diǎn)的內(nèi)容教學(xué)時(shí)，部分學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)薄弱，故沒(méi)有深度剖析小角度問(wèn)題；或是在進(jìn)行深入研究時(shí)，苦于高等數(shù)學(xué)知識(shí)的遺忘，造成自身對(duì)其理解并不充分等。鑒于此，本文將從單擺模型出發(fā)，借助高等數(shù)學(xué)工具進(jìn)行深入研究，剖析單擺及旋輪線模型“等時(shí)性”問(wèn)題。希望能給一線教師帶來(lái)一些啟示與參考。

1? ? 單擺等時(shí)性的歷史淵源

伽利略在教堂里觀察到掛燈的擺動(dòng)，他通過(guò)自己的脈搏發(fā)現(xiàn)其每做一次完整的擺動(dòng)所需時(shí)間是一樣的。之后他得出這樣的結(jié)論：掛燈每做一次全擺動(dòng)所需時(shí)間是一定的，即擺的等時(shí)性原理。1629年出生于荷蘭的物理學(xué)家惠更斯，在伽利略的基礎(chǔ)上對(duì)擺進(jìn)行了進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)單擺具有等時(shí)性的特點(diǎn)只是近似的，真正的等時(shí)擺動(dòng)軌跡并不是圓弧，而是擺?。?］。根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，惠更斯于1657年制作出世界上第一臺(tái)擺鐘，并在1673年發(fā)表《擺鐘論》一書(shū)，詳細(xì)介紹了擺鐘的結(jié)構(gòu)及相關(guān)的數(shù)理問(wèn)題，并在1675年嘗試在擺鐘上采用擺輪游絲裝置等。這些發(fā)明都極大地促進(jìn)了精確計(jì)時(shí)技術(shù)的發(fā)展［2］。

2? ? 單擺等時(shí)性的數(shù)學(xué)證明

如圖1所示，懸線系著一質(zhì)量為m的小球靜止在A處，此時(shí)懸線與豎直方向的夾角為φA。現(xiàn)釋放小球，其向下擺動(dòng)過(guò)程中與豎直方向的夾角為θ，不計(jì)一切阻力，求小球從A運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B所用時(shí)間tAB。

證明? 建立圖1所示的直角坐標(biāo)系，并設(shè)經(jīng)過(guò)A與B之間的某點(diǎn)C時(shí)小球的速度為v，則由動(dòng)能定理可知

可見(jiàn)，從A到B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間跟k有關(guān)（k=sin），即與振幅擺角φA有關(guān)，隨φA的增大而增大。而單擺的周期T=4tAB，可見(jiàn)其與振幅呈正相關(guān)，不具有嚴(yán)格的等時(shí)性。

那什么條件下單擺可以近似看成等時(shí)擺呢？我們對(duì)（6）式進(jìn)行分析。其中，k∈（0，1），k2n?0，此時(shí)級(jí)數(shù)是收斂的，在φA→0時(shí)，k→0，所以可以略去后面的高階無(wú)窮小量。此時(shí)T=2π，即實(shí)際應(yīng)用中，在擺角足夠小的情況下，可用該單擺周期公式進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)擺角足夠小的認(rèn)識(shí)：T'保留（6）式中的一、二項(xiàng)，T保留第一項(xiàng)，進(jìn)行誤差計(jì)算

η==k=sin2

表1為φA取不同值時(shí)單擺的周期誤差。

從表1中數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)最大擺角為15°時(shí)，誤差在0.5%以內(nèi)；當(dāng)最大擺角為5°時(shí)，誤差在0.05%以內(nèi)。由于實(shí)驗(yàn)還涉及繩長(zhǎng)的測(cè)量及計(jì)時(shí)誤差等，因此中學(xué)階段單擺實(shí)驗(yàn)的最大擺角應(yīng)控制在5°內(nèi)較為適宜。

3? ? 旋輪線等時(shí)性的數(shù)學(xué)證明

在如圖2所示的直角坐標(biāo)系中，一個(gè)半徑為R的圓沿著x軸正向滾動(dòng)，圓邊界上一定點(diǎn)O形成的軌跡如曲線OPB所示，該曲線數(shù)學(xué)上稱(chēng)為圓滾線、旋輪線或擺線。假設(shè)旋圓滾動(dòng)的夾角為θ時(shí)旋圓上定點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到圖中P點(diǎn)，此時(shí)線段OQ的長(zhǎng)度等于弧長(zhǎng)，等于Rθ，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為

所以，小球沿著旋輪線從任意位置下滑到最低點(diǎn)的時(shí)間均相等，即在理想條件下小球沿旋輪線自由運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，與其初始位置（振幅）無(wú)關(guān)。小球運(yùn)動(dòng)的周期為

T=4π

其中，R為旋圓半徑。

4? ? 惠更斯的擺線擺模型

單擺雖具有簡(jiǎn)潔性，但不能?chē)?yán)格地用于計(jì)時(shí)，為了解決這個(gè)問(wèn)題，惠更斯根據(jù)擺線（旋輪線）的等時(shí)性特征，制造了一種新型的擺叫作擺線擺，如圖4所示。用木板制作一個(gè)凸型板（圖中陰影部分），每一塊都做成擺線的半個(gè)拱形弧形狀，在O點(diǎn)處相接。其中，擺線的旋圓半徑為R，擺線長(zhǎng)為L(zhǎng)，在繩的自由端系上一個(gè)質(zhì)量大、體積很小的鋼球（看成質(zhì)點(diǎn)）。

小球初始時(shí)，細(xì)線緊貼著凸型板的弧邊，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的弧線為一條擺線［7］。若小球做小擺角運(yùn)動(dòng)，擺角小于5°，則凸型板的影響幾乎沒(méi)有，即與普通單擺類(lèi)似，其周期也可用普通單擺周期公式進(jìn)行計(jì)算。

惠更斯設(shè)計(jì)的擺線擺模型，巧妙地融合了單擺及擺線（旋輪線）的特點(diǎn)，具有嚴(yán)格的等時(shí)性。他根據(jù)這一原理設(shè)計(jì)了世界上第一臺(tái)擺鐘。

5? ? 結(jié)論及反思

綜上，小球在任意位置沿著豎直面內(nèi)的旋輪線下滑到最低點(diǎn)，所用時(shí)間均相等；而單擺僅在小角度內(nèi)擺動(dòng)時(shí)對(duì)不同振幅所用時(shí)間才近似相等，二者才能等效。本文通過(guò)梳理單擺及旋輪線“等時(shí)性”部分的內(nèi)容，主要有兩點(diǎn)考慮：其一，加深對(duì)單擺周期公式的理解，并在教學(xué)相長(zhǎng)、教研相長(zhǎng)的過(guò)程中不斷提升教師的學(xué)科素養(yǎng)；其二，在課堂教學(xué)中，滲透惠更斯這樣一段艱辛的探索歷程，激發(fā)他們對(duì)科學(xué)家的崇敬之情。

參考文獻(xiàn)：

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［7］張家瑞，李興春.擺線族［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2015：42-47，182.

（欄目編輯? ? 蔣小平）

收稿日期：2024-03-30

作者簡(jiǎn)介：謝祿橋（1993-），男，主要從事中學(xué)物理教學(xué)工作。